2012高考天津数学(理)试卷及答案
2012年高考真题——理科数学(天津卷)解析版(2).pdf
第一部分 单元知识复习 第三章 函 数 第1讲 函数与图象 考点梳理 一、考试要求： 1．通过简单实例，了解常量、变量的意义． 2．能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例． 3．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数自变量取值范围，并会求出函数值． 5．能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系． 6．结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测． 考点梳理 二、广东省省卷近五年中考统计： 考试内容 2009 2010 2011 2012 2013 题型 直角坐标系、函数 第7题 4分 填空、选择 第13题 6分 第22题9分 第13题6分 第21题9分 第17题7分 第22题9分 第23题9分第25题9分 解答 考点梳理 1．平面直角坐标系 （1）平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系．在平面直角坐标系内的点和___________之间建立了一一对应的关系． （2）点P (x，y) 坐标的几何意义： ①点P (x，y) 到x轴的距离是_________；②点P (x，y) 到y轴的距离是__________； ③点P (x，y) 到原点的距离是____________． （3）关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： ①点P (a，b) 关于x轴的对称点是_________；②点P (a，b) 关于y轴的对称点是__________； ③点P (a，b) 关于原点的对称点是___________． 三、知识梳理 (-a,-b) 有序数对 考点梳理 2．函数的概念 （1）常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做________；保持数值不变的量叫做_________． （2）函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是_________量，y是x的___________． 三、知识梳理 变量 函数 自变 常量 课堂精讲 例1．如图，在平面直角坐标系中有四个点A (1，1)，B (?1，1)，C (?1，?2)，D (1，?2)，把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线 (线的粗细 忽略不计) 的一端固定在点A处，并按 A—B—C—D—A—…的规律紧绕在四 边形ABCD的边上，则细线另一端所在 位置的点的坐标是 ( ) A．(1，?1) B．(?1，1)C．(?1，?2) D．(1，?2) 考点：点的坐标、找规律 【方法点拨】先求四边形ABCD的周长即可. 课堂精讲 例2．(2012·江西) 某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则从出发后到B地油箱中所剩油y (升) 与时间t (小时) 之间函数的大致图象是 ( )考点：函数图象 【方法点拨】注意：休息时间油箱存油不会减少 课堂精讲 【变式】 (2013·佛山) 某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图象是() 考点：函数图象 课堂精讲 【方法点拨】连接OB，OB′，∠BOB′=105° 例3．(2012·泰安) 如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为 ( ) A． B． C． D． 考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质 课堂精讲 考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质。
2012年高考真题——理科数学(天津卷)解析版(1).pdf
说一说“独特的我” 我的性格： 我的兴趣： 我的特长： 我的——： 1.人具有无穷的智慧和巨大的创造力。
2.每个人的生命都是独一无二的。
人的生命独特性的表现 多彩的生命世界 世界因生命而精彩 人的生命的独特性1．生命是大自然的奇迹 2．众多生命都以自己独特的形式生活着 3．人类必须善待大自然 1．人有无穷的智慧和巨大的创造力 2．每个人的生命都是独一无二的 学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？ 生命是来之不易的,生命是独特的,生命是有限的,因而生命是可贵的。
所以,我们应当珍惜大自然赋予我们的生命,让我们珍惜生命,热爱生活吧! 人生如一本书，愚蠢者草草翻过，聪明人细细阅读。
为何如此？因为他们只能读它一次。
——保罗 第1单元 珍爱生命 热爱生活 第1课 生命最宝贵 第1框 多彩的生命世界 1、了解神奇的生命世界，感受生命之美；懂得生命的独特性，认识到人类是具有智慧与创造力的生命。
2、体会生命世界的多彩、神奇、珍贵，培养爱护自然、欣赏自然、保护环境的能力。
3、树立新的生态道德观、自然观，善待大自然，尊重其他生命。
板块一:世界因生命而精彩 以下幻灯片都是正文内容，幻灯片的数量有正文多少决定 看了这些图片,大家交流一下自己的感受。
这组图片为我们展示了一个生机盎然的世界:在蔚蓝色的大海边,海豚在飞跃;一只海鸥在蓝天展翅翱翔;草地上,长颈鹿正踱着悠闲的步子……这个世界因生命的存在而变得如此美丽,生机盎然。
同学们，世界上的生命是多种多样的，你们知道世界上有哪些生命存在吗？ 请同学们交流后回答。
世界因生命而精彩！ 世界上有动物、植物、微生物等等。
没有生命的世界 会是什么样？ 然而现在…… 讨论： 我们为什么要关爱其他的生命,与他们和谐相处呢? 众多生命构成一个共存共荣、息息相关的生命大系统。
人类必须善待大自然，爱护环境，保护动植物，否则，将会危及自身的生存。
自从地球上有了生命,世界就变得如此美好。
2012年天津市高考数学试卷(理科)
2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（3分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．94．（3分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（3分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣406．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．7．（3分）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C． D．8．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题9．（3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校．10．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（3分）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=，n=．12．（3分）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=．13．（3分）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．14．（3分）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．16．现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．19．设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．20．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：故选B2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．9【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣25时，|x|＞1，执行循环，x=﹣1=4；|x|=4＞1，执行循环，x=﹣1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=2×1+1=3．故选：C．4．（3分）（2012•天津）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．5．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣40【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项T r+1==，再令10﹣3r=1，得r=3即可得出x项的系数==【解答】解：（2x2﹣）5的二项展开式的通项为T r+1令10﹣3r=1，得r=3故x项的系数为=﹣40故选D6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．所以sinB==．所以sinC=sin2B=2×=，cosC==．故选：A．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C． D．【分析】根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣即可求出λ．【解答】解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB=2∴=+λ+（1﹣λ）=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，=﹣2λ2+2λ﹣2∵=﹣∴4λ2﹣4λ+1=0∴（2λ﹣1）2=0∴故选A8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x 的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校．【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是=，∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18所，选取中学×75=9所．故答案为：18，9．10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9πm3．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18．下部为两个半径均为的球体，体积2ו（）3=9π故所求体积等于18+9π故答案为：18+9π11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=﹣1，n=1．【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．如图由图知m=﹣1，n=1，故答案为﹣1，1．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=2．【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得p=．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p，化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，故焦点F（，0），准线l的方程为x=﹣．则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m）．把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即p=．再由|EF|=|ME|，可得p2+m2=，即p2+6p=9++3p，解得p=2，或p=﹣6 （舍去），故答案为2．13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD 求解．【解答】解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．【解答】解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•co s+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是数学期望Eξ=17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•=0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C （0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，设AE=h，在RT△EAF中，EF==，在RT△BAE中，BE==，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24 =﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B 两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．【分析】（1）设P（x0，y0），则，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围．【解答】（1）解：设P（x0，y0），∴①∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）∴，∵直线AP与BP的斜率之积为，∴代入①并整理得∵y0≠0，∴a2=2b2∴∴∴椭圆的离心率为；（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴∵a＞b＞0，kx0≠0，∴∴②∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），∴∴∴代入②得∴k2＞3∴直线OP的斜率k满足|k|＞．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f （x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）=g′（x）=0，可得x1=0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴=f（2）+＜2﹣ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．。
2012年天津市高考数学(理科)试卷
2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x 的值为（）A．﹣1 B．1C．3D．94．（3分）（2012•天津）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．35．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣406．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C．D．8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校．10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=，n=．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=．13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 文数(天津卷)word版(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。
有如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007-2010年也相继考过，明细如下：零点存在定理（小题）——2009年、2010年线线垂直——2007年错位相减法——2007年，解析几何之斜率问题（大题）。
2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。
而解答题18题是数列中极为传统的考法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不等式的内容。
3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方式，考查了正余弦函数的性质。
4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。
5.函数大题难度与去年基本持平。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh其中S表示圆锥的底面面积，H表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2012年天津市高考数学试卷理科教师版
2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题=（是虚数单位，复数）3分）（2012?天津）i1．（D．﹣2Bi．2﹣i﹣iC．﹣2+iA．2+【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项解：【解答】．故选：B）为偶函）∈φR，则“φ=0”是“f（x=cos（x+φ）（Rx∈（．2（3分）2012?天津）设）数”的（．必要而不充分条件BA．充分而不必要条件．既不充分也不必要条件．充分必要条件DC【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．3．（3分）（2012?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）9．．3D．A．﹣1B1C时跳出循环，输1x|≤【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|出结果．时，25解：当输入x=﹣【解答】；1=4，执行循环，x=﹣1|x|＞，1=11，执行循环，x=﹣＞|x|=4，退出循环，=1x||．+1=3输出的结果为x=2×1．故选：C3x）内的零点个数是1在区间（2=20+x，﹣）34．（分）（2012?天津）函数f（x）（3．2D10B．C．A．3x）＜1f0）（02在区间（，1）内单调递增，f=2f【分析】根据函数（x）（+x﹣）内有唯一的零点1，可得函数在区间（0，03x=）（0）内单调递增，又在区间（﹣20，1fx）（解：由于函数【解答】fx=2+，＞）（，＜﹣10f1=10所以f（0）f（1）＜0，x3﹣2在区间（0=2，+x1）内有唯一的零点，故函数f（x）故选：B．25）项的系数为（﹣）的二项展开式中，x5．（3分）（2012?天津）在（2x C．40．﹣10D．﹣40A．10B【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项x 即可得出，得=10﹣3r=1T=r=3，再令1r+项的系数52的二项展开式﹣）的通项为2x【解答】解：（=T=1r+令10﹣3r=1，得r=340=故x项的系数为﹣故选：D．6．（3分）（2012?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）．DCA．．B．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈＜．．C（0，）=．所以sinB==×，所以sinC=sin2B=2=．cosC=故选：A．，Q满足ABC为等边三角形，AB=2．设点P，7．（3分）（2012?天津）已知△）=﹣，则λ=（，λ∈R．若．．B．C．DA，根据向量加法的三角形法则求出【分析】进而根据数量积的定义求出再根据．λ=﹣即可求出R【解答】解：∵，λ，∈，∴AB=2ABC∵△为等边三角形，+λ）+∴（=1﹣λ2λ）××2cos180°1×=2×2×cos60°+λ2×2×cos180°+（﹣λ）×2×2×+λ（1﹣cos60°×2，2λ4λ=2﹣+4λ﹣4+2λ﹣22=﹣2λ+2λ﹣﹣=∵21=04λ+∴4λ﹣2=012λ﹣）∴（∴故选：A．8．（3分）（2012?天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x22=1相切，则m+n1）的取值范围是（）﹣1）y+（﹣A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用．基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．22=1，得到圆心坐标为（1，）1）﹣1），半+（y﹣1解：由圆的方程（【解答】x径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，=1d=，∴圆心到直线的距离，≤+n+1=mn整理得：m2﹣4x﹣4≥0x+1≤，即x，设m+n=x，则有2﹣4x﹣4=0的解为：x=2+2，x∵x=2﹣2，21∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，x≤2﹣或2，解得：x≥2+2∪[2+2，﹣2]+∞）．则m+2n的取值范围为（﹣∞，故选：D．二、填空题9．（3分）（2012?天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校．【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，，每个个体被抽到的概率是=∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学75=9所，选取中学×150=18×所．故答案为：18，9．10．（3分）（2012?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何3．m9π体的体积为18+，，3长、宽、高分别为6【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，的球体．分别求体积再相加即可．），下部为两个半径均为1（单位：m，高分别为6解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、【解答】．×1=186×33，1（单位：m），体积3=9π）×?（下部为两个半径均为的球体，体积29π+故所求体积等于189π+故答案为：18）mx﹣x∈R|（＜||x+2|3}，集合B={x（11．3分）（2012?天津）已知集合A={∈R．1，n=m=1，n），则﹣1∩x（﹣2）＜0}，且AB=（﹣）直接，nB=（﹣1A【分析】由题意，可先化简集合，再由B集合的形式及A∩作出判断，即可得出两个参数的值．，}＜1|﹣5＜x∈2||x+|＜3}={xRRA=【解答】解：{x∈．）1，nA0}，∩B=（﹣）＜（x∈又集合B={xR|（﹣m）x﹣2如图，n=11由图知m=﹣，．1故答案为﹣1，12．（3分）（t（为参数）2012?天津）已知抛物线的参数方程为，其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=2．2=2px，y则由抛物线的定义可得及【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E，||ME|EF|=），把点M的坐标代入抛物线的方程可得p=．再由（﹣，m的值．解方程可得pt为参数）【解答】解：抛物线的参数方程为（，其中p＞0，焦点为F，，准线为l，消去参数可得x=2p2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x化简可得y轴的抛物线，．﹣l的方程为x=故焦点F（，0），准线为等边三角形．MEF=|MF|，可得△|则由抛物线的定义可得|ME=|MF|，再由|EF|．m，则点E（﹣，）设点M的坐标为（3，m ）2把点M的坐标代入抛物线的方程可得m=2×p×3，即p=．222，即p+6p=9++3p，解得p=2，或p=+|再由|EF=|ME|，可得pm=﹣6 （舍去），故答案为2．13．（3分）（2012?天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．，再由切，则AD=4x，由相似比求出BD，设DC=x【分析】由相交弦定理求出FC2求解．割线定理，BD=CD?ADABDFC=2FC1=3AF?FB=EF?FC【解答】解：由相交弦定理得到，即××，，在△中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，22，）x=，即x?4x=DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD（=CD?AD设故答案为：14．（5分）（2012?天津）已知函数y=的图象与函数y=kx ﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【分析】作出函数图象，根据图象交点个数得出k的范围．，或＞，【解答】解：y==，＜＜作出函数y=与y=kx﹣2的图象如图所示：∵函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，∴0＜k＜1或1＜k＜4．故答案为：（0，1）∪（1，4）．三、解答题2．Rx∈x﹣1，2cos2x）=sinf（2012?天津）已知函数（x）（2x++sin（﹣）+．15）的最小正周期；xf1）求函数（（，上的最大值和最小值．][xf2（）求函数（）在区间【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将（fx）=sin（2x+）2+sin（2x﹣）+2cosx﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；，]上是增函数，在区间[，）在区间[]上是（2）可分析得到函数f（x ，]上的最大值和最小值．[f（x）在区间减函数，从而可求得【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x?cos+cos2x?sin+sin2x?cos﹣cos2x?sin+cos2x =sin2x+cos2xsin（2x+），==πT=．（x）的最小正周期∴函数f，]上是增函数，在区间[，]）在区间f（x[上是减函数，（2）∵函数又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，，]上的最大值为，最小值为﹣[1．∴函数f（x）在区间16．（2012?天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A（i=0，1，2，3，4），故P（A）ii=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A）；2．（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A，利用互斥事件的概率公式可求；4（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A与A互斥，A与A互斥，求出相应4310的概率，可得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A（i=0，1，2，3，4），∴P（A）ii=；=人去参加甲游戏的概率为P（A）（1）这4个人中恰有22（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A，4∴P）=+P（A（B）=P（A）43（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A与A互斥，A与A互斥，故P（ξ=0）4130=（=PA）2=（（Pξ=2）=PA））A+P（A）=PP=）+P（A，（ξ=4）（4013Eξ=数学期望17．（2012?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB ⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．，=0）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出?【分析】解法一（1．AD ⊥证出PC的一个法向量，利用两法向量夹角求解．PCD（2）求出平面PCD，平面，，得出=＞，02]，利用cos＜=cos30°（3）设E（0，0，h），其中h ∈[的方程求解即可．h关于．ADPC⊥AD⊥平面PAC得出解法二：（1）通过证明RTD的平面角．在A﹣PC﹣PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角（2）作AH⊥中求解△DAH，设交点为F的平行线必与线段AD相交，＜ADC45°，故过点B作CD（3）因为∠EBFCD所成的角．在△（或其补角）为异面直线BE与连接BE，EF，故∠EBF 的方程求解即可．，由余弦定理得出关于hBE，从而∠EBF=30°中，因为EF＜，）0，0A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，【解答】解法一：如图，以．），2P（0，00），B（﹣，，0），，0D（2，，0），C（01，PC，所以，0），于是?=0（，（1）证明：易得=（01，﹣2），=2，0．AD ⊥，=的一个法向量为（x，y，z）设平面，2，，（）（2解：=0，1﹣2）=（，﹣10），PCD则即，于是）0，0，1（=的一个法向量为PAC．又平面）1，2，1（=，则以z=1取．，，==＞，sin＜cos＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．，2=（，（，﹣h）．由），其中h∈[0，2]，由此得=h（3）设E（0，0，，=＞=﹣1，0），故cos＜=．AE=h=，即所以=cos30°=，解得解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH=，因此sin∠AHD==．所以二面角中，DH=A ﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．，可得BF=∠FAB=sin135°=，在△AFB中，由，AB=，sin222﹣2ABAFcos∠FAB+AF，得出AF=由余弦定理，BF=AB，，设=EAF△RTAE=h，在中，EF=，中，△BAEBE==在RT在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．（2012?天津）已知{nnn．=10S 是等比数列，且}，{ba}是等差数列，其前n项和为S18．﹣ba+b=27，=2a=b，441144的通项公式；}与{b1）求数列{a}（nn**．N）10b（n ∈∈N12=，证明：T+﹣2a++（2）记T=ab+ab…+ab，n nn1n121nnnn﹣）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．1【分析】（的表达式；方法一：借助于错位相减求和；T2）先写出（n方法二：用数学归纳法证明其成立．，，等比数列的公比为q1解：（）设等差数列的公差为d【解答】3，+6d，s=8，得a=2+3d，b=2q由a=b=241441，b=10，s﹣由条件a+b=27 4444，得方程组，解得*n．n∈，b=2N，﹣故a=3n1nnn32①； 2 a+2；a+2a+…+）证明：方法一，由（（21）得，T=2a12nnn1n﹣﹣1nn23+②；+2 a2T=2+a2…a++2；a1nn1n2﹣2n3n2+2+×22+3×2+…+3+3n=由②﹣①得，T﹣2（﹣1）3×n2n+2=2++﹣6nn；=10×2﹣6n﹣10nn；﹣212=10×+13n212=﹣+2a而﹣10b﹣（﹣）102﹣×﹣6n10nn*）N．10b（n∈故T+12=﹣2a+nnn方法二：数学归纳法，③当n=1时，T+12=ab+12=16，﹣2a+10b=16，故等式成立，11111④假设当n=k 时等式成立，即T+12=﹣2a+10b，kkk则当n=k+1时有，T=ab+ab+ab+…+ab1k131kk1kk211++﹣+=ab+q（ab+ab+…+ab）k1k11112kk﹣+=ab+qT k1k1+=ab+q （﹣2a+10b﹣12）kk11k+=2a﹣4（a﹣3）+10b﹣2411kkk1+++=﹣2a+10b﹣12．1k1k++即T+12=﹣2a+10b，因此n=k+1时等式成立．1kk1k1+++*，T+12=﹣2a+10b③④对任意的n∈N成立．nnn＞＞P，点，B的左右顶点分别为A天津）设椭圆2012?．（19为坐标原点．OB两点，在椭圆上且异于A，（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．，利用直线AP与BP的斜率之积，则y））设（1P（x，【分析】00为，即可求得椭圆的离心率；，，则（x，kx）OP（2）依题意，直线的方程为y=kx，设P00＜，，可求得）A（﹣a，进一步可得0OA，利用AP|=||，从而可求直线OP的斜率的范围．①，∴x（，y）1【解答】（）解：设P00＞＞，a（B，）0，a（﹣A，∴B，A的左右顶点分别为∵椭圆）0，∴，∴BP的斜率之积为∵直线AP与代入①并整理得22=2b0，∴a∵y≠0∴∴；∴椭圆的离心率为∴，设P（x，kx），证明：（2）依题意，直线OP的方程为y=kx00＜，∴，kx≠0∵a＞b＞00＜②∴∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），∴∴∴＜代入②得23＞∴k∴直线OP的斜率k满足|k|＞．20．（2012?天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；2成立，求实数kkx的最小值；x∞），有f（）≤[（2）若对任意的x∈0，+*＜（n∈N）．（3）证明：【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；时，0＞k不合题意；当0≤k故，0＞ln2﹣=1）1（f，有x=1时，取0≤k）当2（．22，求导函数，令g′（）﹣kxx））=x﹣ln（x+1令g（x）=f（x）﹣kxx，即g（，g＞=0，，分类讨论：①当k≥时，=0，可得x1＞对于时，，＜（x）≤g（0）=0；②当0k＜+（x）在（0，∞）上单调递减，g，，上单调递增，由此可）在，g′（x）＞0，因此g（x确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k=，得f（x）≤2＜，由此可证结论．，从而可得x【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意22，kx+1）﹣）=x﹣ln（xg（x）=f（x）﹣kx，即g（x当k＞0时，令=）g′（x求导函数可得＞，可得x=0，=0g′（x）1，（0（x）在（在0，+∞）上恒成立，因此g，g′（x）＜0时，①当k ≥+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即2成立；kxx）≤（，+∞），有f∈对任意的x[0，g′（x）＞0，因此g（x）在，＞k②当0＜＜时，，对于，上单调递增，2，x（时，g不成立；kx）≤（，即有因此取）（）≥g0=0fx0002成立，k）≤kx的最小值为∞），有f（x0综上知，k≥时对任意的x∈[，+（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立时，2当n≥2＜（，∴ik=，得f（x）≤x在（2）中，取*）．i∈N≥2，﹣2＜+2=f（）∴2﹣＜ln3=2ln3+﹣+1*＜N∈n（．）综上，。
2012年天津市高考数学试卷(理科)
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12年高考真题——理科数学(天津卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，复数73ii-=+( ) （A ）2i + （B ）2i - （C ）2i -+ （D ）2i --2．设R ϕ∈，则“0ϕ=”是“()()()cos f x x x R ϕ=+∈为偶函数”的 ( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为25-，则输出x 的值为( ) （A ）1- （B ）1 （C ）3 （D ）94．函数()322xf x x =+-在区间()0,1内的零点个数是( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5．在()5212x x--的二项展开式中，x 的系数为（ ）（A ）10 （B ）10- （C ）40 （D ）40-6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是c b a ,,，已知85b c =，2C B =，则co s C = ( ) （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）24257．已知正ABC ∆中，2AB =，设点,P Q 满足AB AP λ=，()()1AQ AC R λλ=-∈，若32BQ CP ⋅=-，则λ= ( ) （A ）21 （B ）221± （C ）2101± （D ）2223±- 8．设R n m ∈,，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( ) （A ）1⎡-⎣ （B ）(),113,⎡-∞++∞⎣（C ）22⎡-+⎣ （D ）(),2222,⎡-∞-++∞⎣二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．某地区有小学150所，中学75所，大学25所。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数7=3i z i-+=（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- （２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 （4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 （5）在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC= （A ）725（Ｂ）725-（Ｃ）725±（Ｄ）2425（7）已知△ABC 为等边三角形，=2A B ，设点P ，Q 满足=AP AB λ ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ C P ⋅- ，则=λ（A ）12（Ｂ）12±（Ｃ）12±（Ｄ）32-±C（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A ）[1-（Ｂ）(,1)-∞-∞（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2)-∞-∞ .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. （10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .（11）已知集合={||+2|<3}A x R x ∈，集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n - ，则=m ,=n .（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3A F ，=1FB ，3=2E F ，则线段C D 的长为 .（14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. （17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P A B C D -中，P A 丄平面A B C D ，A C 丄A D ，A B丄B C ，0=45ABC ∠，==2P A A D ，=1A C . (Ⅰ)证明P C 丄A D ；（Ⅱ）求二面角A P C D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b - ，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y ab(>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线O P 的斜率k满足|k（20）（本小题满分14分）已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，其中>0a . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈.【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.１．B 【解析】7=3i z i-+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -2．A 【解析】∵=0ϕ⇒()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件. 3．C 解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.4．B 【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即=B Q A Q A B -(1)AC AB --又∵3=2B Q CP ⋅- ，且||=||=2A B A C ，0<,>=60A B A C ，0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅ ，∴3[(1)]()=2A C AB A B AC λλ---- ，2223||+(1)+(1)||=2A B A B A C A C λλλλ--⋅- ，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.8．D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为=d ，所以21()2m n m n m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2)t ∈-∞-∞9． 9 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯.10．18+9π 【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32V π⨯⨯⨯⨯=18+9π3m .11．1-，1 【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)A B n - ，画数轴可知=1m -，=1n .12．2 【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2pF ，∵点M 的横坐标是3，则(3,M ±，所以点(,2p E -±，222=()+(022p p E F -由抛物线得几何性质得=+32p M F ，∵=EF M F ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .13．43解析】∵=3A F ，=1FB ，3=2E F ，由相交弦定理得=A F F B E F F C ⋅⋅，所以=2F C ，又∵B D ∥CE ，∴=A F F C A BB D，4==23A B B D F C A F⋅⨯=83，设=C D x ，则=4A D x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3C D .14．(0,1)(1,4)【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2=410-，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈ .。