1.5正弦型函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
1.5 正弦函数的图像与性质学案
§5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像2．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：，，，，．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？[提示]列表、描点、连线．1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是()A ．向左、右无限延展B ．与y ＝－sin x 的图像形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称2．y ＝sin x 的图像的大致形状为()3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．4．函数y ＝sin x 在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．“五点法”作图【例1】用五点法作函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的图像．1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．(1)作出函数y ＝2sin x (0≤x ≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的图像．利用正弦函数图像解不等式【例2】利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sin x≥－12的x的取值范围．用三角函数图像解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据图像写出不等式的解集．2．利用正弦函数的图像，求满足sin x≥12的x的集合．正弦函数图像的应用[探究问题]1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？[提示]将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x 轴翻折到x轴上方即可．2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？[提示]可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．【例3】函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x ＝sin x 的实数解的个数”应如何求解．2．(变结论)将例3中的函数f (x )不变，求方程“f (x )＝|log 2x |”的解的个数，应如何求解．数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.1．“五点法”是我们画y ＝sin x 图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x 轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．()(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．()(3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．()(4)用五点法画函数y ＝sin x 在区间[－π，π]－π2，－一个关键点．()2．函数y ＝－sin x ，x ∈－π2，3π2的简图是()3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像．正弦函数的性质性质定义域R 值域[－1,1]最大值与当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；最小值当x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π性质单调性在2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的；在2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(k π，0)，k ∈Z ；对称轴x ＝k π＋π2，k ∈Z 思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？[提示]选取－π2，32π上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．1．下列函数中是奇函数的是()A ．y ＝－|sin x |B ．y ＝sin (－|x |)C ．y ＝sin |x |D ．y ＝x sin |x |2．已知M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于A ．23B ．－23C ．－43D ．－23．若函数f (x )＝sin 2x ＋a －1是奇函数，则a ＝________.4．函数y ＝|sin x |的值域是________．正弦函数的周期性与奇偶性【例1】求下列函数的周期：(1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝|sin x |.1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y ＝sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是非奇非偶函数．1．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin x ；(2)f (x )＝|sin x |＋1.正弦函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列各组数的大小：①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin19π7.(2)求函数y ＝log 12sin1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin 行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．2．比较sin 215π与sin 42π5的大小．3．与正弦函数有关的值域问题[探究问题]1．对于形如y＝f[g(x)]的函数，如何求其值域？[提示]先求内函数u＝g(x)的值域，再求外函数y＝f(u)的值域．2．对于y＝A sin2x＋B sin x＋C型的函数，怎样求值域？[提示]利用换元法转化为二次函数求最值．【例3】求下列函数的值域．(1)y＝3－2sin x；(2)y＝－sin2x＋3sin x＋54.1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y＝1＋2sin x，x∈－π6，π6”求函数的最值．2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y＝3＋a sin x(a≠0)”试求函数的值域．求正弦函数的值域一般有以下两种方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x的定义域为R.()(2)正弦函数y＝sin x是单调增函数．()(3)正弦函数y＝sin x是周期函数．()(4)正弦函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.()2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像上的一条对称轴是()A．y轴B．x轴C．直线x＝π2D．直线x＝π3．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．4．比较下列各组数的大小．(1)sin2016°和cos160°；(2)sin74和cos 5 3 .。
正弦函数的图像和性质
2 1
y
2 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 1 2 1
x
2
3 2
0
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
1. y=sinx-3 2. y=5-3sinx
二、正弦函数y sin x的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y sin x , x R
并写出最值，定义域和值域
• y=1-sinx
xsinx1-sinx
解： 当x
2 sin x取得最大值1
k 2 , k Z时
此时 y 1 sin x的最小值1 － 1 ＝0
当x
2 sin x取得最小值 1
2 k , k Z时
此时y 1 sin x的最大值1 1 ＝2
练习： 求正弦形函数的周期， 最值。
1、y 5sin (3x 2、y 2s，1（1），2，3 P43，1 下节课再见啦*^_^*
温江会计培训 双流会计培训
妻情分都别讲！”那壹次，李淑清没什么像以往壹贯の那样大哭大闹、胡搅蛮缠，而是掷地有声、句句在理地将他那些替水清开脱の话驳斥咯壹各体无完肤，将王爷说得哑口无言。 特别是那最后壹句，更是将淑清の彻骨寒心淋漓尽致地发泄咯出来，将他责问得羞愧难当、无地自容。他确实曾经深深地爱过淑清，但是现在，他确实也是壹各无情の负心人。在爱 上婉然，继而爱上水清之后，就将她忘在咯脑后，忘记咯他们曾经の恩爱时光，忘记咯他们曾经の夫妻情分，所以，他即使别是始乱终弃，也是移情别恋，是各别折别扣、当之无愧 の无情の负心人！此刻，左手边站立の是壹脸悲愤、情绪激动の淑清，右手边站立の是满脸惭愧、壹心求罚の水清，壹各旧爱，壹各新宠，清官难断家务案，更何况两各都是他付出 咯真心真爱の诸人！此刻他所受の内心煎熬以及痛苦折磨，壹点儿也别比下午时候の水清少。水清别过是在坚持自己の理想还是襄助王爷の大业之间进行痛苦而艰难の抉择，那是追 求理想与向现实妥协の选择。而王爷此时则是完完全全地陷入咯感情の漩涡之中，苦苦挣扎，情关难逃。第壹卷 第700章 旧爱淑清是他人生中第壹各付出真情、真心、真爱の诸人， 是他情窦初开の爱之初体验，是真正の同甘共苦、荣辱与共。他们相濡以沫地走过咯二十年の时光，二十年，他怎么能够说忘就忘？更何况，他们相亲相爱の时候，他无官无爵，别 过就是壹各皇子小格，连自己の府邸都没什么，而是寄居在皇宫中の小格所里，而她更别可能妻凭夫贵，在名份上别过就是他の壹各低阶侍妾而已。古训所言，大丈夫理当“贫贱别 能移、富贵别能淫、威武别能屈”。他们以前贫贱の时候能够共苦，现在富贵の时候却别能同甘吗？确实，现在の她随着年龄の增长，容貌、才情、智慧统统都别及豆蔻年华の水清， 从自然规律来讲，她现在是该给新人让位の时候咯。可是，对于壹各诸人来讲，那种被迫让位又是壹件多么残忍无情の事情。人老珠黄，色衰爱驰，难道他别过就是壹各贪恋美色の 无耻之徒吗？而反观水清呢？别管从前他们の关系如何，她嫁给他の时候，他早就加官进爵成为亲王，水清别但坐享其成，直接享受着王府の荣华富贵，而且还被皇上钦点册封咯亲 王侧福晋の身份，完全就是无功受禄，壹切荣华富贵の得来都是那么の轻而易举，仿佛就是天经地义の事情。可以说，除咯他の爱，水清没什么费吹灰之力，就将壹各诸人穷其壹生 所梦寐以求の壹切全都轻轻松松地得到咯。而淑清却是熬咯将近二十年，为他生育咯四各儿女，才通过他の请封而获得咯侧福晋の名份，却还要排在水清の后面。假设单从那各角度 来讲，确实是非常别公平，淑清确实有理由发泄她の强烈别满。可是从另外壹各角度来讲，水清确实又是受之无愧。别管他们是否相爱，即使是他误会她、厌恶她、羞辱她の时候， 她却从来都是以壹颗善良之心，尽职尽责地当好他の侧福晋。他永远也忘别咯，在塞外草原の时候，当他斥责水清向八小格通风报信の时候，她还会别计前嫌地与那木泰巧妙周旋， 处处维护他和婉然。如此那般以德报怨の行为，他の心灵怎么可能别被深深地触动？他也曾经炽烈地深爱过淑清。即使现在爱情越来越少，但是亲情却是永远也别可能湮灭，他别能， 也别愿做出任何令她伤心难过の壹举壹动。他现在更是深深地爱恋着水清。虽然今天の他终于看到咯她对他爱の回应，可是那仅仅只是壹各开端而已，他们未来の爱情之路仍是前途 未卜、扑朔迷离，他别想，也别敢做出任何令她伤心难过の壹举壹动。现在借琴の事情还没什么理出头绪，他又陷入咯感情纠葛の泥潭，再询问下去，别但问别出任何结果，更是要 闹得王府后院纷争四起の恶果。但是别咯咯之也别是他の处事原则，他别是糊涂昏庸之人，用逃避の方式の处理问题，只能是问题越积攒越多，矛盾越积攒越深，正所谓千里之堤毁 于蚁穴。第壹卷 第701章 下策水清和淑清，两各都是他付出过真心真情の诸人，哪壹各他都别想伤害，被逼到绝境の王爷，最终只得拿出咯
正弦曲线的图像
正弦曲线的图像细品教材众所周知，海⽔会发⽣潮汐现象，⼤约在每⼀昼夜的时间⾥，潮⽔会涨落两次，因此潮汐是周期现象．当潮汐发⽣时，⽔的深度会发⽣周期性的变化，这种周期性的变化，与正弦函数的周期性变化有什么联系吗？⼀、正弦函数的图象正弦函数的图象⼀、1．正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象利⽤单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]的图象．如下图，在直⾓坐标系的x轴的负半轴上任取⼀点O1，以O1为圆⼼作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过⊙O1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于⾓等分点的正弦线．相应地，再把x轴上从0到2π这⼀段分成12等份，再把⾓x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，最后⽤光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．2．正弦曲线(1)任意给定⼀个实数x，有唯⼀确定的值sinx与之对应．由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫做正弦函数，其定义域是R．(2)根据诱导公式⼀，终边相同的⾓的三⾓函数值相等，可知函数y=sinx，x∈[2kπ，2(k+1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0，2π)的图象的形状完全⼀致，只是位置不同．我们只需把y=sinx，x∈[0，2π)的图象左、右平移(每次2π个单位长度)，就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如下图)．正弦函数的图象叫做正弦曲线．技术提⽰(1)利⽤单位圆和三⾓函数线画三⾓函数图象的⽅法称为⼏何法作图，其优点是图象精确，缺点是画图⽐较⿇烦，影响解题速度．(2)作图象时，函数的⾃变量要⽤弧度制，这样⾃变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统⼀单位，作出的图象较为准确．【⽰例】函数y=1-sinx，x∈[0，2π]的⼤致图象为下图中的( )【⽰例】思路分析：令x=0，则y=1-sinx=1，因此图象过(0，1)，可排除C、D，⼜令，则y=1-sinx=2，思路分析：可排除A．答案：B状元笔记“五点法”作图中的“五点”是指函数的最⾼点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正、余弦函数图象、研究正、余弦函数性质时的最常⽤⽅法．⼆、“五点法”作简图通过正弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[0，2π]，[2π，4π]，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每⼀个闭区间上曲线的形状完全⼀致．因此，要研究曲线的形状，只需选⼀个闭区间，在这⾥，我们不妨选择[0，2π]，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作⽤．对于正弦曲线(如下图)，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)因此，在精确度要求不太⾼时，可先找出这五个关键点，再⽤光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图．这种⽅法称为“五点(画图)法”．技术提⽰五点法作简图抓住了正弦函数图象的特征，反映了正弦曲线的基本特征，其中需特别注意的是曲线的⾛向，把握住简图的画法，有助于快速解题．综合探究1．余弦曲线根据诱导公式，可知y=cosx与是同⼀函数，⽽的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位⽽得到的．如下图所⽰：余弦函数的图象叫做余弦曲线．事实上，，可知余弦函数y=cosx，x∈R与函数也是同⼀函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位⽽得到．五点法画正、余弦函数的图象余弦函数的图象2．五点法画正、画正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，有五个关键点，它们是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，因此描出这五点后，正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的形状基本上就确定了．在描点时，光滑曲线是指经过最⾼点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状，经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆⼼位置”．⽤五点法画余弦函数y=cosx的图象时也是⼀样．注意:(1)五点法是我们画三⾓函数图象的基本⽅法，与五点法作图有关的问题曾出现在历届⾼考试题中．(2)作图象时，函数⾃变量要⽤弧度制，这样⾃变量与函数值均为实数．对于⼀些正、余弦函数的变形形式，如画，的图象时，应当令分别等于得到对应的x值与y 值，然后再描点连线成图．其取值如下表：描点连线如下图：【⽰例】试⽤五点法画函数的简图．【⽰例】思路分析：抓住关键点，横坐标依次为的点．思路分析：解：列表：解：画图(如图)：余弦函数的对称性质3．正、．正、余弦函数的对称性质正弦函数y=sinx图象的对称轴为直线，并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值，对称中⼼为(kπ，0)(k∈Z)，正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中⼼．余弦函数y=cosx图象的对称轴为直线x=kπ(k∈Z)，并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是余弦函数的最值，对称中⼼为，余弦函数的图象与x轴的交点均是余弦函数的对称中⼼．归纳整理本节的主要内容是正、余弦函数的图象——正、余弦曲线的画法：⼏何法与五点法．⼏何法是⽤单位圆和三⾓函数线作图，图形准确但画图⿇烦；五点法只能作简图，但⽅便快捷．重点是会⽤五点法画函数简图，以解决相关问题．答案：①单位圆 ②三⾓函数线 ③(0，0) ④ ⑤(π，0) ⑥ ⑦(2π，0) ⑧(0，1) ⑨ ⑩(π，-1) (2π，1)思考发现1．y=sinx的五个特殊点(0，0)、，(π，0)，、(2π，0)；y=cosx的五个特殊点(0，1)、、(π，-1)、、(2π，1)．2．五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图，五点的取法是ωx+φ分别等于来求得相应的x值及对应的y 值，最后描点成图．3．含有三⾓式、指数式、对数式的⽅程叫做超越⽅程，⽤初等解⽅程的⽅法不能求它的解；通常把这类⽅程分解成两个函数，把求⽅程的解转化为求两个函数的交点问题．4．利⽤单位圆或正弦曲线解简单三⾓不等式时，可先在长度为[0，2π]的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域中去．。
高中数学三角函数的图像与性质优秀课件
1
2 3
2
2
1 2
3 2
2
y cos x，x R
3 2
2
正、余弦函数的性质
y
2
sin
1 2
x
4
④周期性：形如y Asin x 或y Aco1sx 的
函数的周期T 2 .
2 1
3 2 5 3 7 4
2
2
2
2
y sin 2x 1
1
2 3 2
2 1
2
3 2
例1：已知函数y
Asin x A
0，
0，
2
，x
R
的部分图像，求函数解析式.
解：由图知A 2.
又 T 3 1 2，故T 8， 即 2 8， .
4
4
令 1 = 得= .
4
2
4
综上得，y
2sin
4
x
4
.
例2：函数f
x
Asin
x
0，
2
，x
R
的部分图像如图，则函数表达式为（
x
0
4
3
2
4
2x
0
3
2
2
2
y sin 2x
0
1
0
1
0
五点：0，0， 4 ，1， 2 ，0，
3
4
，1，，0.
1
3 2
2 1 2
2
五点作图法
例1：用“五点法”作y
2sin
1 2
x
4
，x
2
，7 2
的图像.
x
3
5
7
2
2
正弦函数的图像和性质1
解:(1)
90 250 260 270
并且y sin x在90, 270上是减函数
sin 250 sin 260
3
4
解：（１）
2
10
18
2
,
且y=sinx在
2
,
2
上是增函数，
sin( ) sin
18
10
（２） 2 3
23 4
3 ,
2
且y=nx在2
,
3
2
上是减函数，
sin 2 sin 3
3
4
3 求y= 5+sinx这个函数的最大值、最小值和周期，并求这个函
数分别取得最大值及最小值的x的集合。
正弦函数y=sinx的性质：
（1）定义域 实数集R
（2）值域
当x=___2___2_k_________时，ymax ___1__
当x=_____2__2_k________时，ymin ___1__ 值域是：1，1
（3）周期性 sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z), 2k
y
1
y 1
-ssiinnxx 0 -1 0 1 0
作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
x
0 2
3 2
2
sinx
01
0
-1
0
3Sinx y 0
3
0
-3
0
3•
•
1•
o 3 2
•2
2
y sinx, x [0,2]
二、正弦函数的性质
y
1
y 1
2
2
O
1 2
1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换
向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（ 变换）后平移（ 变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换； 是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（ 变换）后伸缩（ 变换）：
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：， 后：A，b
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像
1.5 正弦函数的性质与图像问题导学1．正弦函数的图像活动与探究1(1)用“五点法”作y ＝2－sin x 的图像时，首先描出的五个点的纵坐标是( )． A ．0,1,0，－1,0 B ．0,2,0，－2,0 C ．2,1,2,3,2 D ．2,3,2，－3,2(2)用“五点法”作函数y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．迁移与应用1．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图像的一条对称轴是( )． A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π2．用“五点法”作出y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．作函数y ＝a sin x ＋b 的图像的步骤2．正弦函数的定义域问题活动与探究2求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．迁移与应用求下列函数的定义域： (1)y ＝1－2sin x ； (2)y ＝log 2sin x ；(3)y ＝log 122sin x －1．含正弦函数的复合函数的定义域的求法： (1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．(2)列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x 的不等式，利用数形结合，在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．3．正弦函数的值域、最值问题活动与探究3求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4．迁移与应用求函数y ＝74＋sin x －sin 2x (x ∈R )的值域．有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的求最值或值域问题，利用正弦函数的有界性，即|sin x |≤1；(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[m ，n ]上的二次函数的最值问题，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题求解；(3)形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d的函数求最值或值域问题，可化为sin x ＝f (y )的形式，通过|f (y )|≤1求解，或利用分离常数法求解．4．正弦函数的单调性及应用活动与探究4利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小． (1)sin 190°与sin 200°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11； (3)sin 15π8与sin 10π9．迁移与应用不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零． (1)s in 135°－sin 144°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4．1．对正弦函数单调性的理解：(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数．(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤： (1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小．3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 5．三角函数的奇偶性问题活动与探究5判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )； (2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．迁移与应用已知f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)． (1)若g (x )＝f (x )－1，试证明g (x )为奇函数； (2)若f (5)＝7，求f (－5)．(1)判断函数奇偶性的方法特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x )＝－sin x 的应用．(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．当堂检测1．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( )． A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π2．函数y ＝sin x3的定义域是( )．A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．[－3,3] 3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 4．函数f (x )＝sin x －x3x是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数5．令a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，b ＝sin 1110π，则a 与b 的大小关系是__________． 6．用五点法作出函数y ＝sin x －2在x ∈[－2π，2π]上的图像．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(2)(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0) 预习交流1 略 预习交流2(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 －π2 1 π2 －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z[－2,4] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (1)C (2)略 迁移与应用 1．C 2活动与探究2 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π6或⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z. 迁移与应用 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z(2){x |2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z }(3)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z .活动与探究3 解：(1)∵－1≤sin 2x ≤1，∴－2≤－2sin 2x ≤2.∴1≤3－2sin 2x ≤5. ∴函数的值域为[1,5]．(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋34.设t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，∴由正弦函数的图像知22≤t ≤1. 而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递增， ∴当t ＝22，即x ＝3π4时，y min ＝3－22，当t ＝1，即x ＝π2时，y max ＝1.∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22，1.迁移与应用 解：设sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋t ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋2.∴当t ＝－1时，y min ＝－14；当t ＝12时，y max ＝2.∴所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 活动与探究4 解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°， sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°. ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增， ∴sin 10°＜sin 20°，从而－sin 10°＞－sin 20°， ∴sin 190°＞sin 200°.(2)∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增， 且－π2＜－π10＜－π11＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11. (3)sin 15π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝－sin π8，sin 10π9＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π9 ＝－sin π9，∵π2＞π8＞π9＞0， ∴sin π8＞sin π9.∴－sin π8＜－sin π9.∴sin 15π8＜sin 10π9.迁移与应用 (1)＞0 (2)＞0 (3)＜0活动与探究5 解：(1)f (x )＝－x ·sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x ·sin(－x )＝－x ·sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6 (k ∈Z )．定义域不关于原点对称， 故f (x )为非奇非偶函数．(3)∵1＋sin 2x ＞|sin x |≥－sin x ，∴sin x ＋1＋sin 2x ＞0.∴函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＋lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝lg[(－sin x ＋1＋sin 2x )(sin x ＋1＋sin 2x )]＝lg(1＋sin 2x －sin 2x ) ＝lg 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．迁移与应用 (1)略 (2)－5 【当堂检测】1．D 2．A 3．B 4．B 5．b ＜a 6．略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
【知识要点】
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念
2．用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
【典型例题】
例1(1)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π
2的部分图像如图，则ω，φ的值分( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π
6
D ．4，π
3
(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π
2
，
直线x ＝π
3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6＋2 例2已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4，x ∈R .，将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？
例3．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)图像向右平移π
2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图像重合，则φ＝________. 例4．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝3
2. (1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图像．
【课堂练习】
1．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4振幅、频率和初相为( ) A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π
8
2．把y ＝sin 1
2
x 图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 图像，则ω值( )
A ．1
B ．4 C.1
4 D ．2
3．函数f (x )＝sin x cos x ＋
3
2
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π， 1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 4．y ＝sin(2x ＋φ)图像沿x 轴向左平移π
8
个单位后为偶函数，则φ的一个可能取值( )
A.3π4
B.π4 C ．0 D ．－π4
5.函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )
A.π2
B.π
4 C.π
3
D ．π
6．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π
4
个单位，得到的函数图像的解析式( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝－sin 2x C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 7．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π
6
个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数 f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最小值为( ) A ．－
3
2
B ．－12 C.1
2
D.3
2
8．将函数f (x )＝sin (2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π
2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )
的图像都经过点P ⎝
⎛⎭
⎫
0，
32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π
6 C.π2 D.π6
9.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________． 10、将函数x y 34sin 43=
的图象上所以点的纵坐标缩短到原来的2
1
倍，横坐标不变，那么新图象对应的函数值域是 ，周期是 .
【巩固提高】
1．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )
A ．T ＝2，θ＝π
2
B ．T ＝1，θ＝π
C ．T ＝2，θ＝π
D ．T ＝1，θ＝π
2
2．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2
，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A ．[12，54]
B ．[12，34]
C ．(0，1
2
]
D ．(0,2]
3．(2015·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图像向右平移π3个单
位所得曲线的一条对称轴的方程是( )
A ．x ＝π6
B ．x ＝π4
C ．x ＝π
2
D ．x ＝π
4．(2015·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在[0，π
2]上的最小值
为( )
A ．－
32 B ．－12 C.1
2
D.3
2
5．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t ＝
1
100
秒时，电流强度是( )
A ．－5安
B ．5安
C ．53安
D ．10安
6．(2015·宁德质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)在区间[－π6，5π
6]上的图像，将该图像向右平移
m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π
4
对称，则m 的最小值为( )
A.π12
B.π6
C.π
4
D.π
3
7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的 图像如图所示，则ω＝________.
8．设函数f (x )＝sin x －cos x ，若0≤x ≤2 011π，则函数f (x )的各极值之和为________．
9．若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图像向右平移π4个单位后得到的图像关于点(π
3，0)对称，则|φ|的最小值是______．
10．设函数f (x )＝sin(2x ＋π
6
)，则下列命题：
①f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图像关于点(π6，0)对称；③f (x )的最小正周期为π，且在[0，π
12]
上为增函数；④把f (x )的图像向右平移π
12
个单位，得到一个奇函数的图像．
其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．
11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图像过点(π6，1
2
)．
(1)求φ 的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，
求函数g (x )在[0，π
4]上的最大值和最小值．
12．(2015·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π
2x ∈R )的部分图像如图所示．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－π，－π
6]时，求f (x )的取值范围．
13.将函数y ＝sin x 的图像向右平移π
3个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4
倍．这样得到函数f (x )的图像．若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.
(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭
⎫其中A ，ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的形式； (2)若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π
12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值．。