2015-2016学年天津市静海一中等六校高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年天津市静海一中等六校高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．“9>k ”是“方程14922=-+-k y k x 表示的图形为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：22194x y k k +=--表示双曲线则有()()94049k k k k --<∴<>或，所以“9>k ”是“方程14922=-+-k y k x 表示的图形为双曲线”的充分不必要条件 【考点】充分条件与必要条件2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 A ．若m //α，n //α，则m //n B ．若m //α，m //β，则α//β C ．若m //n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若m //α，α⊥β，则m ⊥β【答案】C【解析】试题分析：A 中两直线可能平行，相交或异面；B 中两平面平行或相交；C 中由线面垂直的判定定理可知结论正确；D 中直线m ，平面β间的位置关系可以是平行，相交或直线在面内【考点】空间线面平行垂直的判定与性质 3．下列四个命题中的真命题为 A.0x R ∃∈，使得00sin cos 1.5x x -=-B.x R ∀∈，总有2230x x --≥C.∀x R ∈，∃y R ∈，2y x <D. 0x R ∃∈，∀y R ∈，0y x y ⋅= 【答案】D【解析】试题分析：A 中000sin cos 4x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值为B 中满足不等式的x 的范围不是R ；C 中当0x ≤时不等式不成立；D 中01x =时命题成立【考点】命题真假的判定4．已知F 是抛物线2y x =的焦点,B A ,是该抛物线上的两点,||||=3AF BF +,则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．34 B ．1 C ．54 D ．74【答案】C【解析】试题分析：：∵F 是抛物线2y x =的焦点，F （14，0）准线方程x=-14，设A ()11,x y ，B ()22,x y∴|AF|+|BF|=1211344x x +++=，解得1252x x +=∴线段AB 的中点横坐标为54∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54【考点】抛物线方程及性质5．设1F 、2F 是双曲线1322=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，当21PF F ∆的面积为2时，21PF PF ⋅的值为A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】B【解析】试题分析：双曲线1322=-y x 的两个焦点坐标为（-2，0），（2，0） 设P 的坐标为（x ，y ），则∵21PF F ∆的面积为2∴12×4×|y|＝2∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=6∴()()22122,2,43⋅=---⋅--=-+=PF PF x y x y x y【考点】双曲线性质6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.64B.72C.80D. 112 【答案】C【解析】试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是边长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是32121443803V V V =+=+⨯⨯=【考点】三视图7．已知圆的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 A.43-B ．53-C ．35-D ．54-【答案】A【解析】试题分析：：∵圆C 的方程为015822=+-+x y x ，∴整理得：()2241x y -+=，∴圆心为C （4，0），半径r=1．又∵直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴点C 到直线y=kx+2的距离小于或等于22≤化简得：2340k k +≤，解之得43-≤k ≤0，∴k 的最小值是43- 【考点】直线与圆相交的性质8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A ．3 B ．2 B ．332 D ．2 【答案】A【解析】试题分析：设1212,,2F P m F P n F F c ===，由余弦定理得()22222cos 60c m n mn =+- ，即2224c m n mn =+-，设1a 是椭圆的长半轴，2a 是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得1212122,2,m n a m n a m a a n a a +=-=∴=+=-，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得22221340a c a -+=，221212123,13⎛⎫⎪⎝⎭==⋅==c a c c a a e e a a，解得2e【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质二、填空题9．已知两直线a y x a l 354)3(:1-=++与8)5(2:2=++y a x l 平行，则=a【答案】7-【解析】试题分析：由题意可知系数满足()()()()354238532a a a a ++=⨯⎧⎪⎨+⨯≠-⨯⎪⎩，解方程得7a =-【考点】两直线平行的判定10．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为)3,0(，则k 的值是 【答案】1k =-【解析】试题分析：2288kx ky -=变形为228119181y x k k k k k⎛⎫⎛⎫-=∴-+-=∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 【考点】双曲线方程及性质11．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为【答案】【解析】试题分析：设圆锥底面的半径为r ，由题意可得圆锥的母线长为6，再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr=12⋅2π⋅6，求得r=3，故圆锥的高为h ==故此圆锥的体积是211933⋅=⋅⋅r h ππ 【考点】圆锥侧面积12．若点(3,1)是抛物线px y 22=的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝【答案】2【解析】试题分析：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y=2x-5，代入抛物线px y 22=，可得()2252x px -=，即()24202250x p x -++=∴20264p+=，∴p=2， 【考点】抛物线的简单性质13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的范围是【答案】[23【解析】试题分析：：∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义：|AF|+|AF ′|=2a ，又∵|BF|=|AF ′|，∴|AF|+|BF|=2a ，①，O 是Rt △ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c ，又|AF|=2csin α，②|BF|=2ccos α，③，把②③代入①，得2csin α+2ccos α=2a ，∴1sin cos c a αα=+，即11sin cos 4e πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 13424e ππππαα⎛⎫≤+≤≤+≤≤≤⎪⎝⎭ 【考点】椭圆的简单性质 14．若曲线92-=x y 与直线0=-+m y x 有一个交点，则实数m 的取值范围是 .【答案】{}[)()+∞⋃⋃-,233,03 【解析】试题分析：290x -≥，曲线92-=x y ，可化为()2290x y y -=≥，290x -<，曲线92-=x y ，可化为()2290x y y +=≥，图象如图所示，直线与半圆相切时，m =y=±x ∴实数m 的取值范围是{}[)()+∞⋃⋃-,233,03 【考点】曲线与方程三、解答题15．命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于B A ,两点；命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，若q p ∧为真命题，求实数k 的取值范围．【答案】k <-【解析】试题分析：命题p ：直线3+=kx y 与圆122=+y x 相交于A ，B 两点，可得圆心到直线的距离1=<d ，解得k 范围．命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦在y 轴上的双曲线，可得60k k -<⎧⎨<⎩，解得k 范围．由于p ∧q 为真命题，可得p ，q 均为真命题，即可得出试题解析：∵命题p ：直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离113002<++-⋅=k k d ，2222-<>∴k k 或，∵命题q ：曲线1622=--ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线 ⎩⎨⎧<<-∴06k k ，解得0<k ， ∵q p ∧为真命题，∴p ，q均为真命题，∴k <-【考点】复合命题的真假；直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程及其性质 16．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在第． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．【答案】(Ⅰ) 222430x y x y ++-+= (Ⅱ) 03=-+y x 或01=++y x【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C 关于直线x+y-1=0对称，②，①②联立求出D 和E ，即可写出圆的方程；（Ⅱ）设l ：x+y=a ，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a 即可 试题解析：（Ⅰ）由2230x y Dx Ey ++++=知圆心C 的坐标为(,)22D E-- 圆C 关于直线10x y +-=对称∴点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线10x y +-=上，即2D E +=-①且221224D E +-=② 又∵圆心C 在第二象限 ∴0,0D E >< 由①②解得D=2，E=－4∴所求圆C 的方程为：222430x y x y ++-+= （Ⅱ） 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设l ：a y x =+圆C:22(x 1)(y 2)2++-=圆心)2,1(-C 到切线的距离等于半径2,即2221=-+-a,,1-=∴a 或3=a所求切线方程03=-+y x 或01=++y x 【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系17．如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =，0160=∠BAA ．(Ⅰ)证明C A AB 1⊥；(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)5【解析】试题分析：（Ⅰ）取AB 的中点O ，连接OC ，1OA ，1A B ，由已知可证1OA ⊥AB ，AB ⊥平面1OAC ，进而可得AB ⊥1AC ；(Ⅱ)易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正向，OA为单位长，建立坐标系，求出平面11BB C C 的法向量1AC ，代入向量夹角公式，可得答案试题解析：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结OC ，11,OA A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ⊥,由于11,60AB AA BAA =∠= 所以1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥，又因此1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OAC ,又1AC ⊆平面1OAC ,故1AB AC ⊥ (Ⅱ)由(Ⅰ)知1,OC AB OA AB ⊥⊥，又 平面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC 面11ABB A AB=，OC ∴⊥面11,ABB A AB OC =∴⊥面11ABB A 1OC OA ∴⊥1,,OA OC OA ∴两两垂直，以O 为坐标原点，OA的方向为x 轴正方向，OA为单位长度，建立如图坐标系，设AB=CB=2有题设知A (1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B (－1,0,0),则BC=（1,0，,1BB =1AA =(－1A C=(0,设(),,n x y z = 是平面11CBBC 的法向量，则100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BC n BB，即00x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取)1n =-111cos 5⋅∴⋅==n AC n AC n AC 所以1AC 与平面11BB C C所成角的正弦值为5【考点】平面与平面垂直的性质；线面所成角18．已知抛物线24y x =的焦点为F , 直线l 过点(4,0)M . (Ⅰ)若点F 到直线l求直线l 的斜率;(Ⅱ)设,A B 为抛物线上两点, 且AB 不与x 轴垂直, 若线段AB 的垂直平分线恰过点M , 求证: 线段AB 中点的横坐标为定值.【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线l 的方程为y=k （x-4），由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1，0），因为点F 到直线l=l 的斜率；（Ⅱ）设线段AB 中点的坐标为N ()00,x y ，A ()11,x y ，B ()22,x y ，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -，直线AB 的方程为()00004x y y x x y --=-，由此能够证明线段AB 中点的横坐标为定值 试题解析：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l 的方程为y=k （x-4）， 由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1，0）， 因为点F 到直线l的距离为=解得k =，所以直线l的斜率为± (Ⅱ) 设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y , ),(),,(2211y x B y x A , 因为AB 不垂直于x 轴,则直线MN 的斜率为004y x -, 直线AB 的斜率为004x y -,直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-,联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=, 所以012044y y y x +=-,因为N 为AB 中点, 所以1202y y y +=, 即00024y y x =-,所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2.【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；点到直线的距离公式19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.ABCDQMP(Ⅰ)若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； (Ⅱ)点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面A B C D，且2P A P D A D ===，求二面角M BQ C --的大小.【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)3π【解析】试题分析：(Ⅰ)由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD ；(Ⅱ)以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小试题解析：(Ⅰ)由题条件，PQ AD BQ AD PQ BQ Q ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩AD ⇒⊥平面PQB ，又AD ⊂ 平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD(Ⅱ),PA BD Q = 为AD 的中点PQ AD ∴⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCDAD =PQ ∴⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()(()0,0,0,1,0,0,,Q A P B ∴)332,33,32(3132-=+=QC QP QM ， 设),,(z y x =是平面MBQ 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩QM n QB n ，即⎩⎨⎧==03y z x ，令1=z 得⎪⎩⎪⎨⎧===103z y x ，∴)1,0,3(=n ，又)1,0,0(=是平面BQC 的一个法向量，()0,011cos ,2n m n m n m⋅⋅<>=⋅ ，故二面角M BQ C --的大小为3π. 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题20．巳知椭圆2222:1(0)x yM a b a b +=>>的长轴长为且与椭圆22124+=x y有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||AB 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ)22184x y +=(Ⅱ) 2283x y +=，AB∈⎣【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出22c a e a ===，由此能求出椭圆M 的方程；（Ⅱ）假设存在圆C ：222x y r +=（r ＞0），若l 的斜率不存在，设l ：x=r ，求出2283x y +=，AB =l 的斜率存在，设l ：y=kx+m ，代入椭圆M 的方程，得()222124280k x kmx m +++-=，由此能求出圆C ：2283x y += 和|AB|的取值范围试题解析：(I )椭圆的长轴长为a =22124x y +=有相同的离心率e =故2, 2.c b ==所以椭圆M 的方程为22184x y += (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C相切，故r =， 即()2221m r k =+.① 又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-= 设()()1122,,,,A x y B x y由韦达定理得1x +2x =24,12km k -+12x x =222812m k-+， 由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② 联立①②得283r =。