【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练7
状元之路届高考数学全国通用二轮复习钻石卷高频考点训练7 1【VIP专享】
时间：45 分钟 分值：75 分 一、填空题：本 大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 1.
(2013·湖北武汉模拟)如图所示，平行四边形 ABCD 中，
AEBE＝12，若△AEF 的面积等于 1
________cm2. AE AE 1
解析 ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又CD＝AB＝3，且相似三角
形的面积之比等于对应边的比的平方．
∴△CDF 的面积等于 9 cm2.
答案 9 2.
(2013·广东佛山模拟)如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试高频考点训练1 Word版含解析集合函数
2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷专题综合测试1 Word 版含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·重庆卷)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析 由已知得A ∪B ＝{1,2,3}，又集合U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}．答案 D2．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]解析 经计算A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案 D3．(2013·福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 a ＝3⇒A ⊆B ，但A ⊆B 可得a ＝2或a ＝3，故选A. 答案 A4．下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析 根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a <b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C. 答案 C5．函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A 、B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且1－1a <0，D 满足． 答案 D6．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析 a ＝log 233，b ＝log 233，∴a ＝b >1.又c ＝log 32<1， ∴a ＝b >c . 答案 B7．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析 (3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 当a ＝－32∈[－6,3]时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B 8．2013年下半年某省市拟联合公选年轻干部，其中省管干部x 名，市管干部y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4≥0，x －y ＋4≥0，x ≤4，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝7x ＋9y 的最大值是( )A ．64B ．72C ．90D ．100解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中的整点)，由目标函数z ＝7x ＋9y 的意义可知当直线z ＝7x ＋9y 过A 点时，z 取得最大值，此时z ＝7×4＋9×8＝100.选D. 答案 D9. 设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析 在区间(0,2)上，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，符合题意的只有C. 答案 C10．(理)(2013·江西卷)如图所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析 正三角形的高为1，则边长为233，当x ＝时，y＝233(0<x <π)，排除B ；由平行线分线段成比例知BE AB ＝1－cos x 21，即BE ＝233⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，故y ＝2EB ＋BC ＝23－433cos x 2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D. 答案 D10．(文)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 解析 由题意可知f ′⎝⎛⎭⎫14＝12x －12| x ＝14＝1，g ′⎝⎛⎭⎫14＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案 A 11．(理)(2013·辽宁卷)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，得[x 2f (x )]′＝e x x ，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e x x ，又f (x )＝g (x )x 2，所以f ′(x )＝xg ′(x )－2g (x )x 3＝e x －2g (x )x 3，令h (x )＝e x －2g (x )，h ′(x )＝e x －2g ′(x )＝e x －2e x x ＝e x (x －2)x ，当0<x <2时，h ′(x )<0，当x >2时，h ′(x )>0，所以h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )单调递增，f (x )既无极大值也无极小值． 答案 D11．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 解析 依题意得，函数f ′(x )、g ′(x )分别是偶函数、奇函数，当x <0时，－x >0，f ′(x )＝f ′(－x )>0，g ′(x )＝－g ′(－x )<0，选B. 答案 B12．(理)(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析 解法一：|f (x )|的图象如图，x >0时，ln(x ＋1)>0，x >0时|f (x )|≥ax ，即ln(x ＋1)>ax ，由图可得a ≤0；而x ≤0时|f (x )|≥ax ，即x 2－2x ≥ax ，得a ≥x －2恒成立得a ≥－2.综上得－2≤a ≤0，故选D.解法二：由图得a >0不成立，故a ≤0，结合图象可得，|f (x )|≥ax恒成立，只需a 大于等于x 2－2x 在x ＝0处的切线的斜率，即a ≥(2x－2)|x ＝0，所以a ≥－2，得－2≤a ≤0. 答案 D12．(文)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b ，选C. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1. ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3.因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案 －114．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0， 即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)．当x >40时，y ′>0. 当0<x <40时，y ′<0， 所以当x ＝40时，y 最小． 答案 4015．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析 设P ⎝⎛⎭⎫t ，1t ，其中t >0， PA 2＝(t －a )2＋⎝⎛⎭⎫1t －a 2 ＝t 2＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2， 即PA 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2－2， 令m ＝t ＋1t≥2， 所以PA 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2， 当PA 取得最小值时⎩⎨⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎨⎧ a >2，a 2－2＝(22)2.解得a ＝－1或a ＝10.答案－1，10 16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题： ①f (3)＝0； ②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为____ (把所有正确命题的序号都填上)． 解析 取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确． 答案 ①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值．解 (1)由条件得⎩⎨⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1，∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增．∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m ＝1±3.∵m <1，∴m ＝1－ 3.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)． 当x <2－3，或x >2＋3时，得f ′(x )>0； 当2－3<x <2＋3时，得f ′(x )<0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)，(2＋3，＋∞)； f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3， Δ＝36a 2－36，由Δ>0得，a >1或a <－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)<0，且f ′(3)>0， 解得54<a <53，因此a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，53. 19．(本小题12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a . 又f (1)＝a ＋1＝c ， ∴f (x )在点(1，c )处的切线方程为y －c ＝2a (x －1)， 即y －2ax ＋a －1＝0. 又∵g ′(x )＝3x 2＋b ，则g ′(1)＝3＋b . 又g (1)＝1＋b ＝c ，∴g (x )在点(1，c )处的切线方程为 y －(1＋b )＝(3＋b )(x －1)，即y －(3＋b )x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1.h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．20．(本小题12分)(2013·北京卷)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解 (1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2. 所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．21．(本小题12分)(理)(2013·湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ＝0.997 4) (2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是原问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z 2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．(本小题12分)(文)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．故当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 22．(本小题12分)(理)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝(1＋x )e－2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x .当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )·e －x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )，当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0, 1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x，只需证明e x ≥x ＋1. 记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0. 所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]． (2)f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数． 于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3. 所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立， 下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ， 记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0.故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos1，a ＋3]．因为当a >－3时，a ＋3>0， 所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．22．(本小题12分)(文)(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R)． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)． ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a . 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲
说明：矩阵乘法 MN 的几何意义为对向量的连续实施的两 次几何变换(先 TN 后 TM)的复合变换．
主干知识梳理
专题七 第2讲
一般地，对于平面上的任意一个点 (向量)(x，y)，若按照 对应法则 T， 总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′， y′)，
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则称 T 为一个变换，简记为 T：(x，y)→(x′，y′)或 T： x x′ → . y y′ 2．几种常见的平面变换 (1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换； (5)投影变换；(6)切变变换．
主干知识梳理
专题七 第2讲
1．矩阵乘法的定义
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b11 一般地， 我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵 b 的乘法规则 21 b11 a b 为[a11，a12] ＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵 与列矩 c d b21 x a bx ax＋by 阵 的乘法规则为 ＝ . c d y y cx＋dy
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热点分类突破
(2013· 江苏)已知矩阵 矩阵 A－1B.
解 设矩阵 A
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－1 则 0 －a 即 2c
a 的逆矩阵为 c
－1 A＝ 0
专题七 第2讲
1 0 ， B ＝ 0 2
2 ，求 6
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(1)取曲线f(x，y)＝0上的任意一点A(x，y)； (2)A(x，y)通过二阶矩阵变换得A′(x′，y′)； (3)用x表示x′，y表示y′代入f(x，y)＝0，得g(x′，y′)＝ 0； (4)g(x′，y′)＝0用x代替x′，y代替y′，得g(x，y)＝0，即 为所求．
2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练9Word版含解析
高考专题训练时间：45分钟 分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析 由x,3x ＋3, 6x ＋6，…为等比数列，得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1，而x ＝－1时3x ＋3＝0不合题意，故舍去，知此数列为首项为－3，公比为2的等比数列，第四项为(－3)×23＝－24，选A.答案 A 2．(2013·福建泉州质检)若数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 7＝4，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A.272 B ．18 C ．27D ．36解析 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 3＋a 7)2＝9×42＝18. 答案 B3．(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)已知各项为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 7a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解析 因为{a n }为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20(a 1＋a 20)2＝100，即a 1＋a 20＝10，所以a 7＋a 14＝10.又因为a 7·a 11≤⎝⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25，当且仅当a 7＝a 14时“＝”成立． 答案 A4．等比数列{a n }中，a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，则a 6a 7等于( ) A ．16 B ．±4 C ．－4D ．4解析 设等比数列{a n }的公比为q . 则a 8a 9a 4a 5＝a 4q 4·a 5q 4a 4·a 5＝q 8＝16. ∴a 6a 7a 4a 5＝a 4q 2·a 5q 2a 4·a 5＝q 4＝4，∴a 6a 7＝4. 答案 D5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1D.14(3n－1)解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1① 得：a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，a 1＝2也适合上式，∴a n ＝2·3n －1，∴a 2n ＝4·9n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(90＋91＋…＋9n －1)＝4·1－9n 1－9＝12(9n －1)．答案 B6．(2013·福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 解析 c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n －1)·a 1q m (n －1)＋1·…·a 1q m (n －1)＋m －1＝a m 1qm (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1 ＝a m 1qm 2(n －1)＋(m －1)(1＋m －1)2＝a m 1qm 2(n －1)＋m (m －1)2所以c n ＋1＝a m 1qm 2n ＋m (m －1)2，所以c n ＋1c n＝qm 2，所以数列{c n }为等比数列，公比为qm 2.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析 由a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，得q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.答案 2 2n ＋1－28．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8的值为______．解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 3＋a 4＝a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)q 2＝12q 2＝1.∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 3·q 4＋a 4q 4＝q 4(a 3＋a 4)＝4. 答案 49．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 {a n }等差数列，由S 10＝0，得a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0；由S 15＝15a 8＝25，得a 8＝53，即a 1＋7d ＝53，解得a 1＝－3，d ＝23，此时nS n ＝n 33－10n 23，令f (x )＝x 33－10x 23，令f ′(x )＝x 2－203x ＝0，得x ＝203；f (x )在x ＝203处取极小值，故检验n ＝6时，6S 6＝－48；n ＝7时7S 7＝－49.答案 －49三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．12．(本小题10分)(2013·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74.解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. (2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23， 整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n ，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74.1a1＋1a2＋…＋1a n<7 4.综上，对一切正整数n，有。
【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练21
2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练21一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析 双曲线焦点位于x 轴，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，而e ＝c a ＝52，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54，得b a ＝12，故渐近线方程为y ＝±12x ，即选C.答案 C2．若不论k 取何值，直线y ＝k (x －2)＋m 与双曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则实数m 的取值X 围是( )A ．[－3,3]B ．[－3，3]C ．[－2,2]D ．[－2，2]解析 直线过点M (2，m )，不妨设直线x ＝2与双曲线相交于A ，B 两点，且A (2，－3)，B (2，3)．结合图象可知，当且仅当点M 在线段AB 上时，不论k 取何值，直线与双曲线总有公共点，所以－3≤m ≤ 3.故选B.答案 B3．(2013·全国大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析 A 1(－2,0)，A 2(2,0)，上顶点B 1(0，3)，若P 位于B 1处，kPA 2＝－32>－1，由图象分析P 位于第一象限，设P (x 0，y 0)，则y 0＝324－x 20，因此kPA 2＝－322＋x 02－x 0，由kPA 2∈[－2，－1]得2＋x 02－x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43，从而kPA 1＝322－x 02＋x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选B. 答案 B4．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216.而y 1y 2＝－4，代入上式， 得|AB |·|CD |＝1，故选A. 答案 A5．在周长为16的△PMN 中，|MN |＝6，则PM →·PN →的取值X 围是( )A ．[7，＋∞) B．(0,16) C ．(7,16] D ．[7,16) 解析 以MN 所在直线为x 轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 由于|PN |＋|PM |＝10>|MN |＝6，故点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆(去左、右顶点)，其方程为x 225＋y 216＝1(y ≠0)，故PM →·PN →＝(3－x ，－y )·(－3－x ，－y )＝x 2＋y 2－9， 将y 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225代入整理得：PM →·PN →＝9x 225＋7， 而0≤x 225<1(由于是三角形，因此M ，N ，P 三点不共线)，故7≤PM →·PN →<16. 故选D. 答案 D6．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析 特殊情况a ＝1时，直线为y ＝x ＋b 与x 轴交于(－b,0)，与直线BC ：x ＋y ＝1交于⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2，1＋b 2，结合图形可知12×(1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＝12，解得b ＝2－1；13<2－1<12，排除C.考虑到极限位置，即a ＝0时，y ＝b 与y 轴交于(0，b )得(1－b )2＝12，即b ＝1－22，故选B.答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M 的轨迹方程为________．解析 由题意得a 2＝16，b 2＝9，c 2＝16＋9＝25. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 设M (x ，y )，有|MF 1||MF 2|＝23，即x ＋52＋y2x －52＋y 2＝23.整理即可得解． 答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝08．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )，到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析 根据抛物线的性质得1＋p2＝5，∴p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1.故a ＝14.答案 149．(2013·某某卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．解析 设直线l 的方程为x ＝ty －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1y 2＝4x得y 2－4ty ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝4，所以y Q ＝2t ，将y Q 代入x ＝ty －1得x Q ＝2t 2－1，|FQ |2＝(x Q －1)2＋y 2Q ＝4，代入得t ＝0(舍)或t ＝±1，所以直线的斜率1t为±1.答案 ±1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·某某卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解 (1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．11．(本小题10分)(2013·某某卷)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－1－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .12．(本小题10分)(2013·某某某某质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >10)的右焦点F在圆D ：(x －2)2＋y 2＝1上，直线l ：x ＝my ＋3(m ≠0)交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →⊥ON →(O 为坐标原点)，求m 的值；(3)设点N 关于x 轴的对称点为N 1(N 1与点M 不重合)，且直线N 1M 与x 轴交于点P ，试问△PMN 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设知，圆D ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心坐标是(2,0)，半径是1， 故圆D 与x 轴交于两点(3,0)，(1,0)． 所以，在椭圆中c ＝3或c ＝1，又b 2＝3， 所以，a 2＝12或a 2＝4(舍去，∵a >10)． 于是，椭圆C 的方程为x 212＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)；直线l 与椭圆C 方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 212＋y23＝1，化简并整理得(m 2＋4)y 2＋6my －3＝0， ∴y 1＋y 2＝－6m m 2＋4，y 1·y 2＝－3m 2＋4. ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋6＝24m 2＋4， x 1·x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝－3m 2m 2＋4＋－18m 2m 2＋4＋9＝36－12m2m 2＋4.∵OM →⊥ON →，∴OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，得36－12m 2－3m 2＋4＝0.∴m 2＝114，m ＝±112.(3)∵M (x 1，y 1)，N 1(x 2，－y 2)，∴直线N 1M 的方程为y －y 1－y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，则x ＝y 1x 2－x 1y 1＋y 2＋x 1＝y 1x 2＋y 2x 1y 1＋y 2＝2my 1y 2＋3y 1＋y 2y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－18mm 2＋4－6m m 2＋4＝－24m －6m ＝4；∴P (4,0)．S △PMN ＝12|FP |·|y 1－y 2|＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12·36m 2m 2＋42＋12m 2＋4＝23m 2＋1m 2＋42＝231m 2＋1＋9m 2＋1＋6≤23·112＝1. 当且仅当m 2＋1＝3，即m ＝±2时等号成立， 故△PMN 的面积存在最大值1. (或S △PMN ＝23·m 2＋1m 2＋42＝23·－3m 2＋42＋1m 2＋4. 令t ＝1m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 则S △PMN ＝23·－3t 2＋t ＝23·－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －162＋112≤1.当且仅当t ＝16∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14时等号成立，此时m 2＝2，故△PMN的面积存在最大值1.)。
【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练12
2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练12一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是．．公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析立体几何中的公理有四个，B，C，D都是，第四个为空间平行线的传递性，而A 是面面平行的性质定理，由公理推证出来的，故选A.答案 A2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B.答案 B3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( )A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α思路分析根据空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理逐个进行判断．解析对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确．对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确．对于选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项C正确．对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误．故选D.答案 D4．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析m，n为异面直线，m⊥面α，n⊥面β，则α，β一定相交，不一定垂直，但交线一定垂直于直线m，n，又l⊥m，且l⊥n，则l平行于α和β的交线，故选D.答案 D5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.答案 D6．(2013·江西卷)如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m ＋n＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析 取CD 中点G ，连接EG ，FG ，得CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，所以CD ⊥面EFG ，又AB ∥CD ，所以AB ⊥面EFG ，所以AB ⊥EF ，则EF 与正方体的左右面平行，与上下前后四个面均相交，n ＝4，而CE 在底面内与上底面平行，与四个侧面都相交，所以m ＝4，m ＋n ＝8，故选A.答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·贵州贵阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析 如图所示，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.答案 258.(2013·北京卷)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析 点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上，设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255 答案 2559.如图所示，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC . 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .答案 ②④三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10.(本小题10分)(2013·西安五校联考)如图所示，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC ＝AB ＝1，A 1C ＝A 1B ，B 1C 1∥BC ， B 1C 1＝12BC .(1)求证：平面A 1AC ⊥平面ABC ； (2)求证：AB 1∥平面A 1C 1C .证明 (1)∵四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1A ＝AB ＝AC ＝1，A 1A ⊥AB .∴A 1B ＝ 2.∵A 1C ＝A 1B ，∴A 1C ＝ 2. ∴∠A 1AC ＝90°，∴A 1A ⊥AC . ∵AB ∩AC ＝A ，∴A 1A ⊥平面ABC .又∵A 1A ⊂平面A 1AC ，∴平面A 1AC ⊥平面ABC ， (2)取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E . ∵B 1C 1∥BC .B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC .∴四边形CEB 1C 1为平行四边形．∴B 1E ∥C 1C . ∵C 1C ⊂平面A 1C 1C ，B 1E ⊄平面A 1C 1C ，∴B 1E ∥平面A 1C 1C . ∵B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE .∴四边形BB 1C 1E 为平行四边形． ∴B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E . 又∵四边形ABB 1A 1是正方形， ∴A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E .∴四边形AEC 1A 1为平行四边形，∴AE ∥A 1C 1. ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，AE ⊄平面A 1C 1C ， ∴AE ∥平面A 1C 1C .∵AE ∩B 1E ＝E ，∴平面B 1AE ∥平面A 1C 1C . ∵AB 1⊂平面B 1AE ，∴AB 1∥平面A 1C 1C . 11.(本小题10分)(2013·江苏卷)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .解 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.12．(本小题10分)(理)(2013·广东卷)如下图(左)所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE 沿DE折起，得到如下图(右)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．解(1)由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝2 2.连接OD，OE.在△OCD中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A′D＝22，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.图1(2)(传统法)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，如图1. 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ， 所以∠A ′HO 为二面角A ′－CD －B 的平面角． 结合OC ＝3，∠BCD ＝45°，得OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155.图2(向量法)以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图2所示， 则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)， 所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)，即n ＝(1，－1，3)为平面A ′CD 的一个法向量． 由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n ||OA ′→|＝33×5＝155，即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155. 12．(本小题10分)(文)(2013·北京卷)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.。
【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练2
2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练2一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·某某卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A . 答案 A2．(2013·某某卷)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg (x ＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg (xy)＝2lg x ·2lg y解析 由指数与对数的运算性质得2lg (xy)＝2(lg x ＋lg y)＝2lg x ·2lg y.答案 D3．(2013·全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c>b>aB ．b>c>aC ．a>c>bD ．a>b>c解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72.由y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 在同一坐标系中的相对位置知log 32>log 52>log 72，进而得a>b>c ，选D .答案 D4．(2013·某某卷)设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]解析 令x ＝1.5，而[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A 错．[2x]＝3,2[x]＝2，则B 错，令x ＝1.8，y ＝1.9，则[x ＋y]＝[3.7]＝3，而[x]＝1，[y]＝1，[x ＋y]>[x]＋[y]，故C 错，从而选D .答案 D5．(2013·某某东营模拟)已知函数y ＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y ＝f(x)的解析式应为( )A ．f(x)＝e x ln xB ．f(x)＝e －x ln (|x|)C ．f(x)＝e x ln (|x|)D ．f(x)＝e |x|ln (|x|)解析 由定义域是{x|x ∈R ，且x ≠0}，排除A ；由函数图象知不是偶函数，排除D ；当x →＋∞时，f (x )＝ln|x |ex →0，排除B ，选C. 答案 C6．(2013·东城模拟)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x－2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①在区间(0，＋∞)上，只有y ＝x 12 ，y ＝x 3是增函数，所以①错误；②由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n <0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确；③显然正确；④由f (x )＝3x－2x －3＝0得3x＝2x ＋3，令y 1＝3x，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．所以正确命题的个数为 3.故选C.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，f x －1，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝－12. 答案 －128．(2013·某某卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析 x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，故f (x )＝－x 2－4x .x ＝0时，f (x )＝0，所以f (x )>x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0，解得－5<x <0或x >5.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)9．(2013·石景山模拟)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ；③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是________．解析 令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确；因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝(－x )－{－x }＝f (－x )≠－f (－x )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误；f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，所以最小正周期为1，所以③正确；显然④错误；所以正确的为①③.答案 ①③三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2mx 在[2,4]上单调，求m 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f3＝5f 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝54a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2f2＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0， 即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m2≤2或2m＋22≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值X 围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．(本小题10分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解 函数的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x ＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，令f ′(x )>0，得2－x2x x －2<0，又0<x <2，则2－x 2>0，解得0<x < 2. 令f ′(x )<0，则2－x 2<0，解得2<x <2. ∴函数f (x )的单调增区间为(0，2)， 单调减区间为(2，2)． (2)∵a >0，当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝1x －12－x ＋a ＝21－xx 2－x ＋a >0.则f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.12．(本小题10分)(2013·某某某某一模)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解； (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1；(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.解 (1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，∵φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1b 1b 2<0，∴φ(b 1)<φ(b 2)，∴φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． ∴φ(b )>φ(1)＝2. ∴a ＋b2>1.(3)证明：由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.。
2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练19Word版含解析
高考专题训练时间：45分钟 分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析 由题意知直线l 与直线PQ 垂直， 所以k l ＝－1k PQ＝－14－21－3＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.答案 A2．(2013·辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a －3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若A 是直角，则b ＝a 3，B 是直角，BA →·OB →＝0，即b －a 3－1a ＝0；由图知O 不可能是直角，故C 成立．答案 C3．(2013·山东省实验中学诊断性测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3C . 3D ．1解析 圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，所以R 2－d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即AB 2＝4(R 2－d 2)＝4×(4－1)＝12，所以AB ＝12＝23，选B .答案 B4．(2013·福建龙岩质检)直线x ＋3y －23＝0与圆x 2＋y 2＝4交A ，B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －23＝0，x 2＋y 2＝4消去y 得：x 2－3x ＝0，解得x ＝0或x ＝ 3.设A(0,2)，B(3，1)，∴OA →·OB →＝2，选C . 答案 C5．(2013·安徽卷)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围是( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}解析 f (x )x ＝f (x )－0x －0，即点(x ，f(x))与(0,0)连线的斜率，f (x 1)x 1＝f (x 2)x2＝…＝f (x n )x n是指曲线上存在n 个点与原点连线斜率相等，则n 为过原点的直线与f(x)的图象交点的个数，结合图象可得n 为2,3,4，故选B .答案 B6．(2013·江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析 y ＝1－x 2化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)表示圆心在原点半径为1的圆的上半圆，直线l 过(2，0)与曲线y ＝1－x 2交于A ，B 的点，设l 的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，S △AOB ＝12|OA||OB|·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，即sin ∠AOB ＝1时，∠AOB ＝π2时，S △AOB 有最大值，此时原点O 到直线l 的距离d ＝|OA|·sin 45°＝22，即|2k|1＋k 2＝22，解得k ＝±33，由题可知l 的倾斜角为钝角，故k ＝－33，选B .答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知圆C 经过直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则圆C 的方程为________．解析 直线与坐标轴的两交点分别为A(－1,0)，B(0,2)，抛物线的焦点坐标为F(2,0)．再运用待定系数法即可求出圆C 的方程． 答案 x 2＋y 2－x －y －2＝08．(2013·江苏镇江5月模拟)已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与直线x ＋y ＝4相交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1y 2＋x 2y 1的值为________．解析 将y ＝4－x 代入x 2＋y 2＝9并整理有2x 2－8x ＋7＝0，解得x 1＝2＋22，x 2＝2－22，从而得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.故x 1y 2＋x 2y 1＝9. 答案 99．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b ≤2，a 2＋(b －1)2＝2－b 22＋(b －1)2≤2＋1.答案2＋1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0.(1)证明此两圆相切；(2)求过点P(2,3)，且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程． 解 (1)两圆的方程可分别化为C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，C 1(－2,2)，r 1＝13； C 2：(x －4)2＋(y ＋2)2＝13，C 2(4，－2)，r 2＝13. ∴圆心距|C 1C 2|＝213＝r 1＋r 2，即两圆外切． (2)设所求圆的方程为C 3：(x －a)2＋(y －b)2＝r 23. ∵T(1,0)在C 1，C 2，C 3上，∴圆心(a ，b)在直线lC 1C 2：y ＝－23(x －1)上． ∴b ＝－23(a －1)．①又由|C 3P|＝|C 3T|，得(a －2)2＋(b －3)2＝(a －1)2＋b 2.② 由方程①②，解得a ＝－4，b ＝103， ∴r 23＝(a －1)2＋b 2＝3259，故所求圆的方程为(x ＋4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1032＝3259.11．(本小题10分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P 满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM|的最小值．解 设P 坐标为(x ，y)，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.12．(本小题10分)(2013·江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 当5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练7一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知sin2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴cos α>0>sin α且cos α>|sin α|，则sin α＋cos α＝1＋sin2α＝1－2425＝15.答案 B2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α等于( ) A.429B ．－429C.79D ．－79解析 据已知可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin2α＝ －cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－79.答案 D3．(2013·重庆卷)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3D ．22－1解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin 30°＋10°cos40°＝32cos10°－32sin10°cos40°＝3sin 60°－10°cos40°＝3sin50°cos40°＝ 3.答案 C4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D. π3解析 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∵sin B ≠0， ∴2sin A ＝3，sin A ＝32，又A 是锐角，∴A ＝π3. 答案 D5．(2013·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析 b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin 2A ＝sin A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2.答案 B6．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32C.23D ．3 2解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12×AB ×BC sin B ＝x 1－cos 2B ①，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x ②，将②代入①得，S△ABC＝x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝128－x 2－12216，由三角形的三边关系得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，又θ为第二象限角，得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以sin θ＋cos θ＝－105. 答案 －1058．(2013·福建卷)如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________． 解析 sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BAD ＋π2＝cos ∠BAD ＝223，由余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD 代入数据得BD ＝ 3.答案39．在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船航行速度是________千米/小时．解析 如图所示，设海岛的底部为点D . 在Rt △ABD 中，BD ＝1tan30°＝3；在Rt △ACD 中，CD ＝1tan60°＝33.故在Rt △BCD 中，BC ＝3＋13＝303. 所以轮船的速度为30316＝230(千米/小时)．答案 230三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·广东卷)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ.因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45. 所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725. 11．(本小题10分)(2013·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.12．(本小题10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3<C <π2且ba －b ＝sin2Csin A －2sin2C.(1)判断△ABC 的形状；(2)若|BA →＋BC →|＝2，求BA →·BC →的取值范围． 解 (1)由ba －b ＝sin2C sin A －sin2C， 知a －b b ＝sin A －sin2Csin2C， ∴a b ＝sin A sin2C. 由正弦定理得sin B ＝sin2C . 所以B ＝2C 或B ＋2C ＝π.若B ＝2C ，由π3<C <π2知2π3<2C <π，即2π3<B <π. ∴B ＋C >π与三角形内角和为π矛盾，故B ＝2C 舍去． ∴B ＋2C ＝π.∴A ＝π－(B ＋C )＝π－(π－2C ＋C )＝C . 故△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知a ＝c ， ∵|BA →＋BC →|＝2， ∴|BA →＋BC →|2＝4. ∴a 2＋c 2＋2ac cos B ＝4. ∴cos B ＝4－a 2－c 22ac ＝2－a2a2.∴BA →·BC →＝ac cos B ＝2－a 2. ∵cos B ＝cos(π－2C )＝－cos2C ， 由π3<C <π2知2π3<2C <π， ∴－1<cos2C <－12，∴12<cos B <1.∴12<2－a 2a 2<1，∴1<a 2<43. ∴23<2－a 2<1，∴BA →·BC →的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.。