积分对称性定理
三重积分的定义及性质
0
f x, y, z f x, y, z
Байду номын сангаас
2
1
f
x,
y, z dv
f x, y, z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
4、设积分区域 关于原点对称，则
f x, y, z dv
0
1、设积分区域 关于 xoy 坐标面对称，则
f x, y, z dv
0
2
1
f
x,
y, z dv
f x, y,z f x, y, z f x, y,z f x, y, z
1 为 的对称部分中的一部分.
2、设积分区域 关于 yoz 坐标面对称，则
n
并作和： f i ,i , i vi , i 1
设 是各小区域的直径中的最大值. 如果极限：
n
lim f
0 i1
i ,i , i
vi 存在,
则称此极限为函数 f x, y, z 在区域 上的三重积分.
记作： f x, y, z dv
i ,i , i
vi
定义 设 f x, y, z 是有界闭区域 上的有界函数.将
闭区域 任意分成 n 个小闭区域： v1 , v2 , …, vn ，其中 vi 也代表第 i 个小块的体积.
在每个 vi 上任取一点 i ,i , i ,作乘积：
f i ,i , i vi ( i 1, 2, , n ),
例 计算
轮换对称性在积分中的应用
轮换对称性在积分中的应用秦勇【摘要】This article has proved some conclusions about cyclosymmetric property and introduced appli-cations of cyclosymmetric property in integral.%证明了轮换对称性的有关结论，并阐述了其在积分中的一些应用。
【期刊名称】《常州工学院学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P62-65)【关键词】轮换对称性;积分;区域;变量;双射【作者】秦勇【作者单位】常州工学院理学院，江苏常州 213002【正文语种】中文【中图分类】O172利用对称性计算积分在一般“高等数学”的教材中均未提及，主要在一些考研数学辅导书或数学竞赛辅导书上有介绍。
了解用对称性计算积分对改进“高等数学”的教学、简化积分的计算过程及提高学生的解题运算能力都有着实际的意义。
对称性计算积分主要包括两方面[1]：一是积分区域关于坐标面、坐标轴和原点对称情况下被积分函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分。
对于第1种情况比较好理解，因为多元函数的积分可以视为定积分在对称区间上积分的推广，而对于第2种情况则没有简单的理解方法且有关的结论也没有给出证明。
本文给出积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下积分的有关结论并给出证明，最后介绍其在计算积分中的一些应用。
定义设Ω⊆R3，如果∀(x,y,z)∈Ω，都有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，则称区域Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性。
引理设区域Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性，则存在Ω上的一个一一变换[2]。
证明因为Ω关于x,y,z具有轮换对称性，所以∀(x,y,z)∈Ω，有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，定义σ(x,y,z)=(z,x,y)∈Ω。
∀(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)∈Ω,若(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2)，则有x1=x2，y1=y2，z1=z2，从而(z1,x1,y1)=(z2,x2,y2)，即σ(x1,y1,z1)=σ(x2,y2,z2)，所以σ是Ω到Ω的一个映射，从而σ是Ω上的一个变换。
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法有：
求积分的四种方法是：换元法、对称法、待定系数法、分部积分法。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
定积分对称性公式：f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式，只要x有一个正一个负，就有对称性。
至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。
如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别
创新教育科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald242DOI：10.16660/ki.1674-098X.2018.14.242对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别①孟泽红(浙江财经大学数据科学学院 浙江杭州 310018)摘 要：利用对称性求解曲线积分可以大大简化曲线积分的求解，但学生在利用对称性求解第一型曲线积分和第二型曲线积分时很容易弄错使用条件，因此，本文针对这些情况，从曲线的同向对称和异向对称的定义开始介绍，接下来给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分对称性使用的定理，并给出了一些例题来对比这些定理的使用条件，并对第二型曲线积分对称性求解的例题进行了正确和错误两种解法来进行分析归纳总结定理的使用条件。
关键词：对称性 第一型曲线积分 第二型曲线积分 异向 同向中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2018)05(b)-0242-02①作者简介：孟泽红（1978—），女，汉族，浙江杭州人，博士，副教授，研究方向：反问题与不适定问题的研究，高等数学 课题研究。
曲线积分的求解是高等数学里面本科生必须熟练掌握的，也是全国研究生入学考试中的重点内容。
利用积分区域对称性和函数的奇偶性可以简化积分运算，在教学过程中发现，由于第一型曲线积分和第二型曲线积分一个与方向无关，一个与方向有关，因此在使用中，一旦使用不当，会造成对问题的错解，为了让学生在学习过程中注意到这个陷阱，本文通过具体的例题把错误的结题方法和正确的解题方法进行比较，并对这两种积分的对称性使用进行了简要的总结。
1 预备知识定义1：有向曲线L 成两段有向弧L 1和L 2，如果观察者沿L 1行到L 2时方向不发生改变，就称L 1与L 2同向，否则称异向。
定义2：如果有向积分曲线课分为关于点A 对称的两段弧L 1和L 2，L 1和L 2同向，则称该积分曲线关于点A 同向对称，否则，L 1和L 2异向，则称该积分曲线关于点A 异向对称。
对称性在积分计算中的应用探讨
＝
由定理 ２ ， 得 （ ２ ） 如 果 ， （ ， 则 二 重 积 分 』 厂 且积分区域 Ｄ关 于 轴对称 ，
（ ） 等 于 一 半 对 称区 域 上的 积 分的 两 倍， 即』 ， （ ｙ ） ＝
参考文献：
作为对称性在积分计算 中的具体应用 ，下 面举 几个具有 代表性 的例子。 例 １ 计算 下列定积分．
（ １ ） 『 二 ； （ ２ ） 』 。 （ １ ） ．
解
１ ９８
［ １ 】 同济大学应用数 学系． 高等数学 （ 上 下册） ． 第五版． 北京 ： 高等教 育 出版社 ． ２ ０ ０ ２ 【 ２ 】 王树勋 ， 田壤等． 高等数学（ 上下册 ） ． 第三版． 西北工 业大
定理 １ 设 函数 ， （ ） 在闭 区间卜ｎ ， 上连续 ， 那么
ｒ ａ
所以 由定积分 的对称性 ， 得
Ｊ 罱 ０ ；
（ ２ ） 这里被积 函数 ） ＝ １ 慨 在【 一 １ ， １ 】 上是偶 函数 ， 由定理 ｌ ， 得
（ １ ） ＝ ２ 』 ： （ １ 忆 ） ＝ 孚 ．
２ ０ １ ３ ． Ｎ０． １ ０
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｅ ｎ ａ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
数 理 与 化 学 研 究
对称性在积分计算中的应用探讨
苏晓海 （ 陕西理工学院 数 学与计算机科学学院， 陕西 汉中 ７ ２ ３ ０ ０ １ ）
轴上方的半 圆形 区域。
域。
例 ３ 计算下列三重积分 ：
） 在空间有界 闭区域 ｎ 上连续 ， 且
定理 ３ 设 函数 Ｑ关于 ｘ ｏ ｙ面对 称 ， 那 么
曲线积分计算中奇偶性、对称性的应用
设
A A
y
,
:
是 关于
x
轴对 称 的光滑 曲线 ( 图
, ,
.
1 )
,
函数 尸 ( x
;
,
刃 Qx (
、
,
刃 在 曲线
A IA
Z
上
连续 且 关于 变量
:
J
}
人气
尸 (x
,
y )d x
一 长
1
{r
J
_ ,
具 有奇偶 性 则 对 坐标 的 曲线 积分 有 Z p (x y ) d x 尸 ( x y ) 关 于 , 是 奇函 数
,
B力
2
(1 )
~
, 、 、
。
0 (
P
x ( x (
,
,
刃 关于 刃 关于
,
一
y
~ ; 是偶 函 数 是 奇 函数
y
;
。
,
,
~
}
Q (x
.
y
)d y 一 成 f
!
0
。
Q
。, 2
,
y
{j
乙
Q( x
,
刃
d y
Q
x (
刃 关于
是偶 函 数
;
l
产
尸(
A
x
,
y )d x
+
Q (x
,
,
y )d y
人
! K、 J|
一
呱声
.
二
一
x d 介 卜乡
(
音
`
计算
抵
_
奇瑞
积分变换主要公式超强总结 (1)
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
对称性在积分计算中应用研究
面区域。 证 明 因 为 Ｄ 关 于 ｚ 轴 对 称 ， 以不 妨 设 Ｄ ：２ 所 １ ≤ ≤
ｂ 一 （ ≤ ≤ （ ， 而 ， ｚ） ｚ） 从
（ 如 肛 ）一
Ｊ— （ ｚ）
，ｙ ， ） ｄ
Ｊ Ｊ
例５ 设 ｚ 为椭圆等 十等 一１其周长为ｎ 计算曲线积 ， ，
（ ｚ － ４ 。４－ ｘ ｄ 。 ３ ４ ｙ ５ ｙ） ｓ
时， ｆｘｄ ｌ （）ｘ＝ ０ 当 ，ｚ ； （）是偶 函数时， ｆ ｘｄ Ｉ （）ｘ一
２ ｚ ｄｒ。 ）
｛Ｉ， Ｉ ＋ ＜ １ （ ） ｚ ， Ｏ。 ≥ ｝
利 用 定 理 １ 可 以计 算 下 面 的 题 目。 ， 例 １ 计 算 定 积 分
一
解Ｉ ｊ ÷ ｄ ＋ｌ ｄ ， ： ｚ ｓ ＝再 再 。 故
是 由 Ｙ— ｚ ｚ ＝一 】和 Ｙ一 １围成 的平 面 闭 区 域 。 ，
一
把 定 理 １ 广 到 二 重 积 分 的 计 算 中有 下 面 的结 论 ： 推 －－ ２ ｇｎ １ 。 定 理 ２ 设 函数 ｆ ｘ ） ｘ ｙ平 面 上 的有 界 闭 区 域 Ｄ （， 在 Ｏ 上 连 续 ， Ｄ关 于 ｚ轴 对 称 ， 果 函 数 ｆ ｘ， 是 关 于 Ｙ 奇 且 如 （ ） 的 例４
计算二重积分 Ｊ ｌ ｙ４１－。 Ｚａ其中Ｄ — ｚ 一ｙｄ ， ｌ ｘ ４
函数， （， ） 即ｆｘ 一 一一ｆｘ ， Ｉ （ ，）ａ一０如果函 （ ，）则 ｘｙｄ Ｉ ｆ ；
数 ｆ ｘ， （ ）是 关 于 ｙ的 偶 函数 ， ｆ ｘ 一 ）一 厂 ｚ， ， 即 （， （ ） 则
关 于 ｚ的 奇 函数 ， 而 由定 理 ３ 从 ，
是
『 』 南 出 ｚ 南 出 ＝ 『 』 一
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关于积分对称性定理
1、 定积分：
设)(xf在,aa上连续，则
-00,d2d,aaa
fxxfxxfxxfxx为的奇函数,
为的偶函数.
2、 二重积分：
若函数),(yxf在平面闭区域D上连续，则
（1）如果积分区域D关于x轴对称，),(yxf为y的奇（或偶）函
数，即 ),(),(yxfyxf（或),(),(yxfyxf），则二重积分
1
0,,,dd2,dd,,DDfxyyfxyxyfxyxyfxyy为的奇函数,
为的偶函数.
其中：1D为D满足0y上半平面区域。
（2） 如果积分区域D关于y轴对称，),(yxf为x的奇（或偶）函
数，即,,fxyfxy（或,,fxyfxy），则二重积分
2
0,,,dd2,dd,,DDfxyxfxyxyfxyxyfxyx为的奇函数,
为的偶函数.
其中：2D为D满足0x的右半平面区域。
（3）如果积分区域D关于原点对称，),(yxf为yx,的奇（或偶）
函数，即
),(),(yxfyxf（或),(),(yxfyxf
）则二重积分
2
0,,,,dd2,dd,,,DDfxyxyfxyxyfxyxyfxyxy为的奇函数,
为的偶函数.
其中:1D为D在0y上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D关于直线xy对称,则二重积分
yxxyfyxyxfDDdd,dd,.（二重积分的轮换对称
性）
(5)如果积分区域D关于直线yx对称,则有
1
0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)DDfyxfxyfxydxdyfxydxdyfyxfxy当时
当时
利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）
中应同时具有积分域D对称及被积函数yxf,具有奇偶性两个特
性。
3、三重积分：
(1)若zyxf,,为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关
于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧0z的部分区域，则
有
1
0,,,,,ddd2,,ddd,,,fxyzzfxyzxyzfxyzxyzfxyzz为的奇函数,
为的偶函数.
注：),,(zyxf是z的奇函数：),,(),(zyxfzyxf
),,(zyxf是z的偶函数：),,(),(zyxfzyxf
同样，对于空间闭区域关于yozxoz,坐标面对称也有类似的性
质。
4、 曲线积分（第一类）
（1）若分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且yxf,在L上为连
续函数，1L为L位于y轴右侧的弧段，则
1
0,,,d2,d,,LLfxyxfxysfxysfxyx为的奇函数,
为的偶函数.
（2）若分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且yxf,在L上为连
续函数，1L为L位于x轴上侧的弧段，则
10,,,d2,d,,LLfxyyfxysfxysfxyy为的奇函数,为的偶函数.
（3）若L关于直线xy对称，则
dsxyfdsyxfLL),(),(
其中（3）式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。
5、
第二类曲线积分
（1）设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且L在x轴的上半部分1L与在
下半部分的2L方向相反，
则
1
0,,,d2,d,,LLPxyyPxyxPxyxPxyy是关于的偶函数,
是关于的奇函数.
（2）设分段光滑的平面曲线L关于y轴对称，且L在y轴的右半部分1L与
在左半部分的2L方向相反
则
1
0,,,d2,d,,LLPxyxPxyxPxyxPxyx是关于的偶函数,
是关于的奇函数.
对于积分,LQxydy也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情
形.
6、 第一类曲面积分：
若曲面关于xoy坐标面对称，zyxf,,为上的连续函数，1为
位于xoy上侧0z的部分曲面，则
1
0,,,,,d2,,d,,,fxyzzfxyzSfxyzSfxyzz为的奇函数,
为的偶函数.
曲面关于xozyoz,坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数),,(,),,(,),,(zyxRzyxQzyxP在分片光滑的曲面上连续，
（1）设分片光滑的曲面关于xoy坐标面对称，且在xoy上半空间的
部分曲面1取上侧，在xoy下半空间的部分曲面2取定下侧，则
1
0,,,,,dd2,,dd,,,RxyzzRxyzxyRxyzxyRxyzz关于是偶函数,
关于是奇函数.
（2）设分片光滑的曲面关于yoz坐标面对称，且在yoz前半空间的部分
曲面1取前侧，在yoz后半空间的部分曲面2取后侧，则
1
0,,,,,dd2,,dd,,,PxyzxPxyzxyPxyzyzPxyzx关于是偶函数,
关于是奇函数.
（3）设分片光滑的曲面关于xoz坐标面对称，且在xoz右半空间的部分
曲面1取右侧，在xoz左半空间的部分曲面2取左侧，则
6
1
0,,,,,dd2,,dd,,,QxyzyQxyzxyQxyzyzQxyzy关于是偶函数,
关于是奇函数.
（4）若积分曲面关于zyx,,具有轮换对称性，则
,,dd,,dd,,dd1,,dd,,dd,,dd3PxyzyzPyzxzxPzxyxyPxyzyzPyzxzxPzxyxy