高考数学总复习 第10章 第3(文)、6(理) 几何概型课时演练 新人教A版

活页作业 几何概型
一、选择题
1．函数f (x )＝x 2
－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是( )
A ．1 B.2
3 C.
3
10
D.25
解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f (x 0)≤0，则所求概率P ＝
2－－
5－－
＝310
. 答案：C
2．在四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )
3．(理)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π有零点的概率为( )
A.7
8 B.3
4 C.1
2
D.14
解析：因为f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π有零点，所以Δ＝4a 2
－4(π－b 2
)≥0，即a 2
＋b 2
－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为P ＝
2π×2π－π
π
2
2π×2π＝3π2
4π
2＝34
. 答案：B
3．(文)在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于1
3的概率为( )
A.17
18
B.7
9 C.2
9
D.118
解析：设这两个实数分别为x ，y ，则⎩⎪⎨
⎪⎧
0<x <1
0<y <1
，构成的区域是
边长为1的正方形，又满足⎩⎪⎨
⎪⎧
0<x <1
0<y <1
x ＋y >13
构成的区域如图中阴影部
分所示．所以这两个实数的和大于13的概率为1－12×13×13＝17
18
.
答案：A
4．已知P 是△ABC 所在平面内一点，P B →＋P C →＋2P A →
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
5．(2013·宁波模拟)有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.1
3 B.2
3 C.3
4
D.14
解析：设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球
V 圆柱＝2π3×13
π×1×2＝
13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23
. 答案：B
6．(理)(2013·荆州模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1
x
(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内
的概率为( )
A.ln 2
2
B.1－ln 2
2 C.
1＋ln 2
2
D.2－ln 2
2
解析：易知阴影部分的面积S ＝12×2＋∫1121
x d x ＝1＋ln 1－ln 12＝1＋ln 2，矩形的面积
为2，故所求概率P ＝1＋ln 2
2
.
答案：C
6．(文)(2012·北京高考)设不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤2
0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随
机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.π
4
B.
π－2
2
二、填空题
7．已知实数x ，y 可以在0<x <2,0<y <2的条件下随机地取值，那么取出的数对(x ，y )满足(x －1)2
＋(y －1)2
<1的概率是________．
解析：D 为0<x <2,0<y <2表示的正方形区域，d 为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1围成的圆面． 答案：π4
8．(理)(2013·南昌模拟)在区间[－6,6]内任取一个元素x 0，抛物线x 2
＝4y 在x ＝x 0
处的切线的倾斜角为α，则α∈[π4，3π
4
]的概率为________．
解析：当切线的倾斜角α∈[π4，3π
4]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，
＋∞)，抛物线x 2
＝4y 在x ＝x 0处的切线斜率是12x 0，故只要x 0∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
即可，如果在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6]内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是812＝2
3
.
答案：23
8．(文)(2013·徐州模拟)若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9
8
的概率为________．
三、解答题
9．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，求函数f (x )＝12x 3
＋ax －b 在区间[－1,1]上有
且仅有一个零点的概率．
解：f ′(x )＝32x 2＋a ≥0，故函数f (x )＝12
x 3
＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零
点等价于f (－1)f (1)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－a －b ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋a －b ≤0，
得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ＋b ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋a －b ≥0.
又0≤a ≤1,0≤b ≤1，所以得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＋1
2≥0，0≤a ≤1，
0≤b ≤1，
画出不等式组表示的区域(如图阴影部分)． 由⎩⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋12＝0
b ＝1
得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝1.
在a －b ＋12＝0中，令a ＝0，得b ＝1
2.
所以阴影部分的面积为1－12×12×12＝7
8.
故所求概率为P ＝781＝7
8
.
10．(理)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .
(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；
(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0x ≥0，y ≥0
所表示的平面区域内的概率．
∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝3
16
.
10．(文)已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2
－4bx ＋1.
(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －8≤0x ＞0
y ＞0
内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)
上是增函数的概率．
解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a
，要使f (x )＝ax 2
－4bx
＋1在区间[1，＋∞]上为增函数，当且仅当a >0且2b
a
≤1，即2b ≤a .
若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1； 若a ＝3，则b ＝－1,1.
所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5， 故所求事件的概率为
53×5＝515＝13
.
(2)由题意知点(a ，b )构成的区域为⎩
⎨
⎧
⎭
⎪⎫
a ，
b ⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b －8≤0a >0
b >0
，
即如图所示的△OAB 内部(不包括OA 、OB 边)，又由(1)知，函数f (x )＝ax 2
－4bx ＋11在[1，＋∞)为增函数需满足2b ≤a 且a >0，
此时点(a ，b )满足的条件为
⎩
⎨⎧⎭
⎪⎫
a ，
b ⎩⎪⎨⎪
⎧
2b ≤a a >0
b >0
，表示的区域如图阴影所示，即△OAC 内部， 由⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎪⎫a ＋b －8＝0b ＝a 2得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝16
3b ＝83
，
即点C 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫163，83
故所求概率为P ＝S △OAC S △OAB ＝12
×8×
8312×8×8＝13
.。