2019年七年级数学上册第二章有理数有理数中的数形结合思想素材 (新版)青岛版

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七年级上册第二章有理数知识点汇总

第二章有理数及其运算一、有理数的意义1.有理数的分类知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 5.2也可写作+3，+5.2；零既不是正数，也不是负数。

或2.数轴知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数3. 相反数知识点:只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。

4. 绝对值知识点：数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a＞0，则∣a∣＝a. 若a＝0，则∣a∣＝0. 若a＜0，则∣a∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a与b之间的距离为：∣a－b∣。

二、有理数的运算1. 有理数的加法知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。

加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：a+b+c=a+（b+c）多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。

苏教版七年级数学上册第2章《有理数》考点归纳(含答案)

第2章《有理数》考点归纳知识梳理重难点分类解析考点1相反意义的量【考点解读】中考中对于相反意义的量的考查主要涉及用正负数表示相反意义的量，解此类题的关键是要深刻理解正数、负数的意义.例1一个物体做左右方向的运动，规定向右运动4m记作+4m，那么向左运动4m记作()A.－4mB.4mC.8mD.－8m分析:若向右运动4 m记作+4 m，则向左运动4 m记作－4 m.答案:A【规律·技法】解题时要抓住以下几点:①记住区分相反意义的量;②记住相反意义的量的表示方法.【反馈练习】1.某财务科为保密起见采取新的记账方式，以5万元为1个记数单位，并记100万元为0，少于100万元记为负，多于100万元记为正.例如:95万元记为－1,105万元记为1.依此类推，75万元应记为( )A. －3B. －4C. －5D. －6 点拨:每多5万元记为+1，每少5万元记为－1.2. (2017·苏州期末)一个物体做左右方向的运动，规定向右运动5m 记作+5m ，那么向左运动5m 记作( )A. －5mB.5mC.10mD. －10 m 点拨:若向右为正，则向左为负. 考点2 数轴【考点解读】中考中对于数轴的考查主要涉及数轴的认识以及数形结合的思想.用数轴上的点来表示有理数，这是运用了数形结合的思想.利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系.例2 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为,,,M P N Q ，若点,M N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是( )A.点MB.点NC.点ND.点Q 分析:因为点,M N 表示的有理数互为相反数，所以原点的位置在线段MN 的中点，所以表示绝对值最小的数的点是点P . 答案:C【规律·技法】解答与数轴有关的问题时要抓住以下几点:①记住数轴上的点与有理数的对应关系;②相反数、点与点之间的距离在数轴上的表示方法;③数轴常常与相反数、距离、绝对值结合考查. 【反馈练习】3.有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是( )A. 0a b +<B. 0a b -<C. 0ab >D. 0a b -> 点拨:先判断,a b 的正负和大小关系.4. (2017·苏州期末)有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是( )A. 0ab >B. b a <C. 0b a <<D. 0a b +>点拨:先判断,a b的正负和大小关系.考点3绝对值、相反数、倒数【考点解读】中考中对于绝对值、相反数、倒数的考查主要涉及概念的理解，因此掌握基本概念是解题关键.例3(1)(2017·盐城)－2的绝对值是( )A. 2B. －2C. 12D.12-(2)－3的相反数是，－3的绝对值是.(3) 23的倒数是.分析:根据相反数、绝对值、倒数的定义解答.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，0的相反数是0;正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0;乘积为1的两个数互为倒数.答案:(1) A (2) 3 3 (3) 3 2【规律·技法】(1)正确理解相反数的概念是关健;(2)数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定:①当a是正数时，a的绝对值是它本身;②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数－a;③当a是零时，a的绝对值是零;(3)应熟练掌握倒数的定义，需要注意的是负数的倒数还是负数，正数的倒数还是正数，0没有倒数.【反馈练习】5.23-的相反数是( )A.23- B.23C.32- D.32点拨:符号相反、绝对值相同的两个数互为相反数.6.若a与1互为相反数，则1a+等于( )A.－1B. 0C.1D.2点拨:互为相反数的两个数的和为0.考点4有理数大小的比较【考点解读】比较有理数大小的基本方法:①绝对值法:两个正数，绝对值大的正数大;两个负数，绝对值大的负数小;②数轴法:在数轴上表示的两个有理数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.例4 (1) (2017·扬州)下列各数中，比－2小的数是()A.－3B.－1C. 0D. 1(2)下列各式中，计算结果最大的是( )A. 25 X 132－152B. 16 X 172－182C. 9 X 212－132D. 4X312－122分析:(1)比－2小的数是负数，且绝对值大于2，故只有选项A符合.(2) 25X132－152=(5X13)2－152=4 000 ;16X172－182=(4X17)2－182=4 300;9X212－132=(3X21)2－132=3 800;4X312－122=(2X31)2－122=3700.因为4300>4000>3800>3700,所以计算结果最大的式子是16X172－182. 答案:(1) A (2) B【规律·技法】解答有关有理数大小的比较问题时要抓住以下几点:①比较有理数的大小时，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小;②比较两个有理数的大小有以下五种情况:正数与正数、正数与负数、0与正数、0与负数、负数与负数的比较. 【反馈练习】7. (2017·扬州期末)在－2,0,1,－4这四个数中，最小的数是()A. －4B. 0C. 1D. －2 点拨:负数小于0，正数大于0;两个负数，绝对值大的负数小.8. (2017·泰州期中)在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”号连接各数: 2112.5,1,(2),(1),222----+--.点拨:先把需要化简计算的式子计算出结果，再来画数轴. 考点5 有理数的混合运算【考点解读】解答有关有理数运算的问题时要抓住以下几点:(1)符号的判断;(2)运算顺序的选择;(3)运算律的使用.有理数的运算在中考中一般不单独命题，常常与以后学习的实数结合命题考查.例5 (1)计算: 42201721(3)2(1)-÷---⨯-;(2)计算: 1133()33-⨯÷⨯-; (3)若2a ba b a+*=，则(42)(1)**-= . 分析:(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减;(2)先将除法运算转化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算;(3)根据新定义计算. 4224224+⨯*==,22(1)(42)(1)2(1)02+⨯-**-=*-==. 解答:(1) 42201721(3)2(1)1682220-÷---⨯-=-÷+=-+=. (2) 111111()33()3()333339-⨯÷⨯-=-⨯⨯⨯-=. (3) 0【规律·技法】有理数混合运算:先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先算括号内的. 【反馈练习】9. (2017·徐州期末)计算: 2018142(3)-+-+⨯-.点拨:注意运算顺序和符号. 10.计算: 517()(24)8612--+⨯-.点拨:运用乘法分配律计算.考点6 科学记数法【考点解读】解答有关科学记数法的问题时要抓住以下几点:①对于大于10的数，在科学记数法的表示形式10na ⨯中，110a ≤<,n 为正整数;②小数点移动的位数与指数的关系;③理解近似数的意义. 例6 据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42 X 10n ，则n 的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 分析:对于大于10的数，科学记数法的表示形式为10na ⨯，其中110a ≤<,n 为正整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.确定10na ⨯(110a ≤<,n 为整数)中n 的值时，由于9 420 000是七位数，所以可以确定n =7-1=6. 答案:C【规律·技法】用科学记数法表示大于10的数时，确定a 与n 的值是关健.其中110a ≤<,n等于原数的整数位数减1. 【反馈练习】11. (2017·庐州)“五一”期间，某市共接待海内外游客约567 000人次，将567 000用科学记数法表示为( )A. 567 X 103B. 56.7 X 104C. 5.67 X 105D. 0.567 X 106 点拨: 110a ≤<.12. (2017·宁波)2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮— “泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为( )A. 0.45 X 106吨B. 4.5 X 105吨C. 45 X 104吨D. 4.5 X 1 04吨点拨:单位要统一，万吨化为吨. 易错题辨析例1 给出下列各数: ①0.363 663 666 3…(每两个3之间依次多一个6);②2.121 121 112;③355113;④3π-.其中为无理数的是 .(填序号) 错误解答:①③④ 错因分析:把355113化成小数后，误以为是无限不循环小数，其实是循环小数. 正确解答:①④易错辨析:识别无理数时，要抓住其“无限不循环”的定义.本题若忽视无理数是无限小数，就会误认为有限小数2.121 121 112是无理数;若在把分数355113化成小数时，除了几位后，没有继续除下去，会错误的判断它不是循环小数，错误地认为它是无理数.实质上，所有的分数都是有理数，不是无理数. 易错点2 忽视分类讨论例2 在数轴上，点A 表示的数是－3，那么与点A 相距5个单位长度的点表示的数是多少? 它与132-相比较，大小关系如何? 错误解答:与点A 相距5个单位长度的点表不的数是－3+5＝2，它与132-的大小关系为1322-<. 错因分析:考虑问题不全面.正确解答:如图，在数轴上，与点A 相距5个单位长度的点有,B C 两个.由点,B C 在数轴上的位置可知它们所表示的数分别为－8,2.在数轴上找到表示132-的点，观察点,B C 与表示132-的点在数轴上的位置，容易发现它们与132-之间的大小关系为13132,822>--<-. 易错辨析:一般地，在数轴上与某点相距一定单位长度的点有两个，分别位于该点的左、右两侧，不要遗漏.易错点3 乘法的分配律对除法不适用例3 计算：11(15)()53-÷- 错误解答:原式＝11(15)(15)75453053-÷--÷=-+=-.错因分析:除法没有分配律. 正确解答:原式＝215225(15)()(15)()1522-÷-=-⨯-=. 易错辨析:有的同学会错误地认为除法也有分配律，其实除法没有分配律.易错点4 幂的底数识别不清例4 计算:(1) 4(2)-= , 42-= ; (2) 32()3= , 323= .错误解答:(1)－16 －16 (2)827 827错因分析:负数的偶次幂的运算结果是正数，计算分数的幂时，注意分子、分母应分别乘方.在323中，注意是2的3次方，而不是23的3次方.(1) 4(2)-表示4个－2相乘，即它是底数为－2，指数为4的幂，所以4(2)-=16;42-表示42的相反数，即－2不是底数，所以42-=－16.(2)因为32()3表示3个23相乘，即它是底数为23，指数为3的幂，所以322228()333327=⨯⨯=.因为323表示3个2相乘的积与3的商，所以23不是底数，所以322228333⨯⨯==. 正确解答:(1) 16 －16 (2)827 83易错辨析:在进行幂的运算时，首先要区分底数和指数，然后根据幂的意义计算，得出正确结果.易错点5 混合运算顺序不清例5 计算: 23272(2)()83-÷⨯-. 错误解答:原式=2784()4(1)4827÷⨯-=÷-=-. 错因分析:易知328()327-=-，勿将“278”与“827-”结合运算，导致出错.实际上，本题中只有乘、除运算，故应从左往右按步计算. 正确解答:原式＝278882564()4()8272727729÷⨯-=⨯⨯-=-. 易错辨析:乘、除是同级运算，应遵循从左往右的计算顺序.【反馈练习】1. (2016·宜昌)给出下列各数:1.414,1.732 050 8…，13-，0，其中为无理数的是( ) A. 1.414 B. 1.732 050 8… C . 13- D. 0 点拨:无理数即为无限不循环小数.2.已知数轴上有,A B 两点，点A 与原点的距离为2, ,A B 两点间的距离为1，则满足条件的点B 所表示的数为 . 点拨:注意分类讨论.3.计算:(1) 23(2)(1)4-⨯-; (2) 22439-÷;(3) 2225(3)[()](6)439-⨯-+---÷; (4) 2017231(1)[2(1)(3)]6--⨯⨯---;点拨:注意有理数混合运算的顺序. 4.阅读下面的材料，并完成下列问题.计算: 12112()()3031065-÷-+-. 解法一:原式=12111112()()()()3033010306305-÷--÷+-÷-÷-=1111203512-+-+=16.解法二:原式=12112()[()()]3036105-÷+-+=151()()3062-÷-=1330-⨯ 110-.解法三:原式的倒数=21121()()3106530-+-÷- =2112()(30)31065-+-⨯- =203512-+-+ =10-.综上所述，原式＝110-(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，解法是错误的; (2)在正确的解法中，解法最简便; (3)利用最简便的解法计算: 11322()()4261437-÷-+-.点拨:可以转化为先求原式的倒数. 探究与应用探究1 复杂的有理数混合运算例1 计算:(1) 86[47(18.751)2]0.461525--÷⨯÷; (2) 32017201723(0.2)(50)(1)()35-⨯-+-⨯-. 点拨:按照有理数的运算法则进行计算即可. 解答:(1)原式=31556100[47(181)]482546--⨯⨯⨯=751556100[47()]482546--⨯⨯=13556100(47)82546-⨯⨯=4610020546⨯=(2)原式=20172017153()(50)()()12535-⨯-+-⨯-=2017253[()()]535+-⨯-=27155+=.规律·提示在有理数的混合运算过程中，要善于观察与思考，在正常运算较繁琐时，要根据算式的特点，灵活选择正确而简洁的解法(如运算律的运用等).对于复杂运算，更要保持不急不躁的态度，切不可跳步，欲速则不达. 【举一反三】 1.计算:(1) 222353()34()8()3532-⨯-÷-⨯+⨯-;(2) 321116(0.5)[2(3)]0.52338---÷⨯-----.探究2 错位相减法巧算例2 求23201712222S =++++⋅⋅⋅+的值.点拨:观察和式，不难发现:后面一个数是它前面一个数的2倍.为此，在和式两边同乘一个常数2后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计算简便. 解答:因为23201712222S =++++⋅⋅⋅+①, 所以2342018222222S =++++⋅⋅⋅+②,所以②－①，得201821S =-.规律·提示:当一和式乘一个恰当的常数后，得到的新和式与原和式中绝大部分数相同时，应用错位相减法可以简化计算. 【举一反三】2.求23201613333++++⋅⋅⋅+的值.例3 求232017111112222S =++++⋅⋅⋅+的值. 点拨:观察和式，不难发现:后面一个数是它前面一个数的12.那么类似例2，在和式两边同乘一个常数12后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计算简便. 解答:因为232017111112222S =++++⋅⋅⋅+①,所以2342018111111222222S =++++⋅⋅⋅+②.①－②，得201811122S =-,所以2017122S =-.规律·提示应用错位相减法时，一定要选择一个合适的常数. 【举一反三】 3.计算: 11112481024+++⋅⋅⋅+.探究3 拆项分解法巧算例4 计算: 111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+. 点拨:因为(1)1232n n n ++++⋅⋅⋅+=,所以11222(1)123(1)12n n n n n n n ===-++++⋅⋅⋅+++，所以 111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+可转化为 222222123341001001+-+-+⋅⋅⋅+-+.进一步通过加法的结合律计算，得22121001+-+，至此问题解决. 解答:原式＝22222229912123341001001101101+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+. 规律·提示(1)12342n n n +++++⋅⋅⋅+=. 这是初中数学计算中的一条重要公式. 再进一步拆分，得1111111,()(1)1()n n n n n n m m n n m=-=-++++.也可以类推三个及三个以上的数的积的拆项. 【举一反三】 4.求111113355720152017+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值.探究4 整体换元法巧算例5 计算: 7737121738(172711)(1385)271739172739+-÷+-. 点拨: 73472437761716,2726,1110272717173939===，通过观察可以发现，这3个数分别是第2个括号内3个数的2倍.解答:令1217381385172739A =+-. 因为77373424761727111626102271739271739A +-=+-=, 所以原式=22A A ÷=. 规律·提示把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法.换元法是常用的解题方法，它能化复杂为简单，明确题目的结构特征，丰富解题思路.【举一反三】5.已知33331231514400+++⋅⋅⋅+=，求333324630+++⋅⋅⋅+的值.探究5 配对、分组巧算例6 计算:11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++. 点拨:观察每个括号内式子的特点，依特征求解;也可用一个符号表示所求的式子，将式子进行整体变形，寻找内在关系，简化运算.解答:解法一:原式=(0.529.5)590.51 1.5229.58852+⨯++++⋅⋅⋅+==. 解法二:原式=0.51 1.5229.5++++⋅⋅⋅+=(0.51 1.5229.5)(1229)++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ (0.529.5)30(129)2988522+⨯+⨯=+= 解法三:设原式之和为S ，对每个括号内的各项都交换位置再相加，显然其和不变，即121321432159585721()()()()23344455556060606060S =++++++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++. 将原序和倒序相加，其相应两项之和为1，则有 (159)59212345930592S +⨯=++++⋅⋅⋅+==⨯, 所以1559885S =⨯=.规律·提示计算时需要观察规律，本例三种解法分别从三个角度着眼:解法一是配成59个“对子”;解法二是分组计算; 解法三是倒序与正序的综合运用.上述三种解法在计算中的运用都十分广泛.【举一反三】6.计算:(1234)(5678)(9101112)(2013201420152016)+--++--++--+⋅⋅⋅++--.参考答知识梳理负数分数不循环正方向单位长度距离本身相反数0 绝对值1 异号相反数正负不等于0 倒数相同幂正整数重难点分类解析【反馈练习】1.C2.A3.B4.C5.B6.B7.A8. 2112 2.5(1)1(2)22-<--<+-<<--9.原式=―310.原式=511.C 12.B易错题辨析1.B2. 3或1或―1或―33. (1) 原式=1;(2) 原式=38-;(3) 原式=―20;(4) 原式= 356-;4.(1)一 (2) 三(3)原式＝114-探究与应用【举一反三】1.(1) 原式＝7279;(2) 原式＝―3.895.2.23201613333++++⋅⋅⋅+= 201713-12（）. 3.11112481024+++⋅⋅⋅+= 102310244.111113355720152017+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= 10082017. 5. 333324630+++⋅⋅⋅+=115200.6. 原式=―2016。

七年级数学上册 1.2 有理数课标解读素材 (新版)新人教版

有理数课标解读1.有理数的意义是在回顾先前学习的正整数、负整数、零，正分数、负分数等相关内容后给出的，据此可以给出有理数两种方法的分类，即整数和分数的统称，或正有理数、负有理数和零。

为了更好地研究有理数的相关概念和性质，需要介绍数轴，学习“用数轴上的点表示有理数”，从而建立了(有理)数与形(数轴—直线)的对应关系，也为研究有理数大小的比较方法、相反数和绝对值提供了直观手段。

2.对有理数概念的深化理解，教材是借助于数轴来完成的。

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。

《课标》要求“能用数轴上的点表示有理数“，即有理数可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点并不都表示有理数。

数轴上的点也可以表示无限不循环小数(即无理数)。

限于知识的局限(实数与无理数的概念将在七下学习)，这里只要求学生理解“有理数可以用数轴上的点来表示”即可，不必向学生作过多的说明。

3.借助于数轴，我们可以直观地得到有理数大小的比较方法，即“正数大于负数与零；零大于负数；两个负数，绝对值大的反而小”。

对两个负数大小的比较方法，需要借助于对数轴表示的数的直观介绍与感知，让学生明白，越是向数轴正方向上移动的点表示的数越大，越是向数轴负方向上移动的点表示的数越小。

4.对相反数、绝对值的概念与性质，既是一种规(约)定，又可以借助于数轴理解一个数的相反数、绝对值的意义。

两个数只有符号不同(言下之意是其他完全相同)，则它们互为相反数，并规定：0的相反数是0。

人教版七上教材还用字母表示了数与互为相反数，并通过反问“一定是负数吗？”进一步揭示了“字母可能是负数，也可能是正数或0”。

在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

字母表示一个数的相反数与绝对值，学生初始理解可能困难，需要教师仔细地分析和讲解对一个数的绝对值，教材是利用其几何意义(即数轴上表示数离开原点的距离)来定义的。

正因为表示数离开原点的距离，因此就不可能是负数，即或，这样就容易得到下面的结论：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

七年级数学上册第二章有理数有理数中的“三大家族”大揭密素材 (新版)青岛版

有理数中的“三大家族〞大揭密在有理数的“王国〞里，有三个相互依赖、相互联系的家族-------“数轴〞、“相反数〞和“绝对值〞，它们号称有理数中的“三个重锤〞，它们也是学好七年级数学的起点，下面把它们的各自特征介绍给同学们．一、一线串珠的数轴数轴是一条红线，是“形〞通向“数〞的桥梁，是数形结合的根底，抽象的数与具体的形结合在一起，更显示出数学的神奇魅力，数轴把数与直线的点生动、形象地联系在一起，为人们提供了一种直观的数学思想方法，它的主要内容如下：数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可．有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数．在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．二、形影不离的相反数只有符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的．在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等．〔1〕通常用a 与-a 表示一对相反数．〔2〕假设a 与b 互为相反数，那么a b +=0．〔3〕互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a ．〔4〕假设a b ，那么a b =，或a b =-〔a 与b 互为相反数〕．三、永不言负的绝对值由绝对值的几何意义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离．因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即a ≥0．从绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数．〔1〕假设aa ，那么a ≥0；〔2〕假设aa ，那么a ≤0；〔3〕a ≥0，绝对值的非负性；〔4〕互为相反数的绝对值相等，即a a ；〔5〕假设两个数绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数；即：||||a b a b a b ===-，则，或〔6〕绝对值最小的数是0．注意几个问题：〔1〕-a 不一定表示负数，当a <0时，-a 表示a 的相反数，此时-a 是一个正数．〔2〕由定义可知一个数的绝对值是点到点的距离，这说明了有理数的绝对值是非负数，即对任意有理数a 总有a ≥0．〔3〕绝对值等于0的数一定是0，绝对值为正数m 的数一共有两个，它们是m ，-m ，是互为相反数的两个数，绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数，即假设m n ，那么m n =或m n =-．两个负数，绝对值大的反而小．这说明比较两个负数的大小，分两步进行：〔1〕分别求出这两个负数的绝对值并比较其大小；〔2〕根据“两个负数绝对值大的反而小〞得出结论．四、典型例题例1. 如下列图，在数轴上有三个点A 、B 、C ，请答复：〔1〕将B 点向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？〔2〕将A 点向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？〔3〕将C 点向左移动6个单位后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？〔4〕怎样移动A 、B 、C 中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？解：〔1〕因为将B 点向左移动3个单位后，点B 表示－5，而点A 表示－4，点C 表示3，因此点B 表示的数最小，是－5；〔2〕将A 点向右移动4个单位后，点A 表示0，点B 表示－2，点C 表示3，因此点B 表示的数最小，是－2；〔3〕将C 点向左移动6个单位后，C 点表示数－3，A 点表示数－4，B 点表示数－2，所以B 点表示的数比C 点表示的数大1．〔4〕使三个点表示的数相同共有三种移动的方法第一种：把点A 向右移动2个单位，点C 向左移动5个单位； A B C-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4第二种：把B点向左移动2个单位，C点向左移动7个单位；第三种：把A点向右移动7个单位，B点向右移动5个单位．例2. 判断以下语句是否正确？正确的打“√〞，错误的打“×〞，并说明理由．〔1〕符号相反的两个数叫做互为相反数〔〕〔2〕互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数〔〕〔3〕相反数和我们以前学过的倒数是一样的〔〕分析：本例要求准确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数称互为相反数．其中“只有〞指的是除了符号不同以外完全相同．解：〔1〕〔×〕．符号相反的两个数不一定互为相反数，如“－3”和“+5”虽然符号相反，但它们不是互为相反数．〔2〕〔√〕因为0的相反数是0，但0既不是正数，也不是负数．〔3〕〔×〕相反数和我们以前学过的倒数是两种绝然不同的意义，互为相反数对符号提出了要求，但倒数并没有此限定．说明：对类似于本例的说理判断题，应注意特殊的数0，注意0的相反数是本身．例3.求绝对值小于5的非负整数？分析：从数轴上看，绝对值等于5的数有±5，绝对值小于5就是到原点的距离小于5，这样的整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，而非负整数有0，1，2，3，4．解：绝对值小于5的非负整数是0，1，2，3，4．说明：理解绝对值的几何意义要注意，求绝对值符合某些条件的数时，不要漏掉0或负数．。

七年级数学上册第二章有理数的概念讲义(含解析)

七年级数学上册第二章有理数的概念讲义考试要求：重难点：1．理解正负数的意义；2．理解数轴．相反数．绝对值的概念；3．着重理解绝对值的几何意义，并能利用其解决相关问题； 4．能利用相关知识解决实际问题．例题精讲：模块一正负数的概念正数：像3．1．0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-． 3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.。

负数都小于0.0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数.用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【例1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（）A．150 B．-150 C．150米D．-150米【难度】1星【解析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】“正”和“负”相对，所以高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．故选D．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【例2】飞机上升了-80米，实际上是（）A．上升80米B．下降-80米C．先上升80米，再下降80米D．下降80米【难度】1星【解析】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反，即下降．【答案】负号表示与上升意义相反，即下降，则飞机上升了-80米，实际上是下降80米．故选D．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【例3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】1星【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【答案】①0不带“-”号，但是它不是正数．②-0带负号，但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义，并且注意0这个特殊的数字，既不是正数也不是负数．【例4】生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【难度】1星【解析】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．【答案】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”，低于20℃记作负，由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【例5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，-6，-2，+4，-5，+2问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？答：他们____（填：有或没有）回到出发点，在A地的正______南方向，距A地____千米．②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油_______40.5升.【难度】2星【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【答案】①根据题意可得：南记为正，北记为负，则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米．②从A地出发，汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．模块二有理数的分类有理数: 整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.【例6】下列各数中：+3．-2.1．．9．．-（-8）．0．-|+3|，负有理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【难度】1星【解析】把各式化简得：3，-2.1，- ，9，1.4，8，0，-3．【答案】-2.1为负数有限小数，- 为负数无限循环小数，-是负整数，所以是负有理数．共3个．【点评】判断一个数是有理数还是无理数，要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数【例7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【难度】1星【解析】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案，注意：2002年国际数学协会规定，零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．【答案】①0是整数，故本选项正确；②0是自然数，故本选项正确；③能被2整除的数是偶数，0可以，故本选项正确；④非负数包括正数和0，故本选项正确．所以①②③④都正确，共4个．故选A．【点评】本题主要对0的特殊性的考查，熟练掌握是解题的关键．【例8】下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【难度】1星【解析】根据有理数的分类，采用排除法判断．【答案】0是非负有理数，但不是正有理数，A错误；零不是没有，它是整数，也是有理数，B错误；0也是整数，C错误；整数和分数统称为有理数，这是定义，D正确．故选D．【点评】本题主要考查有理数学习中概念的理解，必须熟练掌握．【例9】既是正数，又是分数的数是（）A ．+2B ．0C ．3.5D ．312- 【难度】1星【解析】按照有理数的分类进行选择即可．【答案】A ．+2虽然是正数，但不是分数，不合题意，故A 错误；B ．0既不是正数，也不是分数，故B 错误；C ．符合题意，故C 正确；D ．312-虽然是分数，但不是正数，故D 错误．故选C ．【点评】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【例10】最小的正整数是 _____1，最大的负整数是 _______. 【难度】1星【解析】根据有理数的相关知识进行解答．【答案】最小的正整数是1，最大的负整数是-1．【点评】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数，但0既不是正数也不是负数．【巩固】有理数中，是整数而不是正数的数是 _______0和负整数，是负数而不是分数的是 ________。

(完整版)初中数学知识点全总结(齐全)

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (p q≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (aa ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

(人七)《有理数》中的数学思想

《有理数》中的数学思想安徽李庆社同学们在《有理数》一章的学习中，不仅要掌握数学知识和数学方法，同时也不能忽视蕴含于其中的数学思想．本文就《有理数》一章为中的主要数学思想的领悟和学习．举例说明如下。

一、分类讨论的数学思想方法根据问题的特点和要求，按照一定的标准，把所要研究和解决的问题分为几种情况或几个部分，然后再逐一进行研究和解决的一种数学思想叫做分类讨论思想．在《有理数》中，有理数加法法则和乘法法则就是运用这种思想总结出来的．这两个法则都是分两数同号、两数异号、两数中至少有一个是零三种情况进行探求的．掌握这些法则时也要领悟其中的数学思想，并能用这种思想指导自己的数学实践活动．例1 比较大小①2a和3a；②|a|+|b|和|a+b|．解：①当a＞0时，2a＜3a；当a＝0时，2a＝3a；当a＜0时，2a＞3a．②当a、b同号时，|a|+|b|＝|a+b|；当a、b异号时，|a|+|b|＞|a+b|；当a、b中至少有一个是零时，|a|+|b|＝|a+b|．故|a|+|b|≥|a+b|．例2 化简|x-1|．解：当x≥1时，|x-1|＝x-1；当x＜1时，|x-1|＝-(x-1)＝1-x．运用分类讨论思想解有关问题之所以有效，首先是化整为零，化大为小，使得每个小问题都变得容易；其次是分类标准本身提供了一个条件．应该注意的是，分类必须遵循两条原则：①分类标准必须统一；②既不重复也不遗漏．例3五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|＝-abcde，解由题设条件知，abcde＜0，而a、b、c、d、e满足abcde ＜0仅有三种情况：①二正三负；②四正一负；③五负．又因为对于任意非零有理数a，有二、数形结合思想方法利用数量关系来研究图形性质，利用图形性质来研究数量关系，即借助数与形的相互转化来研究和解决问题的一种数学思想叫做数形结合思想．在《有理数》中，数轴的引入使得数与形(直线上的点)联系起来了，这是数与形的初步结合．本章中体现这种思想的地方还很多．如利用数轴来说明相反数和绝对值的意义，从而使我们对相反数和绝对值有更深刻、更本质的认识；又如有理数大小比较的方法，有理数加法法则和乘法法则等都是结合数轴归纳总结出来的．例4若a＞0，b＜0，且a+b＜0，则a、-a、b、-b从小到大的顺序是______．分析：若由已知条件直接从“数”的关系上入手，则较为困难；若由已知条件借助于“形”(数轴)来解决，则极为简便．解：由已知可得|a|＜|b|，故a、-a、b、-b在数轴上可表示为于是，它们从小到大的顺序是b＜-a＜a＜-b．例5已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．解分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置，如图所示：很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0．用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想．“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识联系，激发学习的兴趣，培养思维品质，提高解题能力．三、逆向思考的数学思想方法采用与传统和习惯相反的方法来思考问题，从而找到解题途径的一种数学思想叫做逆向探求思想．学习数学只会顺向思考问题，顺向使用公式、法则等是远远不够的，还要善于逆向思考问题，逆向使用公式、法则等，这样可冲破习惯势力的束缚，消除思维定势的影响，跳出常规方法的圈子，从而合理巧妙地解题．如在《有理数》中所学的乘法分配律，我们既要重视其顺向运用，又要注意其逆向应用．例6计算下列各题：例7计算：分析：对于乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac有两种运用方法，一种是顺用公式，如上题中的（1），另一种是逆用公式，如上题中的（2），在做题时，应具体问题具体分析．解略。

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有理数中的数形结合思想
数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数形结合起来分析问题的思想方法。

借助数轴，运用数形结合思想，可以解决一些有理数中的繁难问题，下面举数例，以飨读者。

例1 已知数轴上有两点A、B，它们分别表示互为相反数的两个数a、b（其中a＞b），并且A、B两点间的距离是8，求a、b两数。

分析：根据互为相反数的几何意义，从而得出A、B两点在数轴上的位置，根据数轴上的点所表示的有理数右边的数大于左边的数，正确解决问题。

解：根据相反数的定义可知，因为A、B到原点的距离相等，即A、B互为相反数，它们之间的距离是8，所以A、B距原点的距离都是4，又因为a＞b，所以A点在原点右侧距原点4个单位处，B点在原点左侧距原点4个单位处，所以a=4，b=-4。

点评：若此题没有指明条件是a＞b，则要分两种情况进行讨论，即①a＞b时，②a＜b时，分别求出a、b的值。

例2 有理数a、b满足a＞0，b＜0且|a|＜|b|，用“＞”将a、b、-a、-b排列起来。

分析：要比较a、b、-a、-b的大小，可以在数轴上找到表示这四个数的点的位置，因|a|＜|b|，故表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离要近，再根据互为相反数的两个数在原点两侧，并且到原点的距离相等这一性质，在数轴上找出表示a、b、-a、-b的位置，即可知它们的大小。

解：将a、b、-a、-b在数轴上的位置表示出来（如图所示），由图可知-b＞a＞-a＞b
点评：借助数轴，运用数形结合思想，使问题化难为易。

例3 一跳蚤在一直线上从0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离0点的距离是个单位。

分析：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴表示解决问题。

解：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴来表示，以0点为原点，原点向右为正方向，第1次向右跳1个单位，其位置表示的点为1；紧接着第2次向左跳2个单位，其位置表示的点为-1；第3次向右跳3个单位，其位置表示的点为2；第4次向左跳4个单位，其位置表示的点为-2，依此规律跳下去，第6次，第8次，位置的点为-3，-4，第100次跳后落下，其位置表示的点为-50，故此时落点处离0点的距离是50个单位。

点评：借助数轴，将跳蚤的落点分别用正数和负数表示，可巧妙地求出跳蚤跳第n次落时，落点处离O 点的距离。

例4 有理数a、b、c在数轴上的位置如图2所示，试化简|a+c|-|a+b+c|-|b-a|+|b+c|
图2
分析：结合数轴先判定a+c、a+b+c、b-a、b+c的正负，然后求绝对值、合并。

解：由题意知a+c＞0，a+b+c＜0，b-a＜0，b+c＜0
则原式=-（a+c）+（a+b+c）+（b-a）-（b+c）= -a-c+a+b+c+b-a-b-c=-a+b-c
点评：化简含绝对值的代数式。

首先应结合数轴，判断出绝对值内代数式的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项化简。

2019年七年级数学上册 第二章 有理数 有理数中的数形结合思想素材 (新版)青岛版