四边形
四边形的基本概念
四边形的基本概念四边形是平面几何中的一种特殊图形，它有四条边和四个角。
在数学中，四边形是一个重要的研究对象，具有许多特性和性质。
本文将介绍四边形的基本概念，包括定义、分类以及常见的性质。
一、定义四边形是一个有四条边的平面图形，它由四个顶点和四条边组成。
四边形的边可以是直线段，也可以是曲线段。
四边形的四个内角相加等于360度。
二、分类根据各边的性质和角度的大小，四边形可以分为不同的类型。
1. 矩形：矩形是一种特殊的四边形，它有四个内角都是直角（90度）。
矩形的对边相等且平行。
2. 正方形：正方形也是一种特殊的矩形，它的四个边都相等且平行。
正方形的四个内角都是直角（90度）。
3. 平行四边形：平行四边形是四边形的一种，它的对边是平行的。
平行四边形的相邻内角互补（和为180度）。
4. 梯形：梯形是一种有两条平行边的四边形。
梯形的非平行边叫做腰，平行边叫做底。
梯形的相邻内角互补（和为180度）。
5. 菱形：菱形是四边形的一种，它的四条边都相等。
菱形的相邻内角互补（和为180度）。
6. 长方形：长方形是一种特殊的矩形，它的两个对边相等且平行。
长方形的四个内角都是直角（90度）。
三、性质除了以上分类，四边形还有一些常见的性质。
1. 对角线四边形的对角线是连接两个非相邻顶点的线段。
不同类型的四边形的对角线具有不同的性质。
- 矩形和正方形的对角线相等且互相垂直。
- 梯形的对角线不相等，但根据梯形的性质，两条对角线的交点会平分对角线的线段。
- 平行四边形的对角线不相交。
- 菱形的对角线互相垂直且平分对角线的线段。
2. 周长和面积四边形的周长是边长的总和。
面积则可以根据不同类型的四边形应用不同的公式计算。
- 矩形的周长等于两条长边和两条短边的和，面积等于长边乘以短边。
- 正方形的周长等于四条边的和，面积等于边长的平方。
- 平行四边形的周长等于两对边长的和，面积等于底边乘以高。
- 梯形的周长等于四条边的和，面积等于上底与下底之和的一半乘以高。
知识必备07 四边形(公式、定理、结论图表)
知识必备07四边形（公式、定理、结论图表）考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.典例1：2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．典例2：（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．故选：C．【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形=21ab=ch.（a、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）S 平行四边形=ah.a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）典例3：（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG ＝90°，∠EGF ＝60°，∠AEF ＝50°，则∠EGC 的度数为（）A ．100°B ．80°C ．70°D ．60°【分析】由平行四边形的性质可得AB ∥DC ，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF 的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故选：B．【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．典例4：（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．典例5：（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．典例6：（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC ＝60°，BD＝4，则OE＝（）A．4B．2C．2D．【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．典例7：（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD ＝AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．典例8：（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，＝×AC×BC＝×2×2＝2．∴S△ABC【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．典例9：（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．典例10：（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．典例11：（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；＝DF•（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDFAF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF 的面积S为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∴S矩形ABDF∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，＝BD•CD＝×4×3＝6，∴S△BCD+S△BCD＝12+6＝18，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．典例12：（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EBO＝20°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．典例13：（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF＝AC，即可得出结论【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要点诠释】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.典例14：（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.典例15：（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是4答案不唯一．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．。
四边形的性质和分类
四边形的性质和分类四边形是指拥有四条边的几何图形。
在几何学中，对于四边形的性质和分类进行了广泛的研究，以便更好地理解和应用这一几何形状。
一、四边形的基本性质四边形的基本性质包括以下几个方面：1. 四边形的边数和顶点数：四边形有四条边和四个顶点。
2. 内角和：四边形的内角和等于360度。
这意味着四边形的四个内角相加等于一个圆的全角。
3. 对角线：四边形内部可以通过连接非相邻顶点得到两条对角线。
对角线的性质包括两对相对的边相交于一点，以及对角线长度相等的对称性。
4. 边长关系：四边形的边长可能相等，也可能各异。
二、四边形的分类根据不同的属性和特点，我们可以将四边形分为以下几类：1. 矩形：矩形是一种特殊的四边形，其四个内角均为直角（90度），且相对边长度相等。
矩形的对角线相等且相互平分。
2. 正方形：正方形也是一种特殊的四边形，具有矩形的所有性质，并且四条边长度相等。
3. 平行四边形：平行四边形的对边是平行的，它的对角线互相平分。
4. 梯形：梯形具有一对并不平行的边，其它两边是平行的。
5. 菱形：菱形的所有边都相等，但对角线并不相等。
6. 不规则四边形：不规则四边形指的是没有特殊性质的四边形，边长和角度均可以各异。
三、应用和重要性四边形在几何学中具有重要的应用价值和意义。
首先，四边形是计算面积的基本形状之一。
不同种类的四边形可以有不同的计算公式来求解面积，比如矩形的面积为长乘以宽。
其次，四边形的性质在建筑、工程和设计领域有重要的应用。
例如，在建筑设计中，规划师需要合理布局四边形的空间，以满足不同的功能和需求。
此外，四边形还与其他几何形状存在紧密的关联，在解决几何问题时起到桥梁作用。
总结：综上所述，四边形作为一种常见的几何形状，在几何学中具有重要的地位。
通过了解四边形的基本性质和分类，我们能够更好地理解和应用这一形状，从而在解决几何问题或应用领域中得到准确而切实的结果。
几何专讲-四边形
四边形一、基本定义1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫. 5.矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 6. 矩形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. 7．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（8．菱形的判定：A BCD 1234ABDABDOCA DB CA DBCOCDBAO⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形. 9．正方形的性质： 因为ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ CDAB（1） A BCD O（2）（3）10．正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.(4)∵ABCD 是矩形又∵AD=AB∴四边形ABCD 是正方形 11．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（ 12．等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒四边形ABCD 是等腰梯形 (4)∵ABCD 是梯形且AD ∥BC ∵AC=BD∴ABCD 四边形是等腰梯形14．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.E FD ABCE DCBAABCDOA B C D O二 定理：中心对称的有关定理1．关于中心对称的两个图形是全等形.2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式： 1．S 菱形 =ch ab =21（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. （a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =Lh h b a =+)(21.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n -. 2．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 3．梯形中常见的辅助线：一．多边形1.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看． 已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点．（如图①） 求证：S △OBC •S △OAD =S △OAB •S △OCD ；（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说平行四边形矩形菱形正方形明理由．考点：多边形；三角形的面积．专题：证明题；探究型．分析：（1）根据三角形的面积公式，则应分别分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F．然后根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可；（2）根据（1）中的思路，显然可以归纳出：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．证明思路类似．解答：证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOB=12BO•AE，S△COD=12DO•CF，S△AOD=12DO•AE，S△BOC=12BO•CF，∴S△AOB•S△COD=14BO•DO•AE•CF，S△AOD•S△BOC=14BO•DO•CF•AE，∴S△AOB•S△COD=S△AOD•S△BOC．（4分）；（2）能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．或S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC，（5分）已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，求证：S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC．证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，则有：S△AOD=12DO•AE，S△BOC=12BO•CF，S△OAB=12OB•AE，S△DOC=12OD•CF，∴S△AOD•S△BOC=14OB•OD•AE•CF，S△OAB•S△DOC=14BO•OD•AE•CF，∴S△AOD•S△BOC=S△OAB•S△DOC．点评：恰当地作出三角形的高，根据三角形的面积公式进行证明．2.如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．考点：多边形．专题：证明题．分析：可以再做五边形的一条中对线，根据它们分割成的两部分的面积相等，都是五边形的面积的一半，导出两个等底的三角形的面积相等，从而得到它们的高相等，则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行．解答：证明：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，∵A3B1=B1A4，∴S△A1A3B1=S△A1B1A4，又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，∴S△A1A2A3=S△A1A4A5，同理S△A1A2A3=S△A3A4A5，∴S△A1A4A5=S△A3A4A5，∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，∴A1A3∥A4A5，同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．点评：此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行二．平行四边形如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C 时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．考点：平行四边形的性质；一元二次方程的应用；直角梯形．专题：动点型．分析：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM=102-82=6，∴CD=16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10-3t，DQ=2t∴10-3t=2t，解得t=2此时，BP=DQ=4，CQ=12∴BQ=82+12213∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=8+8 13；（3）①当点P在线段AB上时，即0≤t≤103时，如图S△BPQ=12BP•BC=12(10-3t)×8=20∴t=53．②当点P在线段BC上时，即103＜t≤6时，如图BP=3t-10，CQ=16-2t∴S△BPQ=12BP•CQ=12(3t-10)×(16-2t)=20化简得：3t2-34t+100=0，△=-44＜0，所以方程无实数解．③当点P在线段CD上时，若点P在Q的右侧，即6≤t≤345，则有PQ=34-5tS△⊆BPQ=12×8=20，(34-5t)t=295＜6，舍去若点P在Q的左侧，即345＜t≤8，则有PQ=5t-34，S△BPQ=12(5t-34)×8=20，t=7.8．综合得，满足条件的t存在，其值分别为t1=53，t2=7.8．点评：本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．2. 已知：如图，AD∥BC，AC⊥BD于O，AD+BC=5，AC=3，AE⊥BC于E．则AE=125125．考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理．分析：过点A作AF∥DB交CB延长线于F，通过辅助线，将已知条件与未知量联系起来，此时，AE是直角三角形斜边上的高，而已知斜边和一直角边，先由勾股定理求出另一直角边，再由面积法就可以求出斜边上的高AE了．解答：解：过点A作AF∥DB交CB的延长线于点F（1分）∵AD∥BC∴四边形AFBD是平行四边形∴FB=AD∵AD+BC=5∴FC=FB+BC=AD+BC=5（2分）∵AC⊥BD∴FA⊥AC（3分）在△FAC中，∠FAC=90°，AC=3，FC=5∴AF=4（4分）∵AE⊥BC于E∴AF •AC=FC •AE∴AE=125（5分）点评：当直接求解比较困难时，通常要作辅助线，将已知条件与未知量联系起来．三．菱形1.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长103cm，其一个内角为60度．（1）若d=26，则该纹饰要231个菱形图案，则纹饰的长度L为6010cm；（2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要300个这样的菱形图案．考点：菱形的性质；解直角三角形．专题：规律型．分析：（1）首先根据菱形的性质和锐角三角函数的概念求得菱形的对角线的长，再结合图形发现L=菱形对角线的长+（231-1）d；（2）设需要x个这样的图案，仍然根据L=菱形对角线的长+（x-1）d进行计算．解答：解：（1）菱形图案水平方向对角线长为103×cos30 °×2=30cm按题意，L=30+26×（231-1）=6010cm（2）当d=20cm时，设需x个菱形图案，则有：30+20×（x-1）=6010解得x=300，即需300个这样的菱形图案．点评：此题主要考查根据图形找规律，同时也考查了解直角三角形有关知识．2. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．考点：菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：开放型；存在型．分析：（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；（3）因为12AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑，即过E作EP⊥AD．解答：（1）证明：连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF（2分）∴四边形AFCE是菱形．（3分）（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．设AB=x，BF=y，∵∠B=90，∴（x+y）2-2xy=100①又∵S△ABF=24，∴12xy=24，则xy=48．②（5分）由①、②得：（x+y）2=196（6分）∴x+y=14，x+y=-14（不合题意舍去）∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（7分）（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．（9分）证明：由作法，∠AEP=90°，由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP（AA），∴AEAP=AOAE，则AE2=AO•AP（10分）∵四边形AFCE是菱形，∴AO=12AC，AE2=12AC•AP（11分）∴2AE2=AC•AP（12分）即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．点评：本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质．三．矩形正方形已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=12BC•PF+12AD•PE=12BC（PF+PE）=12BC•EF=12S矩形ABCD，又∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=12S矩形ABCD，∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．请你参考上述信息，当点P分别在图2，图3中的位置时，S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．考点：矩形的性质．专题：探究型．分析：分析图2，先过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，利用三角形的面积公式可知，经过化简，等量代换，可以得到S△PBC=S△PAD+12S矩形ABCD，而S△PAC+S△PCD=S△PAD+12S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD．解答：解：猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD图3结论S△PBC=S△PAC-S△PCD（2分）证明：如图2，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，∵S△PBC=12BC•PE+12BC•EF （1分）=12AD•PE+12BC•EF=S△PAD+12S矩形ABCD（2分）∵S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+12S矩形ABCD（2分）∴S△PBC=S△PAC+S△PCD（1分）如果证明图3结论可参考上面评分标准给分．点评：本题利用了三角形的面积公式，以及图形面积的整合等知识．2. ）图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分．（1）求1MB+1NB的值；（2）求MB、NB的长；（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离．考点：正方形的判定与性质；一元二次方程的应用；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合．分析：（1）本题可通过相似三角形A1B1M和NBM得出的关于NB，A1B1，MB，MB1的比例关系式来求，比例关系式中A1B1，BB1均为正方形的边长，长度都是1，因此可将它们的值代入比例关系式中，将所得的式子经过变形即可得出所求的值；（2）由于直线MN将图（1）的图形分成面积相等的两部分，因此△BMN的面积为52，由此可求出MB•NB的值，根据（1）已经得出的MB+NB=MB•NB可求出MB+NB的值，由此可根据韦达定理列出以MB，NB为根的一元二次方程，经过解方程即可求出MB、NB的值；（3）根据（2）的结果，不难得出B1M=EN，由于折叠后E与B点重合，因此B1M=BN，那么四边形B1MNB 是个矩形，因此MN的长为正方形的边长．解答：解：（1）∵△A1B1M∽△NBM且A1B1=BB1=1，∴NBA1B1=MBMB1，即NB1=MBMB-1整理，得MB+NB=MB•NB，两边同除以MB•NB得1MB+1NB=1；（2）由题意得12MB•NB=52，即MB•NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB•NB=5，∴MB、NB分别是方程x2-5x+5=0的两个实数根．解方程，得x1=5+52，x2=5-52；∵MB＜NB，∴MB=5-52，NB=5+52；（3）由（2）知B1M=5-52-1=3-52，EN=4-5+52=3-52，∵图（2）中的BN与图（1）中的EN相等，∴BN=B1M；∴四边形BB1MN是矩形，∴MN的长是1．点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，一元二次方程的应用等知识点，综合性比较强．四．梯形1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．考点：等腰梯形的判定；二次函数的应用；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；动点型．分析：（1）需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）可证△BPM∽△CQP，PCBM=CQBP，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，x4=4-y4-x，即可得出y=14x2-x+4；（3）应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况；由（2）中的函数关系，可得当y取最小值时，x=PC=2，P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．解答：（1）证明：∵△MBC是等边三角形，∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）∵M是AD中点，∴AM=MD．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．∴△AMB≌△DMC．（2分）∴AB=DC．∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）（2）解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．∴∠BMP=∠QPC．（4分）∴△BPM∽△CQP．∴PCBM=CQBP．（5分）∵PC=x，MQ=y，∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）∴x4=4-y4-x．∴y=14x2-x+4．（7分）（3）解：①当BP=1时，则有BP ∥..AM，BP∥..MD，则四边形ABPM为平行四边形，∴MQ=y=14×32-3+4=134．（8分）当BP=3时，则有PC∥..AM，PC∥..MD，则四边形MPCD为平行四边形，∴MQ=y=14×12-1+4=134．（9分）∴当BP=1，MQ=134或BP=3，MQ=134时，以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．（10分）故符合条件的平行四边形的个数有4个．②△PQC为直角三角形．（11分）∵y=14（x-2）2+3，∴当y取最小值时，x=PC=2．（12分）∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∴∠CPQ=30°，∴∠PQC=90°．∴△PQC是直角三角形．（13分）点评：本题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用．。
四边形的定义
四边形的定义、性质及判定一、平行四边形平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：（1）平行四边形的两组对边平行且相等。
（2）平行四边形两条对角线互相平分。
（3）平行四边形的对角相等，邻角互补平行四边形的判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的相关知识：（1）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（2）平行四边形的面积等于底乘以高（3）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
（4）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
二、矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
也就是长方形。
矩形的性质:（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的两条对角线相等且互相平分（3）平行四边形的性质都具有。
矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的相关知识：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形矩形的面积为长乘以宽三、菱形菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质：（1）菱形的两条对角线互相垂直且互相平分；每一条对角线平分一组对角（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角相等，邻角互补；菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形（4）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
（5）菱形具备平行四边形的一切性质。
菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的相关知识：（1）菱形面积两条对角线乘积的一半；或者底乘高。
四边形的判定
四边形的判定四边形是指具有四个边和四个角的图形。
在几何学中，根据四边形的性质和特点，可以进行不同的判定和分类。
本文将介绍四边形的判定方法，帮助读者准确辨识和识别四边形。
一、四边形的基本定义四边形是由四条线段连接起来构成的图形，它有四个顶点、四条边和四个内角。
四边形的边可以是直线段或曲线，而四边形的角可能是锐角、直角、钝角或其他类型的角。
二、四边形的常见类型1. 矩形矩形是指具有四个内角都是直角（90度）的四边形。
判定一个图形是否为矩形，可以通过检查它的四个内角是否都为90度。
2. 正方形正方形是指具有四个内角都是直角，且四条边长度相等的四边形。
判定一个图形是否为正方形，可以通过检查它的四个内角是否都为90度，以及四条边是否长度相等。
3. 平行四边形平行四边形是指具有两对相对边平行的四边形。
判定一个图形是否为平行四边形，可以通过检查它的两对相对边是否平行。
4. 长方形长方形是指具有四个内角都是直角，且相对边长度相等的四边形。
判定一个图形是否为长方形，可以通过检查它的四个内角是否都为90度，以及相对边是否长度相等。
5. 菱形菱形是指具有四个边长度相等，但不一定有直角的四边形。
判定一个图形是否为菱形，可以通过检查它的四条边是否长度相等。
6. 梯形梯形是指具有两边是平行的四边形。
判定一个图形是否为梯形，可以通过检查它的两边是否平行。
三、四边形的判定方法1. 角度判定法通过测量四边形的内角，判断是否满足特定的角度条件，可以判定四边形的类型。
比如，如果四个内角都是直角，那么就是矩形或正方形；如果有两组相等的内角，那么就是平行四边形等。
2. 边长判定法通过测量四边形的边长，判断是否满足特定的长度条件，可以判定四边形的类型。
比如，如果四条边的长度都相等，那么就是正方形或菱形；如果有一对边是平行且长度相等，另一对边也是平行的，那么就是梯形等。
3. 平行关系判定法通过判断四边形的边和角是否满足平行关系，可以判定四边形的类型。
四边形基本图形知识点总结
四边形基本图形知识点总结四边形是几何学中常见的图形，它有许多重要的性质和知识点。
本文将带您深入了解四边形的基本概念、分类和特性。
一、四边形的基本概念四边形是指具有四条边的图形。
它是多边形的一种特殊情况，由四个顶点和四条边构成。
尽管四边形是一个广义的概念，但在几何学中我们通常讨论的是平面四边形。
二、四边形的分类根据四边形的性质，我们可以将其分类为以下几种常见类型：1.矩形：四个角都是直角的四边形。
矩形的对边相等且平行。
2.正方形：具有四个相等边长和四个直角的矩形。
3.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。
4.梯形：有一对对边平行的四边形。
5.菱形：四个边长相等的梯形。
6.不规则四边形：没有对边平行或边长相等的四边形。
三、四边形的性质和特性1.内角和：四边形的内角和等于360度。
2.外角和：四边形的外角和等于360度。
3.对角线：四边形的对角线是相邻顶点之间的直线段。
对角线有以下重要性质：–矩形的对角线相等；–平行四边形的对角线互相平分；–菱形的对角线互相垂直且平分；–梯形的对角线不相交。
4.邻边和对边：在平行四边形中，邻边是指两个相邻的边，对边是指不相邻但平行的边。
在矩形和正方形中，邻边和对边是相同的。
5.矩形和正方形的特性：–矩形的对边相等且平行；–矩形的对角线相等；–正方形是一种特殊的矩形，具有四个相等的边长和四个直角。
四、四边形的计算在解决与四边形相关的问题时，我们经常需要计算其面积和周长。
下面是一些常见四边形的计算公式：1.矩形的面积为长度乘以宽度，周长为两倍长度加两倍宽度。
2.正方形的面积为边长的平方，周长为四倍边长。
3.平行四边形的面积为底边乘以高，周长为两倍底边加两倍高。
4.梯形的面积为上底加下底乘以高的一半，周长为所有边长之和。
五、应用实例四边形的概念和性质在日常生活和工作中都有广泛的应用。
例如：1.建筑设计：在建筑设计中，矩形和正方形的特性被广泛应用于房屋的布局和结构设计。
2.地理测量：平行四边形的特性可用于测量地块面积或河流的宽度。
四边形的性质与特点
四边形的性质与特点四边形是几何学中的一个重要概念，它与我们日常生活息息相关。
在这篇文章中，我们将深入探讨四边形的性质与特点，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、基本概念四边形是指由四条线段所构成的闭合图形。
这四条线段被称为四边形的边，而围成四边形的四个角被称为四边形的内角。
四边形的对边是指不在同一条直线上的两条边。
二、分类与特性根据四边形的对边是否平行以及边长是否相等，我们可以将四边形分为以下几类：1. 平行四边形平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
其中，相邻边相等，相邻角补角，对角互补，且对边平行。
2. 矩形矩形是一类特殊的平行四边形，其具有四个直角的性质。
矩形的对角线相等，且对边互相平行。
3. 正方形正方形是一种特殊的矩形，其四条边和四个角都相等。
正方形的对角线相等且垂直平分。
4. 菱形菱形是一种具有两对相等边、对边平行的四边形。
菱形的对角线相互垂直，且对角线的交点恰好是该菱形的对边中点。
5. 梯形梯形是指具有一对平行边的四边形。
梯形的对角线不相交，且两底角和两腰角是补角。
6. 平行四边形的特殊情况当平行四边形的两对边相等时，它就变成了矩形；当平行四边形的两对角相等时，它就变成了菱形。
三、性质与规律除了分类与特性外，四边形还表现出一些不同的性质和规律：1. 内角和定理对于任意一个四边形而言，其内角和等于360度。
根据这个性质，我们可以通过已知角度求解未知角度。
2. 对角线性质四边形的对角线相互交于一点，该点被称为对角线的交点。
对角线的交点将四边形分割成两个三角形，其面积之和等于整个四边形的面积。
3. 面积计算根据四边形的不同类型，我们可以使用不同的公式来计算其面积。
例如，正方形的面积计算公式为边长的平方，矩形的面积计算公式为长乘以宽。
四、应用举例四边形的性质与特点在日常生活和学习中有很多应用。
以下是几个例子：1. 建筑设计建筑师在设计建筑物时往往需要考虑到平行四边形的性质，以确保结构的稳定性和美观性。
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教师 Q012 学生 时间和时段 2015年 月 日 （ ： — ： ）学科 数学年级教材名称 数学 授课题目四边形课 次第（ ）次课一、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质①、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
②、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。
③、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。
④、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
3、平行四边形的判定①、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
②、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
④、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤、平行四边形判定定理5：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。
同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。
（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。
例1、（2010山东泰安）如图2，E 是□ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长 线交于点F ，若∠FCD =∠D ，则下列结论不成立的是（ ） A 、AD =CF B 、BF =CF C 、AF =CD D 、DE =EF例2. （2010福建宁德）如图3，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____． （图2）例3．（2010广东中山）如图8，分别以Rt ΔABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边ΔACD 、等边ΔABE ．已知∠BAC =030，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．图3F A E BCD图8二、矩形矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。
因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。
1、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）2、矩形性质定理：①：矩形的四个角都是直角。
②：矩形的对角线相等。
3、矩形判定定理①：有三个角是直角的四边形是矩形。
说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。
②：对角线相等的平行四边形是矩形。
说明：要判定四边形是矩形的方法是：法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1 ） 法三：只需证出三个角都是直角。
（这是判定定理2）直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．性质：例1、5、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ）A 、56B 、55C 、54D 、35例2、矩形的内角平分线能够组成一个（ ）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、平行四边形例3：已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．例4.（2010山东聊城）如图9，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点， 矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对 角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．125B ．65C ．245D ．不确定判定：例1、如图45-4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，EF 过O 分别交BC 、AD 于点E 、F ，且AE⊥BC，求证：四边形AECF 是矩形。
图9AE B CFD例2、（2011年青岛）(8分)在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ．(1)求证：△BEC ≌△DFA ；(2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．例3.（2010江苏泰州）如图12，四边形ABCD 是矩形，∠EDC =∠CAB ， ∠DEC =90°．(1)求证：AC ∥DE ；(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连结EF ，试判断四边形BCEF 的 形状，并说明理由． 四、菱形菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。
1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质①：菱形的四条边相等。
②：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3、菱形判定定理①：四边都相等的四边形是菱形。
②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
说明：要判定四边形是菱形的方法是：法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。
（这就是定义证明）。
法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。
（这是判定定理2）法三：只需证出四边都相等。
（这是判定定理1）菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半性质：例1、过四边形A BCD 的顶点A 、B 、C 、D 作BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,若EFGH是菱形,则四边形ABCD 一定是( )A 、平行四边形B 、菱形C 、矩形D 、对角线相等的四边形例2、在菱形ABCD 中，,,CD AF BC AE ⊥⊥ 且E 、F 分别是BC 、CD 的中点，那么=∠EAF （ ）图4A 、075B 、055C 、450D 、060例3、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（ ） A 、32B 、332C 、3 3D 、532例4.（2010江苏盐城）如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线 AC ＝6，BD ＝8，则此菱形的边长为 A ．5 B ．6 C ．8D ．10例5、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．判定：例1、已知：如图，在ABCD中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．例2、（中考）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；A D G CB F E 第2题图 ABCD（第4题）（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．证明：（1）五、正方形正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。
1、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形性质定理①：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
②：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
3、正方形判定定理①：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
②：两条对角线相等的菱形是正方形。
注意：要判定四边形是正方形的方法有方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。
（这是用定义证明）方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。
（这是判定定理1）方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。
（这是判定定理2）性质：例1：正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ） A.8 B.24 C.28 D.16例2、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A 、四个角都是直角B 、两组对边分别相等C 、内角和为0360 D 、对角线平分对角例3．（2010广东茂名）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形'''D C AB ，边''C B 与DC 交于点O ，则四 边形OD AB '的周长．．是 A ．22 B ．3 C ．2 D ．21例4．（2010广西柳州）如图4，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，A DBEF OCM第3题图(第3题图)OC 'B 'D 'DCB A则∠AEB 的度数为A ．10°B ．12.5°C ．15°D ．20°例5、如右上图，四边形ABCD 是正方形，△CDE 是等边三角形，求∠AEB 的度数.例6、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF.（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由。
（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角。
例7、如图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．课后练习1：如图20-6，菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是 ．2．（本小题满分8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．A B C DE FG（1）求证：BCG DCE △≌△；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90得到DAE '△， 判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．3．（本小题满分8分）已知：如图，在□ABCD 中，点E 在BC 边上，连接A E ．O 为AE 中点，连接BO 并延长交AD 与F ．（1）求证：△AOF ≌△BOE ，（2）判断当AE 平分∠BAD 时，四边形ABEF 是什么特殊四边形，并证明你的结论． （3）当∠ABC = 时，四边形AECD 为等腰梯形（只写结论，不需证明）． 证明：（1）（2）学生到校快乐学习，快乐成长（附教师意见） 家长意见分管教师签字ABCDEFE 'GABCDOEF 第21题。