2011年成人高考高等数学二导数复习
成人高考—专升本—高等数学(二) 备考 知识点 复习
(4)如果 limx→x0f(x)=a，且 a＞0(或 a＜0)，则必存在点 x0 的某一个邻域(x0 －δ,x0+δ)，在该邻域内，有 f(x)＞0(或 f(x)＜0).
(5)如果在点 x0 的某一去心邻域(x0－δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有 f(x)≥0(或 f(x) ≤0)，且 limx→x0f(x)=a，则必有 a≥0(或 a≤0).
limn→∞Cxn=C·limn→∞xn=CA (C 为常数).
数列极限的四则运算法则的作用在于把求复杂数列的极限的运算化为简
单数列的极限值的代数运算，从而简化计算. 常用的数列极限有
limn→∞c=c limn→∞1nk=0 (k＞0,常数)，
(c 为常数)，
limn→∞qn=0 (|q|＜1),
limn→∞(1+1n)n=e.
二、函数的极限
1.函数极限的定义
(1)x→∞时函数极限的定义 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0， 使当|x|＞X 时， 不等式|f(x) －A|＜ε恒成立,则称常数 A 为 x→∞时函数 f(x)的极限，记为 limx→∞f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→∞时). 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0，使当 x＞X(或 x＜－X)时， 不等式|f(x)－A|<ε恒成立，则称常数 A 为 x→＋∞(或为 x→－∞)时函数 f(x) 的极限，记为 limx→+∞f(x)=A (或 limx→-∞f(x)=A). 定理 1 函数极限 limx→∞f(x)存在且等于 A 的充分必要条件是极限 limx →+∞f(x)和 limx→-∞f(x)都存在且都等于 A，即有 limx→∞f(x)=A limx→+∞
2011年成人高考专升本高等数学(二)真题
2011年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）一、选择题：每小题4分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求.1. 211lim1x x x →-=-（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：C解析：()()21lim 111lim 11lim1121=+=--+=--→→→x x x x x x x x x 2. 已知函数()f x 的导函数2'()31f x x x =--, 则曲线()y f x =在2x =处 切线的斜率是（ ）A. 3B. 5C. 9D. 11 答案：C解析：将2=x 代入()132--='x x x f ，得()9122322=--⋅='=f k3. 设函数21y x =, 则'y =（ ） A. 31x - B. 32x- C. 31x D. 1x答案：B 解析：221-==x x y ，32'--=x y 4. 已知函数()f x 在区间(,)-∞+∞单调增加，则使()(2)f x f >成立的x 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (,0)-∞C. (,2)-∞D. (0,2)答案：A5. 设函数cos 1y x =+, 则dy =（ ）A. (sin 1)x dx +B. (cos 1)x dx +C. sin xdx -D. sin xdx答案：C6.(sin )x x dx -=⎰（ ）A. 2cos x x C ++ B. 2cos 2x x C ++ C. 2sin x x C -+ D. 2sin 2x x C -+ 答案：B解析：()()C x x dx x dx x dx x x +--=-=-⎰⎰⎰cos 2sin sin 27.sin xdx ππ-=⎰（ ）A. 0B. 1C. 2D. π 答案：A解析：对称区间上奇函数的积分为零 8. 设函数33z x y =+, 则zy∂=∂ （ ） A. 23x B. 2233x y + C. 44y D. 23y答案：D9. 设函数23z x y =, 则22zx∂=∂（ ）A. 32yB. 26xyC. 26y D. 12xy 答案：A解析：32xy xz =∂∂，3222y x z =∂∂10. 随机事件A 与B 互不相容，则 ()=AB P （ ）()()B P A P A +. ()()B P A P B . 1.C 0.D答案：D解析：A 与B 互不相容，则 ()0=AB P二、填空题：每小题4分，共40分. 11. 已知函数sin ,0()1,0x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩，则 (0)______f =.答案：0解析：()00sin 0==f 12. 2sin(2)lim_________.2x x x →-=-答案：1 解析：()()()122sin lim 22sin lim022=--=--→-→x x x x x x13.曲线22y x =在点(1,2)处的切线方程为___________y =. 答案：42x -解析：x y 4='，41='==x y k ，()142:-=-x y l 切14. 设函数sin y x =，则 '''______y =. 答案：cos x -解析：x y cos ='，x y sin -=''，x y cos -='''15. 函数22x y x =-的单调增加区间是___________. 答案：(1,)+∞16. 5x dx =⎰_____________.答案：C x +66解析：由基本积分公式C x a dx x a a ++=+⎰111可得 17.0(arctan )________xd t t dt dx+=⎰. 答案：arctan x x + 18.1321(cos )________x x x dx -+=⎰.答案：111323211122(cos )cos 033x x x dx x xdx x dx ---+=+=+=⎰⎰⎰解析：注意前一积分为零的依据是“对称区间上奇函数的积分为零”， 19. 设函数xz e y =+, 则____________dz =. 答案：+dx e x dy解析：xe x z =∂∂，1=∂∂y z ，=dz +∂∂dx xz dy y z ∂∂ 20. 设函数(,)z f x y =可微, 且00(,)x y 为其极值点，则00(,)________x y zx∂=∂.解析：由于在可微时,极值点一定是驻点,于是在该点的偏导数为0 三、解答题：共70分.解答应写出推理、演算步骤. 21. 计算20lim(1)xx x →+.解析：()221121020111lim 111lim 1lim e x x x xx xx xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅∞→⋅→→22. 设函数1sin x y x+=, 求'y . 解析：2(1)'sin (1)(sin )''(sin )x x x x y x +-+=2sin (1)cos sin x x xx-+=23.计算⎰.解析：21(1)2d x =-⎰3221(1)3x C =-+24. 设函数(,)z z x y =由sin()0zx y e ++=确定，求zx∂∂. 解析：解法1：设(,,)sin()zF x y z x y e =++,cos(),z F Fx y e x z∂∂=+=∂∂, 则cos()zFz x y x F x e z∂∂+∂=-=-∂∂∂ 解法2：等式两边对x 求导得,cos()0z zx y e x∂++⋅=∂, 则cos()zz x y x e ∂+=-∂ 25. 设A ，B 为两个随机事件，且()8.0=A P ，()3.0=AB P ，求()B A P -.解析：()()()()5.03.08.0=-=-=-=-AB P A P AB A P B A P 26. 求函数31()413f x x x =-+的单调区间、极值和曲线()y f x =的凹凸区间.（2011年）解析：函数的定义域为(,)-∞+∞，2'4,''2y x y x =-=，令'0y =，得2x =±。
成人高考专升本《高等数学二》公式大全
成人高考专升本《高等数学二》公式大全1.函数的导数公式：1）常数函数求导：(C)'=02）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1), 其中n为常数3）指数函数求导：(a^x)' = a^x * ln(a), 其中a>0且a≠14）对数函数求导：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)), 其中a>0且a≠15）三角函数求导：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x)6）反三角函数求导：(arcsin(x))' = 1 / sqrt(1 - x^2), (arccos(x))' = -1 / sqrt(1 - x^2), (arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)2.高等数学中的极限公式：1）常数函数极限：lim(C) = C, 其中C为常数2）多项式函数极限：lim(a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... +a_1*x + a_0) = a_n*x^n, 其中n为正整数，a_n为非零常数3）指数函数极限：lim(a^x) = 1, 其中a>0且a≠14）对数函数极限：lim(log_a(x)) = log_a(1) = 0, 其中a>0且a≠15）三角函数极限：lim(sin(x) / x) = 1, lim((1 - cos(x)) / x) = 0, 当x趋近于0时3.定积分公式：1）换元积分法：∫f(g(x)) * g'(x)dx = ∫f(u)du, 其中u = g(x) 2）分部积分法：∫u * dv = u * v - ∫v * du3）凑微分法：∫f(x)dx = ∫f(x) *1dx = ∫f(x) *[g'(x)/g'(x)]dx = ∫(f(x) * g'(x))/g'(x)dx4.微分方程公式：1）一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = e^(-∫P(x)dx) * ∫[Q(x) * e^(∫P(x)dx)]dx2）一阶齐次线性微分方程：dy/dx = f(y/x), 令v = y/x, 可得dv = [(f(v) - v)/x]dx5.级数公式：1）等比数列前n项和：S_n=a(1-q^n)/(1-q),其中a为首项，q为公比2）调和级数：∑(1/n)是发散级数3）幂级数展开：e^x = ∑(x^n)/n!, sin(x) = ∑[(-1)^n *(x^(2n+1))/(2n+1)!], cos(x) = ∑[(-1)^n * (x^(2n))/(2n)!]。
成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)
解： ∂z = 2x sin 2 y ， ∂z = 2x2 cos 2 y
∂x
∂y
三、全微分
1、全微分公式：函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处全微分公式为： dz = ∂z dx + ∂z dy ∂x ∂y
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数 ∂z 和 ∂z . （2）、然后代入上述公式即可. ∂x ∂y
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多．元．函．数．。其自 变量的变化范围称为定．义．域．，通常记作 D 。 例如：二元函数通常记作： z = f (x, y) ， (x, y) ∈ D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法： （1）设二元函数 z = f (x, y) ，则函数 z 在区域 D 内对 x 和对 y 的偏导数记为：
或 dy
x= x0
dx
x = x0
（2）函数 f (x) 在区间（a,b）内的导数记作：
f '(x ) ， y' 或 dy dx
二、求导公式（必须熟记） （1） (c)' = 0 （C 为常数） （3） (ex )' = ex （5） (sin x)' = cos x
（2） (xα )' = α xα −1 （4） (ln x)' = 1
x2
− 2x + x2 −1
1
.
……… 0未定式，提取公因式 0
解：原式=
lim
x→1
(
x
( x −1)2 −1)( x +1)
=
lim
x→1
( (
x x
−1) +1)
=
2011年高考数学第二轮专题复习 导数教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：导数考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
考点扫描：导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；[来源:]② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
考题先知：例1．设函数B A Cx Bx Ax x f ++++=6)(23，其中实数A 、B 、C 满足： ①9841218+≤+≤+-B C A B ； ②A B A 63≤-<。
（1）求证：49)1(,41)1(''≤-≥f f ； （2）设π≤≤x 0，求证：0)sin 2(≥x f 。
证明：（1）由9841218+≤+≤+-B C A B 得：,4123≥++C B A 4923≤+-C B A ，又C Bx Ax x f ++=23)(2'，所以4123)1('≥++=C B A f ，4923)1('≤+-=-C B A f [来源:学.科.网Z.X.X.K]（2）当π≤≤x 0时，0)sin 2(≥x f 等价于当20≤≤u 时，0)(≥u f ，所以只须证明当20≤≤x 时，0)(≥x f ，由②知：,0>A 且(]2,13∈-AB，所以C Bx Ax x f ++=23)(2'为开口向上的抛物线，其对称轴方程(]2,13∈-=ABx ，又由A B A 63≤-<得： 0)6)(3(≤++B A B A ，即AB A B 91822+≥-，所以，当20≤≤x 时，有B AC AABA AC AB AC A B f x f 363918312412)3()(22''++=++≥-=-≥[来源:学+科+网]B BC B A B A C B A +-+++≥++++=)21(23323=)]1()1([4121)1('''--⨯+f f f=049814189)1(81)1(89''=⨯-⨯≥--f f ，所以)(x f 为[0，2]上的增函数。
成人高考专升本《高等数学二》复习教程
成人高考专升本《高等数学二》复习教程高等数学是成人高考专升本考试的重要科目之一，也是考生们普遍觉得较为困难的科目之一、本文将为大家提供一个《高等数学二》的复习教程，帮助考生们更好地备考。
1.复习大纲首先，要明确复习的大纲和重点。
成人高考专升本的《高等数学二》主要涉及到三大部分内容：常微分方程、级数和多元函数。
要仔细研读考纲，明确重点、难点和考点。
2.备考资料准备一本《高等数学二》的教材和相关的辅导资料是必不可少的。
教材是主要的学习材料，逐章进行系统地学习。
辅导资料可以帮助补充和巩固知识，同时提供一些例题和习题等训练。
3.知识概念梳理在学习的过程中，要将每个知识点的概念和公式整理出来，形成一份详细的笔记。
可以将概念和公式写在纸上，然后做一些例题，巩固记忆和理解。
同时，还要注意一些常见的特殊情况和性质，以及一些经典的解题方法。
4.题目分类在备考过程中，要将各个知识点的题目进行分类整理。
可以按照章节进行划分，也可以按照题目类型进行分类。
这样有助于系统地学习和复习，同时也可以发现一些重点和难点。
5.练习题做题是检验学习和理解程度的重要途径。
通过做题可以帮助巩固知识，发现知识点的不足和问题。
可以从教材和辅导资料中选择一些典型的例题和习题进行练习。
同时，还要注重对错题的整理和分析，找出错误的原因和解题方法。
6.重点难点攻克在复习的过程中，可能会遇到一些重点和难点。
可以选择一些典型的例题和习题进行重点攻克和深入理解。
可以寻求老师和同学的帮助，进行讨论和交流。
也可以在网上查找一些相关的讲解视频和资料进行学习。
7.模拟考试在复习结束之前，可以进行一些模拟考试。
可以选择一些真题进行练习，模拟考试的形式和流程，帮助考生们适应考试环境和时间。
模拟考试还可以检验自己的复习情况和考试策略，找出问题和不足。
8.多做题、多总结在复习过程中，要多做题、多总结。
通过做题可以巩固知识和提高解题能力，通过总结可以梳理知识点和理清思路。
2011成人高考专升本高等数学(二).
第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x, x∈D定义域: D(f, 值域: Z(f.2.分段函数:3.隐函数: F(x,y= 04.反函数: y=f(x → x=φ(y=f-1(yy=f-1 (x定理:如果函数: y=f(x, D(f=X, Z(f=Y是严格单调增加(或减少的；则它必定存在反函数：y=f-1(x, D(f-1=Y, Z(f-1=X且也是严格单调增加(或减少的。
㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x,x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若f(x1≤f(x2,则称f(x在D内单调增加( ；若f(x1≥f(x2,则称f(x在D内单调减少( ；若f(x1＜f(x2,则称f(x在D内严格单调增加( ；若f(x1＞f(x2,则称f(x在D内严格单调减少( 。
2.函数的奇偶性：D(f关于原点对称偶函数：f(-x=f(x奇函数：f(-x=-f(x3.函数的周期性：周期函数：f(x+T=f(x, x∈(-∞，+∞周期：T——最小的正数4.函数的有界性：|f(x|≤M , x∈(a,b㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数2.幂函数： y=x n , (n为实数3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠14.对数函数： y=log a x ,(a＞0、a≠15.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u , u=φ(xy=f[φ(x] , x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理:若的极限存在必定有界.2.函数的极限：⑴当时，的极限：⑵当时，的极限：左极限：右极限：⑶函数极限存的充要条件：定理：㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：称在该变化过程中为无穷大量。
2011年成人高考高等数学二试题专升本高等数学二串讲成考高数二笔记
太原理工大学联系电话0351 *******任老师1363345172严格依据大纲编写：《2011年成人高考专升本高等数学二考试大纲》笔记目录第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
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2011年成人高考高等数学二导数复习
历年来，成人高考数学（二）的考试内容主要分为以下几块：一元函数微积分学、多元函数微分学（主要是二元函数）及概率论初步。
其中一元函数微积分学和多元函数微积分学在考试中分数占很大比重，因此这两大块是我们大家尤其要重视的重点。
考试题型包括选择题、填空题和解答题。
下面我们粗略地看一下考试的主要侧重点。
大家可以根据下面的这些复习主线有目的地来进行复习。
当然，这些只包括了考点的一部分，要想得高分，还得根据考试大纲的要求进行系统的复习。
一元函数微积分学
1、极限与函数的连续性
这一部分主要着重于考察大家对极限以及函数的连续性概念的理解，具体主要包括：
（1）两个重要的极限
这里主要要求大家掌握这两个重要极限的变形形式，
评析：上述两个变形表明，无论这两个函数的自变量的趋势如何，只要在自变量的这个趋势下，上述两个等式总成立。
比如，
大家一定要理解掌握这两个变形。
在历年的考试中，二者必居其一。
（2）函数连续性（其中包括函数的间断点的定义）
这一部分主要考察点包括函数连续的定义、函数在一点连续的充要条件（左极限等于有极限）、函数的间断点（初等函数在其定义域内连续）。
2、函数的导数
当然，要想了解函数的导数及其相关内容，大家首先必须理解导数的定义。
（1）导数的定义
一个函数在某点处的导数无非就是指函数在该点处函数值的改变量与自变量的改变量的极限值，即
（2）导数的几何意义了解导数的定义，有助于理解导数的几何意义：曲线在点处的导数为曲线在处切线的斜率，从而可得在该点处切线方程为
（3）函数的求导方法
这一部分大家要掌握导数的四则运算、复合函数的求导方法、隐函数的求导方法及对数求导法。
这一部分内容很多，我们不一一列举，以后我们会逐个地讲解。
这一讲，我们主要起个抛砖引玉的作用，让大家对我们的考试内容有个大致的了解，增加大家对考试的信心。
而且，我也相信，只要大家根据我提供的主线好好地复习，肯定能在考试中取得成功。
3、导数的应用
在这个主题中，需要大家掌握如下内容：
i）两个中值定理
罗尔定理和拉格朗日中值定理。
这里主要考察这两个定理的基本内容，要求大家了解这两个定理分别成立的三个和两个基本条件，会判断给定函数是否满足定理成立的条件及计算满足定理条件的点。
ii）洛必达法则
洛必达法则主要用于计算函数未定式的极限。
这个法则在求函数的极限中起着举足轻重的作用，所以大家要重点掌握。
当然，如果大家能够在求极限的过程中，使用等价无穷小量替换将会更大的简化计算过程。
这是后话，不再详述。
iii）导数的符号和函数单调性的关系
如果函数在给定区间的导数大于零，则该区间是函数的递增区间。
如果函数在给定区间的导数小于零，则该区间是函数的递减区间。
这个结论主要用于计算函数的单调区间以及后面我们要提及的求函数的极值、最值。
iv）函数的极值、最值
在实际问题中，我们通常可以通过建立模型，把问题转化成求谋个函数的极值和最值问题。
这就需要大家掌握用极值的第一、第二充分条件计算函数极值。
在这里，只要求大家能计算简单的初等函数极值。
4、函数的微分
函数的微分与函数的导数有密切的关系。
函数可导是函数可微的充分必要条件，并且如果函数可微，则只要掌握了这一计算公式，函数的微分就容易计算了。