中考数学复习“1+1+3”专项训练(7) 苏科版
苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)
苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题专项练习题汇编1．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，①求证：△ACM∽△DCN；②求证：DN+BM＝CD；（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．2．在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝；拓展研究：（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；解决问题：（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．4．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，连接BD、AE相交于点F．（1）如图1，当时，＝；（2）如图2，求证：△AFD∽△BAD；（3）如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．5．如图1，点D是△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠B，BC2＝AB•BD．（1）求证：∠ADC＝∠ACB；（2）求∠ACB的度数；（3）将图1中的△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，BD的对应边EF经过点A（如图2所示），若AC＝2，求线段CD的长．6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN ⊥DM，且MN＝DM，连接DN．（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．7．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．8．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．9．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）请判断△AEF的形状；（2）求证：P A2＝PG•PF；（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．10．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F 为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．①求证：四边形AGHF是菱形；②求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．12．如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．小明的部分证明如下：证明：∵AB∥MH，∴△DMH∽△DAB，∴．同理可得：＝，…．（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；（2）求证：；（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC 上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．13．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．（1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED．②若CE＝2，求OF的长．14．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．15．如图1，已知等边△ABC的边长为8，点D在AC边上，AD＝2，点P是AB边上的一个动点．（1）连接PC、PD．①当AP＝时，△APD∽△ACP；②若△APD与△BPC相似，求AP的长度；（2）已知点Q在线段PB上，且PQ＝2．①如图2，若△APD与△BQC相似，则∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是；②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．16．（1）如图①，点E，F分别在正方形边AB，BC上，且AF⊥DE，请直接写出AF与DE的关系．（2）如图②，点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，且AF⊥EG，求证：．（3）如图③，在（2）的条件下，连接AG，过点G作AG的垂线与CF交于点H，已知BH＝3，HG＝5，GA＝7.5，求的值．17．【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．18．在相似的复习课中，同学们遇到了一道题：已知∠C＝90°，请设计三种不同方法，将Rt△ABC分割成四个小三角形，使每个小三角形与原三角形相似．（1）甲同学设计了如图1分割方法：D是斜边AB的中点，过D分别作DE⊥AC，DF ⊥BC，请判断甲同学的做法是否正确，并说明理由．（2）乙同学设计了如图2分割方法，过点D作FD⊥AB，DE⊥BC，连结EF，易证△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置时，才能证明另两个三角形与原三角形相似，李老师通过几何画板，发现∠A＝30°时，，∠A＝45°时，，∠A＝60°时，．猜测对于任意∠A，当＝（用AC，BC或AB相关代数式表示），结论成立．请补充条件并证明．（3）在普通三角形中，显然连结三角形中位线分割成四个小三角形与原三角形相似．你能参考乙同学的分割方法找到其他分割方法吗？请做出示意图并作适当分割说明（不要求证明过程）．19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF，EF，令＝＝k．（1）①如图1，若k＝1，填空：＝；△ECF是三角形．②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若k＝，AB＝AD，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出sin∠1的值．20．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．参考答案1．（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，又∵∠MCN＝∠BDC，∴∠MCN＝∠ACD＝45°，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，∴∠MCA＝∠DCN，∴△ACM∽△DCN．②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，∴，∴DN＝AM，∴AM+BM＝AB＝CD，∴DN+BM＝CD．（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ ⊥CD于Q，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，∴∠NPC＝60°，又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠NPC＝∠BAC，又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，∵∠MCN＝∠ACP，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，∴∠MCA＝∠NCP，∴△AMC∽△PNC，∴，∵，∴CD＝CP，∴，∴AM，∴AM＝PN，∴AM+MB＝AB＝CD，∴PN+MB＝CD，∴（DN﹣DP）+MB＝CD，∴（DN﹣CD）+MB＝CD，即DN﹣CD+MB＝CD，∴DN+MB＝2CD．2．解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．3．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，故答案为：1；②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝，故答案为：；（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，∴∠B＝∠EGF，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF+∠A＝180°，∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣5）2+（x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝8，∴CN＝8，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．4．解：（1）如图，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵，∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；（3）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA+∠BAF＝∠EAC+∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，①÷②得：，∴，∵，即n＝4，∴．5．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴∠ADC＝∠ACB．（2）解：∵BC2＝AB•BD，∴．又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD．∴∠ACB＝∠CDB．∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠ADC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CDB＝∠ADC＝90°．（3）解：∵△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，∴CE＝BC，∠E＝∠B．∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠E．∴AC＝AE．∵∠ADC＝90°，∴CE⊥AB．∴CD＝DE＝CE．∴∵△ADC∽△ACB，∴．∴AD＝•AC＝1，在Rt△ADC中，．6．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠A＝∠DMN＝90°，∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，∴，∴△ABD∽△MND；②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠ABC＝∠DMN＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由①得△ABD∽△MND，∴∠ABD＝∠DNM，又∵∠MEB＝∠DEN，∴△MBE∽△DNE，∴，又∵∠MED＝∠BEN，∴△DME∽△NBE，∴∠NBE＝∠DME＝90°，∴∠CBN+∠CBD＝90°，∴∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，则∠NF A＝90°，∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，则∠ADM+∠AMD＝90°，∵AM＝4BM，AB＝6，∴AM＝AB＝，又∵DM⊥MN，∴∠DMN＝90°，∴∠AMD+∠FMN＝90°，∴∠ADM＝∠FMN，∴△ADM∽△FMN，∴，，∴MF＝6，FN＝，∴，∴，∵∠ABC＝∠AFN＝90°，∴△ABC∽△AFN，∴∠BAC＝∠F AN，∴A，C，N三点在同一条直线上．7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DFN＝∠AEF．∴△DFG≌△AEF（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，∴△HFE≌△NFE（ASA），∴FH＝FN，HE＝NE，∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，∴△HF A≌△NFD（AAS），∴AH＝DN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，∵MG2＝MN•MD，∴＝，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，∴△PFG≌△AEF（AAS），∴AF＝PG，AE＝PF，∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．8．【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，∴，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD；【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵，∴，∵，∴．9．（1）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质可知：AF＝AE，∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠CAB＝45°，由（1）知∠AFE＝45°，∴∠P AG＝∠AFP＝45°，又∵∠APG＝∠FP A，∴△APG∽△FP A，∴，∴P A2＝PG•PF；（3）解：设正方形的边长为2a，∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝180°，∴F，B，C三点共线，∵DE＝EC＝BF＝a，BC＝2a，∴CF＝3a，EF＝＝＝a，∵BG∥EC，∴BG：EC＝FB：CF＝FG：FE＝1：3，∴BG＝，AG＝，GE＝a，∵∠GAP＝∠EG＝45°，∠AGP＝∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2＝GP•GE，∴（）2＝（）×，∴a＝或a＝0（舍去），∴AG＝．10．解：（1）如图1，由题意可得：BD＝DF＝8，∵HF∥BC，∴∠HFD＝∠B，在△HFD和△GBD中，，∴△HFD≌△GBD（ASA），∴HF＝BG＝4，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵AD＝AE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴DE∥FH，∵FH＝DE＝4，∴四边形DEFH是平行四边形，∴HE和DF互相平分，∵DA＝AF，∴HE经过点A，∴HE＝2AE＝8；（2）如图2，面积不变，理由如下：连接DE，作FK⊥BC于K，在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，∴FK＝BF•sin60°＝，由（1）得，DE∥FH＝BC，∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，∴，，∴，∴，∴，∴GN＝，∴S△HGN＝＝＝，11．解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AD＝2，；（2）①由翻折不变性可知：AF＝FH，AG＝GH，∠AFG＝∠GFH，∵FH∥AC，∴∠AGF＝∠GFH，∴∠AGF＝∠AFG，∴AG＝AF，∴AG＝AF＝FH＝HG，∴四边形AGHF是菱形；②∵FH∥AC，∴△FBH∽△ABC，∴，又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BH：FH：BF＝3：4：5，∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，∴4 a+5a＝10，∴，∴FH＝，即菱形的边长为；（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：∵△CPH∽△DPE，∴，∵BH＝，∴CH＝，∴，∴．12．证明：（1）∴＝，两边都除以MH，得，；（2）如图1，作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，∴AE∥MF∥CG，∴，∵HH∥AB，∴，∴，同理可得：，由（1）得，，两边乘以，得，（3）如图2，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴MN＝DE＝DG，∴，两边都除以DG，得，．13．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BD；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝＝2，∴DE＝4，BO＝3，由①知△BOF∽△BED，∴，∴，∴OF＝．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）证明：如图①中，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∵Q是CD的中点，∴CQ＝QD＝a，∵∠C＝90°，∴BQ＝＝＝a，∵△AFB∽△BCQ，∴＝，∴＝，∴BF＝a，∴QF＝a，∴＝＝，∴BF＝QF；（3）解：如图②，建立如图平面直角坐标系，过点E作EH⊥AB于点T．∵BF＝FQ，FQ＝6，∴BF＝4，∴BQ＝BF+FQ＝4+6＝10，∴CQ＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴Q（4，2），∴直线BQ的解析式为y＝x，∵∠EAT＝∠CBQ，∠ATE＝∠BCQ＝90°，∴△ATE∽△BCQ，∴＝＝，∴＝＝，∴AT＝8，ET＝4，∴BT﹣AB﹣AT＝4﹣8，∴E（4，4﹣8），∵D（4，4），∴直线DE的解析式为：y＝x+2﹣10，由，解得，∴G（4﹣4，2﹣2），∴S△BCG＝××（2﹣2）＝20﹣4．15．解：（1）①∵等边△ABC的边长为8，∴AC＝8，∵△APD∽△ACP，∴，∵AD＝2，∴，∴AP＝4，故答案为4；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝60°，∵△APD与△BPC相似，∴△APD∽△BPC或△APD∽△BCP，Ⅰ、当△APD∽△BPC时，，∴，∴AP＝，Ⅱ、当△APD∽△BCP时，，∴，∴AP＝4，即△APD与△BPC相似时，AP的长度为或4；（2）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵△APD与△BQC相似，∴△APD∽△BQC或△APD∽△BCQ，Ⅰ、当△APD∽△BQC时，∠APD＝∠BQC，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BQC，∴∠BQC＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（180°﹣∠B﹣∠BAC）＝∠B+∠BQC﹣120°＝60°+∠PDC﹣60°﹣120°＝∠PDC﹣120°，∴∠PDC+∠ACQ＝120°；Ⅱ、当△APD∽△BCQ时，∠APD＝∠BCQ，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BCQ，∴∠BCQ＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（∠PDC﹣60°）＝120°﹣∠PDC，∴∠ACQ+∠PDC＝120°，即满足条件的∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是∠ACQ+∠PDC＝120°或∠PDC﹣∠ACQ＝120°；②线段EF的长是一个定值，为．如图，连接AE并延长至G，使AE＝GE，连接PG，QG，∵点E是DP的中点，∴DE＝PE，∵∠AED＝∠GEP，∴△AED≌△GEP（SAS），∴AE＝GE，PG＝AD＝2，∠ADE＝∠GPE，∴PG∥AD，∴∠QPG＝∠BAC＝60°，∵PQ＝2＝PG，∴△PQG为等边三角形，∴QG＝2，∠PQG＝60°＝∠B，∴QG∥BC，连接GF并延长交BC于H，∴∠FQG＝∠FCH，∵点F是CQ的中点，∴FQ＝FC，∵∠QFG＝∠CFH，∴△QFG≌△CFH（ASA），∴FG＝FH，CH＝QG＝2，连接AH，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMC＝90°，CM＝BC＝4，在Rt△AMC中，AC＝8，根据勾股定理得，AM2＝AC2﹣CM2＝82﹣42＝48，在Rt△AMH中，MH＝CM﹣CH＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝2，∵AE＝GE，FG＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AH＝，即线段EF的长是一个定值．16．解：（1）∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠DAF＝∠AED，∵∠ADE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE；（2）过点G作GM⊥BA交于点M，∵AF⊥EG，∴∠F AB+∠AEG＝90°，∵∠F AB+∠AFB＝90°，∴∠AEG＝∠AFB，∵∠GME＝∠ABF＝90°，∴△GME∽△ABF，∴＝，∵AD＝GM，∴；（3）连接AH，∵AG⊥GH，∴△AGH是直角三角形，∵HG＝5，GA＝7.5，∴AH＝，在Rt△ABH中，BH＝3，AH＝，∴AB＝，∵∠AGH＝90°，∴∠DGA+∠CGH＝90°，∵∠DGA+∠GAD＝90°，∴∠GAD＝∠CGH，∴△DAG∽△CGH，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝6，由（2）知，∴＝＝．17．解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．18．解：（1）甲的做法正确，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴，△AED∽△ACB，△BFD∽△BCA，即：AE＝CE，同理可得：BF＝CF，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，△CEF∽△CAB，同理可得：四边形DEFB是平行四边形，∴∠EFD＝∠A，∵∠AED＝∠EDF，∴△AED∽△FDE，∴四个小三角形与△ABC相似；（2）当时，△EDF∽△AFD∽△FEC，理由如下：∵△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，∴①，②，得，，∴DE＝EF，∵DE∥AF，∴四边形ADFE是平行四边形，由（1）可得，△DEF和△CEF与△ABC相似，故答案是：；（3）如图，根据和AC和AB及AB的长度找出点D的位置，然后作DE∥AC交BC于E，作EF∥AB交AC于F，连接DF即可．19．解：（1）①∵O是BC的中点，∴OB＝OC，在△BOD和△COF中，，∴△BOD≌△COF（SAS），∴CF＝BD，∠OCF＝∠B，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BD＝CE，∴CE＝CF，即：，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠OCF+∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，故答案是：1，等腰直角三角形，解：（2）如图1，仍然成立，理由如下：连接BD，由（1）得：CF＝BD，CF∥BD，∴∠CFO＝∠DBO，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∴CE＝CF，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACE+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠EAO+∠DBO＝90°，∴∠EAO+∠CFO＝90°，∴∠FCE＝90°，∴＝1，△ECF是等腰直角三角形；（3）如图2，连接BD，作AG⊥CD于G，设AD＝a，则AB＝，AC＝a，AE＝，由（2）得：∠CAE＝∠BAD，CF＝BD，∵，∴△CAE∽△BAD，∴，∠ACD＝∠ABD，∴，同理（2）得：∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EAD＝90°，∴点C、A、B、D共圆，∴∠1＝∠ACG，∵AD＝a，AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝，由S△ADE＝得，AG＝a，∴sin∠ACD＝＝＝，∴sin∠1＝．20．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故答案为：；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．。
2023年中考苏科版数学一轮复习专题练习-代数式和幂的运算
2023年中考数学一轮复习专题练习七（上）第三章 代数式 七（下）第八章幂的运算一、选择题1.下列表述中，不能表示代数式“4a”意义的是（ ）A ．4的a 倍B ．a 的4倍C ．4个a 相加D ．4个a 相乘 2.对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）A ．923)(m m = B ．623m m m =⋅ C ．532m m m =+ D ．426m m m =÷3.下列计算正确的是 （ ）A ．623a a a =⋅B ．4442b b b =⋅C ．1055x x x =+ D ．87y y y =⋅4.当a ＝－1时，代数式（a ＋1）2＋a （a －2）的值等于 （ ） A ．－4 B ．4 C ．－3 D ．35.已知a ＋b ＝m ，ab ＝－4，化简（a －2）（b －2）的结果是（ ）A ．6B ．2m －8C ．2mD ．－2m6.某企业今年3月份的产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）A ．（a －10%）（a ＋15%）万元B ．a （1－10%）（1＋15%）万元C ．（a －10%＋15%）万元D ．a （1－10%＋15%）万元 7.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）A ．669B ．670C ．671D ．6728.m 的值是（ ）A ．38B ．52C ．66D ．749.若3×9m ×27m ＝321，则m 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 10.若2a m b 2m＋3n与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式，则m 与n 的值分别是（ ）A ．1，2B ．2，1C ．1，1D ．1，3 11.如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值为 （ ）A ．6B ．8C ．－6D ．－8 二、填空题0 284 2 4 622 46 8 4412.单项式－72x 3y 2的次数是＿＿＿＿＿＿． 13.若3223mnx y x y -与 是同类项，则m ＋n ＝____________. 14.已知2a －3b 2＝5，则10－2a ＋3b 2的值是＿＿＿＿＿15.若代数式2x 2＋3x ＋5的值是7，则代数式6x 2＋9x －5的值是＿＿＿＿＿ 16.按照以下运算程序操作：若输入－2，输出＿＿＿＿＿．17.如图，是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数dc ba ，则： （1）a.c 的关系是：＿＿＿＿＿＿＿．（2）当a ＋b ＋c ＋d ＝32时，a ＝＿＿＿＿＿＿．18.对于两个非0实数x, y ，定义一种新的运算：ybx a y x +=*.若2)1(1=-*，则2)2(*-的值是______. 19.若61=-a a ，则221aa +的值为________. 20.若（x ﹣1）0＝1，则x 需要满足的条件 ．21.如果43(a )÷25(a )=64，且a<0，那么a= ．22.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．23.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形数阵，我们称之为“杨辉三角”. 从图中取一列数：1，3，6，10，…，记10,6,3,14321====a a a a ，…，那么10210114+-+a a a 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425262728…的值是________.三、解答题24.用简便方法计算下面各题：(1)4()52012×(一1.25)2013； (2)(318)12×(825)11×(一2)325.解方程：（1）15822=•x ； （2）5)7(7-=x .26.先化简，再求值：(一2a )3·(一b 3)2+(一32ab 2)3，其中a =一12，b =2．27.（1）已知235,310mn ==,求29m n -.（2）的值。
2023年中考苏科版数学一轮复习专题提优练习-反比例函数
DBAyxOC 2023年中考数学一轮复习专题练习反比例函数的应用一、选择题1. 已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图像大致可表示为（ ）A B C D 2. 在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 3. 如图，已知双曲线(0)ky k x =<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．44. 如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=（x ＞0）及y 2=（x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．﹣45. 若点A （﹣5，y 1），B （﹣3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数y=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 16. 在同一平面直角坐标系中，函数y =mx +m 与y =xm（m ≠0）的图象可能是（ ）A B C D二、填空题7. 如图，在反比例函数xy 2=（x ＞0））的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝＿＿＿＿＿＿．第7题 第8题8. 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离x （cm ），观察弹簧秤的示数y （N ）的变化情况．实验数据记录如下：x （cm ）...10 15 20 25 30... y （N ） (30)201512 10…猜测y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．9. 某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是年 度2008 2009 2010 2011 投入技术改进资金x （万元） 2.5 3 4 4.5 产品成本y （万元∕件）7.264.5410. 根据图1的程序，得到了y 与x 的函数图象，如图2，若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则下列结论：①x ＜0时，y=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ=2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°．其中正确的序号有____________.11. 以矩形OABC 的顶点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A . C 分别在x . y 轴的正y2y x =xOP 1 P 2 P 3 P 4 1234第11题第12题半轴上，双曲线y ＝（x ＞0）的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，过OC 边上一点F ，把△BCF 沿直线BF 翻折，使点C 落在矩形内部的一点C ′处，且C ′E ∥BC ，若点C ′的坐标为（2，4），则tan ∠CBF 的值为 ．12. 如图，P 1是反比例函数y ＝（k ＞0）在第一象限图象上的一点，点A 1的坐标为（2，0）．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，则A 2点的坐标为 ． 三、解答题13. 写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数：（1）体积是常数V 时，圆柱的底面积S 与高h 的关系；（2）柳树乡共有耕地面积S （单位：hm 2），该乡人均耕地面积y （单位：hm 2/人）与全乡总人口x 的关系．14. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这一函数的解析式；（2）当气体体积为1m 3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m 3）15. 如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，sin ∠AOB=54，反比例函数y=xk（k ＞0）在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ． （1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F 为BC 的中点，且△AOF 的面积S=12，求OA 的长和点C 的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P. O. A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．16. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数y＝交于点A，B，点A的坐标为（6，3），以AB为一边作△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，AC交y轴于点D，BC交x 轴于点E，点P从A出发，沿A﹣C﹣B的路线运动．（1）求点C的坐标及AC对应的函数表达式；（2）点P运动过程中，当以点O，D，P为顶点的三角形与△ADO相似时（全等除外），求点P坐标；（3）如图③，连接OP，OC，M是OC中点，连接BM，过点C作CQ⊥OP于点Q，连接BQ，在点P的整个运动过程中，的最小值是．。
中考数学复习“1+1+3”专项训练(8) 苏科版
中考数学复习“1+1+3”专项训练（8） 苏科版时间：60分钟 总分 ：40分 姓名得分1.如图，在等边ABC △中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =， 点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60 得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长为。
2.如图是一个由正方形ABCD 和半圆O 组成的封闭图形，点O 是圆心．点P 从点A 出发，沿线段AB 、弧BC 和线段CD 匀速运动，到达终点D ．运动过程中OP 扫过的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）3．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数x 1 2 3 4 价格y （元/千克）22.22.42.6（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 的函数关系式；（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y （元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x 的变化情况满足二次函数y ＝－ 1 20x 2＋bx ＋c .，请求出5月份y 与x 的函数关系式 （3）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝ 14x ＋1.2，5月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝51-x ＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？C O D4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．5.如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC 边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在,请说明理由.第5题图1.62.C3、（1）通过观察可见四月份周数y 与x 的符合一次函数关系式：y ＝0．2x ＋1．8;（2）将（1，2．8）(2，2．4)代入y ＝－ 1 20 x 2＋bx ＋c ．可得：12.82012.425b c b c ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解之：143.1b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即y ＝120-x 214-x ＋3．（1）4月份此种蔬菜利润可表示为： W 1＝y －m ＝（0．2x ＋1．8）－（14x ＋1．2），即： W 1＝－0．05x ＋0．65月份此种蔬菜利润可表示为： W 2＝y －m ＝（120-x 214-x ＋3．1）－（ 1 5 x ＋2．），即： W 2＝120-x 2920-x ＋1．1由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W ＝－0．05×1＋0．6＝0．55(元/千克)由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x ＝922b a -=-，即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W ＝120-920-＋1．1＝0．6(元/千克)4．(1)证明: ∵∠BAC ＝90° AB ＝AC ＝6,D 为BC 中点 ∴∠BAD ＝∠DAC ＝∠B ＝∠C ＝45° ····· 1分 ∴AD ＝BD ＝DC ············ 2分． ∵AE ＝CF ∴△AED ≌△CFD ······· 3分 (2)依题意有:FC ＝AE ＝x ········· 4分 ∵△AED ≌△CFD∴ADF CFD ADF AED AEDF S S S S S ∆∆∆∆+=+=四边形＝S △ADC ＝9∴9321)6(2192+-=--=-=∆∆x x x x S S S AEF AEDF EDF 四边形∴93212+-=x x y (3) 依题意有：AF ＝BE ＝x －6，AD ＝DB ，∠ABD ＝∠DAC ＝45° ∴∠DAF ＝∠DBE ＝135° ········· 8分 ∴△ADF ≌△BDE 9分∴ADF BDE S S ∆∆= ············· 10分第26题图1∴EDF EAF ADB S S S ∆∆∆=+ ·········· 11分211(6)93922x x x x =-+=-+ ∴93212+-=x x y5 答：（1）设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由题意知点A （0，-12），所以12-=c ， 又18a+c=0，32=a , ∵AB ∥CD,且AB=6, ∴抛物线的对称轴是32=-=abx . ∴4-=b .所以抛物线的解析式为124322--=x x y . （2）①9)3(6)6(22122+--=+-=-⋅⋅=t t t t t S ，()60≤≤t . ②当3=t 时，S 取最大值为9。
中考数学复习“1 1 3”专项训练(9) 苏科版【教案】
2013年九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（9）时间：60分钟总分：40分姓名得分1．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A2m B.3m C.6m D.9m2．平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为．3．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图○1○2○3中的一种）．设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）（1）在图○1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（4分）（2）在图○2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（4分）（3）在图○3中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒）- 1 -- 2 - 2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明现由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.5.如图：直角梯形AOBC 在平面直角坐标系中，AO=4,AC=5,OB=8，D 在OB 上，且OD=2,连CD 。
中考数学复习“1 1 3”专项训练(8) 苏科版【教案】
2013年九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（8）时间：60分钟 总分 ：40分 姓名 得分1.如图，在等边ABC △中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =， 点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60 得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长为 。
2.如图是一个由正方形ABCD 和半圆O 组成的封闭图形，点O 是圆心．点P 从点A 出发，沿线段AB 、弧BC 和线段CD 匀速运动，到达终点D ．运动过程中OP 扫过的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）3．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：数（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 的函数关系式；（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y （元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x的变化情况满足二次函数y ＝－ 120x 2＋bx ＋c . ，请求出5月份y 与x 的函数关系式 （3）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝ 14x ＋1.2，5月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为m ＝51-x ＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．5.如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC 边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在,请说明理由.第5题图1.62.C3、（1）通过观察可见四月份周数y 与x 的符合一次函数关系式：y ＝0．2x ＋1．8;（2）将（1，2．8）(2，2．4)代入y ＝－ 1 20 x 2＋bx ＋c ．可得：12.82012.425b c b c ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解之：143.1b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即y ＝120-x 2 14-x ＋3．（1）4月份此种蔬菜利润可表示为： W 1＝y －m ＝（0．2x ＋1．8）－（ 14 x ＋1．2），即： W 1＝－0．05x ＋0．6 5月份此种蔬菜利润可表示为： W 2＝y －m＝（120-x 2 14-x ＋3．1）－（ 1 5 x ＋2．），即： W 2＝120-x 2 920-x ＋1．1由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W ＝－0．05×1＋0．6＝0．55(元/千克)由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x ＝922b a -=-，即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W ＝120-920-＋1．1＝0．6(元/千克)4．(1)证明: ∵∠BAC ＝90° AB ＝AC ＝6,D 为BC 中点 ∴∠BAD ＝∠DAC ＝∠B ＝∠C ＝45° ····· 1分 ∴AD ＝BD ＝DC ············ 2分． ∵AE ＝CF ∴△AED ≌△CFD ······· 3分 (2)依题意有:FC ＝AE ＝x ········· 4分 ∵△AED ≌△CFD∴ADF CFD ADF AED AEDF S S S S S ∆∆∆∆+=+=四边形 ＝S △ADC ＝9∴9321)6(2192+-=--=-=∆∆x x x x S S S AEF AEDF EDF 四边形 ∴93212+-=x x y (3) 依题意有：AF ＝BE ＝x －6，AD ＝DB ，∠ABD ＝∠DAC ＝45° ∴∠DAF ＝∠DBE ＝135° ········· 8分 ∴△ADF ≌△BDE ············ 9分 ∴ADF BDES S ∆∆=··········· 10分第26题图1∴EDF EAF ADBS S S ∆∆∆=+········ 11分 211(6)93922x x x x =-+=-+ ∴93212+-=x x y5 答：（1）设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由题意知点A （0，-12），所以12-=c ， 又18a+c=0，32=a , ∵AB ∥CD,且AB=6, ∴抛物线的对称轴是32=-=abx . ∴4-=b .所以抛物线的解析式为124322--=x x y . （2）①9)3(6)6(22122+--=+-=-⋅⋅=t t t t t S ，()60≤≤t . ②当3=t 时，S 取最大值为9。
2014届苏科版中考数学复习方案(7)一元二次方程(20页)
解 析
第7课时┃归类探究
方法点析
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算
判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前
应先将方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为一般式． (2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第7课时┃归类探究
探究四、一元二次方程的应用
命题角度： 1．用一元二次方程解决增长率问题．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第7课时┃回归教材
回 归 教 材
根的判别式作用大 教材母题
k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这 时方程的根．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第7课时┃回归教材
解
析
∵方程有两个相等的实数根，
∴(－k)2－4×1×4＝0，即k2＝16.
解得k1＝4，k2＝－4.
的含未知数的因式时，不能直接约去这个因式，因为如果 约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零， 则方程会失一个根，出现漏根错误，所以应通过移项，提 取公因式的方法求解．
考点聚焦 归类探究 回归教材
第7课时┃归类探究
探究三、一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围． 例3．[2013•北京] 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第7课时┃归类探究
解 析
－b± x＝ 通过对方程的观察发现此题直接应用公式法 b2－4ac 解比较方便． 2a
苏科版数学中考复习专题练习—方程及其应用(含答案)
方程及其应用一、学习目标1．能够识别一次方程（组）、分式方程、一元二次方程，并熟练掌握各类方程（组）的解法；2．理解方程（组）的解的意义，探究含字母参数的方程的解的问题；3．会列方程（组）求解实际问题、数学问题．二、典型例题题型一、方程（组）有关的概念及解法例题1．关于x 的方程（m ＋1）x |m |＋1＋（m －3）x －1＝0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．例题2．解方程：x x －1＝4 x 2－1 ＋1借题发挥：1．用加减消元法解二元一次方程组 ⎩⎨⎧ x ＋3y ＝4 ①， 2x －y ＝1 ②，时，下列方法中无法消元．．．．的是（ ） A ． ①×2－② B ．②×(－3) －① C ． ①×(－2)＋② D ．①－②×32．用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是（ ）A ．(x － 3 4 )2＝ 17 16B ．(x － 3 4 )2＝ 1 2C ．(x － 3 2 )2＝ 13 4D ．(x － 3 2 )2＝ 11 4题型二、方程的解的意义例题3．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧ a x ＋23y ＝－103 x ＋y ＝4与⎩⎨⎧ x －y ＝2 x ＋b y ＝15 的解相同．求a 、b 的值.例题4．已知关x 的一元一次方程 1 2021 x ＋3＝2x ＋m 的解为x ＝2， 那么关于y 的一元一次方程 1 2021(y ＋1)＋3＝2 (y ＋1)＋m 的解为 ． 借题发挥：1．学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种2．甲、乙二人同时解方程组⎩⎨⎧ a x ＋y ＝3 2x －b y ＝1 ，甲看错了a ，解得⎩⎨⎧ x ＝1 y ＝－1 ；乙看错了b ，解得⎩⎨⎧ x ＝－1 y ＝3．求a 、b 的值．题型三、含字母参数的方程的解的问题例题5．若关于x 的分式方程3x x －2＝m 2－x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜－10 B ．m ≤－10C ．m ≥－10且m ≠－6D ．m ＞－10且m ≠－6例题6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．7借题发挥：关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ＜1C ．k ≤1且k ≠0D ．k ≤1题型四、用方程思想解决问题例题7．第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？。
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2013九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（7）
时间：60分钟 总分：40分 姓名 得分
1．Rt △ABC 中，AB=AC,点D 为BC 中点.∠MDN=90°，∠MDN 绕点D 旋转，
DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点.下列结论 ①（BE+CF ）=
2
2
BC ② S △AEF ≤14 S △ABC ③ S 四边形AEDF =AD ·EF 2
④ AD ≥EF ⑤ AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的
个数是 （ C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部
包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度
α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其
中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为4,则α的余弦值为 .
3．在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；
（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．
4.如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点
P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为
.
P
B
O
C
A
D
F
E
N
M
B
- 2 - ⑴当 时，求弦PA 、PB 的长度；
⑵当x 为何值时，的值最大？最大值是多少？
5． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，－3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /
C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /
C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形
ABPC 的最大面积.
1.C
2.
π
41
- 3 -
3.解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，
∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°， ∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°． （2）∵△ABC≌△A 1BC 1， ∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1， ∴
，∠AB C+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1， ∴∠ABA 1=∠CBC 1，
∴△ABA 1∽△CBC 1． ∴，
∵S △ABA1=4， ∴S △CBC1=；
（3）过点B 作BD⊥AC，D 为垂足，
∵△A BC 为锐角三角形， ∴点D 在线段AC 上， 在Rt△BCD 中，BD=BC×sin45°=
，①如图1，当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点
B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1=BP 1﹣BE=BD ﹣BE=﹣
2；…（9分）
②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1=BC+AE=2+5=7．…（10分）
4.解：⑴∵⊙O 与直线l 相切于点A ，AB 为⊙O 的直径，∴AB ⊥l . 又∵PC ⊥l ，∴AB ∥PC . ∴∠CPA =∠PAB .
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB =90°.∴∠PCA =∠APB .∴△PCA ∽△APB . ∴
. ∵PC =，AB =4，∴
.
∴在Rt △APB 中，由勾股定理得：
.
- 4 - ⑵过O 作OE ⊥PD ，垂足为E .
∵PD 是⊙O 的弦，OF ⊥PD ，∴PF =FD . 在矩形OECA 中，CE =OA =2，∴PE =ED =x －2. ∴.
∴.
∵，∴当
时，
有最大值，最大值是2.
5．答案: 解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得 ⎩⎨
⎧-==+303c c b
解得：⎩
⎨⎧-=-=32c b
所以二次函数的表达式为：322--=x x y （2）存在点P ，使四边形POP /
C 为菱形．
设P 点坐标为（x ，322--x x ），PP /
交CO 于E 若四边形POP /
C 是菱形， 则有PC ＝PO ． 连结PP /
则PE ⊥CO 于E ， ∴OE =EC =
23
∴y =2
3-． ∴322--x x =2
3
- 解得1x =
2102+，2x =2
10
2-（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为 （
2
102+，23-）
（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ， 设P （x ，322--x x ）， 易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）
.
- 5 -
FB QP OF QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆2
1
2121四边形 3)3(2
1
34212⨯+-+⨯⨯=
x x =8
75
23232
+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x
当2
3
=
x 时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-
415,23，四边形ABPC 的面积8
75
的最大值为。