高邮市界首中学高三数学第二轮复习解答题训练(3)(教师版)
江苏省高邮市界首中学高三数学第二轮复习解答题训练(6)教师专用
解答题训练（6）1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，(3分)所以a ＋b sin A ＋sin B ＝433(sin A ＋sin B )sin A ＋sin B ＝433.(6分)(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，(7分)又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．(12分)所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.(14分)2. (2012·江苏省南京市5月高三考前综合题5)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝4，E 为边DC 的中点，如图1.将△ADE 沿AE 折起到△AEP 位置，连PB 、PC ，点Q 是棱AE 的中点，点M 在棱PC 上，如图2. (1)若P A ∥平面MQB ，求PM ∶MC ；(2)若平面AEP ⊥平面ABCE ，点M是PC 的中点，求三棱锥A -MQB 的体积．图1 图2解 (1)连AC 、BQ ，设AC ∩BQ ＝F ，连MF .则平面P AC ∩平面MQB ＝MF ，因为P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，所以P A ∥MF .(2分)在等腰梯形ABCD 中，E 为边DC 的中点，所以由题设，AB ＝EC ＝2.所以四边形ABCE 为平行四边形，则AE ∥BC .(4分)从而△AFQ ∽△CFB ，AF ∶FC ＝AQ ∶CB ＝1∶2.又P A ∥MF ，所以△FMC ∽△APC ，所以PM ∶MC ＝AF ∶FC ＝1∶2.(7分)(2)由(1)知，△AED 是边长为2的正三角形，从而PQ ⊥AE .因为平面AEP ⊥平面ABCE ，交线为AE ，所以PQ ⊥平面ABCE ，PQ ⊥QB ，且PQ ＝ 3. 因为PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面ABCE ，交线为QC .(9分)过点M 作MN ⊥QC 于N ，则MN ⊥平面ABCE ，所以MN 是三棱锥M -ABQ 的高． 因为PQ ⊥平面ABCE ，MN ⊥平面ABCE ，所以PQ ∥MN .因为点M 是PC 的中点，所以MN ＝12PQ ＝32.(11分)由(1)知，△ABE 为正三角形，且边长为2.所以，S △ABQ ＝32.三棱锥A -MQB 的体积V A -MQB ＝V M -ABQ ＝13×32×32＝14. (14分)3. 已知椭圆 x 2 a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点A (－2，0)， 离心率为12，过点E (－27，0)的直线l 交椭圆于M ，N ． (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)求证：∠MAN 的大小为定值． 解：(Ⅰ)由题条件a ＝2，离心率e ＝c a ＝12 ，∴c ＝1． ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1 ．(Ⅱ)①若直线l ：x ＝－27，则M (－27，127)，N (－27，－127) ，则AM —— >·AN —— >＝(127，127)•(－127，127)＝0，∴AM —— >⊥AN —— > ，∴∠MAN ＝90°．--------7分②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x ＋27)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋27)x 24＋y 23＝1⇒ (3＋4k 2)x 2＋167k 2x ＋16k249－12＝0．-----------9分∴x 1＋x 2＝－16k 27(3＋4k 2)，x 1•x 2＝16k 2－58849(3＋4k 2)，----------10分∴y 1•y 2＝k 2(x 1＋27)(x 2＋27)＝k 2[x 1•x 2＋27(x 1＋x 2)＋449]＝－16k 4－588k 249(3＋4k 2)＋4k 249．∴AM —— >·AN —— >＝(x 1＋2，y 1)•(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)( x 1＋2)＋y 1•y 2＝16k 2－58849(3＋4k 2)－32k 27(3＋4k 2)＋4＋－16k 4－588k 249(3＋4k 2)＋4k 249＝0．∴AM —— >⊥AN —— >，∴∠MAN ＝90°．----------14分 综上，∠MAN 的大小为定值90°．----------15分4. 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈.( I )若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； ( II)若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； 解:(1)因为2=a ,且∈x [2， 3],所以3|3||2|131()2x x x x x x e e f x e e e e e e e --+--=+=+=+≥=,当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e(2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a e e -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤。
江苏省高邮市界首中学高三数学二轮复习 纠错训练6(教师版)
1. “x1＜1”是“0lg >x 成立”的 ▲ ．条件（填充分不必要、必要不充分， 既不充分也不必要，充要）．必要不充分条件2. 已知直线2121//,023)2(:06:l l a y x a l ay x l 则和=++-=++的充要条件是a= ▲ -13.已知直线02=--by ax 与曲线3x y =在)1,1(P 处的切线互相垂直，则=ba ▲ ． 31- 4.定义在R 上的函数)(x f y =满足)1()1(),()(x f x f x f x f -=+-=-，当[]1,1-∈x 时3)(x x f =，求()2013f = . 1 5.设,m n 为空间的两条直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：（1）若m ∥α,m ∥β , 则α∥β； （2）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β;（3）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； （4）若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ; 上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ ．（2）（4）6.已知函数),,(,1)(23R b a x x bx ax x f ∈+++=，若对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立， 则实数b 的取值范围是 ▲ 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 7、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ▲ ．237a π8.已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 29. 在平面直角坐标系xoy 中，点)cos,21(2θP 在角α的终边上，点2(sin ,1)Q θ-在角β的 终边上，且21-=⋅ ⑴求θ2cos 的值；⑵求sin()αβ+的值。
解：（1）312cos =θ，（2）由312cos =θ得31sin 2=θ，32cos 2=θ， 1214(,),(,1),sin ,2335P Q α∴-∴=3cos ,cos 5in αββ===s ()sin cos cos sinin αβαβαβ∴+=+=。
高邮市界首中学高三数学第二轮复习滚动限时训练8(教师版)
滚动限时训练81. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式为________．解析 a 24＝4a 3a 7＝4a 25，又a n ＞0，所以a 4＝2a 5⇒q ＝a 5a 4＝12，所以a 1＋2a 2＝a 1＋a 1＝3⇒a 1＝32，所以a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . 2.A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：由|x －a |＜1得－1＜x －a ＜1，即a －1＜x ＜a ＋1.如图，要使A ∩B ＝∅成立，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.3.有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是________． 解析 p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12是假命题；p 2是真命题，如x ＝y ＝0时成立；p 3是真命题，∵∀x ∈[0，π]，sin x ≥0，∴ 1－cos 2x 2＝sin 2x ＝|sin x |＝sin x ；p 4是假命题，如x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2. 答案 p 1，p 4考查充分必要条件4.设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x ＋y x的取值范围是________．解析 不等式组对应的可行域如图，u ＝1＋y x ，过图中点(3,1)时，u min ＝1＋13＝43，过图中点(1,2)时，u max ＝1＋2＝3，故u 的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，3.命题趋势：线性规划与其它知识的综合,将线性规划与函数、导数、不等式等知识的综合，为线性规划的考查注入了新的活力，成为又一知识交汇点，需要根据相关知识逐个突破.同时，在约束条件或者目标函数中含有参数，也是线性规划的一个热点.5.若sin ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋2α＝________. 解析 ∵⎝⎛⎭⎫π4－2α＋⎝⎛⎭⎫5π4＋2α＝3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋2α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－2a ＝±45. 考查三角函数的图象与性质6.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3…x 2 012的值为________．解析 先求出切线方程，令y ＝0，得x n ，再求乘积．因为y ′＝(n ＋1)x n ，所以在点(1,1)处的切线斜率为n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，所以x 1·x 2·x 3…x 2 012＝12×23×34×…×2 0122 013＝12 013. 命题趋势：导数的几何意义与其它知识的综合,导数的运算与其它知识的综合是常见考题，可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合，考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法.7.有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是________．解析 如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ABC 的底边BC 即为所求正方形包装纸的边长的最小值，由余弦定理得BC ＝a 2＋a 2－2a 2cos 150°＝6＋22a . 答案 6＋22a 解题方法技巧：图形分析、直接计算法,(1)通过分析图形元素之间的数量关系，建立数学模型，求出计算面积或体积所需要的相关要素.,(2)利用平面展开图求空间几何体的面积是常用方法.,(3)等体积法是处理体积问题的常用方法.8. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，3x －2，x ＞0，若|f (x )|≥ax 在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ∈[－1,0]时，|f (x )|＝2－x 2≥ax ，所以a ≥⎝⎛⎭⎫2x －x max ＝－1；当x ∈(0,1]时，|f (x )|＝|3x －2|≥ax 恒成立，作出图象即可得a ≤0，所以对x ∈[－1,1]上恒成立时，实数a 的取值范围是[－1,0]．命题趋势：分段函数与不等式,分段函数是函数的热点问题，将分段函数与解不等式、不等式恒成立等综合又是最新命题点，需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式问题，注意何时取交集、并集.9. 已知数列{}n a 的首项为a （a ≠0），前n 项和为n S ，且有()10n n S tS a t +=+≠，1n n b S =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当t =1时，若对任意n *∈N ，都有5||||n b b ≥，求实数a 的取值范围；（3）当t ≠1时，若12nn i i c b ==+∑，求能够使数列{}n c 为等比数列的所有数对（a ，t ）．【答案】（1）当1n =时，由21S tS a =+解得2a at =，当2n ≥时，1n n S tS a -=+，所以11()n n n n S S t S S +--=-，即1n n a a t +=，又因为10a a =≠，综上，有*1()n na t n N a +=∈，所以{}n a 是首项为a ，公比为的等比数列，所以1n n a at -=．（2）当1t =时，1,1,n n n n S na b na b b a +==+-=，此时{}n b 为等差数列；当0a >时，{}n b 为单调递增数列，且对任意*n N ∈，0n a >恒成立，不合题意；当0a <时，{}n b 为单调递减数列，由题意知得460,0b b ><，且有4565b b b b ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得22911a -≤≤-．综上a 的取值范围是22,911⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． （3）因为1t ≠，111nn a at b t t=+---， 所以12()2(1)()2(1)111(1)2n n n a a a a t t c n t t t n t t t t +-=++-+++=++----- 12212(1)1(1)n at t a at n t t t +-+=-++---，由题设知{}n c 为等比数列，所以有220(1)101at t t a t⎧-=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩，解得12a t =⎧⎨=⎩，即满足条件的数对是(1,2)． （或通过{}n c 的前3项成等比数列先求出数对(,)a t ，再进行证明）10. （理科生做） 斜率为1的直线与抛物线22y x =交于不同两点,A B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 解：设直线方程：m x y +=，()()()y x M y x B y x A ,,,,,2211将m x y +=代入22y x =,得()02222=+-+m x m x ,……2分 所以()22122122240,22,,m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪⎪+=-⎨⎪=⎪⎩……6分 ∴21<m ，1,211221=+=>-=+=m x y m x x x ,……9分 线段AB 中点M 的轨迹方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛>=211x y .……10分。
江苏省高邮市界首中学高三数学二轮复习 三角函数
高邮市界首中学二轮冲刺训练一（三角函数）1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---．（1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围．2. 已知△ABC 的内角A 的大小为120°，面积为3． （1）若AB 22=，求△ABC 的另外两条边长；（2）设O 为△ABC 的外心，当21BC =AO BC ⋅uuu r uu u r的值．3. 如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB ︵上有一点C ．（1）当C 为圆弧 AB ︵中点时，D 为线段OA 上任一点，求||+的最小值. （2）当C 在圆弧 AB ︵上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，求·DE 的取值范围．AD C4. 在ABC ∆中，角AB C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知a b 3=. （1）当6C π=，且ABC ∆的面积为43时，求a 的值；（2）当33cos =C 时，求)cos(A B -的值．5. △ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．（1）若π1sin(),63A += 求πsin(2)6A -的值； （2）若△ABC 的外接圆半径为1，4cos cos a BA b =． ① 求C 的值；② 求22ab a b -+-的取值范围．高邮市界首中学二轮冲刺训练二（三角函数）1. 在ABC ∆中，设,,A B C 所对的边为,,a b c ．已知(2cos ),m A A =u r(cos ,2cos ),n A A =-r 1.m n ⋅=-u r r（1）若2,a c ==求ABC ∆的面积S 的大小；（2）求2cos(60)b ca C -︒+的值。
2. 三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cosA ，sinA)，b ＝(cosB ，3sinB)，c ＝(1，－1)．(1)若a ·c ＝1，求角A 的大小；(2)若a//b ，求当A －B 取最大时，A 的值．3. 在△ABC 中，A π∠=3，BC =3，点D 在BC 边上． （1）若AD 为A ∠的平分线，且BD =1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD=，求证：△ABC 为等边三角形．4. 设函数()xx x x x f cos sin 3cos 62sin 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.（1）若4π<x ，求函数()x f 的值域；（2） 设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，若252=⎪⎭⎫ ⎝⎛A f ,()cos A C +=，求cos C 的值；5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a ＝cosCcosA ．（1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．高邮市界首中学二轮冲刺训练三（三角函数）1. 在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，．求： （1）AB 的值；（2）sin()sin A B C -的值．2. 如图，在△ABC 中，|AB AC -u u u r u u u r |=3，|BC BA -u u u r u u u r |=5，|CA CB -u u u r u u u r|=7．(1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．3. 已知O 为△ABC 外心，AB=4a ，AC=4a，∠BAC ＝120º.(1)当a ＝2时，求→AO·→BC 的值；(2)若→AO ＝λ→AB +μ→AC ，求λ+μ的最小值.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，0)，P(cos α，sin α)，其中0 <α< π．(第15题图)BACD（1）若cos α＝12，求AP OP ⋅u u u r u u u r 的值； （2）若||||AP OP =u u u r u u u r ，求()πcos 24α-的值．5. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ （1）判断△ABC 的形状； （2）若k c 求,2=的值.高邮市界首中学二轮冲刺训练四（三角函数） 1. 已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=．（1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值．2. 设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式； （2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．3. 已知点(2cos ,2sin )P αα和Q( a ，0 )，O 为坐标原点．当(0,)απ∈时， （1）若存在点P ，使得PO ⊥P Q ，求实数a 的取值范围；(2) 如果a = –1,设向量PO uuu r 与PQ uuur 的夹角为θ，求证：cos θ ≥ 23．4. 函数2()6cos33(0)2xf x xωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC∆三内角成等差数列. （1）求ω的值及函数()f x的值域；（2）若83()5f x=，且102(,)33x∈-，求0(1)f x+的值.5. 已知向量()2cos,sin22x x=a，()cos,2cos22x x=b，()1f x=⋅+a b．（1）若()1,1OA=u u u r与向量a共线，求2cos sinx x-的值；（2）若实数a、b，角[)0,2πα∈，使得()()1af x bf xα+-=恒成立，求cosbaα的值．高邮市界首中学二轮冲刺训练一答案（三角函数）1. 解：（1）在△ABC 中，222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C BA C ab C b CBC c a b ---====----，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =． （2）222131sin sin sin (1cos2)(1cos2)242T A B C A C =++=-++- ()71714π(cos 2cos 2)cos 2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()371171πcos22cos 2422423A A A =-=-+ 因为2π03A <<，所以4π023A <<， 故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤， 所以3924T <≤．2. 【解】（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 313sin 2bc A ==，所以bc=4． ……………………3分因为22c AB ==2b CA =由余弦定理得22222cos 428414BC a b c bc A b c ==+-++++．…6分（2）由21BC =22421b c ++=，即2216170b b +-=，解得1b =或4．…………8分设BC 的中点为D ，则AO AD DO =+uuu r uuu r uuu r ，因为O 为△ABC 的外心，所以0DO BC ⋅=uuu r uu u r，于是()()22122b cAO BC AD BC AB AC AC AB -⋅=⋅=+⋅-=uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r ．……………………12分 所以当1b =时，4c =，221522b c AO BC -⋅==-uuu r uu u r ； 当4b =时，1c =，221522b c AO BC -⋅==uuu r uu u r ．……………………14分3. 解：（1）以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立图示坐标系，设D （t ，0）（0≤t≤1），C （2222，-）………………………2′∴+=（2222t ，+-）∴2||OD OC +=212212++-t t =122+-t t （0≤t≤1）…4′ 当22=t 时，最小值为22…………………………6′（2）设=（cosα，sinα）（0≤α≤23π）-==（0，21-）—（cosα，sinα）=（ααsin 21cos ---，）………8′又∵D （021，），E （0，21-）∴=（2121--，）…………………………10′ ∴CE ·=)sin 21(cos 21αα++=41)4sin(22++πα…………12′∵4π≤4πα+≤47π…………………………13′ ∴CE ·DE ∈[22412241+-，]…………………………14′ 4. 解：（1）因为a b 3=，ABC ∆的面积为43，所以213sin 24S ab C a ==43=，…………5分解得1=a .……………由余弦定理得，a c 2=，所以222c a b +=，90B =︒， ………………10分由正弦定理得，33sin =A ， …………………………12分所以)90cos()cos(A A B -︒=-33sin ==A .…………………14分5. 【解】（1）sin(2)sin 2()662A A πππ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦cos2()6A π=-+22172sin ()12()1639A π=+-=⨯-=-． （2）①因为4cos cos a BAb =，所以4cos cos ab A B =． 因为△ABC 的外接圆半径为1，所以sin sin cos cos A B A B =．即cos()0A B +=．因为0A B π<+<，所以2A B π+=．从而，2C π=． ②24sin sin 22sin sin 122sin 2sin 2sin sin 1ab A B A B a b A B A B ---==+-+-+-， 由①2A B π+=，所以22sin cos 12sin cos 1ab A A a b A A --=+-+-．令sin cos A A t +=，则22sin cos 1A A t =-．因为sin cos 2sin()4A A A π+=+，02A π<<， 所以3444A πππ<+<，12)24A π<+≤，即12t <≤． 由于22221ab t a b t --=+--，(2t ⎤∈⎦． 令(1,21t u u ⎤-=∈⎦，则1t u =+．从而2211()2u u f u u u u +-==-+，又21()10f u u '=+>在(21u ⎤∈⎦上恒成立，所以()f u 在(21⎤⎦上递增． 所以()f u 的取值范围为(],0-∞．所以22ab a b -+-的取值范围为(],0-∞．高邮市界首中学二轮冲刺训练二（三角函数）1. 解：由 1.m n ⋅=-u r r 得22cos 23sin cos 1A A A -=-可知，sin(2)16A π-=因为110,2(,)666A A ππππ<<-∈-所以，所以262A ππ-=，即3A π=（1）由正弦定理可知：sin sin a c A C =，所以1sin 2C =，因为2(0,)3C π∈ 所以6C π=，所以2B π=，所以12232ABC S ∆=⋅⋅23（2）原式=sin 2sin sin cos(60)33cos(60)cos(60)B C A C C C -︒+︒+︒+ =33sin 3cos(60)22233cos(60)cos(60)C CC C C -︒+=︒+︒+。
江苏省高邮市界首中学高三数学第三次模拟考试试题苏教版
界首中学2013届高三第三次模拟试卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。
1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a i z i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合{}{}2120,lg(2)A x x x B x y x =+-<==- ，则=⋂B A ．（2,3） 3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率 分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数 段的人数为 ．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的 人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3， 现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________．()81,8-7、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||2q =627S S =”的（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件） 充分而不必要条件8、如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P ABD -和Q CBD -是两个高相等分数频率组距0.0050.0100.015 0.0250.045QN MED CB A的正三棱锥， 四点,,,A B C D 在同一平面内．要使塔尖,P Q 之间的距离为 50m ，则底边AB 的长为 m ．【解析】由正三棱锥的概念知，顶点,P Q 在底面的射影分别是 正三角形ABD 和正三角形BCD 的中心，因为高相等，所以塔尖,P Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离， 由平面几何易知，底边AB的长为．9、若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx=的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ．解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得5c e a ==． 10、若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．411. 已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ▲ ．71012、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，x x f =)(，若对任意的]2,[+∈a a x 不等式)(3)(x f a x f ≥+恒成立，则a 的最大值为 ▲ -413．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则CD ED ⋅u u u r u u u r的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为 ．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式．解析：∵()()xf x ag x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-， 又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n na =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指．．．．定区域内．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ． ⑴设BC CA CA AB⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，求证ABC ∆是等腰三角形；⑵设向量()2sin ,3s C =-v ,2(cos2,2cos 1)2C t C =-v ，且s v ∥t v ,若12sin 13A =，求sin()3B π-的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，ο60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥ 由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥ 又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分（2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆,而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面故AEB F C 面//1 …………………………10分 （或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB 且132EH AB ==，由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴1111111113223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=…………………………………14分ABC E FP1A 1B 1C HG B17. （本题满分14分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45o(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==，探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米)。
江苏省高邮市界首中学高三数学二轮复习 解答题训练(6)
解答题训练（6）1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，(3分)所以a ＋bsin A ＋sin B＝433sin A ＋sin B sin A ＋sin B＝433.(6分)(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， (7分)又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．(12分)所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.(14分)2. (2012·江苏省南京市5月高三考前综合题5)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝4，E 为边DC 的中点，如图1.将△ADE 沿AE 折起到△AEP 位置，连PB 、PC ，点Q 是棱AE 的中点，点M 在棱PC 上，如图2. (1)若PA ∥平面MQB ，求PM ∶MC ；(2)若平面AEP ⊥平面ABCE ，点M 是PC 的中点，求三棱锥A MQB 的体积．图1 图2解 (1)连AC 、BQ ，设AC ∩BQ ＝F ，连MF .则平面PAC ∩平面MQB ＝MF ，因为PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，所以PA ∥MF .(2分)在等腰梯形ABCD 中，E 为边DC 的中点，所以由题设，AB ＝EC ＝2.所以四边形ABCE 为平行四边形，则AE ∥BC .(4分)从而△AFQ ∽△CFB ，AF ∶FC ＝AQ ∶CB ＝1∶2.又PA ∥MF ，所以△FMC ∽△APC ，所以PM ∶MC ＝AF ∶FC ＝1∶2.(7分)(2)由(1)知，△AED 是边长为2的正三角形，从而PQ ⊥AE .因为平面AEP ⊥平面ABCE ，交线为AE ，所以PQ ⊥平面ABCE ，PQ ⊥QB ，且PQ ＝ 3. 因为PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面ABCE ，交线为QC .(9分)过点M 作MN ⊥QC 于N ，则MN ⊥平面ABCE ，所以MN 是三棱锥M ABQ 的高． 因为PQ ⊥平面ABCE ，MN ⊥平面ABCE ，所以PQ ∥MN .因为点M 是PC 的中点，所以MN ＝12PQ ＝32.(11分)由(1)知，△ABE 为正三角形，且边长为2.所以，S △ABQ ＝32.三棱锥A MQB 的体积V A MQB ＝V M ABQ ＝13×32×32＝14.(14分)3. 已知椭圆 x 2 a 2 ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－2，0)，离心率为12，过点E (－27，0)的直线l 交椭圆于M ，N ．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)求证：∠MAN 的大小为定值．解：(Ⅰ)由题条件a ＝2，离心率e ＝c a ＝12，∴c ＝1．∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1 ．(Ⅱ)①若直线l ：x ＝－27，则M (－27，127)，N (－27，－127) ，则AM —— >·AN —— >＝(127，127)•(－127，127)＝0，∴AM —— >⊥AN —— > ，∴∠MAN ＝90°．--------7分②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x ＋27)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋27)x 24＋y23＝1⇒ (3＋4k 2)x 2＋167k 2x ＋16k 249－12＝0．-----------9分∴x 1＋x 2＝－16k 27(3＋4k 2)，x 1•x 2＝16k 2－58849(3＋4k 2)，----------10分∴y 1•y 2＝k 2(x 1＋27)(x 2＋27)＝k 2[x 1•x 2＋27(x 1＋x 2)＋449]＝－16k 4－588k 249(3＋4k 2)＋4k 249．∴AM —— >·AN —— >＝(x 1＋2，y 1)•(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)( x 1＋2)＋y 1•y 2＝16k 2－58849(3＋4k 2)－32k 27(3＋4k 2)＋4＋－16k 4－588k 249(3＋4k 2)＋4k 249＝0． ∴AM —— >⊥AN —— >，∴∠MAN ＝90°． ----------14分 综上，∠MAN 的大小为定值90°．----------15分4. 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x ef x e x R -+-+==∈. ( I )若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； ( II)若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； 解:(1)因为2=a ,且∈x [2， 3],所以3|3||2|131()2x x x xx x e e f x e e e e e e e --+--=+=+=+≥=,当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e(2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a ee -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤。
江苏省高邮市界首中学高三数学 备战二模解答题训练(3)
备战二模解答题训练（3）1. 已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、 c ， cos cos cos a b c A B C+=+．（1）求证：角A 、C 、B 成等差数列；（2）若△ABC 的面积3ABC S ∆=，求△ABC 周长的最小值．2.正三棱柱111A B C ABC -中，点D 是BC 的中点，12BC BB =，设11B D BC F =I ． （1）求证：1A C ∥平面1AB D ；（2）求证：1BC ⊥平面1AB D ．3.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米， BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方）表示成关于x 的函数；（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．GN D MC（第3题）4. 给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．。
江苏省高邮市界首中学高三数学二轮复习 解答题训练(5)
解答题训练（5）1. 已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为α， （Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求ααααα22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最小值。
2. 如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°， AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)求证：CF ∥平面BAE .3.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c x P x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？4. 已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；。
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解答题训练（3）
1. 已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、 c ， cos cos cos a b c A B C
+=+．
（1）求证：角A 、C 、B 成等差数列；
（2）若△ABC 的面积3ABC S ∆=，求△ABC 周长的最小值． 1.解： (1) 根据题意， 在△ABC 中，由正弦定理得
C
C
B A B A cos sin cos cos sin sin =++
即B C A C C B C A cos sin cos sin cos sin cos sin +=+
)sin()sin(B C C A -=-∴
又)2
,0(π
∈C B A 、、，2
2
2
2
π
π
π
π
<
-<-
<
-<-
∴B C C A 、
而x y sin =在)2
,2(π
π-
内单调递增
B C C A -=-∴
即B A C +=2 ，角A 、C 、B 成等差数列． (2)由π=++C B A 及B A C +=2得3
π
=
C
43sin 2
1
=⇒==
∆ab C ab S ABC 又ab b a C ab b a c -+=-+=2
2
2
2
2
cos 2
∴632222==-+≥-+++=++ab ab ab ab ab b a b a c b a 当且仅当b a =时，取等号 ∴△ABC 周长的最小值是6
2.正三棱柱111A B C ABC -中，点D 是BC 的中点，12BC BB =，设11B D BC F = ． （1）求证：
1A C ∥平面1AB D ；（2）求证：1BC ⊥平面1AB D ． 2.证明:（1）连结1A B ，设1A B 交1AB 于E ,连结DE ．
∵点D 是BC 的中点,点E 是1A B 的中点，
∴DE ∥1A C ． …………3分
∵1A C ⊄平面1AB D , DE ⊂平面1AB D , ∴1A C ∥平面1AB D ． …………6分
（2）∵ABC ∆是正三角形, 点D 是BC 的中点,∴AD BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面11B BCC ,平面ABC 平面 11B BCC BC =,AD ⊂平面ABC ,
∴AD ⊥平面11B BCC . ∵1BC ⊂平面11B BCC , ∴AD ⊥1BC .……………9分
∵点D 是BC 中点, 12BC BB =，∴12
2
BD BB =． ∵
112
2
CC BD BB BC ==,∴Rt △1B BD ∽Rt △1BCC ． ∴11BDB BC C ∠=∠．
∴FBD BDF ∠+∠＝01190C BC BC C ∠+∠=． ∴11,BC B D ⊥ …………………………12分 ∵1B D AD D = ,∴1BC ⊥平面1AB D ．………14分 3.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图
所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．
（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方）表示成关于x 的函数；
（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值． 【答案】 （1） ①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动， 即0＜x ≤1时，
△EMN 的面积S =x ⨯⨯221
=x ；
②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动， 即1＜x ＜31+时，
如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，
∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3. 又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ．
∴ GF GH DC MN =，即2[31]3x MN +-=． 故△EMN 的面积S ＝12[31]23x x +-⨯⨯
＝x x )331(332++-；
综合可得：
E A
B
G
N D
M
C
（第17题）
E A
B
G
N D M C
H F
E N G D M A
B
C 图1
()()
20133111333x x S x x x ⎧⎪
=⎛⎫
⎨-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
，＜≤．＜＜
（2）①当MN 在矩形区域滑动时，x S =，所以有10≤<S ； ②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )3
3
1(332++-
. 因而，当2
31+=x （米）时，S 得到最大值，最大值S =33
2
1+（平方米）. ∵ 13
321>+， ∴ S 有最大值，最大值为3
321+平方米.
4. 给定椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O 、半径是22a b +的圆为椭圆C 的
“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴的一个端点到点F 的距离为3．
（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；
（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x
⊥轴，求AB AD ⋅
的取值范围；
（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．
4.解：（1）由题意知2c =，且223a b c =+=，可得1b =，
故椭圆C 的方程为2
213
x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． （2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(33)m -<<，则有2
213
m n +=， 又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--
， 故2222
(2)44(1)3
m AB AD m n m m ⋅=--=-+-- 22443
43()332
m m m =-+=-, 又33m -<<，故243
()[0,743)32
m -∈+，
所以AB AD ⋅
的取值范围是[0,743)+．
（3）设(,)P s t ，则224s t +=．
当3s =±时，1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥． 当3s ≠±时，设过(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ，
则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得
223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，
由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，
故22122211(4)
133t s k k s s ---=
==---，即12l l ⊥． 综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥．。