椭圆的参数方程(2)
椭圆的参数方程推导
椭圆是一种平面曲线，具有两个焦点和一个长轴和一个短轴。
它的参数方程为：
$$(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$$
其中，$(h,k)$ 是椭圆的中心坐标，$a$ 是长轴半径，$b$ 是短轴半径。
椭圆的参数方程推导过程如下：
将椭圆的中心平移到坐标原点。
这样，椭圆的中心坐标就变为$(0,0)$。
将坐标系旋转一个角度，使得长轴与横轴重合。
这样，椭圆的方程就可以写成：
$$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$$
参数化椭圆的方程。
因为椭圆是一个曲线，所以可以用参数的形式来表示它。
设椭圆的极角为$\theta$，则椭圆的方程可以写成：
$$x = a \cos \theta, y = b \sin \theta$$
将这两个方程代入原方程，得到：
$$a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta = 1$$
化简得到：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$。
一般椭圆的参数方程
一般椭圆的参数方程
一般椭圆的参数方程指的是使用参数表示椭圆或椭圆圆弧的方程。
它也可以用来表示椭圆圆弧，它与椭圆不同，它不需要椭圆的长轴和短轴，而是用两个参数来确定。
通常情况下，这两个参数为椭圆的长轴2a和离心率e 。
一般椭圆的参数方程为：
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
由上式可以知道，椭圆的长轴为2a，而离心率被定义为：
e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}
这里离心率的取值范围通常为0 < e < 1，但可以高达e > 1，从而产生另一种叫做双曲线的几何形状。
也可以使用另一种椭球坐标系，其中x 和y 被定义为椭球中的两个方向上的坐标。
椭圆的参数方程在椭球坐标系中可以表示为：
\frac{x^2}{a^2\cos^2\phi} + \frac{y^2}{a^2\sin^2 \phi} = 1
其中a 是椭球的长轴，φ 是公转角。
椭圆的几何参数通常是它的长轴2a 和离心率e 来衡量，它们的取值范围与几何几何形状关联有关，它们不仅仅用于表达几何概念，也可以用于研究相关数学应用。
对于一般椭圆，还可以求出另一种参数方程：
\frac{x^2}{a^2-c^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1
其中a 是椭圆的外接圆半径，c 是椭圆的焦距（focal length）。
这是一种更实用的椭圆参数方程，常用于在多种工程或计算机应用中画出椭圆图形或椭圆圆弧。
椭圆的参数方程(2)
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
的实质是三角代换.
x a cos (为参数) y b sin
（acos ,bsin）
θ
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b tan tan ; a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率、准线方程
x cos , 4、(1)求出曲线 1 y 2 sin .
（2）若曲线上有一点P（x,y）则求出3x+4y的 取值范围. 注意焦点位置
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
Y
2
2
y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
练习
x cos 2 , ( 为参数 ), 3. 线的参数方程 曲 2 y sin .
x y 例4 求椭圆 1的参数方程。 9 4 (1)设x=3cos，为参数； (2)设y=2t，t为参数.
解：（1）把x=3cos代入椭圆方程，得到
9cos 2 y 2 1, 9 4
2
2
所以
y2 4(1 cos2 ) 4sin 2 ,
即
x2 y 2 由参数的任意性，可取 y 2sin 。所以，椭圆 1的参数方程是 9 4 x 3cos (为参数) y 2sin
椭圆双曲线参数方程公式
椭圆双曲线参数方程公式
椭圆双曲线是二元二次方程的一种类型。
它的参数方程公式描述了在平面坐标系中的形状和位置。
椭圆和双曲线的参数方程公式略有不同，下面分别介绍。
1. 椭圆的参数方程公式：
椭圆的参数方程公式可以表示为：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
其中，a和b是椭圆的两个半轴长度，t是参数，范围从0到2π。
这个参数方程公式描述了椭圆上每一点的坐标。
在坐标系中，椭圆的中心在原点，且半轴与坐标轴平行。
2. 双曲线的参数方程公式：
双曲线的参数方程公式可以表示为：
x = a sec(t)
y = b tan(t)
其中，a和b是双曲线的两个半轴长度，t是参数，范围从0到2π。
这个参数
方程公式描述了双曲线上每一点的坐标。
在坐标系中，双曲线的中心在原点，且两支曲线分别关于x轴和y轴对称。
需要注意的是，双曲线有两种形式：左右开口和上下开口。
如果双曲线的参数方程公式中y的系数为负数，则为左右开口；如果x的系数为负数，则为上下开口。
总之，椭圆和双曲线的参数方程公式是数学中的基础知识，可以用于描述其形状和位置。
学生应该掌握这些参数方程公式的基本概念和用法。
椭圆公式大全
椭圆公式大全椭圆是一种平面曲线，它的定义是平面上所有满足“从一个固定点（称为焦点）出发的两条线段之和等于一个常数（大于这个焦点的距离）”的点的集合。
以下是椭圆的一些基本公式：1.椭圆的标准方程●当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为：x²/a²+ y²/b²= 1（其中a > b > 0）。
●当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：y²/a²+ x²/b²= 1（其中a > b > 0）。
2.椭圆的焦点距离公式●焦距c满足关系：c²= a²- b²。
其中a是椭圆的长半轴，b是短半轴，c是焦点到椭圆中心的距离。
3.椭圆的离心率公式●离心率e定义为：e = c/a。
其中c是焦点到椭圆中心的距离，a是椭圆的长半轴。
离心率e的值总是在0和1之间，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆。
4.椭圆的周长公式●椭圆的周长（或称为椭圆的圆周）没有简单的精确公式，但可以用近似公式来表示，如：C ≈π√(a²+ b²)。
5.椭圆的面积公式●椭圆的面积S可以表示为：S = πab。
其中a是椭圆的长半轴，b是短半轴。
6.椭圆的参数方程●当焦点在x轴上时，参数方程为：x = a·cos(t), y = b·sin(t)，其中t是参数。
●当焦点在y轴上时，参数方程为：x = a·sin(t), y = b·cos(t)，其中t是参数。
以上为椭圆的相关公式，供参考。
2.2(2)椭圆的参数方程
2.2（2）椭圆的参数方程上海市民立中学方宇皓一、教学内容分析“椭圆的参数方程”为本章节的最后部分.主要让学生掌握椭圆的参数方程，进一步理解参数方程的概念，加深对曲线与方程的理解，在此基础上对参数方程进行简单应用，并懂得参数法的基本运用.二、教学目标设计经历体验建立椭圆的参数方程的过程，进一步理解参数方程的概念，经历用参数方程解决问题，在问题的解决过程中，形成数学抽象思维能力，体验参数的基本思想.三、教学重点及难点掌握椭圆的参数方程，形成参数思想并懂得参数法的基本运用.四、教学流程设计五、教学过程设计一、引入巩固与小结引入椭圆的参数方程的理解与认识曲线的参数方程的应用复习椭圆定义、标准方程，学生自己动手把椭圆标准方程22221x y a b+= ()0,0a b >>化成参数方程()cos ,02,0,0sin ,x a a b y b ϕϕπϕ=⎧≤<>>⎨=⎩[说明]通过学生自己动手，巩固参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化.二、学习新课1．椭圆的参数方程的概念（1）椭圆的参数方程为()cos ,02,0,0sin ,x a a b y b ϕϕπϕ=⎧≤<>>⎨=⎩. （2）椭圆的参数方程的理解与认识.①试求椭圆2211612x y +=的一个参数方程. ②设椭圆2211612x y +=上一点P ，点P 在第一象限，且OP 与x 轴正方向所成角3POX π∠=，求点P 的坐标.解 椭圆参数方程为()4cos ,0223sin ,x y ααπα=⎧⎪≤<⎨=⎪⎩，设点()4cos ,23sin P αα，由23tan ,sin 0,cos 034παα=>>可得点P 坐标为45415,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. [说明]（1）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试参数法；（2）本题容易出错：认为3πα=，直接代入椭圆参数方程得()2,3P .要注意参数α与POX ∠的关系. 2．曲线的参数方程的应用分析讲解课本例3、例4.3．例题分析（1）课本例3：通过椭圆的参数方程求得最值，使学生体验参数方程的作用与意义，逐步形成参数思想.（2）课本例4：通过椭圆的参数方程求解，解答简便，体现了运用参数方程解题的优越性.三、巩固练习课本练习2.2（2）中的第2、3题.四、课堂小结（1）椭圆的参数方程的定义，完善对椭圆的认识；（2）参数方程的基本运用；（3）增强利用参数思想解决问题的意识和能力.五、作业布置数学练习部分第9页，习题2.2，第4题.。
一般椭圆参数方程
一般椭圆参数方程
椭圆方程的一般式为：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0。
椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。
椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。
设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到f1，f2的距离和为2a（2a\ue2c）。
椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程就是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
其中a^2-c^2=b^2。
推论：pf1+pf2\uef1f2(p为椭圆上的点 f为焦点)。
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
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x cos , 4、(1)求出曲线 1 y s in . 2
的离心率、准线方程
（2）若曲线上有一点P（x,y）则求出3x+4y的 取值范围. 注意焦点位置
5、已知点A（1，0），椭圆
x
2
y
2
1
4
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
思考：P30
与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？ 由此可以提出哪些类似的问题？
x
2
y
2
1
25
16
小结
椭圆
x a
2 2
y b
2 2
（ a > b > 0的参数方程为： 1 ）
x a cos ( 为 参 数 ) y b s in
y B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
练习
x cos , ( 为 参 数 ) , 3. 线 的 参 数 方 程 曲 2 y s in .
2
则此曲线是(
A 椭圆 C 线段
)
B 椭圆的一部分 D 直线
（ a c o s , b s i n ）
θ
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同： ta n ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程
cos
2
说明：
b a
ta n ;
x a
2 2
y b
2 2
1
与三角恒等式
sin
2
1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
x a cos ( 为 参 数 ) y b s in
（ a c o s , b s i n ）
通 常 规 定 [ o , 2 )
θ
⑴ 不同： ta n ta n ;
a
例4
求椭圆
x
2
y
2
1的 参 数 方 程 。
9 4 (1)设 x=3cos， 为 参 数 ；
( 2 ) 设 y = 2 t， t 为 参 数 .
解 ： （ 1） 把 x=3cos 代 入 椭 圆 方 程 ， 得 到
9 cos
2
y
2
1,
2 2
9
4
所以
y 4 (1 c o s ) 4 s in ,
y M B A
A，B，M三点固定，设 |AM|=a，|BM|=b， M B x 。
M 0
B A
x
设 M(x,y)则 x=acos ,y=bsin , 所 以 M点 的 轨 迹 为 椭 圆 。
练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答）
x 3 cos , （ 1） y 5 s in . x 8 cos , （ 2） y 6 s in .
2
即
y 2 s in 。
x
2
由 参 数 的 任 意 性 ， 可 取 y 2 s in 。 所 以 ， 椭 圆 x 3 cos ( 为 参 数 ) y 2 s in
9
y
2
1的 参 数 方 程 是
4
椭圆参数方程
以原点为圆心，分 别以a，b为半径作圆。 过o的射线交大、小圆 于A、B，又过A、B 分别作y、x轴的平行线 相交于M(x，y) ，根据 三角函数的定义 x a cos ( 为 参 数 ) y b s in a b
y A
B
o
•
M x
思考：P27，28
类比圆的参数方程中参数的意义， 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 与圆的参数方程的参数类似吗？
为点M 的旋转角；
这是中心在原点O，焦点 圆： 在x轴上的椭圆的参数方程。
椭圆： 为 点 M 的 离 心 角 。
椭圆
x a
2 2
y b
2 2
的参数方程为： （ a>b>0） 1
2 2
x y （ 3） 4 9
2
2
1
（ 4） x
y
16
1
x 2 3 cos , 2 .曲 线 ( 为 参 数 ) 的 焦 距 是 y 3 2 s in .
。
例1、在椭圆
x
2
y
2
1
上求一点M，使M到直线
9
Y
4
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
说明：
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程
2 2
x a
2 2
y b
2 2
1
与三角恒等式
c o s s in 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
的实质是三角代换.
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
的实质是三角代换.