可线性化的回归分析
1.2可线性化的回归分析学案备注【学习目标】
1.能直观的判断两个变量是否满足线性相关
2.用非线性的函数关系来描述不好用线性关系刻画的两个
变量之间的关系
【重点、难点】用非线性的函数关系来描述不好用线性关系
刻画的两个变量之间的关系
【自主学习】
1.若两个变量不呈现线性关系，不能直接利用线性回归方程
建立两个变量的相关关系，那我们应如何建立两个变量的
关系？例如bx
y=怎么化成线性相关问题解决？（阅读教
ae
材第9页到13页）
2. 在具体问题中，我们首先应该作出原始数据)
x
,
(y 的，从中看出数据的大致规律，再
根据这个规律选择适当的函数进行拟合。
3. 对于非线性回归模型一般可转化为模
型从而得到相应的回归方程。
4.几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型
（1）幂函数曲线x
ab
y=，作变换____________,得线性函数__________________
（2）指数曲线bx
ae
y=，作变换______________,得线性函数_______________
（3）倒指数曲线x b ae y =，作变换______________得线性函数
________________
（4）对数曲线x b a y ln +=，作变换_______________得线性函数_____________
【例题分析】
例1.（1）有5组（x,y ）数据(1,3),(2,4),(4,5),(3,10),(10,12)，去掉一组______数据后，剩下的四组数据的线性相关系数最大。
（2）已知幂函数曲线b ax y =做线性变换后得到的回归方程为v u 4.02+=，则a=_______,b=__________
例2.为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数 x /天 1 2 3 4 5
繁殖个数y /个 6 12 25 49 95
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求
非线性回归方程为0.69 1.112?y
=e x +.）
小结：利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.
其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.
可线性化的回归分析
1.2可线性化的回归分析学案备注【学习目标】 1.能直观的判断两个变量是否满足线性相关 2.用非线性的函数关系来描述不好用线性关系刻画的两个 变量之间的关系 【重点、难点】用非线性的函数关系来描述不好用线性关系 刻画的两个变量之间的关系 【自主学习】 1.若两个变量不呈现线性关系，不能直接利用线性回归方程 建立两个变量的相关关系，那我们应如何建立两个变量的 关系？例如bx y=怎么化成线性相关问题解决？（阅读教 ae 材第9页到13页） 2. 在具体问题中，我们首先应该作出原始数据) x , (y 的，从中看出数据的大致规律，再 根据这个规律选择适当的函数进行拟合。 3. 对于非线性回归模型一般可转化为模 型从而得到相应的回归方程。 4.几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型 （1）幂函数曲线x ab y=，作变换____________,得线性函数__________________ （2）指数曲线bx ae y=，作变换______________,得线性函数_______________
（3）倒指数曲线x b ae y =，作变换______________得线性函数 ________________ （4）对数曲线x b a y ln +=，作变换_______________得线性函数_____________ 【例题分析】 例1.（1）有5组（x,y ）数据(1,3),(2,4),(4,5),(3,10),(10,12)，去掉一组______数据后，剩下的四组数据的线性相关系数最大。 （2）已知幂函数曲线b ax y =做线性变换后得到的回归方程为v u 4.02+=，则a=_______,b=__________ 例2.为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数 x /天 1 2 3 4 5 繁殖个数y /个 6 12 25 49 95 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求 非线性回归方程为0.69 1.112?y =e x +.） 小结：利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.
一元线性回归模型的置信区间与预测
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测 多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。 一、参数估计量的置信区间 在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^ β是随机变量 i y 的函数，即：i i y k ∑=1 ?β，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次 的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。 即回答1β以何种置信水平位于() a a +-1 1?,?ββ之中，以及如何求得a 。 在变量的显著性检验中已经知道 ) 1(~^ ^ ---= k n t s t i i i βββ (2.5.1) 这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值2 αt ，那么t 值处在()2,ααt t -的概率是α-1。表示为 α αα-=<<-1)(2 2 t t t P 即
α ββαβα-=<-< -1)(2 ^ 2 ^ t s t P i i i α ββββαβα-=?+<
2018年陕西省高三数学第1章《统计案例》导学案：1.1.3可线性化的回归分析习题
1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用; 2. 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 3. 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 一、基础过关 3．对于指数曲线y＝a e bx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为() A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx 4．下列说法错误的是() A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系 B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法 C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系 D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决 5．每一吨铸铁成本y c(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y c＝56＋8x，下列说法正确的是() A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 B．废品率每增加1%，成本每吨增加8% C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元
二、能力提升 7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2, 3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70. 下列哪个方程可以较恰当的拟合() A．y＝0.771 1x＋26.528 B．y＝36.958ln x－74.604 C．y＝1.177 8x1.014 5 D．y＝20.924e0.019 3x 8．已知x，y之间的一组数据如下表： 则y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必过点________． 9．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________． 10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表： 如何建立y与x 11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示： 求y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)
线性回归方程分析讲课教案
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y － )， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C 3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个 样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 ( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x －，y －) 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D 4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4 5 ＝0.5， 可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^ ＝ 0.47，故回归直线方程为y ^ ＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.53 5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与
多元线性回归分析预测法
多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释
因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得
第三章1.3可线性化的回归分析
1.3 可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程 曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数
y＝ax b c＝ln a v＝ln x u＝ln y u＝c＋bv y＝a e bx c＝ln a u＝ln y u＝c＋bx y＝a e b x c＝ln a v＝ 1 x u＝ln y u＝c＋bv y＝a＋b ln x v＝ln x u＝y u＝a＋bv 要点一线性回归分析 例1 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元)423 5 销售额y(万元)49263954 (1)由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝9.4，求线性回归方程y＝a＋bx； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解(1)x－＝ 4＋2＋3＋5 4 ＝3.5，y－＝ 49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a＝y－－b x－＝42－9.4×3.5＝9.1
多元线性回归分析预测法
多元线性回归分析预测法 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） 目录 [隐藏] ? 1 多元线性回归分析预测法概述 ? 2 多元线性回归的计算模型[1] ? 3 多元线性回归模型的检验[1] ? 4 多元线性回归分析预测法案例分析 o 4.1 案例一:公路客货运输量多元线性回归预测方法探讨[2] ? 5 相关条目 ? 6 参考文献 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：
其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加 一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得 即
线性回归方程高考题讲解
线性回归方程高考题讲解
线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：）
2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 ∑ (2) 估计使用10年时,维修费用是多少.
3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； （3）试预测加工10个零件需要多少时间？ （注：
4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图： (2)求回归直线方程；
第三节：多元线性相关与回归分析
第三节 多元线性相关与回归分析 一、标准的多元线性回归模型 上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。 研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。 多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下： t kt k t t u X X Y ++?++=βββ221 (7.51) 上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。 假设已给出了ｎ个观测值，同时1?β，2?β…，k β?为总体回归系数的估计，则多元线性回 归模型的样本回归函数如下： t kt k t t e X X Y ++?++=βββ???221 (7.52) (t ＝1,2,…,n) 式中，e t 是Y t 与其估计t Y ?之间的离差，即残差。与一元线性回归分析相类似，为了进 行多元线性回归分析也需要提出一些必要的假定。多元线性回归分析的标准假定除了包括上一节中已经提出的关于随机误差项的假定外，还要追加一条假定。这就是回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系，同时样本容量必须大于所要估计的回归系数的个数即n ＞k 。我们称这条假定为标准假定６。 二、多元线性回归模型的估计 （一）回归系数的估计 多元线性回归模型中回归系数的估计同样采用最小二乘法。设 ∑-=∑=22)?(t t t Y Y e Q 2221)???(kt k t t X X Y βββ-?--∑= (7.53) 根据微积分中求极小值的原理，可知残差平方和Ｑ存在极小值，欲使Ｑ达到最小，Ｑ对1?β、2?β…，k β?的偏导数必须等于零。将Ｑ对1?β、2?β…，k β?求偏导数，并令其等于零，加以整理后可得到以下ｋ个方程式： ∑=∑+?+∑+t kt k t Y X X n βββ???221
(新)高中数学第三章统计案例1_3可线性化的回归分析知识导航北师大版选修2-3
1.3可线性化的回归分析 自主整理 1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的________________,从_____________中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的参数进行拟合. 2.对于非线性回归模型一般可转化为_________________，从而得到相应的回归方程. 高手笔记 1.幂函数曲线y=ax b .作变换μ=lny,v=lnx c=lna，得线性函数μ=c+bv. 2.指数曲线y=ae bx .作变换μ=lny,c=lna,得线性函数μ=c+bx. 3.倒指数曲线y=ae bx .作变换μ=lny,c=lna,v= x 1 ，得线性函数μ=c+bv. 4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx ，得线性函数y=a+bv. 名师解惑 如何根据原始数据求拟合函数? 剖析：（1）可先由原始数据作散点图. （2）对于一些函数模型的图形要熟悉. 如:①幂函数y=ax b 型的图象为: ②指数曲线y=ae bx (3)倒指数曲线y=ae bx (4)对数曲线y=a+blnx （3）由散点图找出拟合函数的类型. （4）将非线性函数转化为线性函数.
（5）求出回归方程. 讲练互动 【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y 与月份x 之间满足函数关系模型为y=ae bx ，确定这个函数解析式. 分析：函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出. 解：设μ=lny，c=lna ，则μ=c+bx. ∑=6 1 i xi =21，∑=6 1 i i μ =25.359 5， ∑=6 1 i xi 2 =91，∑=6 1 i i μ 2 =107.334， ∑=6 1 i i i x μ =90.341 3，x =3.5， μ=4.226 58， b= 2 2 6 1 26 1 1 5 .369122658.45.363413.9066?-??-= --∑∑==i i i i x x x x μ μ =558412 .1=0.09, c=μ-b x =4.226 58-0.09×3.5=3.911 58， ∴μ=3.911 58+0.09x. ∴y=e 3.911 58·e 0.09x . 绿色通道:基础模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程.. 变式训练 1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3 万件、1.37万件， 为了估测以后每个月的产量，可用函数y=ae bx 来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，求模拟函数. ∑=4 1i i x =10， ∑=4 1 i i μ =0.759 5， ∑=4 1 i i x 2 =30， ∑=4 1 i i μ 2 =0.201 2， ∑=4 1 i i x μi =2.411，x =2.5，μ=0.189 9，
第十一章线性相关分析报告与线性回归分析报告
第十一章线性相关分析与线性回归分析 11.1 两个变量之间的线性相关分析 相关分析是在分析两个变量之间关系的密切程度时常用的统计分析方法。最简单的相关分析是线性相关分析，即两个变量之间是一种直线相关的关系。相关分析的方法有很多，根据变量的测量层次不同，可以选择不同的相关分析方法。总的来说，变量之间的线性相关关系分为三种。一是正相关，即两个变量的变化方向一致。二是负相关，即两个变量的变化方向相反。三是无相关，即两个变量的变化趋势没有明显的依存关系。两个变量之间的相关程度一般用相关系数r 来表示。r 的取值范围是：-1≤r≤1。∣r∣越接近1，说明两个变量之间的相关性越强。∣r∣越接近0，说明两个变量之间的相关性越弱。相关分析可以通过下述过程来实现： 11.1.1 两个变量之间的线性相关分析过程 1．打开双变量相关分析对话框 执行下述操作： Analyze→Correlate(相关)→Bivariate（双变量）打开双变量相关分析对话框，如图11-1 所示。 图11-1 双变量相关分析对话框 2．选择进行相关分析的变量 从左侧的源变量窗口中选择两个要进行相关分析的变量进入Variable 窗口。 3．选择相关系数。 Correlation Coefficient 是相关系数的选项栏。栏中提供了三个相关系数的选项：（1）Pearson:皮尔逊相关，即积差相关系数。适用于两个变量都为定距以上变量，且两个
变量都服从正态分布的情况。这是系统默认的选项。 （2）Kendall：肯德尔相关系数。它表示的是等级相关，适用于两个变量都为定序变量的情况。 （3）Spearman:斯皮尔曼等级相关。它表示的也是等级相关，也适用于两个变量都为定序变量的情况。 4．确定显著性检验的类型。 Test of Significance 是显著性检验类型的选项栏，栏中包括两个选项： （1）Two-tailed:双尾检验。这是系统默认的选项。 （2）One-tailed:单尾检验。 5．确定是否输出相关系数的显著性水平 Flag significant Correlations:是标出相关系数的显著性选项。如果选中此项，系统在输出结果时，在相关系数的右上方使用“*”表示显著性水平为0.05；用“**”表示显著性水平为0.01。 6. 选择输出的统计量 单击Options 打开对话框，如图11-2 所示。 图11-2 相关分析选项对话框 （1）Statistics 是输出统计量的选项栏。 1）Means and standard deviations 是均值与标准差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出均值与标准差。 2）Cross- product deviations and covariances 是叉积离差与协方差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出每个变量的离差平方和与两个变量的协方差。 上述两项选择只有在主对话框中选择了Pearson:皮尔逊相关后，计算结果才有价值。 （2）缺失值的处理办法 Missing Valuess 是处理缺失值的选项栏。 1）Exclude cases pairwise 是成对剔除参与相关系数计算的两个变量中有缺失值的个案。2）Exclude cases listwise 是剔除带有缺失值的所有个案。 上述选项做完以后，单击Continue 按钮，返回双变量相关分析对话框。 8．单击OK 按钮，提交运行。系统在输出文件窗口中输出相关分析的结果。 11.1.2 两个变量之间的线性相关分析实例分析
多元线性相关与回归分析
多元线性相关与回归分析 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
第三节 多元线性相关与回归分析 一、标准的多元线性回归模型 上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。 研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。 多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下： t kt k t t u X X Y ++?++=βββ221 上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。 假设已给出了ｎ个观测值，同时1?β，2?β…，k β?为总体回归系数的估计，则多元线性回归模型的样本回归函数如下： t kt k t t e X X Y ++?++=βββ???221 (t ＝1,2,…,n) 式中，e t 是Y t 与其估计t Y ?之间的离差，即残差。与一元线性回归分析相类似，为了进行多元线性回归分析也需要提出一些必要的假定。多元线性回归分析的标准假定除了包括上一节中已经提出的关于随机误差项的假定外，还要追加一条假定。这就是回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系，同时样本容量必须大于所要估计的回归系数的个数即n ＞k 。我们称这条假定为标准假定６。 二、多元线性回归模型的估计 （一）回归系数的估计 多元线性回归模型中回归系数的估计同样采用最小二乘法。设 ∑-=∑=2 2)?(t t t Y Y e Q 2221)???(kt k t t X X Y βββ-?--∑=
线性回归方程
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
＝x －1 ＝x ＋1 ＝88＋1 2 x ＝176 解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋178 5＝176， y － ＝ 175＋175＋176＋177＋177 5 ＝176， 又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y － )， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C 3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的 n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 ( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x －，y － ) 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D 4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y － ＝错误!＝，
线性回归和灰色预测模型案例
预测未来2015年到2020年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰 色系统?作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统?区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理 建模原理 给定观测数据列 X (O) = {工⑼⑴卫⑼(2)UM)(N)} 其中是$ U 常数，a 称为发展灰数,IJ 称为内生 控制灰数，是对系统的常定输入?此方程满足初始 条件 (7.3)1 当f =阳时工⑴=X a Xt C ) 的解为J C^(O= Z(Gw 十牛 对等间隔取样的离散值(注意到^ = I)则为 √I)(? + l) = [√1?l)-?* += (7.4) 灰色建模的途径是一次累加序列tλ2)通过最小二乘法来 估计常薮口与乩 模型的求解 ■经一次累加得 K ⑴二{兀⑴(1),兀⑴(2),…,*D(N)} (7.2) 设满足一阶常微分方程 ￠7.3) dx ⑴ dt + ax (L)= 14
原始序列为： X(O)=(X(O)(1),…X(O)(6)) =(7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909) 构造累加生成序列 X(I) =(X(I)(1),… X(I)(6)) =(7691,18614,27943,37869,48018, 59085,71580,84567,98469,114250,131159) 归纳上面的式子可写为 X a X D = {f X⑼(j) Ii=I B2-,N} >■1 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成 对X(I)作紧邻均值生成 1 Z(I)(k)=丄(Z(I)(k) Z(I)(k - 1)) 2 k = 2,.… MATLAB代码如下： X=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; Z(I)=X(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format Iong g Z Z = Colu mns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5
第三章 1.3可线性化的回归分析
1.3可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程
要点一 线性回归分析 例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： (1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝9.4，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y － ＝49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a ＝y － －b x － ＝42－9.4×3.5＝9.1 ∴回归直线方程为y ＝9.1＋9.4x . (2)当x ＝4时，y ＝9.1＋9.4×4＝46.7， 故广告费用为6万元时销售额为46.7万元． 跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据： (1)对变量x ，y 进行相关性检验； (2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．
回归分析与相关分析联系区别
回归分析与相关分析联系、区别 简单线性回归分析是对两个具有线性关系的变量，研究其相关性，配合线性回归方程，并根据自变量的变动来推算和预测因变量平均发展趋势的方法。 回归分析（Regression analysis）通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。 主要内容和步骤：首先依据经济学理论并且通过对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量，一般情况下，自变量表示原因，因变量表示结果；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；接着要估计模型的参数，得出样本回归方程；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验，计量经济学检验、预测检验；当所有检验通过后，就可以应用回归模型了。 回归的种类 回归按照自变量的个数划分为一元回归和多元回归。只有一个自变量的回归叫一元回归，有两个或两个以上自变量的回归叫多元回归。 按照回归曲线的形态划分，有线性（直线）回归和非线性（曲线）回归。 相关分析与回归分析的关系 （一）相关分析与回归分析的联系 相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度。只有当变量之间存在高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。如果在没有对变量之间是否相关以及相关方向和程度做出正确判断之前，就进行回归分析，很容易造成“虚假回归”。与此同时，相关分析只研究变量之间相关的方向和程度，不能推断变量之间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况，因此，在具体应用过程中，只有把相关分析和回归分析结合起来，才能达到研究和分析的目的。 （二）相关分析与回归分析的区别 1．相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的划分问题，变量之间的关系是对等的；而在回归分析中，则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的，对变量进行自变量和因变量的划分。因此，在回归分析中，变量之间的关系是不对等的。 2．在相关分析中所有的变量都必须是随机变量；而在回归分析中，自变量是确定的，因变量才是随机的，即将自变量的给定值代入回归方程后，所得到的因变量的估计值不是唯一确定的，而会表现出一定的随机波动性。 3．相关分析主要是通过一个指标即相关系数来反映变量之间相关程度的大小，由于变量之间是对等的，因此相关系数是唯一确定的。而在回归分析中，对于互为因果的两个变量(如人的身高与体重，商品的价格与需求量)，则有可能存在多个回归方程。 需要指出的是，变量之间是否存在“真实相关”，是由变量之间的内在联系所决定的。相关分析和回归分析只是定量分析的手段，通过相关分析和回归分析，虽然可以从数量上反映变量之间的联系形式及其密切程度，但是无法准确判断变量之间内在联系的存在与否，也无法判断变量之间的因果关系。因此，在具体应用过程中，一定要注意把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上展开定量分析。
一元线性回归分析预测法与多元回归分析报告
第一节 一元线性回归分析预测法 一、 概念（思路） 根据预测变量（因变量）Y 和影响因素（自变量）X 的历史统计数 据，建立一元线性回归方程x b a y ???+=，然后代入X 的预测值， 求出Y 的预测值的方法。 基本公式：y=a+bx 其中：a 、b 为回归系数，是未知参数。 基本思路： 1、 利用X ，Y 的历史统计数据，求出合理的回归系数：a 、b ， 确定出回归方程 2、 根据预计的自变量x 的取值，求出因变量y 的预测值。 二、 一元线性回归方程的建立 1、 使用散点图定性判断变量间是否存在线性关系 例：某地区民航运输总周转量和该地区社会总产值由密切相关关系。
2、使用最小二乘法确定回归系数 使实际值与理论值误差平方和最小的参数取值。 对应于自变量x i，预测值（理论值）为b+m*x i，实际值y i， min∑(y i-b-mx i)2，求a、b的值。 使用微积分中求极值的方法，得：
由下列方程代表的直线的最小二乘拟合直线的参数公式： 其中 m 代表斜率 ，b 代表截距。 一元线性回归.xls 三、 回归方程的显著性检验 判断X 、Y 之间是否确有线性关系，判定回归方程是否有意义。 有两类检验方法：相关系数检验法和方差分析法 x m y b x x n y x y x n m b mx y i i i i i i ??) (?2 2 -=--=+=∑∑∑∑∑
1、 相关系数检验法 构造统计量r ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑--?-= ?=-?---=] )(][)([) ()())((22222 2 i i i i i i i i yy xx xy i i i i y y n x x n y x y x n s s S y y x x y y x x r 相关系数的取值围为：[-1，1]，|r|的大小反映了两个变量间线性关系的密切程度，利用它可以判断两个变量间的关系是否可以用直线方程表示。