2019年河南省实验中学四模数学试卷及答案
河南省顶级名校2019届高三第四次联合质量测评数学理科试卷及解析
第1页，总19页…外…………○……学校:_____…内…………○……河南省顶级名校2019届高三第四次联合质量测评数学理科试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设A={x|y =√3−x},B ={x|4x −x 2>0}，则A ∩B = A. {x|x ≤0} B. {x|0<x ≤3} C. {x|x≤4}D. {x|x∈R}2.已知复数z 满足z(1+i)=3+2i ，则复数z 的虚部为A. −12iB.12i C. 12D. −123.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+S 5=2,S 7=14，a 10=A. 8B. 18C. −14D. 144.已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB =5千米，BC =12千米，AC =13千米.为了方便市民生活，现在ΔABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为（ ） A. 25B. 35C. 1−π15D. π155.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的表面积为A. 8B. 2+4√2C. 4+4√2D. 4十2√26.在平行四边形ABCD 中，∠DAB=120∘,|AB|=2,|AD|=1，若E 为线段AB 中点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =答案第2页，总19页A. 12B. 1C. 32D. 27.在侧棱长为a 的正三棱锥O −ABC 中，侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，现有一小球P 在该几何体内，则小球P 最大的半径为 A.3+√36a B.3−√36a C. 2−√36aD. 2+√36a8.设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的F 焦点为F(1,0)，过点P(1,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，则|AB|=（ ）A. 2B. √15C. 4D. 69.记函数f(x)=x 2+2ax −3在区间(−∞,−3]上单调递减时实数a 的取值集合为A ；不等式x +1x−2≥a(x >2)恒成立时实数a 的取值集合为B ，则“x ∈B ”是“x ∈A ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，且g(x +π3)=g(π3−x)，则φ的取值为A. 5π12B. π3C. π6D. π1211.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(b >0,a >0)的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为 A. 23B. 32C. √3D. 212.已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),sin(2α+β)=32sinβ,cosβ的最小值为A. √53B. √55C. 12D. 23第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C=π3，b =√2，c =√3，则A =__________．第3页，总19页…装…………○……___姓名：___________班级：___…装…………○……14.已知直线l:mx+ny −1=0与圆O:x 2+y 2=1相交的弦长|AB|=√22，则m 2+n 2=__________．15.某同学手中有4张不同的“猪年画”，现要将其投放到A 、B 、C 三个不同号的箱子里，则每个箱子都不空的概率为_________． 16.已知f(x)={0,0<x ≤1|x 2−9|−3,x >1,g(x)=|lnx|，若函数y =f(x)+g(x)−m(x >0)恰有两个不相等的零点，则实数m 的取值范围为_________．三、解答题（题型注释）17.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n −S n 2=1(n ∈N ∗)．(1)求出数列{a n }的通项公式； (2)已知b n=2n(a n −1)(a n+1−1)(n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ∈[23,1)． 18.如图所示，底面为正方形的四棱锥P−ABCD 中，AB =2，PA =4，PB =PD =2√5，AC 与BD 相交于点O ，E 为PD 中点.（1）求证：EO//平面PBC ； （2）设线段BC 上点F 满足CF=2BF ，求锐二面角E −OF −C 的余弦值.19.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：（1）根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；答案第4页，总19页（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众（假设年龄均在20周岁至80周岁内），给予适当的奖励.若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d .20.已知函数f(x)=(a −x)e x −1,x ∈R ．(1)求函数f(x)的单调区间及极值； (2)设g(x)=(x −t)2+(lnx −m t)2，当a =1时，存在x 1∈(−∞,+∞),x 2∈(0,+∞)，使方程f(x 1)=g(x 2)成立，求实数m 的最小值．21.已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的短轴长为2√3，且离心率为12，圆D:x 2+y 2=a 2+b 2(1)求椭圆C 的方程，(2)点P 在圆D 上，F 为椭圆右焦点，线段PF 与椭圆C 相交于Q ，若PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ的取值范围． 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 24+y 23=1．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=−√2．(1)求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 上的动点，求△PAB 面积的最大值．第5页，总19页23.设不等式|2x−1|+|x +2|<4的解集为M ．(1)求集合M ； (2)已知a,b ∈M ，求证：|a −b|<(1−ab)．答案第6页，总19页参数答案1.B【解析】1.分别求解出A,B 两个集合，根据交集定义求解出结果. 因为A={x|y =√3−x}={x|3−x ≥0}={x|x ≤3}B ={x |4x −x 2>0}={x|x 2−4x <0}={x|0<x <4}所以A ∩B ={x|0<x ≤3}本题正确选项：B 2.D【解析】2.根据复数的运算法则求出z ，由此得到虚部.z (1+i )=3+2i ⇒z =3+2i 1+i =(3+2i )(1−i )(1+i )(1−i )=5−i 2=52−12i∴复数z 的虚部为−12本题正确选项：D 3.D【解析】3.利用a 1和d 表示出已知条件，解出a 1和d ，利用a 10=a 1+9d 求出结果.因为a 4+S 5=2，且S 7=14所以{6a 1+13d =27a 1+21d =14 ，解得{a 1=−4d =2所以a 10=a 1+9d =−4+18=14本题正确选项：D 4.C【解析】4.第7页，总19页…装…………○…____姓名：___________班级：…装…………○…根据边长关系可判断出原三角形为直角三角形，再判断出距离在2千米以内的情况是以A,B,C 为圆心，2为半径的圆的内部，根据几何概型求解得到结果.∵AB 2+BC 2=AC 2∴ΔABC 是∠B 为直角的直角三角形分别以A,B,C 为圆心，2为半径作圆，则可知圆在三角形内部的总面积为一个半圆 根据几何概型概率公式可得，M 到A,B,C 的距离都不小于2千米的概率为：1−12×π×2212×5×12=1−π15 本题正确选项：C 5.C【解析】5.根据三视图还原出直观图，可得到四面体A −BCD ，分别求解出各个面的面积，加和得到表面积. 根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体A −BCDAB 垂直于等腰直角三角形BCD 所在平面，将其放在正方体中易得该鳖臑的表面积为：S =12(2×2+2×2+2×2√2+2×√2)=4+4√2本题正确选项：C 6.C【解析】6.根据向量的线性运算将所求向量进行拆解，得到DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后利用数量积的运算律，求解得到结果. 因为平行四边形ABCD 中，∠DAB=120°，|AB |=2，|AD |=1，E 为线段AB 中点答案第8页，总19页………订…………○※线※※内※※答※※题※※………订…………○所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×22−12−12×1×2×cos120°=32本题正确选项：C7.B【解析】7.原题即为求正三棱锥内切球的半径，利用体积桥的方式建立等量关系，解方程求出内切球半径.当小球与三个侧面OAB ，OAC ，OBC 及底面ABC 都相切时，小球的体积最大 此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥O −ABC 的内切球 设其半径为r∵OA =OB =OC =a ∴AB =AC =BC =√2aV O−ABC =13×12a 2×a =16a 3V P−OAB +V P−OBC +V P−OAC +V P−ABC =13×[12a 2+12a 2+12a 2+√34(√2a )2]r=3+√36a 2r由题可知V O−ABC =V P−OAB +V P−OBC +V P−OAC +V P−ABC因此16a 3=3+√36a 2r∴r =13+√3a =3−√36a 本题正确选项：B 8.B【解析】8.第9页，总19页根据焦点求出抛物线方程，将直线方程代入抛物线方程，求出斜率k ，同时得到韦达定理的形式，然后利用弦长公式求解出结果. 因为抛物线C:y 2=2px(p >0) C:y 2=2px(p >0)的焦点为F (1,0)所以p 2=1 ⇒p =2设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，显然直线l 的斜率存在且不为0设l:y −1=k (x −1) 由{y 2=4x y −1=k (x −1)消去x 可得：ky 2−4y +4−4k =0 由P 为线段AB 的中点可知，y 1+y 2=4k=2，所以k =2 所以直线l 的方程为y =2x −1，y 1y 2=−2所以：|AB |=√1+(1k )2|y 2−y 1|=√1+(12)2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√52×√22−4×(−2)=√15本题正确选项：B 9.B【解析】9.利用二次函数对称轴求出集合A ，利用基本不等式求解出集合B ，从而得到A⊂B ，得到结论.∵函数f (x )=x 2+2ax −3在区间(−∞,−3]上单调递减 ∴−2a 2≥−3⇒a ≤3，即A ={a|a ≤3}∵不等式x +1x−2≥a(x >2)恒成立等价于(x +1x−2)min≥a(x >2)又∵当x>2时，x −2>0∴x +1x −2=x −2+1x −2+2≥2√(x −2)⋅1(x −2)+2=4当且仅当x −2=1x−2时，即x =3时等号成立，符合条件所以(x +1x−2)min=4 ⇒a ≤4，即B ={a|a ≤4}∴A ⊂B“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要不充分条件本题正确选项：B答案第10页，总19页10.C【解析】10.通过最小正周期得到ω，再通过平移得到g (x )解析式，根据x=π3是g (x )的对称轴可得π3+φ=π2+kπ，再根据φ的范围确定结果.函数f (x )的最小正周期为π ∴ω=2 ⇒f (x )=2sin (2x +φ)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象∴g (x )=2sin [2(x −π6)+φ]=2sin (2x +φ−π3)又∵g (x +π3)=g (π3−x) ∴x =π3为函数g (x )图象的一条对称轴∴sin (2×π+φ−π)=sin (π+φ)=±1∴π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ，即φ=π6+kπ，k ∈Z又|φ|<π2 ⇒φ=π6本题正确选项：C 11.B【解析】11.将直线BF 与双曲线渐近线联立，可求得x 的值；利用PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得x P =−5x Q ，将x 的值代入，可得3a−2c =0，从而求得离心率.由题可知，F (−c,0)，B (0,b ) 则直线BF 方程为x−c +yb =1 又双曲线C 渐近线方程为y=±ba x由{x −c +yb=1y =±b a x可解得x=ac c−a或x =ac −a−c由PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知，x P =−5x Q由题可知：x P =ac c−a ，x Q =ac −a−c ，则ac c−a =−5×ac−a−c化简得3a−2c =0，所以e =c a=3212.A【解析】12.将已知等式变为sin [(α+β)+α]=32sin [(α+β)−α]，展开可求得tan (α+β)=5tanα，利用两角和差公式可得tanβ=4tanα1+5tan 2α，利用基本不等式求得tanβ的范围，从而求得cosβ的最小值.因为sin (2α+β)=32sinβ，即sin [(α+β)+α]=32sin [(α+β)−α]则sin (α+β)cosα+cos (α+β)sinα=32[sin (α+β)cosα−cos (α+β)sinα] 有sin (α+β)cosα=5cos (α+β)sinα ⇒tan (α+β)=5tanα即tanα+tanβ1−tanαtanβ=5tanα那么tanβ=4tanα1+5tan 2α=45tanα+1tanα≤2√5=√5当5tanα=1tanα即tanα=√55时等号成立因此tan 2β=sin 2βcos 2β=1−cos 2βcos 2β≤45，即cos 2β≥59又β∈(0,π2)，cosβ>0 ⇒cosβ≥√53本题正确选项：A 13.5π12【解析】13.根据正弦定理求得B ，再利用三角形内角和求得角A . 因为C=π3，b =√2，c =√3 由正弦定理c sinC=b sinB 得：√3sinπ3=√2sinB ⇒sinB =√22又b<c ，所以B <C ⇒B =π4所以A=π−π3−π4=5π12本题正确结果：5π12 14.87答案第12页，总19页【解析】14.利用|AB |=2√r 2−d 2=√22得到关于m 2+n 2的方程，解方程得到结果.设圆心O 到直线l:mx +ny −1=0的距离为d 则d=√m 22⇒|AB |=2√r 2−d 2=2√1−1m 2+n 2又∵|AB |=√22∴2√1−1m 2+n 2=√22解得m 2+n 2=87本题正确结果：87 15.49【解析】15.首先确定总体的方法总数，再利用平均分组的方式求得每个箱子不空的方法数量，利用古典概型公式求得结果.∵每张“猪年画”的投放方法有3种∴4张不同的“猪年画”投放的方法总数为34=81又由于每个箱子不空，其组合为2,1,1型 所以投放方法有C 42A 33=36∴P =3681=49本题正确结果：4916.(ln3−3,0)∪[5,+∞)【解析】16.通过分类讨论，得到ℎ(x )=f (x )+g (x )的解析式；将问题转化为y =m 与ℎ(x )图象有两个交点的问题；分别判断出ℎ(x )在每一段上的单调性和值域，结合函数图象得到m 的取值范围. 因为f (x )={0,0<x ≤1|x 2−9|−3,x >1，g (x )=|lnx |所以f(x)+g(x)=ℎ(x)={−lnx,0<x≤1 lnx−x2+6,1<x≤3 lnx+x2−12,x>3因为函数y=f(x)+g(x)−m(x>0)恰有两个不相等的零点所以直线y=m与函数ℎ(x)={−lnx,0<x≤1lnx−x2+6,1<x≤3lnx+x2−12,x>3的图象共有2个不同的公共点当0<x≤1，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)∈[0,+∞)当1<x≤3时，ℎ′(x)=1x−2x=1−2x2x<0恒成立⇒ℎ(x)单调递减所以ℎ(x)∈[ln3−3,5)当x>3时，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)∈[ln3−3,+∞)数形结合可知，当且仅当m∈(ln3−3,0)∪[5,+∞)时，直线y=m与函数y=ℎ(x)的图象有2个不同的公共点，即函数y=f(x)+g(x)−m(x>0)恰有两个不相等的零点本题正确结果：(ln3−3,0)∪[5,+∞)17.（1）a n=2n（2）见解析【解析】17.（1）利用S n+1−S n=a n+1，列出a n+1−S n+12=1后与a n−S n2=1作差，可得a n+1=2a n，从而得到{a n}为等比数列，利用a1−S12=1求出a1后，可得到通项公式；（2）写出b n的通项公式，采用裂项相消的方法可得T n=1−12n+1−1，可知n=1时，T n最小且T n<1，从而证得结论.（1）因为a n−S n2=1，所以a n+1−S n+12=1两式相减可得(a n+1−a n)−S n+1−S n2=0⇒a n+1=2a n，即a n+1a n=2在a n−S n2=1中，令n=1可得：a1=2所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列∴a n=2n（2）b n=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1所以：T n=(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+...+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1所以{T n}是一个单调递增的数列当n=1时，T n(min)=T1=1−122−1=23答案第14页，总19页……○…………装※※请※※不※※要……○…………装当n→+∞时，T n →1 所以T n∈[23,1) 18.（1）见解析（2）√4141【解析】18.（1）通过三角形中位线可证得EO//PB ，从而可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，从而利用法向量夹角的余弦值求得二面角的余弦值. （1）证明：∵O 为AC 与BD 交点，且ABCD 为正方形∴O 为BD 的中点又∵E 为PD 的中点 ∴EO//PB又PB⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ∴EO//平面PBC （2）∵AB =2，PA =4，PB =PD =2√5∴PA 2+AB 2=PB 2，PA 2+AD 2=PD 2 ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，又AB 不平行AD从而PA ⊥平面ABCD又∵ABCD 为正方形 ∴AD ⊥AB∴分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）则A (0,0,0)，O (1,1,0)，E (0,1,2)，F (2,23,0)OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−13,0) 设平面EOF 的法向量为n⃗⃗ =(x,y,z ) 则{n ⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⇒{−x +2z =0x −13y =0 即{x =2z y =3x令z =1，则x =2，y =6 ∴n ⃗ =(2,6,1)∵PA ⊥平面ABCD∴平面OFC 的法向量可以取n⃗⃗ 1=(0,0,1) ∴|cos <n ⃗ ,n ⃗ 1>|=|n ⃗ ⋅n ⃗ 1|n ⃗ ||n ⃗ 1||=1√4+36+1=√4141又二面角E−OF −C 是锐角所以二面角E−OF −C 的余弦值为√414119.（1）2×2列联表见解析，没有95%的把握（2）分布列见解析，数学期望为E(ξ)=125【解析】19.（1）根据已知数据填写2×2列联表，从而可利用公式计算出K 2≈2.778<3.841，可判断出无95%的把握；（2）可判断出ξ服从二项分布：ξ∼B (4,35)，通过公式计算出所有可能取值的概率，从而得到分布列；再利用E (ξ)=np 求得数学期望.（1）2×2列联表 ∴K 2=60×40×60×40≈2.778<3.841所以没有95%的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异（2）由题可知，ξ所有可能取值有0,1,2,3,4，且观众支持“新农村建设”的概率为60100=35，因此ξ∼B (4,35)P (ξ=0)=C 40(25)4=16625，P (ξ=1)=C 41(35)1(25)3=96625P (ξ=2)=C 42(35)2(25)2=216625，P (ξ=3)=C 43(35)3(25)1=216625P (ξ=4)=C 44(3)4=81答案第16页，总19页所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望为E (ξ)=4×35=12520.（1）单调递增区间为x ∈(−∞,a −1)，单调递减区间为x ∈(a −1,+∞).函数f(x)有极大值且为f(a −1)=e a−1−1，f(x)没有极小值.（2）−1e【解析】20.（1）通过求导，得到导函数零点为x =a −1，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为f (a−1)，无极小值；（2）由f (x )最大值为0且g (x )≥0可将问题转化为lnx =m x有解；通过假设ℎ(x )=xlnx ，求出ℎ(x )的最小值，即为m 的最小值. （1）由f (x )=(a −x )e x −1得：f ′(x )=(a −1−x )e x令f ′(x )=0，则(a −1−x )e x =0，解得x =a −1当x ∈(−∞,a −1)时，f ′(x )>0 当x∈(a −1,+∞)时，f ′(x )<0f (x )的单调递增区间为x ∈(−∞,a −1)，单调递减区间为x ∈(a −1,+∞)当x=a −1时，函数f (x )有极大值f (a −1)=e a−1−1，f (x )没有极小值（2）当a=1时，由（1）知，函数f (x )在x =a −1=0处有最大值f (0)=e 0−1=0 又因为g (x )=(x −t)2+(lnx −m t )2≥0∴方程f (x 1)=g (x 2)有解，必然存在x 2∈(0,+∞)，使g (x 2)=0 ∴x =t ，lnx =mt等价于方程lnx =mx有解，即m =xlnx 在(0,+∞)上有解记ℎ(x )=xlnx ，x ∈(0,+∞)∴ℎ′(x )=lnx +1，令ℎ′(x )=0，得x =1e当x∈(0,1e)时，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减当x∈(1e,+∞)时，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增所以当x=1e时，ℎ(x )min =−1e所以实数m 的最小值为−1e21.（1）x 24+y 23=1（2）[√7+13,53]【解析】21.（1）根据短轴长和离心率求解出a,b ，从而得到椭圆方程；（2）假设P,Q 坐标，利用PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x 1=λx 0+(1−λ)y 1=λy 0，代入圆中整理消元可得到关于x 0的等式：14λ2x 02+2λ(1−λ)x 0+4λ2−2λ−6=0，则此方程在[−2,2]上必有解；将方程左侧看做二次函数f (x )，通过二次函数图像，讨论得出λ的取值范围. （1）由题可知{2b =2√3e =c a =12 ，又a 2=b 2+c 2，解得{b =√3a =2∴椭圆C 的方程为x 24+y23=1（2）由（1）知圆D:x 2+y 2=7 D:x 2+y 2=7，点F 坐标为(1,0)设P (x 1,y 1)，Q (x 0,y 0)，由PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：(1−x 1,−y 1)=λ(1−x 0,−y 0)，(λ>0)所以{x 1=λx 0+(1−λ)y 1=λy 0，由x 12+y 12=7可得：[λx 0+(1−λ)]2+(λy 0)2=7 又y 02=3−34x 02，代入，消去y 0，整理成关于x 0的等式为：14λ2x 02+2λ(1−λ)x 0+4λ2−2λ−6=0，则此方程在[−2,2]上必须有解 令f (x )=14λ2x 2+2λ(1−λ)x +4λ2−2λ−6则f (−2)=9λ2−6λ−6，f (2)=λ2+2λ−6，Δ=λ2(10−6λ) 若f (−2)=0，则λ=1−√73（舍去）或λ=1+√73若f (2)=0，则λ=−1−√7（舍去）或λ=−1+√7 若f (x )=0在(−2,2)上有且仅有一实根则由f (−2)f (2)<0得：1+√73<λ<√7−1若f (x )=0在(−2,2)上有两实根（包括两相等实根）答案第18页，总19页则{f (−2)>0f (2)>0Δ≥0−2<−4λ(1−λ)λ2<2 解得：√7−1<λ≤53 综上可得：λ的取值范围是[√7+13,53]22.（1）{x =2cosαy =√3sinα（α为参数），x −y −2=0（2）√7+2【解析】22.（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出AB =2√2，所以求解ΔPAB 面积最大值只需求出点P 到直线l 距离的最大值；通过假设P(2cosα,√3sinα)，利用点到直线距离公式得到d =√7sin ()√2，从而得到当sin (α−φ)=1时，d 最大，从而进一步求得所求最值. （1）由x 24+y 23=1，得C 的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα（α为参数）由ρsin (θ−π4)=√22ρ(sinθ−cosθ)=−√2，得直线l 的直角坐标方程为x −y −2=0（2）在x−y −2=0中分别令y =0和x =0可得：A (2,0)，B (0,−2)⇒AB =2√2设曲线C 上点P(2cosα,√3sinα)，则P 到l 距离：d =|2cosα−√3sinα−2|√2=|√3sinα−2cosα+2|√2=|√7(√3√7−√7+2|√2=√7sin ()√2，其中：cosφ=√3√7，sinφ=√7当sin (α−φ)=1，d max =√7+2√2所以ΔPAB 面积的最大值为12×2√2×√7+2√2=√7+223.（1）{x|−1<x <1}（2）见解析【解析】23.（1）通过零点分段的方式进行讨论，求得不等式的解集；（2）将问题转变为证明(a −b )2−(1−ab )2<0，由−1<a <1，−1<b <1可得a 2<1，b 2<1，从而证得所需的结论.（1）原不等式等价于{x ≥122x −1+x +2<4 或{−2<x <121−2x +x +2<4 或{x ≤−21−2x −x −2<4解得：12≤x <1或−1<x <12所以原不等式的解集为{x |−1<x <1} （2）由（1）知，当a,b ∈M 时，−1<a <1，−1<b <1所以a 2<1，b 2<1从而(a −b )2−(1−ab )2=a 2+b 2−a 2b 2−1=(a 2−1)(1−b 2)<0可得|a −b |<|1−ab |。
2019年中考数学四模试卷(有答案)
2019年中考数学四模试卷（有答案）一、单选题（共10题；共20分）1.若反比例函数的图象经过点（－5，2），则的值为（）．A. 10B. －10C. -7D. 72.2sin45°的值等于（）A. 1B.C.D. 23.四张相同的卡片，每张的正面分别写着，，，，将卡片正面朝下扣在桌上，随机抽出一张，这张卡片上写的不是最简二次根式的概率是（）A. B. C. D.4.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（）A. 10.5B. 7 ﹣3.5C. 11.5D. 7 ﹣3.55.二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A. y=3x2+2B. y=（3x+2）2C. y=3（x+2）2D. y=3（x﹣2）26.小明沿着坡比为1：的山坡向上走了600m，则他升高了（）A. mB. 200 mC. 300 mD. 200m7.如图所示，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（）.A. B. C. D.8.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ，CD⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米9.如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（）A. MN=B. 若MN与⊙O相切，则AM=C. l1和l2的距离为2D. 若∠MON=90°，则MN与⊙O相切10.如图，AC=BC，点D是以线段AB为弦的圆弧的中点，AB=4，点E是线段CD上任意一点，点F是线段AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）A. B. C. D.二、填空题（共6题；共12分）11.已知分式，当y=-3时无意义，当y=2时分式的值为0，则当y=5时，分式的值为________．12.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，动点M在弦AB上运动（可运动至A和B），设OM=x，则x的取值范围是________．13.已知：M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设则抛物线y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标是________ ．14.如图，甲楼AB的高度为20米，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼CD的高度是________米．15.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为________．16.如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为________．三、解答题（共6题；共68分）17.计算：4sin60°+ ÷﹣．18.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20 m，为加强水坝强度，将坝底从A 处向后水平延伸到F处，使新的背水坡的坡角∠F=45°，求AF的长度．19.如图，双曲线y= （x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3），BE⊥x 轴，垂足为E．（1）确定k的值；（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线A D的解析式；（3）计算△OAB的面积．20.某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有________人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为________%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有________人喜欢篮球项目．（2）请将条形统计图补充完整．（3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．21.（2011•成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D 两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．（1）求证：AE=CK；（2）如果AB=a，AD= （a为大于零的常数），求BK的长：（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．22.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．答案解析部分一、单选题1. B2. B3. A4. A5. C6.C7. C8. B9.B 10. C二、填空题11.12.3≤x≤513.（3，）14.（20+20 ）15.216.三、解答题17.解：原式=4×+2 ﹣=4 ﹣18.解:过B作BE⊥DF于E．Rt△ABE中，AB=20 m，∠BAE=60°，∴BE=AB•sin60°=20 ×=30，AE=AB•cos60°=20 ×=10 ．Rt△BEF中，BE=30，∠F=45°，∴EF=BE=30．∴AF=EF﹣AE=30﹣10 ，即AF的长约为（30﹣10 ）米．19.（1）解：将点A（2，3）代入解析式y= ，得：k=6（2）解：将D（3，m）代入反比例解析式y= ，得：m= =2，∴点D坐标为（3，2），设直线AD解析式为y=kx+b，将A（2，3）与D（3，2）代入得：，解得：则直线AD解析式为y=﹣x+5；（3）解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，∴CD∥BE，∴△OCD∽△OBE，∵C为OB的中点，即== ，∴CD= =∵C在双曲线y= 上，∴C（4，）∴OD=4，OE=8得：S△AOB=∴AB=8-2=6，=9．20.（1）5；20；80 （2）解：如图，（3）解：画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率= = ．21.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAE=∠BCK，∵BK⊥AC，DH∥KB，∴∠BKC=∠AED=90°，∴△BKC≌△ADE，∴AE=CK（2）解：∵AB=a，AD= =BC，∴AC= = =∵BK⊥AC，∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得：AB×BC= AC×BK，∴a×a= a×BK，∴BK= a（3）解：DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，∵DE=6，∴GE=6，又∵F为EG中点，∴EF= EG=3，∵△BKC≌△DEA，∴BK=DE=6，∴EF= BK，且EF∥BK，∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，∴EF为△ABK的中位线，∴AF=BF，又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，∴△AFD≌△BFH（AAS），∴HF=DF=3+6=9，∴GH=6，∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，∴∠AEF=∠DEA=90°，∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DAE，∴△AEF∽△DEA，∴AE：ED=EF：AE，∴AE2=EF•ED=3×6=18，∴AE=3 ，∵△AED∽△HEC，∴= = ，∴AE= AC，∴AC=9 ，则AO= ，故⊙O的半径是，GH的长是6．22.（1）解：由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为（2）解：令，∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，∴S△BDC=S△PDC+S△PDB，∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）（3）解：由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，∵∠MNC=90°，则△MNF∽△NCH，∴，设FN=n，则NH=3-n，∴，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥ ，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N为点E时，OM=5，∴m≤5，综上，m的变化范围为：≤m≤5。
河南省郑州市2019届高三数学4月模拟调研试题 理
河南省郑州市2019届高三数学4月模拟调研试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|||4A x x ==，{|3B x R z xi =∈=+，且}||5z =（i 为虚数单位），则AB =（ ）A ．()4,4-B ．(){}4,4-C ．4或4-D ．{}4,4-2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2019年是“干支纪年法”中的（ ） A ．丁酉年 B ．戊未年 C ．乙未年 D ．丁未年3.点)在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．1204.已知函数()(){}()()()()()()()(),max ,,f x f xg x y f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩则{}max sin ,cos y x x =的最小值为（ ）A ．．2 D ．25.已知数列{}n a 的通项公式为()23n a n n N *=+∈，数列{}n b 的前n 项和为()2372n n nS n N *+=∈，则两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2012m c <的最大整数m 的值为（ ）A ．335B ．336 C. 337 D ．338 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B D 7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点P 、Q 、R 和S ，则抛物线的焦点是（ ）A ．点PB ．点Q C. 点R D ．点S 8.点(),M x y 在圆()2221x y +-=上运动，则224xyx y +的取值范围是（ ）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．{}11,,044⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 11,00,44⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.已知B 、C 为单位圆上不重合的两个定点，A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线 C. 抛物线 D ．圆10.点1F 、2F 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，点P 在该双曲线上，12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是（ ）A ．(B ．()0,2 C. ( D ．()0,111.底面直径为4cm 的圆柱形容器内放入8个半径为1cm 的小球，则该圆柱形容器的最小高度为（ ）A ．8cmB ．6cm C. (2cm + D ．(2cm + 12.已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的为（ ） ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值；③函数()f x 的定义域为R ，且其图象有对称轴；④对于任意的()1,0x ∈-，()(()0f x f x ''<是函数()f x 的导函数）.A ．②③B ．①③ C. ②④ D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 2= ．14.已知向量()4,3OA =-，将其绕原点O 逆时针旋转120后又伸长到原来的2倍得到向量OA '，则OA '= ．15.点P 是正方体1111ABCD A B C D -体对角线1BD 上靠近B 的四等分点，在正方体内随机取一点M ，则其满足12MD MP ≥的概率为 ．16.若对于任意一组实数(),x y 都有唯一一个实数z 与之对应，我们把z 称为变量,x y 的函数，即(),z f x y =，其中,x y 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数(),f m n()229m n n ⎫=-+⎪⎭，则此函数的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()sin sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且()f A =2a =，求ABC ∆面积的最大值.18.有一个“乱点鸳鸯谱”节目：每次邀请四对青年夫妻，先由每人随机抽签获得顺序展示才艺，再由观众通过投票的方式实施男女配对（观众不知道他们的真实配对情况）. （Ⅰ）求正确配对家庭数的期望；（Ⅱ）设有n 对夫妻，记他们完全错位的配对种类总数为()f n . ①求()2f ，()3f ，()4f ；②推导()f n ，()1f n -，()()24f n n -≥所满足的关系式.19.已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，1AA ⊥平面ABCD ，1111//BB ////DD AA CC ，且11AA =，12BB =，13CC =，14DD =，建立空间直角坐标系，如图所示.（Ⅰ）在平面ABCD 内求一点P ，使1PA ⊥平面111A B D ； （Ⅱ）求二面角1111A B D C --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 上一点(的切线l 的方程为20x y +-=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点()0,1M 且斜率不为0的直线交椭圆于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得PA PB PM PA PB λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 21.已知函数()()2ln 1f x x x ax =--+.（Ⅰ）若()f x 在区间()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若存在唯一整数0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin p θθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面角坐标系，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t a y t a =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）.（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于两点，且AB =，求直线l 的斜率. 23.选修4-5：不等式选讲已知x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立. （Ⅰ）求满足条件的实数t 的集合T ；（Ⅱ）若1m >，1n >，t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5: DACCA 6-10: BBDDA 11、12：CA 二、填空题13.2π14. (4-++ 16. 22-三、解答题17.解析（Ⅰ）()1sin sin sin sin cos 62f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos211sin cos sin 22222x x x x x -+=⨯，11sin 2x 2sin 2423x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭令()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,得51212k x k ππππ-+≤≤+，其中k Z ∈，∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由()f A =1sin 223A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴sin 203A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴()23A k k Z ππ-=∈. ∴,62k A k Z ππ=+∈. ∵02A π<<，∴6A π=由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅， 得2242cos 6b c bc π=+-⋅，又(222cos 2226b c bc bc bc bc π+-⋅≥-=⋅-，∴(42bc ≤=，当且仅当b c =时取“=”.∴()(max 142sin 226ABC S π∆=⨯⨯+⨯=+18.解析（Ⅰ）设正确配对的家庭数为η，则η的所有可能取值为0,1,2,4.()1424P η==， ()241622424P C η==⨯= ， ()142812424P C η==⨯=， ()16890124242424P η⎛⎫==-++=⎪⎝⎭. ∴η的分布列为()986124012412424242424E η=⨯+⨯+⨯+⨯==. （Ⅱ）①由题意可知，()21f =，()32f =，()49f =. ②对于n 个的元素,,,a b c ⋅⋅⋅， 及其对应元素,,,A B C ⋅⋅⋅，由于a 不能对应A ，则a 与除去A 以外的1n -个元素之一对应，不妨设a 与B 对应，则b 的对应分两类：其（一）：b 与A 对应，即a b B A其余()2n -个元素的错位排列总数为()2f n -； 其（二）：b 不与A 对应，即a B其余()1n -个元素的错位排列总数为()1f n -， 于是，()()()()121f n n f n f n =--+-⎡⎤⎣⎦.19.解析（Ⅰ）由题意可知()10,0,4D ,()14,0,1A ,()14,4,2B ,()10,4,3C ，则()114,0,3D A =-，()114,4,2D B =-，设(),,0P x y ，则()14,y,1A P x =--. ∵1A P ⊥平面111A B D ， ∴111A P D B ⊥，111A P D A ⊥，∴()()44420,4430,x y x ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩解得13x ,41.4y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴131,,044P ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1A P ⊥平面111A B D ，所以不妨取平面111A B D 的一个法向量为()13,1,4n =--. 设平面111B C D 的法向量为()2,y ,z n x '''=，则2112110,0,n D B n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵()114,42D B =-，()110,41D C =-， ∴4420,40,x y z y z '''+-=⎧⎨''+=⎩令4z '=，则1x '=，1y '=，∴()21,1,4n =. ∵()121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅，易知二面角1111A B D C --是钝角， ∴二面角1111A B D C --的余弦值为. 20.解析（Ⅰ）由22221,20x y a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-⎩消去x 并整理得()22222224320ba y yb a b +-+-=.∵椭圆C 与直线l 相切，∴()()()222222244320b a b a b ∆=--+-=，化简得224320b a ∆+-=，①又点(在椭圆C 上，∴22821a b +=.② 由①②得216a =，24b =.∴椭圆C 的方程为221164x y +=.（Ⅱ）存在.理由如下：设直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，联立221,1,164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()22418120k x kx ---=.()()222844112256480k k k ∆=++⨯=+>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841k x x k +=+，1221241x x k =-+. 假设存在点()0,P t 满足条件，由于PA PB PM PA PB λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，所以PM 平分APB ∠. 易知直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，∴0PA PB k k +=， 即12120y t y t x x --+=，即()()21120x y t x y t -+-=.（*） 将111y kx =+，221y kx =+代入（*）并整理得 ()()1212210kx x t x x +-+=，∴()()221812204141t k k k k -⨯--⋅+=++， 整理得()310k k t +-=，即()40k t -=， ∴当4t =时，无论k 取何值均成立.∴存在点()0,4P 使得PA PB PM PA PB λ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭. 21.解析（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()2ln 1f x x a x'=+--，要使()f x 在区间()0,+∞上单调递增，则需()0f x '≥，即2ln 1x a x+-≥， 设()2ln 1r x x x =+-，则()212r x x x'=+，令()0r x '=，则2x =-，所以()r x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11r x r <=-，所以1a ≤-， 所以实数a 的取值范围是(],1-∞-.（Ⅱ）不等式()()000002ln 1f x x x ax <⇔-<-，令()()2ln g x x x =-，()1h x ax =-，则()2ln 1g x x x '=+-，因为()g x '在()0,+∞上单调递增，而()110g '=-<，()2ln 20g '=>， 所以存在实数()1,2m ∈，使得()0g m '=，所以()()min g m g m =，易知()()120g g ==，画出函数()g x 和()h x 的大致图象如下：又()h x 的图象是过定点()0,1C -的直线，所以要使存在唯一整数0x 使得()00f x <成立，则需{}max ,k BC AC DC k a k <≤，而ln312ln31033AC DC k k +--=-=>，即AC DC k k >. 所以实数a 的取值范围是1ln 31,23+⎛⎤⎥⎝⎦. 22.解析（Ⅰ）直线l 和曲线C 相交.理由如下：因为2cos 4sin p θθ=-，所以22cos 4sin p p p θθ=-，所以曲线C 的直角坐标方程为2224x y x y +=-，即()()22125x y -++=，由直线l 的参数方程可知其过点()1,1-，所以该点到圆心的距离为1=<，所以直线l 与曲线C 相交.（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，则AB =，所以直线l 的斜率一定存在，设其方程为()11y k x +=-，即10kx y k ---=，所以圆心到直线l 的距离d ==1k =±，所以直线l 的斜率为1±. 23.解析（Ⅰ）令()1,1,1223,12,1,2,x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<≤⎨⎪>⎩则()11f x -≤≤，中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 由于x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立， 所以1t ≤，所以{}|1T t t =≤. （Ⅱ）由（Ⅰ）知33log log 1m n ⋅≥恒成立，根据基本不等式得33log log 2m n +≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号.再根据基本不等式得6m n +≥， 当且仅当3m n ==时取等号， 所以m n +的最小值为6.。
河南省郑州市2019-2020学年中考数学四模考试卷含解析
河南省郑州市2019-2020学年中考数学四模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，扇形AOB 中，OA=2，C 为弧AB 上的一点，连接AC ，BC ，如果四边形AOBC 为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．233π-B ．2233π-C ．433π- D ．4233π- 2．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k y x =的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x > 3．下列各式计算正确的是（ ）A ．（b+2a ）（2a ﹣b ）=b 2﹣4a 2B ．2a 3+a 3=3a 6C ．a 3•a=a 4D ．（﹣a 2b ）3=a 6b 34．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为25．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b+c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．估计41的值在（ ）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间7．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把ABC ∆向右平移3个单位长度得到111A B C ∆，再把111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒得到221A B C ∆，则点A 的对应点2A 的坐标是（ ）A ．(2,2)-B ．(6,0)-C ．(0,0)D ．(4,2)8．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果60APB ∠=o ， 8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．3C ．8D ．839．纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）A ．43.510⨯米B ．43.510-⨯米C ．53.510-⨯米D ．93.510-⨯米10．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别是（x 1，0），（x 2，0），且12x x <.图象上有一点()00M x y ，在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）A ．0a >B ．240b ac -≥C ．102x x x <<D ．()()01020a x x x x --< 11．如图，AB 是O e 的直径，点C ，D 在O e 上，若DCB 110∠=o ，则AED ∠的度数为( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o12．如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若▱ABCD 的周长为18， 1.5OE =，则四边形EFCD 的周长为( )A ．14B ．13C ．12D ．10二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．直线y ＝﹣x+1分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，则△AOB 的面积等于___．14．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ．15．如图，PC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点P ，AO 交⊙O 于点B ；连接BC ，若32C ∠=︒，则A ∠=______.16．分解因式：a 3-12a 2+36a=______．17．关于x 的一元二次方程24410x ax a +++=有两个相等的实数根，则581a a a --的值等于_____． 1812x-x 的取值范围是_____________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为23． （1）请直接写出袋子中白球的个数．（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）20．（6分）如图，有长为14m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm1．求S与x的函数关系式及x值的取值范围；要围成面积为45m1的花圃，AB的长是多少米？当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？21．（6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．求证：MD=MC；若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．23．（8分）已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=35时，求BFCF的值；(2)如图2,当tan∠ABC=12时,过D作DH⊥AE于H,求EH EA⋅的值；(3)如图3,连AD交BC于G,当2FG BF CG=⋅时,求矩形BCDE的面积24．（10分）已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？25．（10分）如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．26．（12分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．。
河南省开封市2019-2020学年中考数学四模考试卷含解析
河南省开封市2019-2020学年中考数学四模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．2017上半年，四川货物贸易进出口总值为2 098.7亿元，较去年同期增长59.5%，远高于同期全国19.6%的整体进出口增幅．在“一带一路”倡议下，四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长．将2098.7亿元用科学记数法表示是（ ）A ．2.098 7×103B ．2.098 7×1010C ．2.098 7×1011D ．2.098 7×10122．下列命题中，真命题是（ ）A ．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B ．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C ．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D ．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离3．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y=上，第二象限的点B 在反比例函数上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．4C ．﹣4D ．24．一次函数y=kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ） A ．（﹣5，3） B ．（1，﹣3） C ．（2，2） D ．（5，﹣1）5．二次函数y ＝a(x －4)2－4(a≠0)的图象在2＜x ＜3这一段位于x 轴的下方，在6＜x ＜7这一段位于x 轴的上方，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－26．如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，M 为EF 的中点，连接DM ，若O e 的半径为2，则MD 的长度为( )A 7B 5C ．2D ．17．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE1=1（AD1+AB1）﹣CD1．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④8．若关于x，y的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y+=的解，则k的值为()A．34-B．34C．43D．43-9．一元二次方程(x+2017)2＝1的解为( )A．﹣2016，﹣2018 B．﹣2016 C．﹣2018 D．﹣201710．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.811．下列实数中，无理数是（）A．3.14 B．1.01001 C．39D．22 712．计算﹣2+3的结果是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点A在双曲线1y=x上，点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．14．= ．15．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y=kx（x＜0）的图象经过点A，S△BEC=8，则k=_____．16．在平面直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2.写出一个．．符合条件的点P的坐标________________.17．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________18．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为1．（1）写出抛物线的函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由．20．（6分）计算：（π﹣3.14）0+|2﹣1|﹣2sin45°+（﹣1）1．21．（6分）计算：4cos30°﹣12+20180+|1﹣3|22．（8分）解不等式组2(1)31122xxxx⎧-≥⎪⎪⎨+⎪-≤⎪⎩(1)(2)请结合题意填空，完成本题的解答．（I）解不等式（1），得；（II）解不等式（2），得；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为．23．（8分）某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）．下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：项目选手服装普通话主题演讲技巧李明85 70 80 85张华90 75 75 80结合以上信息，回答下列问题：求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．24．（10分）（1）化简：221m2m1 1m2m4++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭（2）解不等式组31234(1)9 xxx+⎧>+⎪⎨⎪+->-⎩．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．26．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．（1）求证：FD=CD；（2）若AE=8，tan∠E=，求⊙O的半径．27．（12分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP＝时，四边形AOCP是菱形；②连接BP，当∠ABP＝时，PC是⊙O的切线．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】将2098.7亿元用科学记数法表示是2.0987×1011， 故选：C ．点睛: 本题考查了正整数指数科学计数法,对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.2．D【解析】【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A 是假命题；B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B 是假命题；C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C 是假命题；D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D 是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R 、r ，两圆圆心距为d ，则当d ＞R+r 时两圆外离；当d=R+r 时两圆外切；当R-r ＜d ＜R+r （R≥r ）时两圆相交；当d=R-r （R ＞r ）时两圆内切；当0≤d ＜R-r （R ＞r ）时两圆内含．3．C【解析】试题分析：作AC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥x 轴于点D ．则∠BDO=∠ACO=90°，则∠BOD+∠OBD=90°，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠BOD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴=（tanA）2=2，又∵S△AOC=×2=1，∴S△OBD=2，∴k=-1．故选C．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征．4．C【解析】【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣45＜0，不符合题意；B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=32＞0，符合题意；D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．5．A【解析】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1.故选A6．A【解析】【分析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【详解】连接OM、OD、OF，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，M 为EF 的中点，∴OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin ∠MFO=2×3=3， ∴MD=()2222327OM OD +=+=，故选A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．7．A【解析】分析：只要证明△DAB ≌△EAC ，利用全等三角形的性质即可一一判断；详解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC ，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD=CE ，∠ABD=∠ECA ，故①正确，∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°，即CE ⊥BD ，故③正确，∴BE 1=BC 1-EC 1=1AB 1-（CD 1-DE 1）=1AB 1-CD 1+1AD 1=1（AD 1+AB 1）-CD 1．故④正确，故选A ．点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．B【解析】【分析】将k 看做已知数求出用k 表示的x 与y ，代入2x+3y=6中计算即可得到k 的值．解：59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：214x k =，即7x k =，将7x k =代入①得：75k y k +=，即2y k =-，将7x k =，2y k =-代入236x y +=得：1466k k -=， 解得：34k =． 故选：B ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．9．A【解析】【分析】利用直接开平方法解方程．【详解】（x+2017）2=1x+2017=±1，所以x 1=-2018，x 2=-1．故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．10．C【解析】试题解析：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，∵共有5个人，∴第3个人的劳动时间为中位数，故中位数为：4， 平均数为：3 3.542 4.55++⨯+=3.1． 故选C ．11．C【分析】先把能化简的数化简，然后根据无理数的定义逐一判断即可得．【详解】A、3.14是有理数；B、1.01001是有理数；C、39是无理数；D、227是分数，为有理数；故选C．【点睛】本题主要考查无理数的定义，属于简单题．12．A【解析】【分析】根据异号两数相加的法则进行计算即可．【详解】解：因为-2，3异号，且|-2|＜|3|，所以-2+3=1．故选A．【点睛】本题主要考查了异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线1y=x上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝214．2【解析】试题分析：根据算术平方根的定义，求数a 的算术平方根，也就是求一个正数x ，使得x 2=a ，则x 就是a 的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.∵22=4，∴=2.考点：算术平方根.15．1【解析】【详解】∵BD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BD=CD=AD ，∴∠DBC=∠ACB ，又∠DBC=∠OBE ，∠BOE=∠ABC=90°，∴△ABC ∽△EOB ， ∴AB BC OE OB= ∴AB•OB=BC•OE ，∵S △BEC =12×BC•OE=8， ∴AB•OB=1，∴k=xy=AB•OB=1．16．()()()()21212121----，，，，，，，（写出一个即可） 【解析】【分析】根据点到x 轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离即点的横坐标的绝对值，进行求解即可．【详解】设P （x ，y ），根据题意，得|x|=2，|y|=1，即x=±2，y=±1， 则点P 的坐标有（2，1），（2，-1），（-2，1），（2，-1），故答案为：（2，1），（2，-1），（-2，1），（2，-1）（写出一个即可）.【点睛】本题考查了点的坐标和点到坐标轴的距离之间的关系．熟知点到x 轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离即点的横坐标的绝对值是解题的关键．17．x=±1【解析】移项得x 1=4，∴x=±1．故答案是：x=±1．18．【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD ，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m ，又∵∠CAD=30°，∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA=tan30°=CD AD解得：m ），故答案为【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan ∠CDA=tan30°=CD AD是解题关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y ＝x 2﹣7x+1；（2）△ABC 为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q 的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【解析】【分析】（1）先利用一次函数解析式得到A （8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先利用抛物线解析式确定C （1，﹣5），作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥y 轴于N ，如图，证明△ABM 和△BNC 都是等腰直角三角形得到∠MBA ＝45°，∠NBC ＝45°，AB ＝ ，BN ＝，从而得到∠ABC ＝90°，所以△ABC 为直角三角形；（3）利用勾股定理计算出AC ＝ ，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt △ABC 的内切圆的半径＝ ，设△ABC 的内心为I ，过A 作AI 的垂线交直线BI 于P ，交y 轴于Q ，AI 交y 轴于G ，如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI×＝4，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可．【详解】解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得64+8+91b cc=⎧⎨=⎩，解得-71bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；故答案为y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由如下：当x＝1时，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，则C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，∴∠ABC＝90°，∴△ABC为直角三角形；（3）∵AB＝BN＝，∴AC＝，∴Rt△ABC的内切圆的半径＝2设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，∵I为△ABC的内心，∴AI、BI为角平分线，∴BI⊥y轴，而AI⊥PQ，∴PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，它们到直线AB、BC、AC距离相等，BI＝2×22＝4，而BI⊥y轴，∴I（4，1），设直线AI的解析式为y＝kx+n，则41 89k nk n+=⎧⎨+=⎩，解得27 kn=⎧⎨=-⎩，∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；设直线AP的解析式为y＝﹣12x+p，把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，∴直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，当y＝1时，﹣12x+13＝1，则P（24，1）当x＝0时，y＝﹣12x+13＝13，则Q（0，13），综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键．20．1-【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而求出答案．【详解】 原式()2121212=+--⨯+- 1=-．【点睛】考核知识点：三角函数混合运算.正确计算是关键.21．3【解析】【分析】先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【详解】原式＝34231312⨯-++- =2323131-++-=3【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．22．（1）x≥65；（1）x≤1；（3）答案见解析；（4）65≤x≤1． 【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解:（I ）解不等式（1），得x≥65； （II ）解不等式（1），得x≤1；（III ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为：65≤x≤1．故答案为x≥65、x≤1、65≤x≤1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．（1）服装项目的权数是10%，普通话项目对应扇形的圆心角是72°；（2）众数是85，中位数是82.5；（3）选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据扇形图用1减去其它项目的权重可求得服装项目的权重，用360度乘以普通话项目的权重即可求得普通话项目对应扇形的圆心角大小；（2）根据统计表中的数据可以求得李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；（3）根据统计图和统计表中的数据可以分别计算出李明和张华的成绩，然后比较大小，即可解答本题．【详解】（1）服装项目的权数是：1﹣20%﹣30%﹣40%=10%，普通话项目对应扇形的圆心角是：360°×20%=72°；（2）明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85，中位数是：（80+85）÷2=82.5；（3）李明得分为：85×10%+70×20%+80×30%+85×40%=80.5，张华得分为：90×10%+75×20%+75×30%+80×40%=78.5，∵80.5＞78.5，∴李明的演讲成绩好，故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛．【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数、众数、加权平均数，明确题意，结合统计表和统计图找出所求问题需要的条件，运用数形结合的思想进行解答是解题的关键．24．（1）21mm-+；（2）﹣2＜x<1【解析】【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【详解】（1）原式＝21(2)(2)2m 2(1)1m m m m m m ++--⋅=+++； （2）不等式组整理得：12x x <⎧⎨>-⎩， 则不等式组的解集为﹣2＜x<1．【点睛】此题考查计算能力，（1）考查分式的化简，正确将分子与分母分解因式及按照正确运算顺序进行计算是解题的关键；（2）是解不等式组，注意系数化为1时乘或除以的是负数时要变号.25．（1）y=3x ；y=x-2；（2）（0,0）或（4,0） 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）首先求得AB 与x 轴的交点，设交点是C ，然后根据S △ABP =S △ACP +S △BCP 即可列方程求得P 的横坐标．试题解析：（1）∵反比例函数y=m x （m≠0）的图象过点A （1，1）， ∴1=1m ∴m=1． ∴反比例函数的表达式为y=3x ． ∵一次函数y=kx+b 的图象过点A （1，1）和B （0，-2）．∴31{2k b b ＝＝+-， 解得：1{2k b -＝＝， ∴一次函数的表达式为y=x-2；（2）令y=0，∴x-2=0，x=2，∴一次函数y=x-2的图象与x 轴的交点C 的坐标为（2，0）．∵S △ABP =1，12PC×1+12PC×2=1． ∴PC=2，∴点P 的坐标为（0，0）、（4，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据S △ABP =S △ACP +S △BCP 列方程是关键．26．（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=1，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=2，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长．【详解】（1）∵AC 是⊙O 的切线，∴BA⊥AC，∴∠CAD+∠BAD=90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠CAD=∠B，∵DA=DE，∴∠EAD=∠E，又∵∠B=∠E，∴∠B=∠EAD，∴∠EAD=∠CAD，在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD，∴△ADF≌△ADC，∴FD=CD．（2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G．∵DE=AE，DG⊥AE，∴EG=AG=AE=1．∵tan ∠E=， ∴=，即=，解得DG=1．∴ED==2．∵∠B=∠E ，tan ∠E=，∴sin ∠B=，即，解得AB=．∴⊙O 的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键．27． (1)见解析;(2)①120°；②45°【解析】【分析】（1）由AAS 证明△CPM ≌△AOM ，得出PC=OA ，得出PC=OB ，即可得出结论；（2）①证出OA=OP=PA ，得出△AOP 是等边三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可； ②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP=∠OPB=45°即可．【详解】（1）∵PC ∥AB ，∴∠PCM ＝∠OAM ，∠CPM ＝∠AOM ．∵点M 是OP 的中点，∴OM ＝PM ，在△CPM 和△AOM 中，PCM OAM CPM AOM PM OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CPM ≌△AOM （AAS ），∴PC ＝OA ．∵AB 是半圆O 的直径，∴OA ＝OB ，∴PC ＝OB ．又PC∥AB，∴四边形OBCP是平行四边形．（2）①∵四边形AOCP是菱形，∴OA＝PA，∵OA＝OP，∴OA＝OP＝PA，∴△AOP是等边三角形，∴∠A＝∠AOP＝60°，∴∠BOP＝120°；故答案为120°；②∵PC是⊙O的切线，∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，∵PC∥AB，∴∠BOP＝90°，∵OP＝OB，∴△OBP是等腰直角三角形，∴∠ABP＝∠OPB＝45°，故答案为45°．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．。
2019年中考数学模拟试题(四)参考答案
2019年初中学生学业模拟考试试题（四）数学 参考答案一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）15. < 16.6 17. 40° 18. 4319. 15 三、解答题 20．(满分7分)解：原式221(1)2[]11(1)x x x x x --=-÷--- -----------------------3分 221(1)(1)12x x x x ---=-- ----------------------------5分 (1)x x =--2x x =-+ ---------------------------------7分-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21. (满分7分)解：（1）60 ------------2分（2）60﹣12﹣9﹣6﹣24=9， -----------------3分 补图所示：----------------4分（3）×1500=150（名）答：该中学最喜爱律师职业的学生有150名．-----------------------7分22. (满分7分)解：由题意可得，α=30°，β=60°，AD=100米，∠ADC=∠ADB=90°，∴在Rt△ADB中，α=30°，AD=100米，∴tanα===，∴BD=米，-----------------------2分在Rt△ADC中，β=60°，AD=100米，∴tanβ=，--------------------------4分∴CD=100米，∴BC=BD+CD=米，即这栋楼的高度BC是米．------------------------7分--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23. (满分9分)（1）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠BAC=∠ACO．------------------------1分因为∠BAC=∠CAD，故∠ACO=∠CAD．------------------------2分所以OC∥AD，又已知AD丄MN，所以OC丄MN，所以，直线MN是⊙O的切线；------------------------4分（2）解：已知AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又AD丄MN，则∠ADC=90°．因为CD=3，∠CAD=30°，所以AD =3，AC =6 -------------------------5分在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，∠BAC =∠CAD ，所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ， ---------------------------7分 则， 则AB =4，所以⊙O 的半径为2． ----------------------------9分--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 24. (满分9分) 解：（1）设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元，根据题意，得：⎩⎨⎧=+=+2923263y x y x 解得：⎩⎨⎧==75y x答：一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元。
2019年河南省商丘市中考数学四模试卷
2019年河南省商丘市中考数学四模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母涂在答题卡上．1．实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（）A．﹣πB．﹣3.14 C．D．02．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．（x6）2=x8D．1÷（）﹣1=3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（）A．众数B．方差C．平均数D．频数5．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．102°6．已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）7．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（ 每小题3分，共21分） 9的结果是 ． 10．化简：6（7＋1）（72＋1）（74＋1）（78＋1）（716＋1）＋1＝ ． 11．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则∠1＝ ．12．二次函数y ＝x 2－2x ＋3的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得二次函数的解析式 为 ． 13．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF ＝1.8m ，小华的身高MN ＝1.5m ，他们的影子恰巧等于自 己的身高，即BF ＝1.8m ，CN ＝1.5m ，且两人相距4.7m ，则路灯AD 的高度是 ．第11题图G FABCDE1第13题图14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，且BC ＝2，则AB ＝ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝－ x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点（1，0）作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2 作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去， 则点A 2017的坐标为 ．三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分） 16．（8分）先化简，再求值：11()11x x --+÷221x x +-，其中x ＝2sin30°＋°．17．（9分）如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点（F 不A 、B 与重合）F 的反比例函数y ＝kx的图象与边BC 交于点E ．（1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面 积是多少？第14题图ABC 第15题图第17题图18．（9分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中国诗词大会”，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：甲：79，86，82，85，83乙：88，79，90，81，72回答下列问题：（1）甲成绩的平均数是，乙成绩的平均数是；（2）经计算可知：S2甲＝6，S2乙＝42，你认为选谁参加竞赛比较合适，说明理由；（3）如果从两个人5次的成绩中各随机抽取一次进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率．19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．第19题图BE20．（9分）南沙群岛是我国的固有领土，现在我南海渔民要在南沙群岛某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20（1C 处， 为防止某国的巡警干扰，就请求我A 处的鱼监船前往C 处护航，已知C 位于A 处的北偏东45°方向上，A 位于B 的北偏西30°的方向上，求A 、C 之间的距离．21．（10分）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品商店购买直握球拍和横握球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直握球拍和15副横握球拍共花费9000元；购买10副横握球拍比购买5副直握球拍多花费1600元． （1）求两种球拍每副多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直握球拍数量不多于横握球拍的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．第20题图A22．（10分）如图（1），在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE ＝BF ，连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG ＝DE ，连接FG ，FC ．（1）请判断：FG 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图（2），若点E ，F 分别是CB ，BA 的延长线上的点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给出证明；（3）如图（3）若点E ，F 分别是BC ，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．(3)(2)(1)第22题图GGG A BC DEFA BCDE FAB C DEF23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B 两点，点C的坐标为（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从O点出发，沿OB以每秒两个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BC以每秒一个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PA＝QA？；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．备用图第23题图2019年河南省商丘市中考数学四模试卷选择题（每题3分共24分）1．实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（）A．﹣πB．﹣3.14 C．D．0【考点】实数大小比较．【分析】先计算|﹣π|=π，|﹣3.14|=3.14，根据两个负实数绝对值大的反而小得﹣π＜﹣3.14，再根据正数大于0，负数小于0得到﹣π＜﹣3.14＜0＜．【解答】解：∵|﹣π|=π，|﹣3.14|=3.14，∴﹣π＜﹣3.14，∴﹣π，﹣3.14，0，这四个数的大小关系为﹣π＜﹣3.14＜0＜．故选A．2．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣a+b）=a+b B．3a3﹣3a2=a C．（x6）2=x8D．1÷（）﹣1=【考点】幂的乘方与积的乘方；有理数的除法；合并同类项；去括号与添括号．【分析】结合幂的乘方与积的乘方、有理数的除法等知识点的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：A、﹣（﹣a+b）=a﹣b≠a+b，计算错误，本选项错误；B、3a3﹣3a2≠a，计算错误，本选项错误；C、（x6）2=x12≠x8，计算错误，本选项错误；D、1÷（）﹣1=，本选项正确；故选D．3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．故选：A．4．小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的（）A．众数B．方差C．平均数D．频数【考点】统计量的选择．【分析】根据方差的含义和求法，可得：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．【解答】解：小明因流感在医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解小明7天体温的方差．故选：B．5．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．102°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线性质求出∠A，根据三角形外角性质得出∠2=∠1﹣∠A，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠3=40°，∵∠1=120°，∴∠2=∠1﹣∠A=80°，故选A．6．已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′于点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）【考点】坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据平移的性质，以及点A，B的坐标，可知点A的横坐标加上了4，纵坐标减小了1，所以平移方法是：先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，根据点B的平移方法与A点相同，即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．故选：C．7．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，所以这个几何体的体积是5．故选：B．8．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据平行线的性质可得∠EDF=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDB是等边三角形，从而求得ED=DB=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AC，∴∠EDF=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED=DB=2﹣x，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴EF=ED=（2﹣x）．∴y=ED•EF=（2﹣x）•（2﹣x），即y=（x﹣2）2，（x＜2），故选A ．一、 填空题91 10．327 11．18° 12．y ＝x 2＋4 13．4m 141 15．（10082，10092） 三、解答题16．解：原式=2(1)(1)1x x x +---÷221x x +- ……………………3分=221x -×212x x -+ =22x + ……………………5分 ∵x ＝2sin30°＋° ＝2×12＋2＝3， ……………………7分 ∴原式=22325=+． ……………………8分 17．解：（1）∵四边形OABC 是矩形，∴AB ＝OC ＝2，又∵F 是AB 的中点， ∴AF ＝1，∴F （3，1），∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x……………………4分 （2）解：∵E （2k ，2），F （3，3k），∴S △EFA ＝12AF ×BE ＝12×3k ×（3－2k ）＝－112k 2＋12k＝－112（k －3）2＋34，∴当k ＝3时，△EFA最大面积是34 ． ……………………9分18．解：（1）甲成绩的平均数是 83 ，乙成绩的平均数是 82 ； ……………………2分第17题图（2）因为甲的平均成绩大于乙的平均成绩，且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，因此，选甲参加竞赛更合适； ……………………4分（3）列表如下：设抽到的两个人的成绩都大于80分的概率为P 则P ＝1225……………………9分 19．证明：（1）∵F 为弦AC （非直径）的中点，∴AF ＝CF ，∴OD ⊥AC ，∵DE 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DE ，∴AC ∥DE ． ……………………3分 （2）∵AC ∥DE ，且OA ＝AE ，∴F 为OD 的中点，即OF ＝FD ，又∵AF ＝CF ， ∠AFO ＝∠CFD ，∴△AFO ≌△CFD （SAS ），∴S △AFO ＝S △CFD ，∴S 四边形ACD E ＝S △ODE 在Rt △ODE 中，OD ＝OA ＝AE ＝2，∴OE ＝4，∴DE∴S 四边形ACDE ＝S △ODE ＝1×OD ×OE ＝12×2× ……………………9分20．解：作AD ⊥BC 于D ，设AD ＝x ，依题意可知∠ABC ＝30°，∠ACB ＝45°，在Rt △ADC 中，CD ＝AD ＝x ，在Rt △ADB 中 ∵ADBD＝tan30°，∴BD ＝，∵BC ＝CD ＋BD ＝x ＋＝20（1， 第19题图B第20题图A8181818181909090909079888888888883838383838585858585828282828286868686867272727279797979797979797972（ ，） （ ，） （ ，） （ ，） ( , )72819079888385828679乙甲即x ＝20（1，解之得x ＝20，∴AC ＝∴A 、C 之间的距离为 ……………………9分21．解：（1）设直握球拍每副x 元，横握球拍每副y 元，依题意可得：20(102)15(102)90005(102)160010(102)x y x y ì+?+?ïïíï+?=+?ïî ……………………3分解得：220260x y ì=ïïíï=ïî ……………………5分∴直握球拍每副220元，横握球拍每副260元；（2）设购买直握球拍m 副，则购买横握球拍（40－m ）副 ，则，m ≤3（40－m ），解之得：m ≤30 ……………………7分 设购买两种球拍的总费用为W 元，则W ＝（220＋2×10）m ＋（260＋2×10）（40－m ） ＝－40 m ＋11200∵－40＜0，∴W 随 m 的增大而减小，∴ m 取最大值30时，W 最小，此时40－m ＝10即学校购买直握球拍30副，购买横握球拍10副时，费用最少，W ＝－40 m ＋11200＝－40×30＋11200＝10000，∴最少费用为10000元． ……………………10分 22．（1）FG 与CE 的数量关系是FG ＝CE ，位置关系是FG ∥CE ； ……………………2分（2）（1）中结论仍然成立，证明：CE ＝BF ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，BC ＝CD ，∴△ECD ≌△FBC （SAS ），∴ED ＝FC ，∠DEC ＝∠CFB ，……………………5分 又∵EG ＝DE ，∴EG ＝FC ，又∵AB ∥CD ，∴∠CFB ＝∠FCD ，∴∠DEC ＝∠FCD ，∵∠DEC ＋∠EDC ＝90°， ∠FCD ＋∠EDC ＝90°，即∠CMD ＝90°，即ED ⊥FC ，又EG ⊥DE ， ∴EG ∥FC ，又EG ＝FC ，∴四边形CEGF 为平行四边形，∴FG ＝CE ，FG ∥CE ； ……………………9分 （3）（1）中结论仍然成立． ……………………10分23．解：（1）在y ＝－2x ＋10中，当x ＝0时，y ＝10，y ＝0时，x ＝5，∴A （5，0），B （0，10），∵抛物线经过O （0，0），故设过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式 为y ＝ax 2＋bx （a ≠ 0），则25506484a b a b ì+=ïïíï+=ïî，解得：1656a b ìïï=ïïíïï=-ïïïî∴过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式为y ＝16x 2－56x ，……………………2分∵BA 2＝102＋52＝125，BC 2＝82＋62＝100，AC 2＝32＋42＝25，∴AC 2＋BC 2＝BA 2，即△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°；……………………3分 （2）作CE ⊥y 轴于E 点，QD ⊥y 轴于D 点，QF ⊥x 轴于点F ，△BEC 中，BE ︰EC ︰BC ＝6︰8︰10＝3︰4︰5，∵CE ⊥y 轴，QD∴QD ∥ CE ，∴△BDQ ∽△BEC ， ∴BD ︰DQ ︰BQ ＝BE ︰EC ︰BC ＝3︰4︰5，∵BQ ＝t ，∴BD ＝35t ，DQ ＝45t ，∴QA 2＝QF 2＋FA 2＝（10－35t ）2＋（5－45t ）2＝t 2－20t ＋125PA 2＝（2t ）2＋52＝4t 2＋25，若PA ＝QA ，则PA 2＝QA 2， ∴4t 2＋25＝t 2－20t ＋125，∴3t 2＋20t －100＝0， 解之得：t 1＝103，t 2＝－10，∵0≤t ≤5，∴t ＝103第23题图M(3)(2)(1)第22题图G GGA BCDEFABCDE FABC DEF∴当t ＝103秒时，PA ＝QA ；……………………7分（3）存在满足条件的点M ．M 1（52，M 2（52，M 3（52），M 4（52）．……………………11分。
2019年河南省普通高中中考数学模拟试卷(4月份)附答案
2019年河南省普通高中中考数学模拟试卷（4月份）附答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）在实数0，﹣1.5，1，﹣中，比﹣2小的数是（）A．0B．﹣1.5C．1D．﹣2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（）A．3.9×10﹣8B．﹣3.9×10﹣8C．0.39×10﹣7D．39×10﹣93．（3分）如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣25．（3分）下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件B．天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨”C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为76．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠27．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为（）A．4B．5C．6D．78．（3分）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x 个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝4，D，F分别是AC，BC的中点，等腰直角三角形DEH的边DE经过点F，EH交BC于点G，且DF＝2EF，则CG的长为（）A．2B．2﹣1C．D． +110．（3分）如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：（﹣3）0﹣2﹣1＝．12．（3分）一个不透明的袋子中装有若干个大小相同的白球，现取8个与白球除颜色外完全相同的黑球放入袋子中，摇匀之后，随机摸出一个球，记下颜色并放回，经过大量重复试验后，发现摸出黑球的频率稳定在0.1附近，则估计袋子中原有白球约个．13．（3分）不等式组的最小整数解是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1．将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD，再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F 为直角三角形，则AE的长为．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．17．（9分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为；（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP＝时，四边形AOCP是菱形；②连接BP，当∠ABP＝时，PC是⊙O的切线．19．（9分）如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面（瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形）的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44（坡面与水平线夹角的正切值）的小坡PQ步行到点Q（此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面）后测得点D的仰角减少了5°．已知坡面PQ 的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．（参考数据：sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）20．（9分）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA＝2．（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．21．（10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？22．（10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D 落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6过点A（6，0），B（4，6），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，直线的解析式为y＝x，抛物线的对称轴与线段BC交于点P，过点P作直线的垂线，垂足为点H，连接OP，求△OPH的面积；（3）把图1中的直线y＝x向下平移4个单位长度得到直线y＝x﹣4，如图2，直线y＝x﹣4与x轴交于点G．点P是四边形ABCO边上的一点，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别为点E，F．是否存点P，使得以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019年河南省普通高中中考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）在实数0，﹣1.5，1，﹣中，比﹣2小的数是（）A．0B．﹣1.5C．1D．﹣【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再判断即可．【解答】解：﹣＜﹣2＜﹣1.5＜0＜1，即比﹣2小的数是﹣，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（）A．3.9×10﹣8B．﹣3.9×10﹣8C．0.39×10﹣7D．39×10﹣9【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000039＝3.9×10﹣8．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．【解答】解：所给图形的俯视图是D选项所给的图形．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．4．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．【解答】解：x2﹣2x＝0x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件B．天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨”C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7【分析】直接利用随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件，故此选项错误；B、天气预报“明天降水概率50%，是指明天有50%下雨的可能，故此选项错误；C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2＝0.3，S2＝0.4，则甲的成绩更稳定，正确；D、数据6，6，7，7，8的中位数为7，众数为：6和7，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义，正确把握相关定义是解题关键．6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】作DE⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，依据∠C＝∠AED＝90°知CD＝DE＝3，结合BD＝5知BE＝4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解之可得答案．【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，由作图知AP平分∠BAC，∵∠C＝∠AED＝90°，∴CD＝DE＝3，∵BD＝5，∴BE＝4，∵AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC＝6，故选：C．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识点．8．（3分）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x 个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝4，D，F分别是AC，BC的中点，等腰直角三角形DEH的边DE经过点F，EH交BC于点G，且DF＝2EF，则CG的长为（）A．2B．2﹣1C．D． +1【分析】由已知得出DF∥AB，BC＝AB＝4，DF＝AB＝2，CF＝BF，CF＝BC＝2，求出EF＝1，求出△EGF是等腰直角三角形，得出GF＝EF＝1，即可得出CG＝CF﹣GF＝2﹣1．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝4，D，F分别是AC，BC的中点，∴DF∥AB，BC＝AB＝4，DF＝AB＝2，CF＝BF，∴CF＝BC＝2，∵DF＝2EF，∴EF＝1，∵等腰直角三角形DEH的边DE经过点F，∴DE⊥BC，∴△EGF是等腰直角三角形，∴GF＝EF＝1，∴CG＝CF﹣GF＝2﹣1，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．10．（3分）如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A＝α，点M运动的速度为a，则AM＝at，当点N在AD上时，MN＝tanα×AM＝tanα•at，此时S＝×at×tanα•at＝tanα×a2t2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N在DC上时，MN长度不变，此时S＝×at×MN＝a×MN×t，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：（﹣3）0﹣2﹣1＝．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（﹣3）0﹣2﹣1＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．12．（3分）一个不透明的袋子中装有若干个大小相同的白球，现取8个与白球除颜色外完全相同的黑球放入袋子中，摇匀之后，随机摸出一个球，记下颜色并放回，经过大量重复试验后，发现摸出黑球的频率稳定在0.1附近，则估计袋子中原有白球约72个．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：设袋子中原有白球n个，依题意有：＝0.1，解得：n＝72．∴袋子中原有白球72个，故答案为：72．【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．13．（3分）不等式组的最小整数解是0．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，从而得出答案．【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，解不等式1﹣x≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的最小整数解为0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1．将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD，再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】作EF⊥CD于F，根据勾股定理骑车AC，根据旋转变换的性质求出EF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：作EF⊥CD于F，由旋转变换的性质可知，EF＝BC＝1，CD＝CB+BD＝3，由勾股定理得，CA＝＝，则图中阴影部分的面积＝△ABC的面积+扇形ABD的面积+△ECD的面积﹣扇形ACE的面积＝×1×2++×3×1﹣＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积计算、旋转变换的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F 为直角三角形，则AE的长为3或．【分析】利用三角函数的定义得到∠B＝30°，AB＝4，再利用折叠的性质得DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，讨论：当∠AFB′＝90°时，则∴BF＝cos30°＝，则EF＝﹣（4﹣x）＝x﹣，于是在Rt△B′EF中利用EB′＝2EF得到4﹣x＝2（x﹣），解方程求出x得到此时AE的长；若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′＝AC＝2，再计算出∠EB′H＝60°，则B′H＝（4﹣x），EH＝（4﹣x），接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2＝x2，方程求出x得到此时AE的长．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，∴tan B＝＝＝，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F∴DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，当∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF中，cos B＝，∴BF＝cos30°＝，∴EF＝﹣（4﹣x）＝x﹣，在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF，即4﹣x＝2（x﹣），解得x＝3，此时AE为3；若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，∵DC＝DB′，AD＝AD，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′＝AC＝2，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（4﹣x），EH＝B′H＝（4﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2＝x2，解得x＝，此时AE为．综上所述，AE的长为3或．故答案为3或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．【分析】直接将＝去括号利用分式混合运算法则化简，再解不等式组，进而得出x的值，即可计算得出答案．【解答】解：原式＝×﹣×＝3（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+4，，解①得：x≤1，解②得：x＞﹣3，故不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，把x＝﹣2代入得：原式＝0．【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组解法，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．17．（9分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了100名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为36°；（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；（2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；（3）用360°乘以“戏曲”人数所占百分比即可得；（4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100名，故答案为：100；（2）“民乐”的人数为100×20%＝20人，补全图形如下：（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，故答案为：36°；（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%＝500人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP＝120°时，四边形AOCP是菱形；②连接BP，当∠ABP＝45°时，PC是⊙O的切线．【分析】（1）由AAS证明△CPM≌△AOM，得出PC＝OA，得出PC＝OB，即可得出结论；（2）①证出OA＝OP＝PA，得出△AOP是等边三角形，∠A＝∠AOP＝60°，得出∠BOP＝120°即可；②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP＝∠OPB＝45°即可．【解答】（1）证明：∵PC∥AB，∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．∵点M是OP的中点，∴OM＝PM，在△CPM和△AOM中，，∴△CPM≌△AOM（AAS），∴PC＝OA．∵AB是半圆O的直径，∴OA＝OB，∴PC＝OB．又PC∥AB，∴四边形OBCP是平行四边形．（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，∴OA＝PA，∵OA＝OP，∴OA＝OP＝PA，∴△AOP是等边三角形，∴∠A＝∠AOP＝60°，∴∠BOP＝120°；故答案为：120°；②∵PC是⊙O的切线，∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，∵PC∥AB，∴∠BOP＝90°，∵OP＝OB，∴△OBP是等腰直角三角形，∴∠ABP＝∠OPB＝45°，故答案为：45°．【点评】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．19．（9分）如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面（瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形）的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44（坡面与水平线夹角的正切值）的小坡PQ步行到点Q（此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面）后测得点D的仰角减少了5°．已知坡面PQ 的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．（参考数据：sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）【分析】分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q的水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，如解图所示，则四边形PMNH是矩形．设DH＝xm，想办法构建方程即可解决问题．【解答】解：分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q的水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，如解图所示，则四边形PMNH是矩形．∴PM＝HN，PH＝MN．由题意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°﹣5°＝40°．在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH．设该瓷碗建筑物的高度DH为xm，则PH＝DH＝MN＝xm．在Rt△PQM中，∵tan∠PQM＝＝0.44，QM＝20，∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8，∴DN＝DH+HN＝x+8.8，QN＝QM+MN＝x+20．在Rt△DQN中，tan∠DQN＝，∴≈0.84，解得x≈50．答：该瓷碗建筑物的高度约为50米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（9分）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA＝2．（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．【分析】（1）把点D的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得k1x+b﹣≥0时，自变量x的取值范围；（3）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，由C'和D的坐标可得，直线C'D为y＝x﹣，进而得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，∴y2＝﹣；如图，作DE⊥x轴于E∵OA＝2∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，，解得k1＝﹣，b＝﹣，∴y＝﹣x﹣；（2）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．（3）由，解得或，∴C（﹣4，），作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为y＝x﹣，令x＝0，则y＝﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．21．（10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；（2）根据题意，得：W＝W1+W2＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950＝﹣2x2+41x+8950＝﹣2（x﹣）2+，∵﹣2＜0，且x为整数，∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160，答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．22．（10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC+EC；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D 落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BC＝DC+EC，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案为：BC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝9，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝6，∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝DE＝6．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6过点A（6，0），B（4，6），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，直线的解析式为y＝x，抛物线的对称轴与线段BC交于点P，过点P作直线的垂线，垂足为点H，连接OP，求△OPH的面积；（3）把图1中的直线y＝x向下平移4个单位长度得到直线y＝x﹣4，如图2，直线y＝x﹣4与x轴交于点G．点P是四边形ABCO边上的一点，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别为点E，。