河南省陕州中学2014-2015学年高二下学期第一次精英对抗赛数学(文)试题

河南省陕州中学2014-2015学年高二下学期第一次精英对抗赛
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为
A ．i 5
4 B ．45
i -
C ．4
D ．
45
2．
3．
4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”正确的反设为 A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
5. 在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中， 若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =1
2x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A ）－1 （B ）0 （C ）1
2 （D ）1 6.
得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则
A ．a>0，b<0
B ．a>0，b>0 C.a<0，b<0 D ．a<0，b>0
7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是
5
9,则
A ．4=
a B ．5=a C ．6=a D ． 7=a
8．登山族为了了解某山高y (km)与气温x (℃)之间的关系， 随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
由表中数据，得到线性回归方程y ＝－2x ＋a (a ∈R )．由此 估计山高为72(km)处气温的度数为 A ．－10 B ．－8 C ．－6 D ．－4
9．执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得
到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 表1 表2
表4 A ．成绩 B ．视力 C ．智商 D ．阅读量
11．得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为
A.16
B.13
C.12
D.23
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝_______
14．已知f(x)＝
x
1＋x
，x≥0，若 f 1(x)＝f(x)，f n ＋1(x)＝f(f n (x))，n ∈N ＋， 则f 2014(x)的表达式为 ．
15．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ．
16
猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________． 三、解答题（本大题共6题，共70分） 17．
18．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：a ＋12＋b ＋12≤2.
19．在数列{}n a 中，11a =，*12()2n
n n
a a n N a +=∈+，试猜想这个数列的通项公式，并加以证明。

20．
21．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研
究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
(1)
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的
数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
b ^＝∑i ＝1
n
(x i
－x )(y i
－y )∑i ＝1
n (x i
－x )2
＝∑i ＝1
n
x i y i
－n x y ∑i ＝1
n x 2
i
－n x 2
，a ^＝y －b ^ x
22．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 2
15°－sin15°cos15°； ③sin 2
18°＋cos 2
12°－sin18°cos12°；④sin 2
(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2
(－25°)＋cos 2
55°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
一、选择题：
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题： 17.
18. [证明] 要证
a ＋12
＋
b ＋12
≤2， 只需证a ＋12＋b ＋1
2＋2
a ＋12
b ＋1
2
≤4， 又a ＋b ＝1，故只需证a ＋
12b ＋
12≤1，只需证(a ＋12)(b ＋1
2
)≤1， 只需证ab ≤1
4
.
∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1
4，故原不等式成立．
19.略 20.
21解：(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．
设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个．
所以P (A )＝3
10
.
(2)由数据得，另3天的平均数x ＝12，y ＝27,3x y ＝972,3x 2
＝432，3
i ＝1x i y i ＝977，3
i ＝1x 2
i ＝434， 所以b ^＝977－972434－432＝52，a ^＝27－52
×12＝－3，
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝5
2x －3.
(3)依题意得，当x ＝10时，y ^＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^
＝17，|17－16|<2， 所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．
(2)推广后的三角恒等式为sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2
α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2
－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2
α
＝34sin 2α＋34cos 2α＝3
4
.。