直线与平面的位置关系2
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系
高一数学必修二知识点：直线和平面的位置关系【】数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的根本公式，纯熟运用，才能解考试过程中的各种题型。
直线和平面的位置关系：
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内有无数个公共点
②直线和平面相交有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a
叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的断定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点
直线和平面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的断定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
空间几何中的平面与直线的位置关系
空间几何中的平面与直线的位置关系在空间几何的研究中，平面和直线是最基本的几何元素之一。
它们之间的位置关系对理解空间几何的特性和性质起着至关重要的作用。
本文将探讨平面与直线的七种常见位置关系，并通过具体例子进行说明。
一、平面与直线相交于一点当一个平面与一条直线相交于一点时，我们称这两者的位置关系为相交于一点。
在这种情况下，平面可以被视为一个切平面，将直线切割成两段。
如图1所示，平面P与直线L相交于点A。
图1 平面与直线相交于一点二、平面与直线相交于多个点当一个平面与一条直线相交于多个点时，我们称这两者的位置关系为相交于多点。
这种情况下，平面将直线切割成多段，直线的起点和终点都在平面上。
如图2所示，平面P与直线L相交于点B、点C和点D。
图2 平面与直线相交于多个点三、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面上时，我们称这两者的位置关系为直线在平面上。
换句话说，直线上的任意一点都落在平面上。
如图3所示，直线L完全位于平面P上。
图3 直线在平面上四、平面与直线相交当一个平面与一条直线有公共点，但该直线不完全位于平面上时，我们称这两者的位置关系为相交。
如图4所示，平面P与直线L相交于点E和点F，但直线L的一部分位于平面外。
图4 平面与直线相交五、直线平行于平面当一条直线与一个平面没有公共点，且直线与平面的方向相同或者相反时，我们称这两者的位置关系为平行。
如图5所示，直线L与平面P平行。
图5 直线平行于平面六、直线垂直于平面当一条直线与一个平面垂直且通过该平面的法线时，我们称这两者的位置关系为垂直。
如图6所示，直线L垂直于平面P。
图6 直线垂直于平面七、直线与平面重合当一条直线与一个平面重合，即二者完全重合时，我们称这两者的位置关系为重合。
如图7所示，直线L与平面P重合。
图7 直线与平面重合综上所述，空间几何中的平面与直线有七种常见的位置关系，分别为相交于一点、相交于多点、直线在平面上、相交、平行、垂直和重合。
直线与平面位置关系
§2、3直线与平面住置关东【复习要点】1.理解直线与平面的位置关系；理解直线与平面所成角的概念并会计算；2.掌握克线与平面平行的判定定理和性质定理；3.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理.【知识整理】1 .直线与平面的位・关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。
其中，如果一条直线和平面内任何一条宜线都垂直，那么这条直线和这个平面垂S1.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。
其中直线与平面相交.直线与平面平行都叫作宜线在平面外。
2 .宜线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：假设两个平面平行，那么其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行在遇到线面平行时，常需作出过亶线且与平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。
3 .直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和•个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。
②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
4 .直线和平面所成的角：（1：定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
（2）范国：[0,9。
]；求法：作出直线在平面上的射影；（3）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
【方法归纳】1.证明线面平行的根本方法：①定义法（反证法）②判定定理③面面平行那么线面平行2.证明线面垂直的根本方法：①判定定理②两个平面垂直的性质【例题选讲】1.以下条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2.对于平面α和共面的直线m、n,以下命题中假命题是（填序号）.①（K设mJ_a,m±n,那么n〃a②®设m〃a,n∕/a,那么m〃n③假设muα,n∕/a,那么m〃n④假设m、n与α所成的角相等，那么m〃n3.如下图，正方体ABCD—A∣BιGD∣中，侧面对角线AB∣,BCI上分别有（2）假设NPDA=45。
直线和平面的位置关系
直线l与平面 相交于 Q， 记作 l Q
直线和平面
直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线与平面 平行
α
图
a
示
表示方法 a
公共点个数 无数个 没有
a
直 线 不 在 平 面 内
α
a∥
a
直 线 与 平 面 相 交
三垂线逆定理
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这 条斜线的射影垂直。
PA⊥α a α
PA⊥a
①
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO ③ a⊥AO AO 平面PAO
a α A o
三垂线定理
例题分析：
AA' = BB' . 即直线l上各点到平面的距离相 等.
1、斜线在平面内的射影 （1）点在平面内的射影 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
PO 8 1 sin PAO PAO 30 PA 16 2
PO 8 同理 : sin PBO PB 10
PBO 53 8
O B
A
三垂线定理及逆定理
P A o
a
α
预习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
直线与平面平面与平面位置关系
05 空间几何中的位置关系的 习题和解析
直线与平面的位置关系的习题和解析
• 题目：已知直线$l$平行于平面 $\alpha$，过直线$l$作平面 $\beta$，使 $\alpha/\backslash/\beta$， 这样的$\beta$()
直线与平面的位置关系的习题和解析
答案：D
C.不存在 D.至多可以作一 个
电子工程
在电子工程中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定电 路板的设计和电子元件的布局至关重要。
航空航天中的应用
飞机设计
在飞机设计中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定机翼、 机身和尾翼的位置和形状至关重要。
航天器设计
在航天器设计中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定太 阳能电ห้องสมุดไป่ตู้板、天线和其他设备的布局和稳定性至关重要。
性质
02
重合的平面具有相同的方向和距离。
判定定理
03
如果一个平面内的所有直线都与另一个平面重合，则这两个平
面重合。
03 空间几何中的位置关系的 应用
建筑学中的应用
建筑设计
建筑师在设计中需要考虑直线与平面、平面与平面的位置关系， 以确保建筑结构的稳定性和功能性。
空间规划
通过合理安排直线与平面、平面与平面的位置关系，建筑师可以创 造出舒适、美观的空间布局。
直线与平面、平面与平面的位置关 系
contents
目录
• 直线与平面的位置关系 • 平面与平面的位置关系 • 空间几何中的位置关系的应用 • 空间几何中的位置关系的性质和定理 • 空间几何中的位置关系的习题和解析
01 直线与平面的位置关系
直线在平面内
1 2
定义
平面和直线的位置关系
平面和直线的位置关系
平面和直线是几何学中常见的基本图形，它们在空间中的位置关系有以下几种情况：
1. 直线在平面内：当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在这个平面内。
这种情况下，直线与平面有唯一的交点，也就是直线的一个端点与平面的一个点重合。
2. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有交点时，我们称这条直线与这个平面相交。
这种情况下，直线与平面有无限多个交点，交点的数量取决于直线与平面的相对位置。
3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面没有交点且与平面上任意一条直线的夹角为零时，我们称这条直线与这个平面平行。
这种情况下，直线与平面之间没有交点。
4. 直线与平面垂直：当一条直线与一个平面上的任意一条直线的夹角为90度时，我们称这条直线与这个平面垂直。
这种情况下，直线与平面有唯一的交点，交点位于直线与平面的垂线上。
总之，平面和直线的位置关系有多种情况，要根据具体的情况来判断它们之间的
关系。
在实际应用中，我们需要根据需要来选择适当的位置关系，以便更好地解决问题。
第二讲直线与平面的位置关系
第二讲直线与平面的位置关系一、知识点1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.4如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直. 5直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.6直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.二、典型例题例1如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .QAB CDMP FE NGA BCDM FE N例2】 如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .AA DBC BCD1111EFGMN例3已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.ABCD E O MNP（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角.例4在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b .AA CB BC E G F111（1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.例5已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，O 、A 为垂足.求证：a ∥b .Oα例6已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .CABP.OE例7在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C .AABBC CDD1111例8如图8—45, AB 是圆O 的直径,C 是圆上异于A,B 的任意一点,ABC PA 平面⊥,PC AF ⊥,求证PBC AF 平面⊥例9如图8—49, ABCD －1111D C B A 是正方形,求证BD C C A 11面⊥ 例10正方形ABCD －1111D C B A 中, 求()11BD 与面ABCD 所成角的正切值.(2)所成的角与面111D ABC BA ()所成角的正切值与面1113ACD D B例11.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m ⊥βB.α∩β=n 且m ∥nC.m ∥n 且n ∥αD.α∥β且m β例12.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④例13.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定abcl αβγ例14设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS =8，BS =9，CD =34，①当S 在α、β之间时，SC =_____________，②当S 不在α、β之间时，SC =_____________.例15设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.例16在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.三、练习题ABCDMN..1.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.给出下列命题，其中正确的两个命题是①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α ④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④3.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方 形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.FG ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF 4.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_____________时，有A 1C ⊥B 1D 1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）A AD DB BC C11115.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则D D AA C CB B1111（1）A 点到CD 1的距离为________； （2）A 点到BD 1的距离为________；（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________； （4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________； （5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.6.两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是 A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α7.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b D.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在8已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）9.已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________.10.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . A BC DEPGF11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .ABCDMNPQ R。
空间几何中的直线与平面的位置关系
空间几何中的直线与平面的位置关系在空间几何中，直线与平面是两个重要的概念。
直线是不断延伸的一维图形，而平面是不断延伸的二维图形。
直线与平面之间的位置关系是空间几何的基础知识之一。
本文将分析直线与平面的四种可能的位置关系：相交、平行、重合和垂直。
一、相交当直线与平面有一个公共点时，我们称它们相交。
相交可以分为两种情况：交于一点和交于多点。
1. 交于一点：直线穿过平面，并且直线的方向向量与平面的法向量不平行。
在这种情况下，直线与平面的交点只有一个。
这种关系常常出现在几何推理和图形证明中，例如研究三角形的高线时，高线与底边相交于一个点。
2. 交于多点：直线穿过平面，直线的方向向量与平面的法向量平行。
在这种情况下，直线和平面可能有无限个交点。
一种常见的情况是一条直线与一个平面相交于线上的所有点，这在平行四边形的对角线上可以体现。
二、平行当直线与平面没有公共点，并且直线的方向向量与平面的法向量平行时，我们称它们平行。
平行关系可以分为两种情况：直线在平面上、直线平行于平面但不在平面上。
1. 直线在平面上：直线沿着平面延伸。
在这种情况下，直线与平面的方向向量是平行的，但直线与平面没有交点。
这种关系常常出现在空间中的棱柱或棱锥的边的组合上。
2. 直线平行于平面但不在平面上：直线与平面平行，但两者没有任何交点。
这种关系常常出现在空间中的平行四边形的对边上。
三、重合直线与平面完全重合，所有直线上的点都在平面上。
这种情况在实际问题中较少出现，因为直线和平面通常在维度上有所区别。
四、垂直当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，我们称直线与平面垂直。
直线和平面之间的垂直关系是相互补充的，也就是说直线与平面正交的同时，平面也正交于直线。
这种关系在空间几何中非常重要，例如在研究正交投影或者求解垂足等问题时经常使用。
总结一下，在空间几何中，直线与平面的位置关系有四种：相交、平行、重合和垂直。
相交可以细分为交于一点和交于多点，平行可以细分为直线在平面上和直线平行于平面但不在平面上。
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9.3直线和平面的位置关系
教学目标
（1）采用与两直线位置关系类比的方法，使学生掌握直线与平面位置关系及其初步的判定方法。
（2）加深对逻辑划分选取角度的理解，培养学生的逻辑思维能力。
（3）通过图象语言、文字语言、符号语言的互化训练，使学生初步了解立体几何的学习方法，培养空间想象能力。
教学重点
掌握直线与平面位置关系．
说明：要判断或证明线面平行时用此定理。
关键：在平面内找到或做一条直线与已知直线平行
新授
线线平行--------线面平行
(二)、定理2（直线与平面平行的判定）
课堂练习
。
2.若平面α，直线a、b，点A、B
①已知a∥α，bα，则a与b的位置关系为。
②已知a∩α=A，bα，则a与b的位置关系为。
③已知a∥α，b∥α,则a与b的位第139页3、4。
④已知a∩α=A，b∩α=B，则a与b的位置关系为。
评析：.正确使用数学语言，充分发挥图象语言、文字语言、符号语言的功能，培养空间想象能力，有两个不同方向的转化问题，由直观的图形到抽象的文字、符号，对于初学者是极其重要的第一认识过程，由这一过程的认识升华到由抽象的符号、文字返回直观图形的认识过程，只有这样，才能有效地培养学生的空间想象和逻辑推理能力。
教学难点
掌握直线与平面位置关系的判定方法．
教学过程
复习
导入
复习直线和平面的位置关系
在立体几何学习中，我们往往从是否共面、有没有公共点去划分它们的位置关系。那么如何简捷判定直线与平面的位置关系呢？
新授
(一)、定理1（直线与平面平行的判定）
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。