考点9变化率与导数、导数的计算
变化率与导数
变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算 常用 导数 公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一 导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。
变化率与导数
变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。
变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。
其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。
变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。
变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。
当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。
导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。
它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。
因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。
总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。
变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。
导数与变化率的概念与计算方法
瞬时变化率
定义：瞬时变化 率是指在某一时 刻附近，函数值 随自变量变化的
趋势和快慢
计算方法：通 过求导数来计 算瞬时变化率
几何意义：瞬 时变化率可以 理解为函数图 像在该点的切程学等领域有广 泛的应用，如速 度、加速度等物
理量的计算
变化率的几何意义
变化率描述的是函数图像上两点间距离的相对变化 变化率等于函数图像上切线斜率 变化率可用于分析函数图像的形状和趋势 变化率的概念在导数定义中有着基础地位
热传导：导数可以用来描述热量的传递过程，例如物体温度随时间的变化规律和热传导方程的求 解。
电磁学：导数可以用来描述电场和磁场的变化规律，例如电场强度和磁场强度的计算。
导数在经济分析中的应用
边际分析：导数 用于研究经济活 动中各变量的变 化趋势和极限状 态，帮助决策者 做出最优决策。
弹性分析：导数 用于计算各种经 济指标的弹性， 从而分析各因素 对经济指标的影 响程度。
利用导数求瞬时变化率
定义：导数描述 了函数在某一点 处的切线的斜率
计算方法：通过 求导公式或导数 定义进行计算
应用场景：在物理学、 工程学等领域中，利 用导数求瞬时变化率 具有广泛的应用
注意事项：导数在 某些点可能不存在， 需要注意函数的可 导性
导数与变化率的 应用
导数在几何中的应用
导数在研究曲线上某点的切线 斜率中应用
经济分析：在经济学中， 变化率用于分析经济增 长、通货膨胀和利率等 经济指标的变化情况。
预测模型：在气象学 和统计学中，变化率 用于建立预测模型， 例如预测股票价格和 天气变化趋势。
控制系统：在控制工 程中，变化率用于设 计和分析控制系统， 例如调节汽车发动机 的油门和温度。
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2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：变化率与导数、导数的计算
变化率与导数、导数的计算【考点梳理】1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．【考点突破】考点一、导数的计算【例1】(1)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.(2)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.(3)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2[答案] (1) 3 (2) 36－4π (3) B[解析] (1)因为f (x )＝(2x ＋1)e x， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.(2)因为f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2x f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos x . 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3×f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos π3. 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝36－4π.(3) f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 【类题通法】熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e[答案] B[解析] f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e[答案] B[解析] 由f (x )＝2x f ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2 f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.考点二、导数的几何意义【例2】已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 【类题通法】求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 【对点训练】 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．[解析] (1)根据已知得点P (2，4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4， ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.【例3】(1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.[答案] (1) (e ，e) (2) A (3) 8[解析] (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)． (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3，2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A. (3)法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.【类题通法】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【对点训练】1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1，1)处的切线互相垂直，则ab的值为( ) A ．13 B ．23 C ．－23 D ．－13 [答案] D[解析] 由题意，y ′＝3x 2，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3.所以a b ×3＝－1，即a b ＝－13.3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________. [答案] 1[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.。
13讲--变化率与导数、导数的计算
第13讲 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x )′＝a x ln_a ，(e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[试一试]1．(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x，所以f ′(1)＝2. 答案：22．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x＝cos x －x sin x －cos x＝－x sin x .答案：－x sin x 利用导数的定义求函数的导数 (1)y ＝x 2，(2)f (x )＝1x ＋2. 解：(1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx ， 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2Δx＝－1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)所以y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝－lim Δx →0 1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)＝－1(x ＋2)2. [类题通法]定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )． 二比：求平均变化率Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 三极限：取极限，得导数y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx. 导数的运算 [典例] (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝ln(2x －5)． [解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. (3)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5. [类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．[针对训练]已知f (x )＝sin 2x ，记f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N *)，则f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 013⎝⎛⎭⎫π6＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：由题意，可知f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin 2x )′＝2cos 2x ；f 3(x )＝f 2′(x )＝(2cos 2x )′＝－4sin 2x ；f 4(x )＝f 3′(x )＝(－4sin 2x )′＝－8cos 2x ；f 5(x )＝f 4′(x )＝(－8cos 2x )′＝16sin 2x ；…故f 4k ＋1(x )＝24k sin 2x ，f 4k ＋2(x )＝24k ＋1cos 2x ，f 4k ＋3(x )＝－24k ＋2sin 2x ，f 4k ＋4(x )＝－24k ＋3·cos 2x (k ∈N)．所以f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6 ＝20sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋21cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－22sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－ 23cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋24sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋…－22 010sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－22 011cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 012sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 013cos ⎝⎛⎭⎫2×π6 ＝(20－22＋24－26＋…＋22 008－22 010＋22 012)sin π3＋(21－23＋25－27＋…＋22 009－22 011＋22 013)cos π3＝1×[1－(－22)1 007]1－(－22)×32＋2×[1－(－22)1 007]1－(－22)×12 ＝1＋22 0145×32＋2×(1＋22 014)5×12＝(3＋2)(1＋22 014)10答案：(3＋2)(1＋22 014)10角度一 求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( )A ．3x －y －2＝0B ．4x －3y ＋1＝0C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.角度二 求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0) 解析：选C 由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)． 角度三 求参数的值3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2，故选D.[类题通法]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．。
变化率与导数及导数的计算
变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。
导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率。
在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。
导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。
若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。
导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。
导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。
一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。
函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。
二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。
若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。
瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。
当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。
三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。
2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。
高三数学 第二篇 第九节 变化率与导数、导数的计算课件 理 北师大
【方法点评】 本题由导数的几何意义及直线垂直的位置关系可求直线 l2的斜率，然后根据待定系数法求出l2与曲线y＝x2＋x－2的 切点坐标，即可求出切线方程，从而也就较容易地求出l1， l2，x轴所围成的三角形的面积．
3.偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)， 且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
利用导数的定义求函数的导数 求函数y＝ 在x＝1处的导数．
【思路点拨】 方法一：利用定义求导数值；
方法二：先求导函数，再求导函数值． 【自主探究】 方法一：(导数定义法)
方法二：(导函数的函数值法)
【方法点评】 1.根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法： (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率
【方法点评】 1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开 区间(a，b)内的导数的基本步骤： (1)分析函数y＝f(x)的结构和特征； (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导； (3)整理得结果． 2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函 数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或 整式求解更为方便．
(3)得导数f′(x0)＝ 简记作：一差、二比、三极限． 2.函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的 导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常 数．
1.利用导数的定义，求函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)的导数． 【解析】 Δy＝(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b－(x2＋ax＋b) ＝x2＋2Δx·x＋(Δx)2＋ax＋aΔx＋b－x2－ax－b ＝2Δx·x＋(Δx)2＋aΔx，
(用数字作答)． 【解析】 由图可知：f[f(0)]＝f(4)＝2，
高三数学 第二篇 第九节 变化率与导数、导数的计算课件 理 北师大版
∴y′＝2x＋a.
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导数的运算 求以下函数的导数：
【思路点拨】 先正确地分析函数是由哪些根本函数经过怎样的顺序复 合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁 求导，不能混淆．
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【自主探究】
(2)设u＝2x－3，那么y＝(2x－3)5 由y＝u5与u＝2x－3复合而成， ∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x－3)4.
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(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.
(4)y′＝(sin 2x)′＝(cos 2x)·(2x)′＝2cos 2x.
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2.有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方 程，这类题目要注意审好题，看到底是在某点处的切线还是过某点的 切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有两条或更多 ；第二类是曲线的切线求字母的题目，曲线的切线一般转化为两个条 件，即原函数一个条件，导函数一个条件．导函数的条件一般不会无 视，但原函数的条件很容易被无视．
方法二：由题意得,①当x＝0时，2f(0)＞0，即f(0)＞0； ②当x＞0时，2xf(x)＋x2f′(x)－x3＞0，即
③当x＜0时，2xf(x)＋x2f′(x)－x3＜0
综上所述：f(x)＞0. 【答案】 A
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考点9变化率与导数、导数的计算（11-14）
1.(2014·江西高考文科·T11)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标
是 .
2.(2014·广东高考理科)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为 .
3.(2014·广东高考文科·T11)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为
4.(2014·江西高考理科·T13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标
是 .
1.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ9）若函数xaxxxf1)(2在),21(是增函数，则a的取值范
围是（ ）A.-1，0B.-1，C.0，3D.3，+
2.（2013·江西高考理科·Ｔ13）设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(ex)=x+ex，则f(1)=__________.
3.（2013·江西高考文科·Ｔ11）若曲线yx1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，
则α=
4. （2013·广东高考理科·Ｔ10）若曲线lnykxx在点(1,)k处的切线平行于x轴，则k=.
5.（2013·北京高考理科·Ｔ18）设l为曲线C：lnxyx在点(1，0)处的切线.
(I)求l的方程.
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.
1.（2012·陕西高考理科·Ｔ7）设函数，则（）
()xfxxe
(A)为的极大值点 (B)为的极小值点
(C)为的极大值点(D)为的极小值点
2.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ13）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________
3.（2012·辽宁高考文科·Ｔ12）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ15）相同
已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切
线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
__________
4.（2012·广东高考理科·Ｔ12）曲线在点（1，3）处的切线方程为.
1．（2011·山东高考文科·Ｔ4）曲线311yx在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
（A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15
2．（2011·山东高考文科·Ｔ10）函数2sin2xyx的图象大致是( )
3．（2011·湖南高考文科T7）曲线y=
sinx1M(,0)sinxcosx24
在点处的切线
的斜率为( )
（A）21 （B）21 （C）22 （D）22
4．（2011·江西高考理科·Ｔ4）若224lnfxxxx，则'fx＞0的解集为( )
（A）0, （B）1,02,
（C）2, （D）1,0
5．（2011·江西高考文科·Ｔ4）曲线xye在点A（0,1）处的切线斜率为( )
（A）1 （B）2 （C）e （D）1e
1x()fx1x
()fx
1x()fx1x
()fx
2
2xy
3
3yxx