12.5二次根式及其性质(1)
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
初二数学二次根式及其性质(最新整理)
二次根式及其性质（基础）学习目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化要点梳理要点梳理要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质 1、； 2.； 3.. 要点诠释： 1.二次根式(a≥0)的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即. 2.与要注意区别与联系： 1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值. 2).≥0时，==；<0时，无意义，=.典型例题类型一、二次根式的概念 1.当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有____ 个.【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（） A．2 B.3 C.4 D.52. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）； （2）y=－；【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1) (2)【变式】（1）=_____________ （2）=_____________ 4. 已知，那么可化简为（ ） A. B. C. D.【变式】若整数满足条件则的值是___________.巩固练习一．选择题 1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）. A. B．x≥1 C.x<1 D.全体实数 2. 若,化简 ( ). A. B. C. D. 3.下列说法正确的是（ ） A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x≥1 C．8的立方根是 D.若点关于x轴对称，则的值为5. 4. 若a不等于0，a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).A.与B.与C.与D.与 5.下列根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D.二. 填空题 7.当x______时，式子在实数范围有意义； 当x_______时，式子在实数范围有意义. 8.=____________. 若，则____________. 9．（1）=_____________ （2）（a>0）=__________________________ 10.若=0，则=_______________ 11.当x≤0时，化简=__________________________ 12.有如下判断： （1） (2）=1 （3） （4） （5） （6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.三综合题 13. 当为何值时，下列式子有意义？ （1） （2） （3）； （4）； 14. 已知实数x，y满足，求代数式的值. 15.若，求的值.。
根式及其运算
根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。
二次根式的性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )； （2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )； （4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。
设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。
形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试 【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛 【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试 【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题 【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（ ）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________． 【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题 【难度系数】3习题演练【试题来源】 【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题 【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时 【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点总结及其应用二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
1.二次根式的定义和性质二次根式是数学中的一种运算符号，表示一个非负实数的算术平方根。
如果a≥0，则√a是一个实数；如果a<0，则√a是一个虚数。
二次根式的性质有以下几点：（1）非负数的非负平方根是一个实数，记作√a，其中a≥0；（2）非负实数a的平方根必须满足：如果x是a的平方根，则-x也是a的平方根；（3）二次根式的运算规律：√ab=√a·√b，√(a/b)=√a/√b。
2.简化二次根式简化二次根式是指将一个二次根式写成最简形式。
其中的关键是将根号下的数分解成若干个因数的平方。
一般地，对于一个非负实数a，我们可以将其分解为质因数的乘积，然后将其中的每个质因数的平方提取出来写成一个二次根式。
例如，对于√12，我们可以将12分解为2×2×3，然后将2和3的平方根提取出来，得到√12=2√33.二次根式的四则运算对于二次根式的加、减、乘、除，我们需要根据运算规律来进行计算。
（1）加减：对于两个二次根式的加减，可以先化简，然后将其中的同类项合并。
例如，计算√3+2√3，可以化简得到3√3，再将3√3与2√3相加，得到5√3（2）乘法：对于两个二次根式的乘法，使用运算法则√ab=√a·√b，将根号下的数分解后相乘。
例如，计算(√2+√3)(√2-√3)，可以用分配律展开，得到2-3=-1（3）除法：对于两个二次根式的除法，也使用运算法则√(a/b)=√a/√b，将根号下的数分解后相除。
例如，计算(√8)/(√2)，可以化简得到√2，即(√8)/(√2)=√24.二次根式的应用二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。
（1）几何应用：二次根式常用于计算几何图形的面积和边长。
例如，计算正方形的对角线长度、矩形的对角线长度等。
（2）物理应用：二次根式常用于计算一些物理问题。
二次根式及其运算
第5课 二次根式及其运算
基础自测
4．(2013·常德)计算 4．(2013·常德)计算 2×
2×8＋38＋－327－的2结7的果结为果(为B(
)
)
A．－1
B．1
C．4－3 3
D．7
A．－1
B．1
C．4－3 3
D．7
解析 本题考查的是实数的运算，在进行实数运算
首
页
时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3．(2013·泰州)下列计算正确的是
()
A．4 3－3 3＝1
B. 2＋ 3＝ 5
首
C．2 12＝ 2
D．3＋2 2＝5 2
页
解析 根据二次根式的化简及同类二次根式的
合并，分别进行各选项的判断即可．
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3．(2013·泰州)下列计算正确的是
2．二次根式的性质：
(1)( a)2＝_a_(_a_≥__0_)_．
首 页
(2)
a2＝|a|＝
a(a>0) ； 0(a＝0) ；
－a(a<0) .
(3) ab＝__a_·____b(_a_≥__0_，__b_≥_．0) (4) ab＝____ba_(_a_≥__0_，_b_>_0_)__．
第5课 二次根式及其运算
(5)巧用倒数．
第5课 二次根式及其运算
基础自测
1．(2013·鞍山)要使式子 2－x有意义，则 x 的取值
范围是
(D )
A．x＞0
B．x≥－2
首
C．x≥2
D．x≤2
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解析 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
二次根式及其运算
次，又把积(商)再化简一次较为简单．
2.混合运算时，要根据实际情况，灵活确定运算顺序，可适当 改变运算的顺序，使运算简便．
失误与防范 1.求 a2时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式 a2＝ |a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类 讨论． 2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力求 把根号去掉．在求算术平方根时，要先用含绝对值的式子表 示含字母的式子，保证求原式的算术平方根有意义，然后再 根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号．
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
探究提高
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可. 2.注意到(x－ 1 )2＝(x＋ 1 )2－4，可得(x－ 1 )2＝5， x x x 1 x－ ＝± 5 . x
3．一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求思路
和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过 程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分，
都必须认真对待．
A．－2－ 3 C．－2＋ 3
B．－1－ 3 D．1＋ 3
解析：∵A、B两点表示的数分别是－1和 3 ， ∴OA＝|－1|＝1，OB＝| 3 |＝ 3 ，AB＝1＋ 3 ＝AC， ∴OC＝AC＋OA＝(1＋ 3 )＋1＝2＋ 3 . ∴点C所表示的数为－(2＋ 3 )＝－2－ 3 ，选A.
题型三 二次根式混合运算
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a · b(a≥0，b≥0)，
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
11.5《二次根式及其性质》教案
《二次根式及其性质》教案教学目的1、了解二次根式的概念；2、了解二次根式的基本性质；3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.4、理解二次根式的性质：(1)a(a≥0)是非负数；(2)(a)2=a(a≥0)；(3)2a=a(a≥0)5、会运用其进行相关计算.教学重点二次根式的概念和基本性质，会运用a(a≥0)是非负数、(a)2=a(a≥0)、2a=a (a≥0)进行相关运算.教学难点二次根式的基本性质的灵活运用，理解a(a≥0)是非负数、(a)2=a(a≥0)、2a =a(a≥0).教学过程一、合作学习，引出课题1、二次根式：(1)定义：a≥0)”称为二次根号．2、例题演示：例1、实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？（1）32-.2+x；（2）x4二、探究学习思考：1.3.a≥0)的意义是什么？2等于什么？由以上探究得：a≥0)表示非负数a a.这样我们得到了二次根式的一个基本性质，即(a)2=a(a≥0)用语言表述为：非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数.2.例题演示例2、计算：（1）()235；（2）()222ba+.3.探索交流交流：1.2a的意义是什么？字母a可以取怎样的数？2.2a一定等于a吗？为什么?=2，…，所以，一般地，当a≥0时，有2a=a；=2=5，…，所以，一般地，当a＜0时，2a=-a综上所述，有 (≥）- (＜）a aa a⎧⎨⎩探索：回顾实数绝对值的意义，用一个式子概括2a的化简结果．二次根式的一个重要性质：a用语言表述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．4.例题讲解例3、计算：（1）291）.（-；（2）221）（+x；（3）23π）（-；（4））,（02522≥≥badba；（5））＜（525102xxx+-.三、课后小结1.你知道什么叫二次根式吗？2.二次根式有哪些最基本的性质？。
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2
5
3
答：
， 2
， 5
都是一个正数的算术 3 表示. a 表示
平方根， 平方根，它们可以用符号 问：
应满足什么条件？ a 中的 a 应满足什么条件？
答： a≥0 一、二次根式的定义 一般地， 一般地，式子 叫做二次根式. a （ a≥0 ）叫做二次根式
随堂练习一 1、下列各式中，哪些是二次根式？哪些不 、下列各式中，哪些是二次根式？ 是二次根式？ 是二次根式？ （1） 1 ( ） 2 是 ) （2） ）
− 0.7 ( 不是
)
)
（3） x 2 + 4 x + 4 y 2 ( ） （4） ）
是
3−π
( 不是 )
2、实数x在什么范围内取值时，下列各 、实数 在什么范围内取值时 在什么范围内取值时， 式表示二次根式？ 式表示二次根式？
(1) 2 x + 3
( 2) 2 − 4 x
3 解：由2x+3≥0得 x ≥ − 得 2 3 时， 所以， 所以，当 x ≥ − 2 x + 3 表示 2
二、二次根式的性质 1、 、 2、 、 （ ）是一个非负数， a a≥0）是一个非负数，即 ≥0 a
( a)
2
= a(a ≥ 0)
用语言表述为： 用语言表述为： 非负数的算术平方根的平方， 非负数的算术平方根的平方，等于这个 非负数。 非负数。
随堂练习二 1、计算： 、计算： （1） 0.7 ）
想一想 用带根号的式子填空： 用带根号的式子填空： 1、面积为2的正方形的边长为 、面积为 的正方形的边长为 的正方形的边长为__________ 面积为5的正方形的边长为 面积为 的正方形的边长为___________ 的正方形的边长为 2、要修建一个面积为9.42m2 的圆型喷水池， 、要修建一个面积为 的圆型喷水池， 它的半径为_________m(л取3.14) 取 它的半径为 问： 有什么共同点？ ， 2 ， 5 3 有什么共同点？ 它们可以用一个什么符号表示？ 它们可以用一个什么符号表示？
二次根式. 二次根式 独立完成第（ ） 独立完成第（2） 小题
议一议 1、 、
a
（a≥0） 是怎样的数？ ） 是怎样的数？
2、根据算术平方根的意义填空: 、根据算术平方根的意义填空
( 4)
2
=______ 4
( 2)
( 0)
2
=______ 2
( 3)
2 2
3 =______
2
0 =______
a ( a) =______ （a≥0） ） 你能用语言描述上面这一性质吗？ 你能用语言描述上面这一性质吗？
小
1、二次根式的定义 、 一般地， 一般地，式子
结
叫做二次根式. a （ a≥0 ）叫做二次根式 ≥0 a
2、二次根式的性质 、 （1） ） （ ）是一个非负数， a a≥0）是一个非负数，即 2 （2） ( a) = a(a ≥ 0) ）
(
)
2
（2） 5 3 ）
2
2 5 （5） a 2 + b 2 ） （4） − ） 5
(
( )
2
（3） 7 10 ）
)
(
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
2、把下列个数写成一个数的平方的形式 、 7， 5x（x≥0）， （a≥0） ），2a（ ， （ ）， ） 3、把下列各式在实数范围内分解因式 、 （1）x2 - 6 ） （3）4x2 – 7 ） （2）a4 - 9 ） （4）a3 - 3a ）