高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3_2对数与对数函数3_2_2对数函数自我小测新人教B版必修1

3.2.2 对数函数
自我小测
1．给定函数：①y ＝12x ，②y ＝12log (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2
x ＋1，其中在区间(0,1)
上是减函数的序号有( )
A .①② B．②③ C．③④ D．①④
2．已知函数f (x )＝1－2x ，若a ＝f (log 30.8)，b ＝f 1123⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，c ＝f （2－12），则( ) A.a <b <c B ．b <c <a C ．c <a <b D ．a <c <b
3．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是(
)
4．已知函数f (x )＝13
log (2x 2
＋x )，则f (x )的单调增区间为( ) A.1,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭ B. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(0，＋∞) D.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 5．方程a －x ＝log a x (a >0，且a ≠1)的实数解的个数为( )
A.0 B ．1 C ．2 D ．3
6．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A.2 B.23 C.13
D ．1 7．若a >0，且a ≠1，则函数f (x )
a (5x －10)＋2恒过定点P 的坐标是__________．
8．函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为__________．
9．已知a >0，且a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为________． 10．已知函数f (x )
A ，函数g (x )＝12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
(－1≤x ≤0)的值域为B .
(1)求A ∩B ；
(2)若C ＝{y |y ≤a －1}，且B ⊆C ，求a 的取值范围．
11．作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．
12．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)的值域．
参考答案
1．解析：y＝
1
2
x在(0,1)上为增函数；y＝
1
2
log(x＋1)在(0,1)上为减函数；y＝|x－1|在(0,1)
上为减函数；y＝2x＋1在(0,1)上为增函数．故选B. 答案：B
2．解析：f(x)＝1－2x在定义域上为减函数，由
11
23
⎛⎫
⎪
⎝⎭
>
11
22
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝2－
1
2
，得b<c，由
log30.8<0<2－1
2
，得c<a.所以b<c<a.
答案：B
3．解析：因为f(x)＝2|log2x|＝
,1,
1
,01,
x x
x
x
≥
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
故选C.
答案：C
4．解析：结合二次函数y＝2x2＋x的图象(如图)、复合函数的单调性以及对数函数的定义
域可知f(x)的单调增区间为
1
,
2
⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
.
答案：B
5．解析：本例可用数形结合的方法画出y＝a－x与y＝log a x的图象，观察交点个数，要注意对a分a>1与0<a<1两种情况讨论．
当a>1时，在同一平面直角坐标系中画出y＝log a x的图象和y＝a－x的图象，如图(1)，由图象知两个函数图象只有一个交点；同理，当0<a<1时，由图(2)知，两个图象也只有一个交点．因此，不论何种情况，方程只有一个实数解．
图(1) 图(2)
答案：B
6．解析：由题知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时，x ＝1；当f (x )＝1时，x ＝3或x ＝13
. 所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[x,3]113x ⎛⎫≤≤
⎪⎝⎭，也可以为1,3x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1≤x ≤3)，所以b －a 的最小值为
23.故选B. 答案：B
7．解析：令5x －10＝1，解得x ＝115
， 所以函数f (x )恒过定点11,25⎛⎫
⎪⎝⎭. 答案：11,25⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．解析：当0<a <1时，y ＝a x
和y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上都是减函数； 当a >1时，y ＝a x 和y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上都是增函数．
所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)＋f (1)． 而f (0)＋f (1)＝(a 0＋log a 1)＋(a 1＋log a 2)＝a ，
即1＋log a 2＝0，故a ＝12
. 答案：12
9．解析：由函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值可知a >1，
所以x －1>1，即x >2.
答案：(2，＋∞)
10．解：(1)由题意知，()2
10,log 10,x x -⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得x ≥2. ∴A ＝{x |x ≥2}．易知B ＝{y |1≤y ≤2}，
∴A ∩B ＝{2}．
(2)由(1)知B ＝{y |1≤y ≤2}，若要使B ⊆C ，则有a －1≥2.∴a ≥3.
11．解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图①.
第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②.
第三步：将y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|
的图象，如图③.
第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④.
12．解：(1)由题知10,10,x x
-⎧⎨+⎩即1,1,
x x ⎧⎨-⎩ ∴－1<x <1. ∴函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．
(2)∵函数定义域关于原点对称，
∴f (－x )＝lg(1＋x )＋lg(1－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．
(3)∵f (x )＝lg(1－x 2)，令t ＝1－x 2，
∵－1<x <1，∴t ∈(0,1]．
∴y ＝lg t ，t ∈(0,1]．∴y ∈(－∞，0]．
∴函数f (x )的值域为(－∞，0]．。