北京理工大学849量子力学历年考研真题
量子力学考研核心题库
量子力学考研核心题库量子力学是现代物理学的重要分支，也是考研物理专业中一道必备的学科。
准备考研的同学们需要掌握一些重要的概念和关键知识点，以便能够应对考试中的各种题型。
本文将介绍一些量子力学考研核心题库，以帮助考生们更好地备考。
1.基本概念及数学工具在学习量子力学之前，我们需要先了解一些基本概念和数学工具。
这些内容通常是考研中的必考题，也是理解量子力学的基础。
以下是一些典型的考题：（1）请解释波函数及其物理意义。
（2）简述厄米特算符的定义及性质。
（3）什么是正交归一性？为什么正交归一性在量子力学中非常重要？（4）请说明平面波和定态波函数的关系，并给出它们的数学表达式。
2.薛定谔方程与定态解薛定谔方程是量子力学的核心方程，它描述了微观粒子的运动规律。
掌握薛定谔方程及其解的求解方法是考研的重点。
以下是一些相关考题：（1）请推导一维自由粒子的薛定谔方程，并给出其定态解的一般形式。
（2）对于势能箱问题，请推导其薛定谔方程并解得能量本征值和对应的波函数。
（3）简述简谐振子的薛定谔方程，并给出能量本征值和波函数的解析表达式。
（4）请解释速度和动量算符的定义，并计算粒子在势阱中的动量期望值。
3.角动量与自旋角动量是量子力学的另一个重要概念，涉及到电子的轨道运动和自旋性质。
理解角动量及其算符是考研中的重点。
以下是一些相关考题：（1）请推导角动量算符的对易关系及其性质。
（2）简述电子轨道角动量和自旋角动量的定义，并计算在z方向上的期望值。
（3）对于一个总角动量为l的体系，请推导其角动量算符的升降算符表达式，并给出升降算符作用在角动量本征态上的结果。
4.近似方法与应用在实际问题中，精确解往往很难获得，因此我们需要使用近似方法来解决一些复杂的量子力学问题。
以下是一些相关考题：（1）简述微扰理论的基本思想，并给出弱微扰和强微扰的定义。
（2）请推导一维势阱中微扰项对波函数的修正，并计算一阶微扰能级修正。
（3）请解释变分原理的基本思想，并使用变分法求解氢原子的基态能量。
中科院考研量子力学真题
中科院考研量子力学真题量子力学是现代物理学的重要分支，掌握其基本原理和应用是物理学研究的基础。
为了更好地理解和掌握量子力学的知识，我将对中科院考研量子力学真题进行分析和解答。
一、选择题1. 在电子在角动量z分量上的本征值问题中，其量子数m取值范围是：A. m = 0B. m = -1, 0, 1C. m = -1/2, 0, 1/2D. m = -l, -l+1, ..., l-1, l解析：根据角动量量子数的定义，对于给定的角量子数l，m的取值范围是从-l到l的整数。
因此，选项D是正确答案。
2. 下列哪个量不是量子力学的基本物理量？A. 动量B. 势能C. 能量D. 时间解析：量子力学的基本物理量包括动量、位置、角动量、能量和时间。
在这些选项中，只有时间是与经典物理学中的概念相对应的。
因此，选项D是正确答案。
二、填空题1. 一束光照射到金属表面上，当光的频率大于(小于)某个临界频率时，光电效应才会发生。
解析：根据光电效应的规律，只有光的频率大于某个临界频率时，光电子才能从金属表面被释放出来。
因此，答案中应填写“大于”。
2. 根据ABC关系，一个粒子以速度v飞过Y轴上的电磁场，其在Z轴上的磁感应强度为B，则在X轴上的电场强度为E = (v/c)B。
解析：根据ABC关系，当一个粒子以速度v通过电磁场时，其在垂直于速度方向的电场强度为E = (v/c)B。
因此，答案为E = (v/c)B。
三、简答题1. 请简述光电效应的基本原理。
解析：光电效应是指当光照射到金属表面时，如果光的频率大于某个临界频率，光的能量将被金属表面的电子吸收，电子从原子中解离出来形成自由电子。
其基本原理包括两个方面：首先，光的能量以量子的形式存在，被吸收的电子获得能量的大小与光的频率有关，而与光的强度无关；其次，金属中的电子形成了带电粒子，受到光电场的作用，从而在电场中运动。
2. 什么是波粒二象性？请举一例进行说明。
解析：波粒二象性是指微观粒子既表现出波动性，又表现出粒子性的性质。
汇总高校量子力学考研试题
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
北京理工大学05年研究生入学考试量子力学试题及答案(4)
3. a = b时，写出第一激发态波函数，并求系统处于第一激 发态的量子涨落 ∆x。 2 nxπx nyπy a = b时 ψn (x, y) = sin sin
a a a
设沿x方向处于第一激发态，沿y方向处于基态， 2 2πx πy ψ1 (x, y) = sin sin a a a a a a a 4 2πx πy 1 4πx 2 2 )dx = x = 2 ∫ xsin dx∫sin dy = ∫ x(1− cos
久期方程 得到
cosθ − λ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ − cosθ − λ
=0
λ = ±1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
2
同理
sin 2 θ W(σn = −1) = 2(1+ cosθ)
3.在 σz 本征值为-1的态下，计算 σn 的平均值
σn = −1σn −1
cosθ sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ0 = (0 1) 1 − cosθ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
λ = +1
λ = +1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
1 1− cosθ ψ+1 = a sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ
量子力学考研2021配套考研真题集
量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。
[复旦大学2004研]【解题思路】①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关；②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理；③轨道角动量力学量的本征方程。
【解析】（1）对于中心力场，由维里定理可得因为所以（2）令所以因此所以【知识储备】①氢原子本征方程本征能量为其中本征波函数为ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ）②维里定理如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ）角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为相应的本征方程分别为【拓展发散】假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。
7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。
已知开始时系统处于状态，A为常数。
（1）写出t时刻系统的波函数；（2）求出t时刻系统的平均能量。
[中国科学技术大学2012研] 【解题思路】根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。
【解析】（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为：其中，为转子的转动惯量。
从而定态薛定谔方程为：容易解得相应的能量本征值为：可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。
对于态，先归一化。
利用，可得，从而我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出：（2）t时刻系统的平均能量为：其中。
【知识储备】 ①薛定谔方程波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
物理学综合考研题目及答案
物理学综合考研题目及答案题目一：量子力学基础问题：1. 简述海森堡不确定性原理。
2. 解释波函数的统计解释。
3. 描述薛定谔方程的基本形式及其物理意义。
答案：1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，如果粒子的位置测量得越精确，其动量的不确定性就越大，反之亦然。
数学上，这可以表示为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中Δx 是位置的不确定性，Δp 是动量的不确定性，ħ是约化普朗克常数。
2. 波函数的统计解释是由马克斯·玻恩提出的，他认为波函数的绝对值平方给出了粒子在某位置被发现的概率密度。
这意味着波函数本身并不是一个物理实体，而是描述粒子状态的概率波。
3. 薛定谔方程是量子力学的基本方程，其形式为 iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中 i 是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ 是波函数，t 是时间，H 是哈密顿算符，代表系统的总能量。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。
题目二：经典力学与相对论问题：1. 描述牛顿第二定律及其适用范围。
2. 解释广义相对论中引力的本质。
3. 简述狭义相对论中时间膨胀的概念。
答案：1. 牛顿第二定律表述为 F = ma，即物体的加速度与作用在其上的净外力成正比，与物体的质量成反比。
这个定律适用于宏观尺度和低速运动，但在接近光速或强引力场的情况下，牛顿力学需要被相对论所修正。
2. 在广义相对论中，引力被解释为由物质和能量引起的时空弯曲。
物体在时空中沿着所谓的测地线自由落体运动，而这些测地线正是由物质和能量分布决定的。
3. 狭义相对论中的时间膨胀是指，相对于静止观察者，运动中的时钟会走得更慢。
这可以通过洛伦兹变换来描述，当物体以接近光速的速度运动时，其经历的时间相对于静止观察者会显著减慢。
题目三：热力学与统计物理问题：1. 描述热力学第一定律的物理意义。
2. 解释熵的概念及其在热力学第二定律中的作用。
3. 简述玻尔兹曼分布公式及其物理意义。
北京理工大学04年研究生入学考试量子力学试题及答案(3)
= σ x cos2 λ −σ x sin 2 λ − 2σ y cosλ sin λ
= σ x cos 2λ −σ y sin 2λ
12
四、（40分）设体系处于归一化波函数ψ = c1Y11 + c2Y20 ,求 、（40分 40 1. Lz 的可测值及相应的概率。 2. L2 的可测值及相应的概率。 3.计算 (∆Lz )2 4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。 5.在 ψ = Y11 态下，求 (∆Lx )2 的平均值。 解：1.
a a 2
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而 − a < x < a 势阱中粒子波函数
′ 将 ψ1(x) 按 ψn (x)展开， ψ1 (x) =
a 2 a
′ ψn (x) =
1 nπ sin (x + a) a 2a
∑c ψ′ (x)
n n n
a
2 2 πx π πx π ′ c1 = ∫ψ1 *ψ1dx = sin( + )sin( + )dx a −∫ 2a 2 a 2 −a a
2 z
(∆Lz ) = c1 (1− c1 )ℏ = c1 c2 ℏ2
2 2 2 2 2 2
4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。
ˆ = 1 (L + L ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 利用升降算符 L± = Lx ± iLy ，得 Lx + − 2
ˆ L± l, m = (l ∓ m)(l ± m+1)ℏ l, m±1
求基态能量一级修正。 5.当粒子处于基态时，设阱宽突然变为 2a，粒子波函数来 不及改变，求粒子仍处在基态的概率。
2
解： 1. 粒子能量本征值和本征函数为：
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。
[中国科学院2006研]【解题思路】利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。
【解析】根据不确定原理有即因为所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。
令由得出所以基态能量为【知识储备】若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。
对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。
若[F，G]≠0，则有不确定关系或经常使用的关系式21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。
[中国科学院2006研]【解题思路】理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。
【解析】根据含时薛定谔方程令带入可得即上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得和所以对于令所以因此当时，相对于一维自由平面波函数，使得波函数是自由平面波随时间做改变的形式。
【知识储备】 薛定谔方程：波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。
【拓展发散】当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。
22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且；（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。