第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

人教A版数学2016届复习资料
姓名：沈金鹏院、系：数学学院
专业: 数学与应用数学
2015年12月10日
2010~2014年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．(2014·课标Ⅱ，14,5分)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 解析：f (x )＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.
答案：1
2．(2014·江苏，15,14分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5
5. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫
π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭
⎫5π
6－2α的值． 解析：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5
5， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－25
5.
故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π
4sin α ＝
22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55 ＝－
10
10
. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭
⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛
⎭⎫552＝35
， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π
6sin 2α ＝⎝
⎛⎭⎫－
32×35＋12×⎝⎛⎭
⎫－45 ＝－4＋3310
.
3．(2014·四川，16,12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π
4cos 2α，求cos α－sin α的值． 解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π
3，k ∈Z .
所以，函数f (x )的单调递增区间为－π4＋2k π3，π12＋2k π
3，k ∈Z .
(2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45cos αcos π4－sin α·sin π
4(cos 2α－sin 2α)，
即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π
4＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52
. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－
52
. 4．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＝2π3，tan 2α＝tan 4π
3
＝ 3.
答案： 3
5．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1
2，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．
法一：由θ在第二象限，且tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－5
5，因而sin θ＋cos θ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－10
5
.
法二：如果将tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210
＝－10
5. 答案：－
10
5
6．(2013重庆，12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2 ＋2ab ＝c 2. (1)求C ；
(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2
α＝2
5，求tan α的值． 解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力． (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，
由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－2
2.
故C ＝3π
4.
(2)由题意得
(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2
α＝2
5. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝
2
5
， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25
， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝
2
5
. ① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝2
2，
因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即
325－sin A sin B ＝22
， 解得sin A sin B ＝325－22＝210.
由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.
7．(2012山东，5分)若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝37
8，则sin θ＝( )
A.3
5
B.45
C.
7
4
D.34
解析：因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π
2，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝
－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝3
4
. 答案：D
8．(2012辽宁，5分)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22
C.2
2
D ．1
解析：由sin α－cos α＝2sin (α－π4)＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan
3π
4＝－1.
答案：A
9．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π
12)的值为________．
解析：因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin 2(α＋π6)＝2425，cos 2(α＋π
6)
＝725，所以sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝22×1725＝172
50
. 答案：17250
10．(2011辽宁，5分)设sin(π4＋θ)＝1
3，则sin2θ＝( )
A ．－7
9
B ．－19
C.19
D.79
解析：sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－7
9.
答案：A
11．(2010新课标全国，5分)若cos α＝－4
5，α是第三象限的角，则1＋tan
α
21－tan
α
2＝( )
A ．－12
B.12 C ．2
D ．－2
解析：∵cos α＝－4
5
且α是第三象限的角，
∴sin α＝－3
5
，
∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2
cos α2－sin
α2
＝(cos α2＋sin α2
)2
(cos α2－sin α2)(cos α2＋sin α2)
＝
1＋sin α
cos 2α2－sin 2α2
＝1＋sin αcos α＝1－3
5－45＝－1
2
.
答案：A
12．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( ) A.12
B.33
C.
2
2
D.32
解析：sin43°cos13°－cos43°sin13° ＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.
答案：A。