6.第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
光的折射定律与反射定律探究光的折射与反射规律
光的折射定律与反射定律探究光的折射与反射规律光的折射与反射是光学中非常重要的现象，深入了解和研究这两个规律能够帮助我们更好地理解光的行为。
本文将通过实验和理论分析，探讨光的折射定律与反射定律以及它们之间的联系。
一、光的折射定律光的折射是指当光从一种介质传播到另一种介质时，由于介质的密度或折射率的改变，光线的传播方向会发生改变的现象。
光的折射定律是描述光在两个介质之间传播时遵守的规则。
实验一：光的折射我们可以通过一个简单的实验来观察和验证光的折射定律。
将一根笔直的透明杆（如玻璃棒）放置在水中，使杆的一部分处于水中，然后在水中射入一束光线。
观察到光线在射入玻璃棒和水的交界面上发生折射，折射后的光线会改变传播方向。
我们可以通过测量入射角和折射角以及采用光的折射定律的数学表达式验证其准确性。
根据光的折射定律的表达式：n1 sinθ1 = n2 sinθ2其中，n1 是射入介质的折射率，n2 是出射介质的折射率，θ1 是入射角，θ2 是折射角。
实验二：光在不同介质中的折射率不同的介质具有不同的折射率，折射率代表了光在该介质中传播的速度。
我们可以通过测量不同介质中光的折射角度来确定其折射率，并进一步验证光的折射定律。
二、光的反射定律光的反射是指当光线从一种介质表面射入另一种介质时，部分光线会返回原介质的现象。
光的反射定律是描述光线射入介质表面后发生反射时的规律。
实验三：光的反射为了观察和验证光的反射定律，我们可以进行一个实验。
在一块平整的镜子上射入一束光，观察到光线会发生反射并遵循反射定律。
根据光的反射定律的表达式：θ1 = θ2其中，θ1 是入射角，θ2 是反射角。
实验四：光的反射率不同的介质对光的反射率也是不同的，反射率表示了入射光线被反射回原介质的比例。
我们可以通过测量反射光线的强度和入射光线的强度，并计算反射率来确定光的反射定律的准确性。
三、折射定律与反射定律的关系光的折射定律和反射定律都是描述光传播过程中的规律，但它们具有不同的应用场景和数学表达式。
光的折射和反射教案折射和反射的定律和计算
光的折射和反射教案折射和反射的定律和计算光的折射和反射教案——折射和反射的定律和计算一、引言光的折射和反射是光学中的重要概念，对理解光的传播和应用有着重要影响。
本教案旨在介绍折射和反射的基本定律和计算方法，帮助学生更好地理解和应用光的折射和反射。
二、折射的定律1. 折射现象的描述当光从一种介质传播到另一种介质时，光的传播方向会发生改变的现象称为折射。
2. 折射定律的表达式根据折射现象的观察和实验结果，可得出折射定律的表达式：\[\frac{{\sin \theta_1}}{{\sin \theta_2}} = \frac{{v_1}}{{v_2}} =\frac{{n_2}}{{n_1}}\]其中，\(\theta_1\)和\(\theta_2\)分别表示入射角和折射角，\(v_1\)和\(v_2\)分别表示光在不同介质中的传播速度，\(n_1\)和\(n_2\)分别表示两种介质的折射率。
3. 光的折射角与入射角之间的关系根据折射定律可知，当光从光疏介质（折射率较小）射向光密介质（折射率较大）时，折射角大于入射角；当光从光密介质射向光疏介质时，折射角小于入射角。
三、反射的定律1. 反射现象的描述当光在两种介质之间发生反射时，光的传播方向发生改变，但不改变介质。
2. 反射定律的表达式根据反射现象的观察和实验结果，可得出反射定律的表达式：\[\theta_1 = \theta_2\]其中，\(\theta_1\)和\(\theta_2\)分别表示入射角和反射角。
四、折射和反射的计算方法1. 入射角、折射角和反射角的计算根据已知条件，可以利用三角函数关系计算入射角、折射角和反射角。
2. 折射率的计算折射率是描述介质对光传播速度影响的量度。
根据折射定律中的表达式，可通过测量入射角和折射角的数值，计算两个介质的折射率。
3. 举例说明以光从空气中射向玻璃为例，设入射角为30°，玻璃的折射率为1.5。
几何光学
14
4.单球面折射成像
n1sin1n2sin2 近轴光n1线 1n ： 22
1 , 2
n 1 ( ) n 2 ( )
即n1 ： (S hR h)n2(R hS h)
n1 n2 n2n1 S S R
单球面折射成像公式
15
例9.1：在油液（折射率为1.33）中有一圆柱状长玻璃棒， 棒的一端为曲率半径R=3cm半球面，玻璃的折射率为 1.52，在棒轴上距端点9cm的P处有一点状物体，求像的 位置。
解： (1) S 60cm时：
1 1 1 S S f
11 1 60 S 20
S 15cm m y S 1 正立的缩小的虚像
y S4
(2)
S
30cm时：
1 S
1 S
1 f
11 1 30 S 20
S 12.5cm
m y S 5 y S 12
正立的缩小的虚像
(3) S 5cm时：
S 4cm
（参见书P.130）
1 1 1 S S f
横向放大率： m y S yS
负号代S、 表 S当 0，像是倒立
18
三、薄透镜
3.磨镜者公式
——透镜的焦距与折射率、曲率半径的关系 （参见书P.131-132）
1(n1)(1 1)
f
R1 R2
曲率中心在出射光 一线 侧同 时 曲率半R径为正，异侧为负。
几何光学
以光的直线传播实验规律为基础，用几何方法研究 光在透明介质中的传播及光学仪器的成像等问题。
本 章主要内容： 一、几何光学的基本定律 二、光学成像 三、薄透镜 四、光学器件
1
一、几何光学的基本定律
费马原理与光的反射和折射
费马原理与光的反射和折射福建省石狮市石光中学 陈龙法1650年法国数学家费马对光的传播传播原理作了一个概括性的叙述：光从空间一点A 到另一点B,光沿着所需的时间为极值的路径传播。
1.光的反射光线由A 点入射，经介面MN 反射到B 点（如图）。
试求光线以最短时间所通过的路径。
分析 建立如图坐标系。
A 点B 点是已知的，C 为界面上的任一点。
设光的传播速度是V ，光线由A 点经C 到B 经历时间 )(1)(CB AC V x t +=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=2222121h x a h x V 式中V 、h 1、h 2及a 都是已知的，现在的问题是：光线AC 有怎样的一个已知方向（或x 取何值），才能使它由A 点出发到B 点的时间为最短。
为了求得最短时间，我们求t 对x 的导数：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+='2222121h x a xa h x xVx t令()0='x t ，则()222212hx a xa hx x +--=+若C 点的法线为CC ’,则由图知， Sin α=Sin β 所以，α=β，即入射角等于反射角。
又因为()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+--++---++-+=''222222222221221222121h x a h x a x a hx a h x h x x hx V x t()()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=2/3222222/3212211h x a h h x h V 式中所有值都是正的，所以()0>''x t ，故当α=β时，光线由A 点到B 点所需要的时间为最短。
2.光的折射光线由A 点入射，经介面MN 折射到B 点（如图）。
试求光线以最短时间从A 射到B 发生折射所通过的路径。
分析 建立如图坐标系。
A 点B 点是已知的，C 为界面上的任一点。
设光在第一介质中的传播速度2)是V 1，在第二介质中的传播速度是V 2，则在第一介质中光线经过AC 所需要的时间为 t 1=AC/V 1在第二介质中光线经过CB 所需要的时间为 t 2=CB/V 2因此，光线由A 点到B 点所需要的全部时间为 2121V CBV AC t t t +=+= ()()2222212111h x a V h x V x t +-++=式中V 1、V 2、h 1、h 2、及a 都是已知的，现在的问题是：光线AC 应有怎样的一个已知方向（或x 取何值），才能使它由A 点出发到B 点的时间为最短。
初中物理的归纳与解析光的折射与反射规律的推导与应用
初中物理的归纳与解析光的折射与反射规律的推导与应用光的折射和反射是初中物理中一个重要且有趣的学习内容。
本文将以一种适合归纳与解析的方式来探讨光的折射与反射规律的推导与应用，希望能够帮助初中生更好地理解和应用这一知识。
一、光的反射规律的推导与应用光的反射规律是指光线在与界面相交时，入射角、反射角和法线之间的关系。
根据实验观察和数据分析，我们可以推导出光的反射规律。
假设有一束光线从真空中射入一个界面，垂直于界面的线称为法线，入射光线与法线的夹角为入射角i，反射光线与法线的夹角为反射角r。
当入射角变化时，我们可以观察到反射角也会相应地变化，但我们发现入射角和反射角之间有一个特殊的关系：入射角等于反射角。
这个关系被称为光的反射规律，也就是说，光线在反射时，入射角和反射角相等。
这个规律可以用一个简洁的数学表达式表示：i = r。
这个规律在现实生活中应用非常广泛，如反光镜、平面镜等都是基于这个规律设计的。
二、光的折射规律的推导与应用光的折射是指光线由一个介质射入另一个介质时的现象。
同样地，我们可以通过实验观察和数据分析来推导光的折射规律。
假设有一束光线从一种介质A射入另一种介质B，光线从介质A射入界面时的夹角为入射角i，光线从介质B射出界面时的夹角为折射角r。
经过实验观察和数据分析，我们可以发现，不同介质之间的折射角和入射角之间有一个固定的关系。
这个关系被称为光的折射规律，也叫斯涅尔定律。
根据斯涅尔定律，光线在折射时，入射角、折射角和两个介质的折射率之间满足一个简单的数学关系：n₁sin(i) = n₂sin(r)。
其中n₁和n₂分别表示两种介质的折射率。
光的折射规律在实际应用中有很多重要的应用。
例如，光的折射现象可以解释为什么杯子里的水看起来是折断的，以及为什么游泳池底部的瓷砖看起来比实际位置要浅等。
三、光的折射与反射规律的联合应用在实际问题中，光的折射和反射往往会同时发生。
例如，当一束光线从一个介质射入另一个介质时，既会发生折射现象，也会发生反射现象。
光的折射与反射定律
光的折射与反射定律光的折射与反射是光学研究的基础，我们可以通过了解光的折射与反射定律来深入理解光在不同介质中的传播规律。
本文将详细介绍光的折射与反射定律，并探讨其在实际生活和科学研究中的应用。
一、光的反射定律从当地物体上反射回来的光被称为反射光，而关于光的反射过程中有一个重要的定律被称为反射定律。
反射定律指出入射光线、反射光线和法线在同一平面上，且入射角等于反射角。
以平面镜为例，当一束光线垂直入射在平面镜上时，光线将沿入射角的法线方向反射回来。
当光线以一定角度斜向入射时，光线在平面镜上发生反射后，反射光线与入射光线仍然存在于同一平面上。
此外，根据反射定律，入射角与反射角相等。
这一定律经过实验验证，并在实际应用中得到广泛应用。
二、光的折射定律光通过两种不同介质的界面传播时，会发生折射现象。
关于光的折射过程中也存在一个重要的定律，即折射定律。
折射定律表明入射光线、折射光线和法线在同一平面上，并且入射角、折射角之间满足一个特定的数学关系。
根据斯涅尔定律，光线从光疏介质向光密介质传播时，入射角i和折射角r之间的关系由下式给出：n₁sin(i) = n₂sin(r)，其中，n₁和n₂分别表示两种介质的折射率。
这一定律的发现和解释为我们理解光的传播提供了重要的参考，并在光学器件设计与制造、玻璃制造等领域得到广泛应用。
三、光的折射与反射在实际生活与科学研究中的应用1. 镜子与透镜：光的反射和折射常见于我们生活的镜子和透镜中。
镜子的表面经过特殊处理，能够使光线发生反射，形成我们熟悉的自己形象；透镜则能够使光线经过折射，对光进行聚焦或散射，广泛应用于眼镜、相机镜头等设备中。
2. 护目镜与眼镜：在实验室、工地和手术室等环境中，护目镜以及眼镜成为了保护眼睛的重要工具。
护目镜通过光的反射和折射，能够使眼镜前的光线降低强度，从而保护眼睛免受外界伤害。
3. 光纤通信：在现代通信中，光纤是一种重要的信息传输媒介。
光纤中的光信号通过不断的反射和折射来传输，而光的折射定律则保证了光能在光纤中有效地传输和传播，使得光纤通信有着高速、大带宽的特点。
光学中的透镜成像公式的推导
透镜成像的基本概念
透镜的种类和结 构
透镜成像的原理 和特点
透镜焦距的计算 方法
透镜成像的应用 场景
02
透镜成像公式的推导
薄透镜成像公式推导
光线通过透镜的路径：入射光线、折射光线和焦平面 透镜成像的几何关系：物距、像距和焦距之间的关系 透镜成像的公式推导：利用光线传播的几何关系和斯涅尔定律推导 薄透镜成像公式的简化：忽略透镜厚度的影响，得到薄透镜成像公式
透镜成像公式推导
投影仪的工作原理
投影仪的应用场景
投影仪的发展趋势
04
透镜成像公式的扩展
透镜组合成像
透镜组合的定义：由两个或多个透镜组成的成像系统。
透镜组合成像的原理：通过透镜的组合，利用透镜的折射和反射特 性，实现光线的汇聚和扩散，从而形成清晰的像。
透镜组合成像的应用：在光学仪器、摄影镜头、显微镜等领域有广泛 应用。
薄透镜焦距的计算
定义：薄透镜的焦距是指平行于主轴的光线通过透镜后汇聚的点到透 镜中心的距离
公式：f=1/n×(1/v+1/u)
推导过程：通过几何光学和波动光学的原理，结合透镜的几何形状和 折射率，推导出薄透镜的焦距公式
应用：薄透镜焦距的计算是光学设计中的基础，对于透镜成像系统、 望远镜、显微镜等光学仪器的设计和使用具有重要意义
随着科技的发展， 透镜材料、设计 和加工技术也在 不断进步，为光 学仪器的发展提 供了有力支持
感谢观看
汇报人：XX
变焦透镜成像
透镜的变焦原理
变焦透镜成像公式推导
透镜焦距与物距的关系 变焦透镜的应用实例
光学仪器中的透镜应用
透镜在光学仪器 中的应用广泛， 如显微镜、望远 镜、照相机等
光的反射和折射 课件
传播的速度 c 与光在这种介质中的传播速度 v 之比。
探究一对光的折射现象的理解
问题导引
从空气中看水中的物体,感觉变浅了,把铅笔放入有水的玻璃杯中好像
折断了,这是怎么回事呢?
提示:这是光的折射造成的。
名师精讲
1.光的方向:光从一种介质进入另一种介质时,传播方向一般要发生变
化,但并非一定要变化,当光垂直界面入射时,光的传播方向就不变化。
稍大些,但不宜太大,入射角太大时,反射光较强,折射光会相对较弱。
例题 3
如图所示,某同学用插针法测定一半圆形玻璃砖
的折射率。在平铺的白纸上垂直纸面插大头针 P1、
P2 确定入射光线,并让入射光线过圆心 O,在玻璃砖
(图中实线部分)另一侧垂直纸面插大头针 P3,使 P3 挡
住 P1、P2 的像,连接 OP3,图中 MN 为分界面,虚线半圆
由折射定律得
sin1
n=
。
sin2
①
②
③
(1)当 θ1=45°时,由③得 θ2=30°④
把②④ 代入①得 θ=105°。
(2)当 θ=90°时,由①得 θ2=90°-θ1'
代入③得 tan θ1= 2。
答案:(1)105° (2) 2
反思
光射到两种介质的界面上时,通常同时发生反射和折射现象,在应用折
小角度,由此测得玻璃砖的折射率将
(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
1
,sin θ2= 3 ,因此玻璃的折射率
解析:(1)sin θ1=
n=
sin 1
sin 2
=
1
3
3
= 1,
因此只需测量 l1 和 l3 即可。
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第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
- 3 -
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验
定律进行推证
2.1 反射定律和折射定律
在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：
入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i等于反
射角i，或i＝i。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、
法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角
的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。
这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度
进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。
我们已经学过nds称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强
取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的
实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发
通过光程的概念。
2.2费马原理
费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连
结给定两点P和Q可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，
数学表达形式为：
Q
P
nds
极值（极小值、极大值或恒值） （2-1）
费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，
还可以是稳定值。
几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但
现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学
的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。
2.3 折射定律的推导
设光线由P点传播到Q点， P和Q两点分别在折射率为1n和2n的均匀媒质
中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y平面，选过P
和Q两点并与媒质分界面垂直的平面为yz平面，如果P和Q两点的连线与分界
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
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面不垂直，yz平面选取为唯一，否则yz平面的选取不唯一，任选一个即可，如
图2-1所示。设光线交xy平面于A点，由于在均匀媒质中光线沿直线传播，任
意可能的路径是光线沿着直线PA传播到A点，并沿着直线AQ前进到Q点。设
p点坐标为110,,yz，Q点坐标为220,,yz，A点坐标为(,,0)xy，P和Q分别在
两种均匀媒介中，不在xy平面上，即，10z ，20z。令：
222
111
()lPAxyyz
222
222
()lPQxyyz
光程 ：
222222
1122111222
()()()PAQnlnlnxyyznxyyz
光程()PAQ是x， y的二元函数，实际光线所走路径的光程为极值，则其对x，
y的偏导数为零，这时的A点设为0A，即实际光线与媒质分界面得交点为0A，
图2-1光线在折射中任意可能路径示意图
坐标标为(,,0)xy，则00x，即0A点在yz平面上，因此光线沿着yz平面传播，
111122(,)()0xfxynlnl
过0A点作xy平面得垂线OM即为法线，其也在yz平面上，由此得出折射光线，
法线，入射光线在同一平面上，如图2-2所示。图2-2中的1i为入射角，2i为折
射角。光程()PAQ在0A点对y的偏导数也为0。
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
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图2-2光线在两种媒质分界面的折射
11111222(,)()()yfxynlyynlyy
(0,)0yfy
111102200102()()0yyyynlnl
则：
111102200120()()yyyynlnl
（2-2）
由（2-2）式又得到：
0120
12
1020
()()yyyynnll
（2-3）
因此：
210
010202
120
()()()0nlyyyyyynl
即：
12012
min(,)max(,)yyyyy
（2-4）
设 ：12yy，则：
102
yyy
（2-5）
不失一般性，如果12yy，由（2-2）式则01yy，02yy否则12yy。因此：
102
yyy
12
yy
（2-6）
由（2-6）式可知，如果P，Q两点的连线与分界面不垂直，折射光线和入射光
线分居在法线的两侧。如果12yy，由（2-5）式可得012yyy因此：
012
yyy
（2-7）
在图2-2中，分别过P，Q两点做垂直于OM的垂线，垂足分别为B，C，由于P，
0
A
点都在yz平面上，并且法线OM与z轴平行，所以01yyPB，20yyCQ ，
并且100lPA，200lAQ，把这些关系式代入（2-3）式 得到：
12
00
PBCQ
nnPAAQ
（2-8）
由于10sinPBiPA，20sinCQiAQ ，可以得到下式：
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
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1122
sinsinnini
（2-9）
综合了（2-6）式和(2-9)式得出斯涅耳定律：折射光线、法线和入射光线在
同一个平面上，折射光线和入射光线分居在法线的两侧，并且入射角和折射角的
正弦之比为常量[3]（入射角不为0时）。
如果P，Q两点的连线与分界面垂直，由（2-7）式及P， 0A ，Q三点都
在yz平面上，P，0A，Q三点共线，则(2-9)式也满足，这时折射角和入射角都
为0，入射光线和折射光线垂直于分界面，折射光线、入射光线和法线都在同一
直线上。
为了证明光线遵循折射定律所走路径的光程为极值还需要证明：
0),0(),0()],0([0020yfyfyf
xyxyxy
成立。
由于：111111221122()(,)xxnlnlfxynlnlxx ，111122()(,)xynlnlfxyxy
因此：
110110220(0,)0xxfynlnl
（2-10）
0(0,)0xy
fy
（2-11）
11331122111222(,)[()()]yyfxynlnlnlyynlyy
（2-12）
根据前面1l，2l的定义，由于10z，20z，因此2211()yyl，2222()yyl，
则：3232111112221122()()nlyynlyynlnl 因此(,)0yyfxy则：
0(0,)0yy
fy
（2-13）
根据（2-10）～（2-13）式得到：
0),0(),0()],0([0020yfyfyf
yyxxxy
（2-14）
根据0(0,)0xxfy可知，遵循折射定律的路径的光程的确为极小值。
2.4 反射定律的推导
对于反射定律的推导和折射定律的推导相似只是把折射定律中的折射率
1
n
和2n都用n代替，折射角2i用反射角1i代替，而P，Q两点在xy平面的同侧，（2-9）
式变为：
1
sinsinnini
（2-15）
i
和1i都小于90，则有：
1
ii
（2-16）
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
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由此得到反射定律。
2.5 本章小结
利用费马原理，不须假设就能严格得推证反射与折射这两个实验定律，前
提只是折射时折射光线、法线和入射光线在同一平面内；反射时反射光线、法线
和入射光线在同一平面内。