河南省信阳市息县一中2017届高三(上)第一次段考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年河南省信阳市息县一中高三（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，5] B．（﹣3，﹣1]C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）2．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1|B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）3．已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．cos42°cos78°+sin42°cos168°=（）A．﹣ B．C．﹣D．6．一个算法的程序框图如图所示，若输入的x值为2015，则输出的i值为（）A．3 B．5 C．6 D．97．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（）A．38 B．38﹣2πC．38+2πD．12﹣π8．在正项等比数列{a n}中，若a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A．2 B．3 C．4 D．59．若a∈[0，1），当x，y满足时，z=x+y的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．无法确定10．函数y=的大致图象是（）A． B． C． D．11．在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A．B．2C．3D．612．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数是（）A．9 B．10 C．18 D．20二、填瑱空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．15．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是．16．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，b2+S2=12，{b n}的公比q=．（1）求a n与b n；（2）求++…+．18．云南省2014年全省高中男生身高统计调查显示：全省男生的身高服从正态分布N．高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于175.5cm和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5），第二组[162.5，167.5），…第6 组试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm．以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ζ，求ζ的数学期望．参考数据：若ζ〜N（μ，σ2）P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544Pμ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．20．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若•+•=8，求k的值．21．已知函数f（x）=e x﹣x﹣2（e是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的图象在点A（0，﹣1）处的切线方程；（2）若k为整数，且当x＞0时，（x﹣k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图AB是半圆的直径，C是圆上一点，CH⊥AB于点H，CD是圆的切线，F是AC 上一点，DF=DC，延长DF交AB于E．（Ⅰ）求证：DE∥CH；（Ⅱ）求证：AD2﹣DF2=AE•AB．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2016-2017学年河南省信阳市息县一中高三（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，5] B．（﹣3，﹣1]C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R及B，求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），∵全集R，B=（﹣1，5]，∴∁R B=（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞），则A∩（∁R B）=（﹣3，﹣1]，故选：B．2．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1|B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．【解答】解：①y=﹣|x﹣1|=∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y=e x，在（﹣∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y=﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．3．已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===，∴z﹣|z|=﹣=+i对应的点所在的象限为第二象限．故选：B．4．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．【解答】解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．5．cos42°cos78°+sin42°cos168°=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数；诱导公式的作用．【分析】利用诱导公式可知，cos168°=﹣cos12°=﹣sin78°，从而逆用两角和的余弦公式即可求得答案．【解答】解：∵cos168°=﹣cos12°=﹣sin78°，∴cos42°cos78°+sin42°cos168°=cos42°cos78°﹣sin42°sin78°=cos（42°+78°）=cos120°=﹣．故选：A．6．一个算法的程序框图如图所示，若输入的x值为2015，则输出的i值为（）A．3 B．5 C．6 D．9【考点】循环结构．【分析】根据题意，模拟程序框图的执行过程，求出输出的结果是什么．【解答】解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，输入x：2015，a=x=2015，i=1，b==﹣，b≠x？是，i=1+1=2，a=b=﹣，b═；b≠x？是，i=2+1=3，a=b=，b=2015；b≠x？否，输出i：3；故选：A7．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（）A．38 B．38﹣2πC．38+2πD．12﹣π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，求出它的表面积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，且长方体的长为4，宽为3，高为1，圆柱的底面圆半径为1，高为1；所以该组合体的表面积为S 长方体﹣2S 底面圆+S 圆柱侧面=2（4×3+4×1+3×1）﹣2×π×12+2×π×1×1=38．故选：A ．8．在正项等比数列{a n }中，若a 1，a 4029是方程x 2﹣10x +16=0的两根，则log 2a 2015的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】等比数列的通项公式．【分析】由韦达定理得a 1•a 4029==16，从而得到a 2015=4，由此能求出log 2a 2015的值．【解答】解：∵在正项等比数列{a n }中，a 1，a 4029是方程x 2﹣10x +16=0的两根，∴a 1•a 4029==16，∵a n ＞0，∴a 2015=4，∴log 2a 2015=log 24=2．故选：A ．9．若a ∈[0，1），当x ，y 满足时，z=x +y 的最小值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．无法确定【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x +y 的最小值．【解答】解：由x ﹣ay ﹣2=0得ay=x ﹣2，若a=0，则x ﹣2=0，若0＜a ＜1，则直线方程等价为y=x ﹣，此时直线斜率k=＞1，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x +y 得y=﹣x +z ，平移直线y=﹣x +z ，由图象可知当直线y=﹣x +z 经过点A 时，直线y=﹣x +z 的截距最小，此时z 最小．由，解得，即A（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2．即目标函数z=x+y的最小值为2．故选：C．10．函数y=的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域值域和函数值得变化趋势即可判断．【解答】解：方法一：因为函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A，当x→+∞时，y=x2的变化趋势不如y=3x﹣1的变换趋势快，故y→0，故排除D，当x→﹣∞时，y=x2＞0，y=3x﹣1＜0，故y=＜0，故排除A，C，D，方法二，x＜0时，函数值为负，函数图象过第三象限，故选：B11．在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A．B．2C．3D．6【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】在△ABC中，由•=•=•，且||=||=||=2三角形是等边三角形，只要求出△ABC的一边长度即可．【解答】解：因为在△ABC中，•=•=•，且||=||=||=2，所以△ABC是等边三角形；由在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，所以∠AOB=120°，由余弦定理得AB2=OA2+OB2﹣2OA×OBcos120°=4+4+4=12，所以AB=2，所以三角形的周长为6；故选D．12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数是（）A．9 B．10 C．18 D．20【考点】函数零点的判定定理．【分析】先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=|1gx|的图象，结合图象当x＞10时，y=lg10＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数【解答】解：解：R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象根据y=lg|x|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=10时lg10=1，∴当x＞10时y=lgx此时与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有9个交点，则函数g（x）=f（x）﹣lg|x|的零点个数为18，故选：C二、填瑱空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式系数的和，求出n，通过二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，即可求出a的值．【解答】解：二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，∴2n=32，∴n=5；∴=，令，可得r=3，∵展开式的常数项是80，∴，解得a=2．故答案为：2．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=28．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．15．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是60°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意求得和的值，可得||的值，再求出（）•=2．设除与的夹角是θ，则由两个向量的数量积得定义求得（）•=2•2•cosθ，从而得到2•2•cosθ=2，解得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=60°，故答案为60°．16．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是①③．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，故①正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确当l∥m有α⊥β，故③正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确，综上可知①③正确，故答案为：①③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，b2+S2=12，{b n}的公比q=．（1）求a n与b n；（2）求++…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意列方程，求得q和a2，根据等比数列和等差数列通项公式即可求得a n 与b n；（2）由（1），求得S n=，则==（﹣），采用“裂项法”即可求得++…+．【解答】解：（1）由已知条件可知：，解得：q=3，q=﹣4（舍去），a2=6，∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=1•3n﹣1，∴a n=3n，b n=3n﹣1，（2）S n=，∴==（﹣），++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）．=（1﹣），=，∴++…+=．18．云南省2014年全省高中男生身高统计调查显示：全省男生的身高服从正态分布N．高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于175.5cm和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5），第二组[162.5，167.5），…第6 组试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm．以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ζ，求ζ的数学期望．参考数据：若ζ〜N（μ，σ2）P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544Pμ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（1）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（2）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；（2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…（3）∵P=0.9974，∴P（ξ≥182.5）==0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴Eξ=0×+1×+2×=1．…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点，BC、BA、BC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos=3，∴BC1=，∴BC2+=C，∴BC⊥BC1，∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为原点，BC、BA、BC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．则B（0，0，0），A（0，1，0），B1（﹣1，0，），C1（0，0，），C（1，0，0），∴=（﹣1，0，），∵=λ（0≤λ≤1），∴=（﹣λ，0，λ），∴E=（1﹣λ，0，λ），则=（1﹣λ，﹣1，λ），=（﹣1，﹣1，），设平面AB1E的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=，则x=，y=，∴=（，，），∵AB⊥侧面BB1C1C，∴=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，∴|cos＜，＞|=||=，两边平方并化简得：2λ2﹣5λ+3=0，解得：λ=1或λ=（舍去），∴λ的值是1．20．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若•+•=8，求k的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得•+•，利用•+•=8，即可求得k的值．【解答】解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为．∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴•+•=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=±，验证满足题意．21．已知函数f（x）=e x﹣x﹣2（e是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的图象在点A（0，﹣1）处的切线方程；（2）若k为整数，且当x＞0时，（x﹣k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，然后由直线方程的点斜式求得切线方程；（2）把当x＞0时，（x﹣k+1）f′（x）+x+1＞0恒成立，转化为，构造函数，利用导数求得函数g（x）的最小值的范围得答案．【解答】解：（1）f（x）=e x﹣x﹣2，f′（x）=e x﹣1，∴f′（0）=0，则曲线f（x）在点A（0，﹣1）处的切线方程为y=﹣1；（2）当x＞0时，e x﹣1＞0，∴不等式，（x﹣k+1）f′（x）+x+1＞0可以变形如下：（x﹣k+1）（e x﹣1）+x+1＞0，即①令，则，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0，可得e a=a+2，∴g（a）=a+2∈（3，4），由于①式等价于k＜g（a）．故整数k的最大值为3．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图AB是半圆的直径，C是圆上一点，CH⊥AB于点H，CD是圆的切线，F是AC 上一点，DF=DC，延长DF交AB于E．（Ⅰ）求证：DE∥CH；（Ⅱ）求证：AD2﹣DF2=AE•AB．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连结BC，证明△ACH∽△ABC，∠ACH=∠DFC，可得DE∥CH；（Ⅱ）设AD与半圆交于点M，连结BM，证明△AED∽△AMB，可得AE•AB=DA•AM，即可证明AD2﹣DF2=AE•AB．【解答】证明：（Ⅰ）连结BC，∵CD是圆的切线，AC是弦，∴∠DCF=∠CBA∵DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠DFC=∠CBA，又∵CH⊥AB，∠ACB=90°，∴△ACH∽△ABC，∴∠ACH=∠CBA，∴∠ACH=∠DFC，∴DE∥CH；…（Ⅱ）设AD与半圆交于点M，连结BM，∵CD是圆的切线，∴DC2=DA•DM，又∵DE⊥AB，∠AMB=90°，∴△AED∽△AMB，∴，∴AE•AB=DA•AM，∴DA2﹣DF2=DA2﹣DC2=DA2﹣DA•DM=DA•（DA﹣DM）=DA•AM=AE•AB．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【考点】圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得： +=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【考点】分段函数的应用；二次函数的性质．【分析】（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．【解答】解：（1）当m=5时，，…由f（x）＞2得不等式的解集为．…（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，…所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．…2016年10月15日。