初等代数研究__第4章__函数

二 函数概念的三种定义
1 函数概念的定义 定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数 值可以在某一范围内任意变化，这样的变量 叫做自变量。另一个变量的数值随着自变量 的数值而变化，这个变量称为因变量，并且 称因变量为自变量的函数。（19世纪法国数 学家柯西）
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定义2 在某变化过程中，有两个变量x和y。如 果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按 照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对 应，那么就把y称为x的函数；x称为自变量。 （19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给 出）
1 1 1 2
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上述三种函数定义，各有各的不同特点。 “变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的， 对于初学者更容易接受。 “对应说”形式化的程度较高，对于研究函数 的精细性质具有一定的优势。 “关系说”形式化的程度更高，在计算机科学 中、人工智能设计中具有一定的作用。
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函数——数学的基本概念之一。在物质世界里， 常常是一些量依赖于另一些量，即一些量的 值随另一些量的值的确定而确定。函数就是 这类依赖关系的一种数学概括。 ——《中国大百科全书· 数学卷》
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定义5 从集合A到集合B的函数f是满足以下条 件的从A到B的一个关系： ⑴ D f A ⑵如果 x, y f ，并且x, z f ，那么 y z 函数f记作 f : A B
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2 函数概念的三种定义
⑴函数的变量说定义 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果变量y随着x的变化而变化，那么就说x是 自变量，y是因变量，也称y是x的函数。 这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建 立在变量的基础上，强调了变化。而描述变 化，正是函数最重要的特征。函数定义的变 量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。
然而，D( x) lim limcos m!x
m n

2n

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为解释“对应”、“对应规则”，在有了集合论之 后，人们又把函数定义为有序数对的集合 ｛（x,y）｝,其中，若（x,y）和（x,z）都在集合 内，则y=z。 更一般化的函数概念把数也抽掉了。变量的变化范 围不一定是一个区间，甚至不一定是数集，可以是 任何一个集合。 更为普遍的函数概念是集合函数。设A是某些集合 的集合（或成为集类），B也是类，若对A中的每一 元素a有B种确定的元素b，那么就称在类A上定义了 一个集合函数。当A和B都是单元素集，且这些元素 都是实数时，这就是单变量的单值实变函数。作为 “函数的函数”的泛函也含于集合函数中。 16
与（ 1）式情形完全相同，故 p1 ( x) 0. 同理pn ( x) pn 1 ( x) p2 ( x) 0. 所以p( x, y )为零多项式。矛盾，命 题得证。
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⑶函数的关系说定义 设f是集合X与集合Y的关系，即 f X Y 。如果还满 足 x , y f , ( x , y ) f ，则 y1 y2 ，那么称f是集合X到集 合Y的函数。 函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化 的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优 越性。这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的 直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式 的表达，所以初学者不易掌握。
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补充：以弱抽象方法视角看函数的演变 数学中的弱抽象方法

在数学的思想活动中，有一类方法是同类的事件中 抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属 性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这 种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为 “弱抽象”。 弱抽象的特点是：弱抽象得到的数学对象，一般是 概念外延扩大，而内涵减少。
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函数的演变
函数的概念经过两百多年的发展演变，逐步由比较 模糊的陈述到明确的表述。 最初的函数概念实际上是幂的同义语，也就是 x，x2， x3等等，即多项式。今天看来是最简单的函数。而 “函数”这一名词是由莱布尼茨最先提出。正式的 函数概念也始于17世纪。 18世纪开始后，函数被理解为变量x与常量经由算 术运算、三角运算、指数运算及对数运算等联结而 成的一种表达式。实际指今天的初等函数。 18世纪，欧拉给出了沿用至今的函数符号f(x) 。
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在20世纪以前，中学数学的中心是方程。 1908年，数学家F· 克莱因担任国际数学教育委 员会主席。他首次提出，中学数学应当以函 数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上 直到第二次世界大战之后，函数思想才全面 进入中学数学课程。
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中国也是这样。1949年以前，中国中学里的
数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪 50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函 数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课 程：数学1函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数 函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等 函数Ⅱ（三角函数）。
柯西、狄利克雷和黎曼是19世纪的一批人物，函数概念 的上述变化已跨越18世纪。 Dirichlet函数被认为是从两个方面突破17、18世纪以来人 们在函数观念上的错误观点：一是关于函数必然与解析式相联 系的观念，另一个是函数基本上连续的（甚至是可微的），例 外情形充其量是少数几个点的观念。 Dirichlet函数在任何一点 都不连续。
x k时，由上式得p0 x 0有无数个根. p0 x 0.
y sin x满足 sin x[ pn x sin n1 x pn 1 x sin n2 x ...... p1 x ] 0
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y sin x不恒为0， y sin x满足 pn x sin n1 x pn1 x sin n2 x ...... p1 x 0
面给出证明：
假设存在一个非零多项 式p ( x, y ), 满足p ( x, sin x) 0.则有 sin k 0k z ， pn x sin n x pn 1 x sin n 1 x ...... p1 x sin x p0 x 0，（ 1）
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定义3 A和B是两个集合，如果按照某种对应关 系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元 素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到 集合B的函数。（19世纪70年代德国数学家 康托）
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定义4 从集合A到集合B的映射 f : A B 称为从 集合A到集合B的函数，简称为函数f。（高等 代数课程）
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课堂练习
代数函数与超越函数的主要区别何在？研
究函数y=sinx的超越性，并证明你的结论。
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代数函数f ( x)是以变数字母 x 的多项式为系
数的方程
pn x f n ( x) pn1 x f n1 x ...... p1 x f x p0 x 0
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柯西认为：若对x每个值，都有确定的y值与之对应， 则y即为x的函数。仍然把函数和解析式联系起来， 只突破了仅用一个式子来表示的局限。 重大突破：德国数学家狄利克雷和黎曼认为能否用 （一个或几个）解析式表达不是函数概念的本质。

柯西（1789-1857)
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Dirichlet函数：
0 当x为无理数时， D( x) 1 当x为有理数时。
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法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念， 他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实 际上也引入了变量，他在指出x、y是变量的 同时，还注意到依赖于而变化，这正是函数 思想的萌芽。 莱布尼茨在1673年的手稿中则用“Function” 一词。 李善兰在《代微积拾级》一书中将Function一 词翻译为“函数”，并一直沿用至今。
,当2n x(2n 1) 4 y 0,当x n ） x(2n 2) 4 ,当（2n 1 n 0,1,2,
这个伪函数却可表示为 一个三角级数： 1 1 1 y sin x sin 3x sin 5 x sin(2n 1) x 3 5 2n 1
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基本初等函数一个重要的特点是它能通过一
初等函数可以根据函数解析式所用的 运算种类进行分类：
有理整函数 有理函数 代数函数 有理分函数 初等函数 无理函数 超越函数
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证明一个初等函数是超越函数通常用 反证法。
代数函数y是以变数字母 x的多项式为系数的方程 pn ( x) y n pn 1 ( x) y n1 p1 ( x) y p0 ( x) 0的根。

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人们曾经为研究初等函数，用级数展开的办法。而 一般形成的级数可扩大函数的对象，有些不再是初 等函数。
1 1 1 f ( x) 1 x x x 2 3 n
积分运算所得的函数许多已不再是初等函数。

x
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x sin t dt , dt ln t 0 t
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由于把函数等同于解析表达式，甚至只是一个表示 式。分段函数被称为伪函数。但是：
的根，初等代数函数是代数函数一般定义下 的特例，而超越函数的超越性表现在不存在 一个非零多项式 px, y ，当代入 y f x 以后， px, f x 0 f x 能够在实数集内使 ，这里的 是任 何一个超越函数。
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对于y=sinx不满足任何代数方程，下
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1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义： “如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量， 即当后者变化时，前者本身也发生变化，则 称前一个变量是后一个变量的函数”。
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1851年，黎曼定义： “我们假定Z是一个变量。如果对它的每一个 值，都有未知量W的一个值与之对应，则称 W是Z的函数”。
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1939年，布尔巴基学派的著作认为， 若E、F是两个集合，二者的笛卡儿积 x, y | x X , y Y 是指XY中的任何子集S称为x、y之间的一种关 系。如果关系F满足：对于每一个 x X ，都 存在唯一的一个y，使得 x, y F ，则称关系F 是一个函数。