2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第5章5.3复数的四则运算含解析
高中数学湘教版选修2-2：(课件)第5章 数系的扩充与复数 5.1 解方程与数系的扩充 5.2 复数的概念
复数的分类
复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，根据 a，b 的取值可分为 实数、虚数及纯虚数．
m 2 ＋m －6 例2 当实数 m 为何值时， 复数 z＝ m ＋ (m2－2m)i 为 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
【思路点拨】 据复数的分类标准
→ 列出式子 → 解出 m → 结论
【解】
【解】 由 y 是纯虚数，可设 y＝ bi(b∈ R 且 b≠0)， 则 2x－ 1＋ i＝ bi， 2x－ 1＝ 0， 由复数相等的充要条件，得 b＝ 1. b＝ 1， 1 解得 所以 x＝ ， y＝ i. 1 2 x ＝ . 2
【名师点评】 在两个复数相等的充要条 件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即 当a， b， c， d∈ R时， a＋ bi＝ c＋ di的充要 条件是a＝c，b＝d，这里的2x－1和3－y不 是复数 (2x － 1) ＋ (3 － y)i 的实部和虚部，不 能直接利用复数相等的充要条件来解，需 要先把复数的实部和虚部分离出来，再利 用复数相等的充要条件，化复数问题为实 数问题．
第5章
数系的扩充与复数
5．1 解方程与数系的扩充 5．2 复数的概念
学习目标
课前自主学案 5.2 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1. 了解引入虚数单位 i 的必要性，了解数系的扩充 过程． 2．了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出 现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充 要条件．
【名师点评】 解答与复数概念有关的题 目，主要是对概念要清楚，不能似是而非， 如： (1) 在复数的代数形式 a ＋ bi(a ， b ∈ R) 中， 条件“a ， b ∈ R”很关键，若没有这一条 件，则其实部和虚部未必是a和b. (2) 注意虚数不能比较大小，但说“复数不 能比较大小”是不对的．
2019-2020年湘教版数学选修2-2配套课件：章末复习5数系的扩充与复数
2019/7/18
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a2－1≠0
∴aa≠ ＝－ 6且1且 a≠a≠ ±16 ∴不存在实数 a，使 z 为纯虚数．
跟踪演练 1 当实数 a 为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数 z 对应的点在直线 x－y＝0. 解 (1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得 a＝1 或 a＝2. (2)z 为纯虚数，aa22－－23aa＝＋02，≠0， 即aa＝≠01或且aa＝≠22，. 故 a＝0.
3．熟记下列公式 (1)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N＋)． (2)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii＝i；11－ ＋ii＝－i；1i ＝－i. (3)若 z＝a＋bi(a，b∈R)则 z ＝a－bi，|z|＝ a2＋b2，z·z ＝|z|2 ＝|z2|＝| z |2＝| z 2|＝a2＋b2.
形式．
3．对复数几何意义的考查．在高考中 一 般 会 结 合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何 意义、复数加减法的几何意义．
再见
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
(3)z 对应的点在第一象限，则aa22－－23aa＞＋02，＞0， ∴aa＜ ＜01， ，或 或aa＞ ＞22， ， ∴a＜0，或 a＞2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2.
【湘教版】高中数学同步选修2-2教案+精练学案：第5章 5.4 复数的几何表示
5．4复数的几何表示[读教材·填要点]1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点P (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OP ―→＝(a ，b )． 3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OP ―→，则OP ―→的模叫作复数z 的模，记作|z |，且 |z |＝a 2＋b 2.4．共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，将复数a －b i 称为原来的复数z 的共轭复数，记作：z .(2)性质：①z ＝z ；②复平面上两点P ，Q 关于x 轴对称⇔它们所代表的复数相互共轭．5．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OP ―→，O Q ―→，四边形OPS Q 为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OS ―→ ，与z 1－z 2对应的向量是Q P ―→.[小问题·大思维]1．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？ 提示：向量的起点在原点．2．若复数(a －1)＋a i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第二象限，则a 的取值范围是什么？提示：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，即0<a <1.所以a 的取值范围是(0,1)．3．若z 1与z 2互为共轭复数，那么|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 提示：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i ，故|z 1|＝|z 2|. 4．什么数的共轭复数是它本身？ 提示：实数的共扼复数是它本身．5．从复数减法的几何意义理解：|z 1－z 2|表示什么？ 提示：表示P 1与P 2两点间的距离．求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．[自主解答] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.探究复数z 对应复平面内的点的位置如果Z 是复平面内表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的点，则(1)当a ＞0，b ＞0时，点Z 位于第一象限；当a ＜0，b ＞0时，点Z 位于第二象限；当a ＜0，b ＜0时，点Z 位于第三象限；当a ＞0，b ＜0时，点Z 位于第四象限．(2)当a ＝0时，点Z 在虚轴上；当b ＝0时，点Z 在实轴上．(3)当b ＞0时，点Z 位于实轴上面的半平面内；当b ＜0时，点Z 位于实轴下面的半平面内．1．在复平面内，O 是原点，若向量OA ―→对应的复数z 的实部为3，且|OA ―→|＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量OB ―→对应的复数．解：根据题意设复数z ＝3＋b i ，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA ―→＝(3，b )， 已知|OA ―→|＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)， 所以向量OB ―→对应的复数为z ′＝－3.(1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( )A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)[自主解答] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a －2＋i ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求实数a 的取值范围． 解：由条件可知z 1－z 2＝(4－a )＋2i. 又|z 1－z 2|＜|z 1|， 即(4－a )2＋4＜4＋9，解得1＜a ＜7.所以实数a 的取值范围是(1,7)．设z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z ＋i z ＝103＋i，求z . [自主解答] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)． ∵103＋i＝3－i ，∴(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝3－i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴z ＝－1－i 或z ＝－1＋2i.保持例题条件不变，求zz 的值． 解：当z ＝－1－i 时，z ＝－1＋i ，∴zz ＝－1＋i －1－i ＝(－1＋i )2(－1＋i )(－1－i )＝－2i 2＝－i ； 当z ＝－1＋2i 时，z ＝－1－2i ， ∴z z ＝－1－2i －1＋2i ＝(－1－2i )2(－1＋2i )(－1－2i ) ＝－3＋4i 5＝－35＋45i. ∴zz ＝－i 或zz ＝－35＋45i.此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ；代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1.b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ，求点C ，D 对应的复数．[自主解答] ∵向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ， ∴向量AC ―→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC ―→＝OA ―→＋AC ―→，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD ―→＝BC ―→，∴向量AD ―→对应的复数为3－i ， 即AD ―→＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB ―→对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．4．已知平行四边形ABCD 中，AB ―→与AC ―→对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于O 点．(1)求AD ―→对应的复数； (2)求DB ―→对应的复数．解：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形， 所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，于是AD ―→＝AC ―→－AB ―→， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ， 即AD ―→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB ―→＝AB ―→－AD ―→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 所以DB ―→对应的复数是5.已知z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z ＝(x ＋3)＋(y －2)i ，且|z 0|＝2，求复数z 对应的点的轨迹． [巧思] 设出复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，根据复数相等寻找出a ，b 与x ，y 之间的关系，然后利用|z 0|＝2这一条件求出a ，b 的等量关系．[妙解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x ＋3，b ＝y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －3，y ＝b ＋2.又∵z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)且|z 0|＝2，∴x 2＋y 2＝4. ∴(a －3)2＋(b ＋2)2＝4.∴复数z 对应的点的轨迹是以(3，－2) 为圆心，2为半径的圆．1．(北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.答案：B2．(山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 解析：法一：由题意可知z ＝a －3i ， ∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4， 故a ＝1或－1.法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 答案：A3．设z ∈C ，|z |≤2，则点z 表示的图形是( ) A ．直线x ＝2的右半平面 B ．半径为2的圆面 C ．直线x ＝2的左半平面D ．半径为2的圆解析：由复数模的几何意义知：点z 到原点的距离小于或等于2，点z 的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆面．答案：B4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)5．复数z ＝sin π3－icos π6，则|z |＝________.解析：∵z ＝32－32i ， ∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫－322＝62. 答案：626．在复平面上，复数i,1,4＋2i 的对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．解：法一：由已知A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎫2，32，由平行四边形的性质知E 也是BD 的中点， 设D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. 即D (3,3)，∴D 点对应的复数为3＋3i.法二：由已知：OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝(1,0)，OC ―→＝(4,2)． ∴BA ―→＝(－1,1)，BC ―→＝(3,2)． ∴BD ―→＝BA ―→＋BC ―→＝(2,3)． ∴OD ―→＝OB ―→＋BD ―→＝(3,3)． 即点D 对应的复数为3＋3i.一、选择题1.若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( ) A ．E B ．F C ．GD ．H解析：由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)． 答案：D2．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5) 解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2， ∴1＜a 2＋1＜5， ∴|z |∈(1，5)．答案：B3．设复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i.∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.∴z ＝34＋i.法二：∵|z |∈R ，由复数相等的充要条件可知： 若等式z ＋|z |＝2＋i 成立，则必有虚部为1， 故可设z ＝x ＋i(x ∈R)，代入原等式有： x ＋x 2＋1＝2， 解得x ＝34，所以z ＝34＋i.答案：D4．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限． 答案：A 二、填空题5．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9.答案：96．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α， ∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由题意可得OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)，OC ―→＝(3，－2)， ∴由OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得 (3，－2)＝(－x,2x )＋(y ，－y ) ＝(－x ＋y,2x －y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4. ∴x ＋y ＝5. 答案：5 三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i.(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．解：(1)由m 2－2m －15＝0， 得m ＝5或m ＝－3.即当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数．(2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3，即当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2， 即当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5.即当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得m ＝－3－414或m ＝－3＋414. 即当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 10．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，若1≤|z |≤ 2.试问复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．解：∵|z |＝x 2＋y 2且1≤|z |≤2，∴1≤x 2＋y 2≤2.又|w |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2x 2＋2y 2，∴2≤|w |≤2.令w ＝m ＋n i(m ，n ∈R)，则2≤ m 2＋n 2≤2，即2≤m 2＋n 2≤4.故w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆环内点的集合(含内外圆周)， 其面积S ＝π[22－(2)2]＝2π.。
高中数学第5章数系的扩充与复数5.4复数的几何表示讲义含解析湘教版选修2_204163126.doc
5．4复数的几何表示[读教材·填要点]1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点P (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OP ―→＝(a ，b )． 3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OP ―→，则OP ―→的模叫作复数z 的模，记作|z |，且 |z |＝a 2＋b 2.4．共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，将复数a －b i 称为原来的复数z 的共轭复数，记作：z .(2)性质：①z ＝z ；②复平面上两点P ，Q 关于x 轴对称⇔它们所代表的复数相互共轭．5．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OP ―→，O Q ―→，四边形OPS Q 为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OS ―→ ，与z 1－z 2对应的向量是Q P ―→.[小问题·大思维]1．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？ 提示：向量的起点在原点．2．若复数(a －1)＋a i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第二象限，则a 的取值范围是什么？提示：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，即0<a <1.所以a 的取值范围是(0,1)．3．若z 1与z 2互为共轭复数，那么|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 提示：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i ，故|z 1|＝|z 2|.4．什么数的共轭复数是它本身？ 提示：实数的共扼复数是它本身．5．从复数减法的几何意义理解：|z 1－z 2|表示什么？ 提示：表示P 1与P 2两点间的距离．求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．[自主解答] (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.探究复数z 对应复平面内的点的位置如果Z 是复平面内表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的点，则(1)当a ＞0，b ＞0时，点Z 位于第一象限；当a ＜0，b ＞0时，点Z 位于第二象限；当a ＜0，b ＜0时，点Z 位于第三象限；当a ＞0，b ＜0时，点Z 位于第四象限．(2)当a ＝0时，点Z 在虚轴上；当b ＝0时，点Z 在实轴上．(3)当b ＞0时，点Z 位于实轴上面的半平面内；当b ＜0时，点Z 位于实轴下面的半平面内．1．在复平面内，O 是原点，若向量OA ―→对应的复数z 的实部为3，且|OA ―→|＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量OB ―→对应的复数．解：根据题意设复数z ＝3＋b i ，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA ―→＝(3，b )，已知|OA ―→|＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)， 所以向量OB ―→对应的复数为z ′＝－3.(1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( )A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)[自主解答] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5， 解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.(2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a －2＋i ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求实数a 的取值范围． 解：由条件可知z 1－z 2＝(4－a )＋2i. 又|z 1－z 2|＜|z 1|， 即－a2＋4＜4＋9，解得1＜a ＜7.所以实数a 的取值范围是(1,7)．设z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z ＋i z ＝103＋i，求z . [自主解答] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)． ∵103＋i＝3－i ，∴(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝3－i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴z ＝－1－i 或z ＝－1＋2i.保持例题条件不变，求zz的值．解：当z ＝－1－i 时，z ＝－1＋i ， ∴zz ＝－1＋i －1－i ＝－1＋2－1＋－1－＝－2i 2＝－i ；当z ＝－1＋2i 时，z ＝－1－2i ， ∴zz ＝－1－2i －1＋2i ＝－1－2－1＋－1－＝－3＋4i 5＝－35＋45i. ∴zz＝－i 或zz ＝－35＋45i.此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ；代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1.b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ，求点C ，D 对应的复数．[自主解答] ∵向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ， ∴向量AC ―→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC ―→＝OA ―→＋AC ―→，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD ―→＝BC ―→，∴向量AD ―→对应的复数为3－i ， 即AD ―→＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB ―→对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．4．已知平行四边形ABCD 中，AB ―→与AC ―→对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于O 点．(1)求AD ―→对应的复数； (2)求DB ―→对应的复数．解：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形， 所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，于是AD ―→＝AC ―→－AB ―→， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ， 即AD ―→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB ―→＝AB ―→－AD ―→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 所以DB ―→对应的复数是5.已知z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z ＝(x ＋3)＋(y －2)i ，且|z 0|＝2，求复数z 对应的点的轨迹．[巧思] 设出复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，根据复数相等寻找出a ，b 与x ，y 之间的关系，然后利用|z 0|＝2这一条件求出a ，b 的等量关系．[妙解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋3，b ＝y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －3，y ＝b ＋2.又∵z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R)且|z 0|＝2，∴x 2＋y 2＝4. ∴(a －3)2＋(b ＋2)2＝4.∴复数z 对应的点的轨迹是以(3，－2) 为圆心，2为半径的圆．1．(北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.答案：B2．(山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 解析：法一：由题意可知z ＝a －3i ， ∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4， 故a ＝1或－1.法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 答案：A3．设z ∈C ，|z |≤2，则点z 表示的图形是( ) A ．直线x ＝2的右半平面 B ．半径为2的圆面 C ．直线x ＝2的左半平面D ．半径为2的圆解析：由复数模的几何意义知：点z 到原点的距离小于或等于2，点z 的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆面．答案：B4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3.答案：(3，＋∞)5．复数z ＝sin π3－icos π6，则|z |＝________.解析：∵z ＝32－32i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝62.答案：626．在复平面上，复数i,1,4＋2i 的对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．解：法一：由已知A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 由平行四边形的性质知E 也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.即D (3,3)，∴D 点对应的复数为3＋3i.法二：由已知：OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝(1,0)，OC ―→＝(4,2)． ∴BA ―→＝(－1,1)，BC ―→＝(3,2)． ∴BD ―→＝BA ―→＋BC ―→＝(2,3)． ∴OD ―→＝OB ―→＋BD ―→＝(3,3)． 即点D 对应的复数为3＋3i.一、选择题1.若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( ) A ．E B ．F C ．GD ．H解析：由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝＋－＋－＝4－2i2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)． 答案：D2．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2， ∴1＜a 2＋1＜5， ∴|z |∈(1，5)． 答案：B3．设复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i.∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.∴z ＝34＋i.法二：∵|z |∈R ，由复数相等的充要条件可知： 若等式z ＋|z |＝2＋i 成立，则必有虚部为1， 故可设z ＝x ＋i(x ∈R)，代入原等式有：x ＋x 2＋1＝2，解得x ＝34，所以z ＝34＋i.答案：D4．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限． 答案：A 二、填空题5．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案：96．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α，∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由题意可得OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)，OC ―→＝(3，－2)， ∴由OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得 (3，－2)＝(－x,2x )＋(y ，－y ) ＝(－x ＋y,2x －y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.答案：5三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i.(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．解：(1)由m 2－2m －15＝0，得m ＝5或m ＝－3.即当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数．(2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3，即当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2，即当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5.即当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得m ＝－3－414或m ＝－3＋414. 即当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 10．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，若1≤|z |≤ 2.试问复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．解：∵|z |＝x 2＋y 2且1≤|z |≤2，∴1≤x 2＋y 2≤2.又|w |＝x ＋y 2＋x －y 2＝2x 2＋2y 2， ∴2≤|w |≤2.令w ＝m ＋n i(m ，n ∈R)，则2≤ m2＋n2≤2，即2≤m2＋n2≤4.故w对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(2)2]＝2π.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2018-2019学年高中数学 第5章 数系的扩充与复数课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
高考对本章考查的重点有：
1．对复数的概念的考查是考查复数的基础， 要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯 虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模 等概念．
2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加 以重视，其中复数的乘法运算与多项式的 乘法运算类似；对于复数的除法运算，将 分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后
题型一 分类讨论思想的应用
当复数的实部与虚部含有字母时，利用复 数的有关概念进行分类讨论．分别确定什
么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi 没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．
例 1 已知复数 z＝a2－a27－a＋ 1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)当 z 为实数时，则有aa22－－51a≠－06，＝0， ∴aa＝ ≠－ ±11，或a＝6， ∴当 a＝6 时，z 为实数．
解得xy11＝ ＝－ 0 5 或xy22＝ ＝－ 4 3 . ∵|OA|≠|BC|， ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)， 故 z＝－5.
跟踪演练 2 已知复数 z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2. (2)如图所示，由|z|＝1 可知，z 在复平 面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心 为 O(0,0)的圆，而 z1 对应着坐标系中 的点 Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点 Z1(2，－2) 到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r 为圆半 径)＝2 2＋1.
跟踪演练 4 计算：2＋1i－12－i i2＋1－i－i51＋i2－1－1－i2 i011. 解 2＋1i－12－i i2＋1－i－i51＋i2－1－1－i2 i011 ＝2＋1i－·2－i 2i＋1－ii－2i－11＋ －ii ＝21－ －42ii＋1－i 3i－1＋2 i2 ＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.
高中数学第五章数系的扩充与复数5.3复数的四则运算分层训练湘教版选修2_2
5．3 复数的四则运算一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52iC.52－52iD.52－32i 答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i 答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1 答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B 解析i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝ －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i的虚部是________．答案 －12解析 原式＝－1－31＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12. 7．计算：2＋2i －＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010.解2＋2i －＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 005＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1. 二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i1－i ＝＋－＋＝－1＋i.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i 答案 A解析 z ＝11＋7i2－i＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝bi ＋21－i＝＋＋－＋＝2－b ＋＋2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.。
2019-2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5.3复数的四则运算分层训练湘教版选修2-2
5．3 复数的四则运算一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52i C.52－52i D.52－32i 答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i 答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B 解析i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝ －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i的虚部是________．答案 －12解析 原式＝－1－31＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12. 7．计算：2＋2i －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010. 解2＋2i －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 010＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 005＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1. 二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i1－i ＝＋－＋＝－1＋i.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i答案 A解析 z ＝11＋7i2－i＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝b i ＋＋－＋＝2－b ＋b ＋2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i. 11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝＋2＋－2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值．解 由z ＝＋2＋－2＋i，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.12．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．解 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)．z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5yx 2＋y 2)i ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 三、探究与创新13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根．。
高中数学第五章数系的扩充与复数章末归纳课件湘教版选修2_2
2019/7/10
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2019/7/10
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
( )．
A．1－i
B．－2i
C．1＋i
D．－2
解析 先计算z1＝zz2－ －21z，再计算z1＋ z .
法一 zz2－ －21z＝1－1i－2－i2－11－i＝－2i－－2i ＋2i
＝－ －2i·ii＝－2i，∴zz2－ －21z＋ z ＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A.
法二 zz2－ －21z＝z－z－121－1＝z－1－z－1 1
4．如果虚数z满足z3＝8，求z3＋z2＋2z＋2的值． 解 (整体法)∵z3＝8，∴(z－2)(z2＋2z＋4)＝0.
又∵z为虚数，∴z2＋2z＋4＝0，
∴z3＋z2＋2z＋2＝z3＋(z2＋2z＋4)－2＝8＋0－2
＝6.
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
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5．3复数的四则运算 [读教材·填要点] 复数的四则运算 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，有 (1)加法：z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i. (2)减法：z1－z2＝a－c＋(b－d)i. (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)． [小问题·大思维] 1．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2? 提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小． 2．复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？ 提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式． 3．如何辨析复数除法与实数除法的关系？ 提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化．
复数的加减运算 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝ 13－2i，求z1，z2. [自主解答] z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i] ＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i. 又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴ 5x－3y＝13，x＋4y＝－2，解得 x＝2，y＝－1. ∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i. z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i. 对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
1．(1)计算：13＋12i＋(2－i)－43－32i. (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. 解：(1)13＋12i＋(2－i)－43－32i ＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i. (2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为z＋1－3i＝5－2i， 所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i， 即x＋1＝5且y－3＝－2， 解得x＝4，y＝1， 所以z＝4＋i. 法二：因为z＋1－3i＝5－2i， 所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 复数的乘除运算
计算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)－12＋32i32＋12i(1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)(5－295i)÷(7－35i)． [自主解答] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋32i32＋12i(1＋i)
＝－34－34＋34－14i(1＋i) ＝－32＋12i(1＋i) ＝－32－12＋12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (3)原式＝－2＋3i1＋2i＝－2＋3i1－2i1＋2i1－2i ＝－2＋6＋3＋4i12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－295i7－35i＝5－295i7＋35i7－35i7＋35i ＝35＋29×15＋155－29×75i72＋352 ＝470－1885i94＝5－25i.
(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样． (2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可．
2．(1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i的实部与虚部； (2)已知z是纯虚数，z－21＋i是实数，求z. 解：(1)由题意得z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i， 则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i. 于是复数(z1－z2)i的实部是1，虚部是－2. (2)设纯虚数z＝bi(b∈R)，
则z－21＋i＝bi－21＋i＝bi－21－i1＋i1－i＝b－2＋b＋2i2.
由于z－21＋i是实数，所以b＋2＝0，即b＝－2，所以z＝－2i. 复数范围内的方程问题
若关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，求纯虚数m的值． [自主解答] 设m＝bi(b≠0)，x0为一实根，代入原方程得x20＋(1＋2i)x0－(3bi－1)i＝0. ∴(x20＋x0＋3b)＋(2x0＋1)i＝0.
∴ x20＋x0＋3b＝0，2x0＋1＝0，解得 x0＝－12，b＝112.∴m＝112i.
若将“求纯虚数m”改为“求实数m”，如何求解？ 解：x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0， 即(x2＋x)＋(2x－3m＋1)i＝0，
∴ x2＋x＝0，2x－3m＋1＝0，∴ x＝0，m＝13或 x＝－1，m＝－13. 即m＝13或－13. 复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决． 3．已知关于x的方程x2＋kx－i＝0有一根是i，求k的值． 解：因为i为方程x2＋kx－i＝0的一个根， 所以代入原方程，得i2＋ki－i＝0.
所以k＝1＋ii＝1＋iii2＝1－i.
计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018. [解] 法一：∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. ∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018 ＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018) ＝1＋i＋i2＝i. 法二：1＋i＋i2＋…＋i2 018
＝1－i2 0191－i＝1－i504×4＋31－i
＝1－i31－i＝1＋i1－i＝i.
1．(6－2i)－(3i＋1)等于( ) A．3－3i B．5－5i C．7＋i D．5＋5i 解析：(6－2i)－(3i＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i＝5－5i. 答案：B
2．(全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析：3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i. 答案：D 3．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝( ) A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：法一：因为z＝1－i，
所以z2－2zz－1＝1－i2－21－i1－i－1＝－2－i＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而z2－2zz－1＝z－12－1z－1＝－i2－1－i＝2i＝－2i. 答案：B 4．若z＝－1－i2时，求z2 018＋z102＝________.
解析：z2＝－1－i22＝－i. z2 018＋z102＝(－i)1 009＋(－i)51 ＝(－i)1 008·(－i)＋(－i)48·(－i)3 ＝－i＋i＝0 答案：0 5．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，
所以 a2－2a－3＝0，a2－1≠0，解得a＝3. 答案：3 6．已知复数z＝1－i2＋31＋i2－i. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝－2i＋3＋3i2－i＝3＋i2－i＝3＋i2＋i5＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以 a＋b＝1，2＋a＝－1，解得 a＝－3，b＝4. 1．设i为虚数单位，则5－i1＋i＝( ) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i
解析：5－i1＋i＝5－i1－i1＋i1－i＝4－6i2＝2－3i. 答案：C 2．(山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( ) A．－2i B．2i C．－2 D．2
解析：∵zi＝1＋i，∴z＝1＋ii＝1i＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. 答案：A 3．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i， ∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴ 4a＝0，a2－4＝－4.解得a＝0. 答案：B 4．已知z1＝－2－3i，z2＝3－2i2＋i2，则z1z2＝( ) A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i
解析：∵z1＝－2－3i，z2＝3－2i2＋i2，
∴z1z2＝－2－3i2＋i23－2i＝－i3－2i2＋i23－2i ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i. 答案：D 二、填空题
5．复数1－2＋i＋11－2i的虚部是________．
解析：∵1－2＋i＋11－2i＝15(－2－i)＋15(1＋2i)＝－15＋15i，