讲义(1)平面直角坐标系知识点介绍

《平面直角坐标系》
1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

要求：画平面直角坐标系时，轴、y轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。

2．各个象限内点的特征:
第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0；
第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0；
第三象限：（－，－）点P（x，y），则x＜0，y＜0；
第四象限：（＋，－）点P（x，y），则x＞0，y＜0；
四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）
在x轴上：（x，0）点P（x，y），则y＝0；
在x轴的正半轴：（＋，0）点P（x，y），则x＞0，y＝0；
在x轴的负半轴：（－，0）点P（x，y），则x＜0，y＝0；
在y轴上：（0，y）点P（x，y），则x＝0；
在y轴的正半轴：（0，＋）点P（x，y），则x＝0，y＞0；
在y 轴的负半轴：（0，－）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＜0；
坐标原点：（0，0）点P （x ， y ），则x ＝0，y ＝0；
例1：已知点)5,114(2-+-n m m M ，则点M 在平面直角坐标系中的什么位置？
3. 点到坐标轴的距离：
点P （x ，y ）到x 轴的距离为|y|，
到y 轴的距离为|x|。

到坐标原点的距离为 22y x +（由勾股定理可得）
例2：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.
例3：已知：)54,21(-+a a A ，且点A 到两坐标轴的距离相等，求A 点坐标．
4．中点与两点间的距离：
已知点A ),(11y x ，B ),(22y x
两点AB 距离为：AB ＝221221)()(y y x x -+-
中点P 的坐标为：)2
,2(2121y y x x ++ 例4：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.
例题5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），
A （0，6），
B （4，6），
C （4，4），
D （6，4），
E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且
将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ________
5．点的对称：
点P(m ，n)，关于x 轴的对称点坐标是(m ，－n)，
关于y 轴的对称点坐标是(－m ，n)
关于原点的对称点坐标是(－m ，－n)
例题6：点A （－1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于原点的对称点
的坐标是 。

点A 关于x 轴对称的点的坐标为
例7：在平面直角坐标系中，已知：)2,1(A ，)4,4(B ,在x 轴上确定点C ，使得
BC AC +最小．
6．平行线：
平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(n p
平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(p m
例8：已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为多少？
7．象限角的平分线：
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：),(m m P
点P(a ，b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b ， a)
第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作：),(m m P -
点P(a ，b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(－b ，－a)
例9：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示出
点P 的位置.
x
y
O
例10：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系
中表示出点P 的位置.
x
y
O
例11：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标满足|1|-=x y ，在平面直角坐
标系中表示出点P 的位置.
x
y
O
8．点的平移：
在平面直角坐标系中，将点（x ，y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x ＋a ，y ）； 将点（x ，y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x －a ，y ）；
将点（x ，y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；
将点（x ，y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

平移口诀：“左＋右－、上＋下－”
例题12：将点P （－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，y ），则x y ＝___________
练习试题
1. 下列各点中，在第二象限的点是【 】
A. （2，3）
B. （2，－ 3）
C. （－2，－3）
D. （－2，3）
2. 将点A （－4，2）向上平移3个单位长度得到的点B 的坐标是【 】
A. （－1，2）
B. （－1，5）
C. （－4，－1）
D. （－4，5）
3. 如果点M （a －1，a+1）在x 轴上，则a 的值为【 】
A. a ＝1
B. a ＝－1
C. a>0
D. a 的值不能确定
4. 点P 的横坐标是－3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是【 】
A. （5，－3）或（－5，－3）
B. （－3，5）或（－3，－5）
C. （－3，5）
D. （－3，－5）
5. 若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在【 】
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6. 已知正方形ABCD 的三个顶点坐标为A （2，1），B （5，1），D(2，4)，现将该正方形向
下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标
为【 】
A. （5，4）
B. （5，1）
C. （1，1）
D. （－1，－1）
7. 点M （a ，a －1）不可能在【 】
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
8. 到x 轴的距离等于2的点组成的图形是【 】
A. 过点（0，2）且与x 轴平行的直线
B. 过点（2，0）且与y 轴平行的直线
C. 过点（0，－2且与x 轴平行的直线
D. 分别过（0，2）和（0，－2）且与x 轴平行的两条直线
二. 填空题
9. 直线a 平行于x 轴，且过点（－2，3）和（5，y ），则y ＝
10. 若点M （a －2，2a+3）是x 轴上的点，则a 的值是
11. 已知点P 的坐标（2－a ，3a+6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是
12. 已知点Q （－8，6），它到x 轴的距离是 ，它到y 轴的距离是
13. 若P （x ，y ）是第四象限内的点，且2,3x y ==，则点P 的坐标是
14. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(11)
，，点B 的坐标为(111)，，点C 到直线AB 的距离为4，且ABC △是直角三角形，则满足条件的点C 有 个．
15. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如
（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第
100个点的坐标为 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点
A ，
B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点
C ，
D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形 D
C 3-1B A
O x
y
(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ∆＝ABDC S 四边形，
若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由． D
C 3-1B A
O x
y
(3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①DCP BOP CPO ∠+∠∠的值不变，②DCP CPO BOP
∠+∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
P
D
C
B A
O x y。