第3章 习题解答

第三章 习题解答(部分)［1］求以下序列)(n x 的频谱()j X e ω，其中0a >。

(2)()an e u n - (5)0sin()()an e n u n ω-解：对题中所给的)(n x 先进行z 变换，再求其频谱。

(2)由于111)]([)(----==ze n u e Z z X a an ，所以ωωωj a ez j e e z X e X j --=-==11)()(。

(5)由于aa a ane z e z e z n u n eZ z X 2201010cos 21sin )]()sin([)(-------+-==ωωω，所以ωωj e z j z X e X ==)()(aj a j a j e e e e e e 2200c o s 21s i n ------+-=ωωωωω ［2］ 设()j X e ω和()j Y e ω分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。

(7)(2)x n (8)(),()20n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩＝偶，＝奇解：(7)2)()2()]2([ωωn jn n jn en x en x n x DTFT -∞∞-∞=-∑∑==为偶数　2)]()1()([21ωn j nn e n x n x -∞-∞=-+=∑)(21)(21)(21)(212222⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞-∞=-+=+=∑∑πωωπωωj j n n j n n j e X e X e n x e n x(8))()'()2/()]([2''2ωωωj n n j n jn e X en x en x n g DTFT ===∑∑∞-∞=-∞-为偶数［3］求出下面序列的傅里叶变换(1))5(2)(-δ=n n x (4))3()2()(--+=n u n u n x解：由DFT 定义有：(1)ωωωδ52)5(2)(j n jn j e en e X -∞-∞=-=-=∑(4)ωωωωωωj j j n jn n jn j ee e een u n u e X ---=-∞-∞=---==--+=∑∑1)]3()2([)(3222⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=------ωωωωωωωωωωωω21sin 25sin 11222225252525j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e ［5］已知001,()0,j X e ωωωωωπ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩，求()j X e ω的傅里叶逆变换()x n 。

解：()0000sin 121)(21)(ωπωωπωπωπωωωππωωn Sa n n d e d e e X n x jn jn j ====⎰⎰-- ［9］已知系统的单位脉冲响应()()n h n a u n =，01a <<，输入序列为()()2(2)x n n n δδ=+-(1)求出系统的输出序列()y n ；(2)分别求出)(n x 、()h n 和()y n 的傅里叶变换。

解：(1) 系统的输出序列()y n 等系统的单位冲激响应与输入序列的卷积，即[])2(2)()()()()(-+*=*=n n n u a n x n h n y n δδ)2(2)(2-+=-n u a n u a n n(2)由于 ωωωδδ221)]2(2)([)(j n jn j e e n n e X -∞-∞=-+=-+=∑ωωωωj n j n n nj n n j ae e a en u a e H --∞=-∞-∞=-===∑∑11)()(0所以由卷积定理：)()()()(ωωj j e H e X n h n x ↔*得：ωωωωωj j j j j ae e e X e H e Y ---+=⋅=121)()()(2［14］在变换区间01n N ≤≤-内，计算下列序列的N 点DFT 。

(1)()1x n = (2)0()()x n n n δ=- 00n N <<(3)()()M x n R n = 0M N << (4)0()()j n N x n e R n ω=⋅解：由DFT 的定义得： (1)k NjkN N jN n kn Nj nk N N n eeeW k X πππ22121111)(---=--=--==⋅=∑∑⎩⎨⎧-===1 , ,2 ,1 ,00,N k k N (2)0212010)()()(kn NjN n kn Nj nk NN n een n Wn n k X ππδδ--=--==-=⋅-=∑∑， 1 , ,1 ,0-=N k(3)k NjkM N jM n kn Nj nk N N n M eeeW n R k X πππ2212111)()(---=--=--==⋅=∑∑， 1 , ,1 ,0-=N k(4))2()2(1)2(1000011)(k Nj N k N j N n nk Nj nk NN n nj eeeWek X πωπωπωω---=--=--==⋅=∑∑ )2(0011k Nj N j ee ωω---=，1 , ,1 ,0-=N k［16］长度为10N =的两个有限长序列11,04()0,59n x n n ≤≤⎧=⎨≤≤⎩ ， 21,04()1,59n x n n ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩作图表示1()x n 、2()x n 和)()(1n x n y =⑩)(2n x 。

解：)()(1n x n y =⑩)())(()()(101029012n R m n x m x n x m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=的计算值如表3-1所示。

表3-1 )()(1n x n y =⑩)(2n x 的值因此，)(1n x 、)(2n x 和)()(1n x n y =⑩)(2n x 分别如图3-6(a)、(b)、(c)所示。

(a)图3-6 习题1-14图［22］已知[]()()DFT x n X k =，0m N <<，试求(1)2()cos DFT x n mn N π⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (2)2()sin DFT x n mn N π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 解：(1)2()cos DFT x n mn N π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦kn Nj N n mn N j mn Nj ee e n x πππ2122)(21--=-∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=10)(2)(2)(21N n n m k N j n m k Nj e e n x ππ )]()([21m k X m k X ++-= (2)2()sin DFT x n mn N π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦kn Nj N n mn N j mn Nj ee e n x j πππ21022)(21--=-∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10)(2)(2)(21N n n m k N j n m k Nj e e n x j ππ )]()([21m k X m k X j+--=［26］已知()x n 和()y n 为实有限长序列，若()()()f n x n jy n =+，[]()()F k DFT f n =，试求以下两种情况的[]()()X k DFT x n =、[]()()Y k DFT y n =及()x n 和()y n 。

(1)11()11N Nk kN Na b F k j aW bW --=+-- (2)()1F k jN =+，N 为整数 解：由DFT 的共轭对称性知道，)()()]([k F k X n x DFT ep ==，)()()]([k F k jY n jy DFT op ==(1) 11()11N Nk kN Na b F k j aW bW --=+-- []kNN ep aW a k N F k F k F k X --=-+==*11)()(21)()( []kN N op bW b k N F k F j k jF k Y --=--=-=*11)()(21)()(10,)(-≤≤=N n a n x n 10 ,)(-≤≤=N n b n y n(2) jN k F +=1)([]1]11[21)()(21)()(=-++=-+==*jN jN k N F k F k F k X ep []N k N F k F jk jF k Y op =--=-=*)()(21)()( 所以 )(1)(1n WNn x N k kn Nδ==∑-=-， )(1)(1n N NWNn y N k kn Nδ==∑-=-。

［27］()x n 是长度8N =点的有限长序列，()y n 是长度20N =点的有限长序列，()R k 为两个序列20点的离散傅里叶变换相乘，求()r n ，并指出()r n 的哪些点与()x n 、()y n 的线性卷积相同。

解：记)()()(n y n x n rl *=，而)()]([)(n x k R IDFT n r ==)(n y 。

)(n r l 长度为27，)(n r 长度为20。

圆周卷积与线性卷积的关系为：)()20()(20n Rm n r n r m l⋅+=∑∞-∞=只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足)()(n r n r l =，所以)()()()(n y n x n r n r l *== ， 197≤≤n［28］用微处理器对实序列作谱分析，要求频谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率为1kHz ，试确定以下各参数：(1)最小记录时间min p T ； (2)最大抽样间隔max T ； (3)最少抽样点数min N ； (4)在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N 值。

解：(1)已知频谱分辨率Hz F 50=min p T =s F 02.05011== (2)根据抽样定理，kHz f f h s 22=≥，即ms 5.020001211==≤=h s f f T (3)40502000min ===F f N s (4)若频率分辨率提高一倍，则F 应减少一半，即Hz F 25=，则80252000===F f N s。