高中数学直线与方程知识点总结
高中数学知识点总结 直线与方程
高中数学知识点总结直线与方程一、直线与方程
1．直线的倾斜角
3．直线方程的五种形式
111222
0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨
++=⎩的解． （1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；
（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合．
3．距离问题
特别提醒
解决对称问题要抓住以下两点：
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．三、圆的方程
1．圆的标准方程与一般方程
（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点．
圆与圆的位置关系的判断方法有两种.
（1）几何法：
由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中R r>）．
（2）代数法：
设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆22
2222:0C x y D x E y F ++++= ②，
联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
特别提醒
设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由①−②，得121212()()0D D x E E y F F -+-+-=③． 方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．。
高中数学直线方程知识点
高中数学直线方程知识点
高中数学直线与方程知识点总结
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝（y2-y1）/(x2-x1).
3．直线方程的五种形式
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)
(4)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)
2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，√3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为___________________．答案(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析如图
直线方程的综合应用
课时作业：。
直线与方程知识点及公式
直线与方程知识点及公式
一、直线知识点
1、定义
在平面直角坐标系中，两点间的连线称为直线（一般用符号l表示）。
2、直线的几何性质
（1）直线总是由两个点确定，可用两点式表示，如：l：(x1，y1)，(x2，y2)；
（2）直线总是由斜率和一个点确定，可用斜率-截距法表示，如：l: y = kx + b；
（3）直线总是由一条投影方程确定，可用平面投影法表示，如：
l:Ax+By+C=0；
（4）直线总是由一个点和法向量确定，可用向量方程表示，如：
l:(x-x0，y-y0)⊥(a，b)。
3、直线的运算
（1）两直线的交点：
若两条直线l1和l2的斜率不同，则这两条直线一定有交点（即使以
斜率-截距法表示的两条直线的斜率相同但截距不同，仍有交点），设其
交点为O，则有：
l1：y=k1x+b1；
l2：y=k2x+b2；
O(x0，y0)，则有：
x0=(b2-b1)/(k1-k2)，y0=k1x0+b1；
若两条直线l1和l2的斜率相同，则这两条直线要么重合，要么平行（即使以斜率-截距法表示的两条直线的截距相同但斜率不同，仍有平行），则没有交点；
（2）直线的平行和垂直
若两条直线的斜率分别为k1和k2，则：
两直线平行当且仅当k1=k2；。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线的表示1、比例表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线上任意的一点P(x,y)都满足比例关系：$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$2、斜截式：也叫斜率表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线可用如下斜率表达式：$$y-y_1=k(x-x_1)$$其中，k为斜率，可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$3、标准方程：直线可以用标准方程表达：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$A=y_2-y_1,B=x_1-x_2,C=x_2y_1-x_1y_2$$二、方程的表示1、一元一次方程：一元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+B=0$$其中，A、B为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=-\frac{B}{A}$$2、一元二次方程：一元二次方程可以按如下形式表示：$$Ax^2+Bx+C=0$$其中，A、B、C为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$3、二元一次方程：二元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C为常数，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$$$y=\frac{-A\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2B}$$4、同次及非同次线性方程组：。
(完整版)直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
高一数学必修：直线与方程(知识点)
α0°。
则直线的l 与x l 做直线的倾斜角。
当直线轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为倾斜角的取值2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。
4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即α的正切值叫做这条直线的斜率5.斜率：一条直线的倾斜角，我们用斜率表示直线的倾斜程度。
斜率常用表示，小写字母k注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。
的直线的斜率公式(,),(,)6.经过两点≠P x y P x y x x 11122212()为l 1与l 2l l 1k 1=k 2l 1和l 2注意：若直线可能重合时，我们得到⇔∥2或重合8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于1⊥2⇔12=--1，那么它们互相垂直，即l l k k 15二、直线的方程（个）-0==0,l l 与x l 的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0y -y 0=k (x -x 01.直线的点斜式方程（简称点斜式）：)【当直线，这是直线轴平行或重合，的方程就是y y y y 或0】注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。
0,y l x a l 与x 截距：我们把直线轴交点,0()的横坐标a 叫做直线在轴上的截距。
我们把直线与轴交点b () l 在y 的纵坐标b 叫做直线轴上的截距。
注意：截距不是距离，截距是数。
2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：=+y kx b 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。
注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。
一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的夹角α叫高一数学必修：直线与方程（知识点）②若P x y P x y ,,,111222()()中有=x x 12或=y y 12时，直线PP 12没有两点式方程。
高一数学重点知识点：直线与方程
高一数学重点知识点：直线与方程高中数学可以说是越来越复杂，上半年基础打好之后，下半学期的重点难点会接连而来，下面是高一数学重点知识点讲解，希望学生能以此找到更合适自己的学习方法。
一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)⑤一般式：(A，B不全为0)注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
(5)两直线平行与垂直当，时，;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
高考直线必考知识点
高考直线必考知识点高考是众多中国学生所迎接的重要考试，其中数学科目无疑是一项关键挑战。
为了帮助学生们更好地备考数学高考，本文将列举一些直线的必考知识点，供大家参考。
一、直线的方程1.一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0。
2.斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为y轴截距。
3.点斜式方程：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
4.两点式方程：(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两点。
二、直线的性质1.斜率：直线的斜率表示为k，并可用斜率公式计算：k = (y₂ -y₁)/(x₂ - x₁)。
2.平行和垂直关系：若两条直线的斜率相等，则它们平行；若两条直线的斜率乘积为-1，则它们垂直。
3.点与直线的位置关系：设直线方程为Ax + By + C = 0，对于点P(x₀, y₀)，代入方程可以判断点在直线上、直线上方或直线下方。
4.距离公式：点P(x₀, y₀)到直线Ax + By + C = 0的距离为d =|Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)。
三、直线的特殊情况1.过两点的直线方程：已知两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，可以使用两点式方程求得直线的方程。
2.过点且垂直于某条直线的直线方程：设直线L的斜率为k，直线L'垂直于L且过点P(x₀, y₀)，则直线L'的斜率为-1/k，应用点斜式可以求得直线方程。
通过对这些直线的必考知识点的梳理和理解，学生们可以更好地备考高考数学，提高解题的准确性和速度。
同时，对常见题型的训练也是非常重要的，例如求直线方程、判断两条直线的关系等等。
因此，建议学生们多进行真题的练习，加深对知识点的理解和应用能力。
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直线与方程1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k)(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(bb kx y +=3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
()()22122221PP x x y y =-+-3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 得 x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线与方程公式整理（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
（5）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （7）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y -+-（8）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA CBy Ax d +++=（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
例1、在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC 边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．解：(1)设点C的坐标为(x，y)，则有x＋52＝0，3＋y2＝0，∴x＝－5，y＝－3.即点C的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M(0，－52)，N(1,0)，∴直线MN的方程为x－y52＝1，即5x－2y－5＝0.例2、已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈[－33－1，3－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α的取值范围为[π6，23π]．例3、为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图所示)，另外，△AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：建立如图所示直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，于是，线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则：S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )，因为m30＋n20＝1，所以n ＝20(1－m30)，所以S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)， 于是，当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝51. 答：当草坪矩形的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大。