一次函数全章教案 新人教版
一次函数-一次函数的概念、图像、与基本性质(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论部分，我发现学生们在讨论一次函数在实际生活中的应用时，能够提出一些有创意的想法。但在分享成果时，部分学生的表达能力仍有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组代表发言、角色扮演等。
最后，在总结回顾环节，学生对一次函数的知识点有了更深刻的理解。但在课后反馈中，仍有部分学生表示对某些知识点存在疑问。针对这个问题，我将在课后加强个别辅导，关注学生的掌握情况，并及时解答他们的疑问。
（4）空间想象能力的培养：对于一次函数图像的想象和绘制，学生可能缺乏空间想象力。
突破方法：借助教学软件、实物模型等辅助工具，帮助学生建立一次函数图像的空间概念。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数的概念、图像与基本性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人一起跑步，一个人跑得快，一个人跑得慢，他们的距离是如何变化的？”这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、图像和基本性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
一次函数的图象和性质教案人教版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教材分析
本节课的教学内容是“一次函数的图象和性质”，所使用的是人教版教材。该章节内容主要涉及一次函数的图象特点、斜率与截距的概念、以及一次函数的性质。学生在学习本节课之前，应已掌握一次函数的基本概念，如函数、自变量、因变量等。
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解一次函数的基本概念。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
- 提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
- 信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
三、学习者分析
1. 学生已经掌握了哪些相关知识：在开始本节课之前，学生应该已经学习了初中阶段的一次函数、直线方程等相关知识，对于函数的基本概念、自变量与因变量的关系有一定的了解。他们应该能够理解函数的基本性质，如单调性、连续性等，并能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生的兴趣可能在于通过观察和实验来发现一次函数的图象和性质，他们可能对通过实际例子来理解数学概念感兴趣。在学习能力方面，学生可能需要通过具体的例子和实践活动来理解和掌握一次函数的图象和性质。他们的学习风格可能偏向于动手操作和合作学习。
3. 实践评价：通过实践活动，了解学生对一次函数的应用能力，及时发现问题并进行解决。教师可以通过设计实践活动，如小组讨论、实验等，了解学生对一次函数的应用能力，针对存在的问题进行针对性教学。
4. 期末评价：通过期末考试，了解学生对一次函数的图象和性质的掌握程度，及时发现问题并进行解决。期末考试是对学生学习成果的一次全面检验，教师应认真分析考试结果，针对存在的问题进行针对性教学。
新人教版八年级上册第14章一次函数全章精品教案-7.doc
新人教版八年级数学上册第14章一次函数第3节用函数观点看方程（组）与不等式第2小节一次函数与一元一次不等式教学目标知识技能:通过数形结合领悟一次函数与一元一次不等式之间的联系.通过具体问题初步体会运用一次函数与一元一次不等式解决有关的问题.提高分析问题解决问题的能力、综合运用知识的能力.数学思考:形成新知识的体系，体会数形结合的思想.解决问题:通过动手操作、小组讨论从形与数两个角度体会一次函数与一元一次不等式的内在联系.情感态度:通过新知识的学习,加强知识的联系,体会数形结合的思想。
教学重点:一次函数与一元一次不等式之间的联系.教学难点:通过具体问题体会运用一次函数与一元一次不等式解决有关的问题. 教学过程设计活动一.知识回顾,引入新课一次函数的定义.一次函数的图象.直线y=kx+b与方程的联系.那么一次函数与一元一次不等式是怎样的关系呢？本节课研究一次函数与一元一次不等式的关系.活动二.分析比较,探索关系1.问题.看下面两个问题有什么关系:（1）解不等式5x＋6>3x＋10．（2）当自变量x为何值时函数y＝2x－4的值大于0?在问题（1）中，不等式5x＋6>3x＋10可以转化为2x－4>0，解这个不等式得x>2；解问题（2）就是要解不等式2x－4>0，得出x>2时函数y＝2x－4的值大于0，因此这两个问题实际上是同一个问题．从直线y=2x－4（图14.3-3）可以看出，当x>2时这条直线上的点在x轴的上方，即这时y＝2x－4>0．2.思考:由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax＋b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax＋b的值大于0”有什么关系?3.通过观察、思考、小组讨论得出这两个问题实质是一个问题.活动三.知识应用,例题选讲例1.用画函数图象的方法解不等式5x＋4<2x＋10．解法1:原不等式化为3x－6<0，画出直线y＝3x－6（图14.3-4），可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，即这时y＝3x－6<0，所以不等式的解集为x<2．解法2:将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y＝5x＋4与直线y＝2x＋10（图14.3-5），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y＝5x＋4上的点在直线y＝2x＋10上相应点的下方，这时5x＋4<2x ＋10，所以不等式的解集为x<2．图14.3.3 图14.3.4 图14.3.5 关于这两种解法，让学生实际画出图象，找出问题的答案。
新人教版八年级上册第14章一次函数全章精品教案-9.doc
新人教版八年级数学上册第14章一次函数复习与小结教学目标知识技能:回顾本章主要内容，说出知识之间的联系；归纳解决实际问题的一般过程积累数学活动的经验，发展归纳与概括的能力.数学思考:本章知识之间的紧密联系以及与其它知识的联系.解决问题:以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点.情感态度:通过对本章知识结构的回顾，进一步感受知识之间的紧密联系.教学重点:确定函数解析式；函数的应用题.教学难点:是知识的实际应用.教学过程设计活动一.知识结构通过学生的合作交流总结出本节的知识结构活动二.回顾与思考1.为了研究变化的世界，我们引入了函数.在同一变化的过程中两个相互制约、相互依存的量x，y满足什么条件时，y是x的函数？举出一些函数的实例.2.举例说明函数有哪几种表示法，它们各有什么优点？3.举例说明一次函数y=kx+b中的常数k对图象的影响，结合图象说明一次函数的性质.由一次函数的图象怎样求出它的解析式？4.一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组与一次函数之间有什么关系？怎样用函数图象解方程（组）或解不等式？5.体会怎样建立实际问题的函数模型.活动三.确定函数解析式1.已知，如图14—1，一轮船在离A港10千米的P地出发向B地匀速行驶，30分钟后离A港26千米（未到达B港）．设出发x小时后，轮船离A港y千米（未到达B港），则y与x之间的函数关系式为_______________.解析求出轮船的速度即可表示出y与x之间的函数关系．答案 y=32x+102.已知一次函数的图象经过点（0，1），且图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，求一次函数的解析式．解析首先设出函数解析式，由图象过点（0，1）可得b＝1．然后根据三角形面积公式列出关于k的方程求得k值．答案设所求的一次函数解析式为y＝kx+b．因为直线y＝kx+b经过点（0，1），所以b＝1．所以y＝kx+1．令y＝0，则1xk=-.所以直线y＝kx+l与x轴的交点坐标为1(,0)k-所以11122k⨯⨯-=，解得k=±14所以一次函数的解析式为11y x1y x1 44=+=-+或活动四.函数应用题1.如图14—2所示，是某公司一电热淋浴器水箱的水量y（L）与供水时间x（min）的函数关系.（1）求y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，求在30 min时水箱有多少L水?解析（1）由图象可知y与x成一次函数关系，设出解析式列方程组求解；（2）求当x＝30时的函数值即得答案．答案（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b．因为直线y＝kx+b过点（10，50）和点（50，150），所以10k b50k 2.5 50k b150b25 +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得所以y=2.5x+25（2）当x＝30时，y＝2．5×30＝100（L），即30 min时水箱有100 L水．2.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设（1）请你为该企业设计，能有几种设计方案?（2）若企业每月生产污水量为2 040吨，为了节约资金，应选用哪种购买方案?购买资金为多少?解析 列出关于x 的不等式，求不等式的自然数解即可解决本题．答案 设购买污水处理设备A 型x 台，则B 型（10－x ）台．根据题意，得12x+10（10－x ）≤105．解得x ≤2．5．因为x 为自然数，所以x ＝0或1或2．所以共有3种方案：方案1：购买A 型0台，B 型10台；方案2：购买A 型l 台，B 型9台；方案3：购买A 型2台，B 型8台.（2）由题意，得240x+200（10－x ）≥2 040．解得x ≥1．所以x=1或2． 当x=1时，购买资金为12×l+10×9=102（万元）；当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元）.所以应选择方案2、方案3，购买资金分别为102万元和104万元．活动五.链接中考1.一次函数的图象经过点（1，2），且y 随x 的增大而增大，则这个函数解析式是__________（任写一个），解析 本题是结论开放题，答案不唯一，该类型是近几年中考命题热点，目的在于考查学生思维的灵活性.答案 y=2x 或y=x+12.如图11—3，l 1、l 2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用）y （费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x （小时）的函数图象，假设两种灯泡的使用寿命都是2 000小时，照明效果一样．（1）根据图象分别求出l 1、l 2的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?（3）小亮房间计划照明2 500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）． 解析 （1）由图象可得知l 1、l 2分别经过两点，因此设出解析式列出方程组可求得函数解析式；（2）列出关于x 的方程；（3）根据所求出的函数关系式设计用灯方法．答案 （1）设直线l 1的解析式为y 1=k 1x+b 1，因为直线l 1经过点（0，2）和点（500，17），所以1111117500k b k 0.03b 2b 2=+=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得 所以y 1=0.03x+2（0≤x ≤2000）.同理求得直线l 2的解析式l 2＝0．012x+20（0≤x ≤2 000）．（2）当y 1=y 2时，两种灯的费用相等．所以0．03x+2＝0.012x+20．解得x=1 000．所以当照明时间为1 000小时时，两种灯的费用相等．（3）节能灯使用2 000小时，白炽灯使用500小时．活动六.课堂小结引导学生总结本节的收获.。
第19章一次函数全章教案
、教学目标1. 以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型， 讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；2. 结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法 （列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；3. 理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利 用这些函数分析和解决简单实际问题；4. 通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学 习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
二、本章知识结构框图建立數学模型■应 :田II I1、 反映函数概念的实际背景，渗透“变化与对应”的思想在建立和运用函数这种数学模型的过程之中，“变化与对应”的思想是重要的基础。
变化与对应的思 想包括以下两个基本意思：1.世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；2.在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应 关系。
函数是数量化地表达变化与对应思想的数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应 关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系。
作为关于函数的初始教学，应有意识地体现函数的本质，这正是本章内容中蕴涵的基本思想。
对于运 动变化与联系对应的思想的认识也是需要逐步理解的，所以教学中应注意在不同阶段对这一思想的渗透介 绍要有不同的做法和要求，要逐步深化，要从具体到抽象，从特殊到一般地引导学生认识它。
2、 从特殊到一般地认识一次函数人们认识事物往往经历“从特殊到一般”的过程，教材对本章重点内容的安排正是按照这样的过程展 现的。
在分析具体问题时，教师应注意引导学生利用事物之间的联系从特殊到一般地认识问题。
2019版八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.1 变量与函数教案 (新版)新人教版
第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数【教学目标】知识与技能:1.掌握常量和变量、自变量和函数的基本概念.2.了解函数值的概念,能用解析式表示函数关系.会确定函数自变量的取值范围.过程与方法:结合实例,了解常量、变量的意义,体会“变化与对应”的思想.通过动手实践与探索,让学生参与变量发现的过程,以提高分析问题和解决问题的能力.情感态度与价值观:引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.【重点难点】重点:了解常量与变量的含义.理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.确定自变量的取值范围.难点:理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.会确定自变量的取值范围.【教学过程】一、创设情境,导入新课:1.在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.如图是某地一天内的气温变化图.看图回答:(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢?2.五一假期,李想和朋友从学校门口出发,骑自行车去沙河游玩,假设他们匀速行驶,每分钟骑200米,骑车的总路程为s米,骑车的时间为t分钟.填一填:问题:(1)在这个行程问题中,我们所研究的对象有几个量?(2)几个所研究的对象中,哪些是变化的量,哪些是固定不变的量?它们之间存在什么样的关系?这一节我们就来探究这一问题.二、探究归纳活动1:变量与常量1.出示问题,师生探究有如下几个变化过程,请找出各变化过程中的量,并填表:(教材P71四个问题)(师生活动:教师引导学生填表,并分析问题中出现的量,发现其中有些量的数值是变化的,分析问题中的量并分类,领会“变量”、“常量”的含义.发现在同一个变化过程中,始终保持不变的量为常量,而数值发生变化的量为变量.并根据发现自己试着下定义.)2.形成概念(1)(2)定义:在一个变化过程中,数值发生变化的量,称为变量,数值始终不变的量称为常量.活动2:函数的概念1.问题:在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出:上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一确定的值.2.思考:分组讨论教科书“思考”中的两个问题.注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.3.归纳:一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值.例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120.同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;在人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y 是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52.活动3:例题讲解【例1】读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事,并指出所涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量.一次乌龟与兔子举行500 m赛跑,比赛开始不久,兔子就遥遥领先.当兔子以20 m/min的速度跑了10 min时,往回一看,乌龟远远地落在后面呢!兔子心想:“我就是睡一觉,你乌龟也追不上我,我为何不在此美美地睡上一觉呢?”可是,当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时,勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过,并以10 m/min的速度匀速爬向终点.40 min后,兔子梦醒了,而此时乌龟刚好到达终点.兔子悔之晚矣,等它再以30 m/min的速度跑向终点时,它比乌龟足足晚了10 min.分析:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.解:500 m、乌龟的速度10 m/min等在整个变化过程中是常量,兔子的速度是变量.总结:“常量”与“变量”:“常量”是数值始终不变的量,一般是用具体数表示的量;“变量”是数值发生变化的量,变量是可以变化的:(1)可以取不同的数值,(2)一般用字母表示.【例2】我们知道,海拔高度每上升1 km,温度下降6 ℃.某时刻,益阳地面温度为20 ℃,设高出地面x km 处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500 m,求这时山顶的温度大约是多少℃?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃,求飞机离地面的高度为多少千米?分析:(1)根据题意,按照等量关系:高出地面x km处的温度=地面温度-6 ℃×高出地面的距离;列出函数解析式.(2)把给出的自变量高出地面的距离0.5 km代入函数解析式求得.(3)把给出的函数值高出地面x km处的温度-34 ℃代入函数解析式求得x.解:(1)由题意得,y与x之间的函数解析式y=20-6x(x≥0).(2)由题意得x=0.5 km, y=20-6×0.5=17(℃)答:这时山顶的温度大约是17 ℃.(3)由题意得y=-34 ℃时,-34=20-6x,解得x=9 km.答:飞机离地面的高度为9 km.总结:求函数值的方法:就是将自变量x的值代入解析式,求代数式的值.【例3】函数y=自变量x的取值范围是()A.x≥1且x≠3B.x≥1C.x≠3D.x>1且x≠3分析:求自变量取值范围时,要考虑两个方面:一是被开方数非负;二是分式的分母不为零,通过建立不等式组解决问题.解:选A.根据题意可知:x-1≥0且x-3≠0,解得x≥1且x≠3.总结:确定自变量取值范围的方法(1)整式:其自变量的取值范围是全体实数.(2)分式:其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数.(3)二次根式:其自变量的取值范围是使得被开方数为非负的实数.(4)实际问题:其自变量的取值必须使实际问题有意义.三、交流反思这节课我们学习了变量与常量、函数的概念,函数自变量的取值范围的确定方法.四、检测反馈1.在三角形面积公式S=ah,a=2 cm中,下列说法正确的是()A.S,a是变量,h是常量B.S,h是变量,是常量C.S,h是变量,a是常量D.S,h,a是变量,是常量2.函数y=+3中自变量x的取值范围是()A.x>1B.x≥1C.x≤1D.x≠13.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y,其中y不是x的函数的选项是()A.y:正方形的面积,x:这个正方形的周长B.y:某班学生的身高,x:这个班学生的学号C.y:圆的面积,x:这个圆的直径D.y:一个正数的平方根,x:这个正数4.对于圆的面积公式S=πR2,下列说法中,正确的为()A.π是自变量B.R2是自变量C.R是自变量D.πR2是自变量5.函数y=中的自变量x的取值范围是()A.x≥0B.x≠-1C.x>0D.x≥0且x≠-16.根据如图所示程序计算函数值,若输入的x的值为,则输出的函数值为()A.B.C.D.7.一支演唱队第一排有20人,后面每排比前排多1人,则第n排的人数s与n的函数解析式为________.8.一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到了小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表:(1)这一变化过程中的自变量是________.(2)写出用t表示s的关系是________.(3)求第6秒时,小球滚动的距离为________m.(4)小球滚动200 m用的时间为________.五、布置作业教科书第81页习题19.1第1,2,3,4,5题六、板书设计七、教学反思本节课学习了常量与变量,函数的概念及函数自变量的取值范围的确定,关于变量与常量概念:要通过实例引导学生分析运动变化过程中出现的数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量,有些是数值始终不变的量,总结得出并通过实例练习巩固.关于函数概念的教学,通过实例引导学生分析总结得出,并明确表示函数关系的方法通常有三种:①解析法.②列表法.③图象法.关于函数自变量的取值范围的教学,通过实例引导学生分析得出:求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.。
[初中数学]一次函数全章学案1 人教版
![[初中数学]一次函数全章学案1 人教版](https://img.taocdn.com/s3/m/b6975339b7360b4c2e3f648c.png)
变量与函数(1) 备课日期 上课日期 课型：新授 主备人：宋以美
学习目标 ①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。 ②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。 ③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。
学习重点与难点 重点：函数概念的形成过程。 难点：正确理解函数的概念。
学习过程： 学习活动（一）：提出问题: 1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s： t(小时) 1 2 3 4 5 s(千米) 2.已知每张电影票的售价为10元。如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?_________________________ 3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r? 学习活动（二）：动手实验(分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报)。 1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量, 观察并记录弹簧长度的变化,填入下表： 悬挂重物的质量m(kg) 弹簧长度l(cm) 如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?____________________________ 2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?_______________________________________ 学习活动（三）探究新知 (一)变量与常量的概念 1.在动手实验并充分发表自己意见的基础上,归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程。其中有些量__________的值是按照某种规律变化的。在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为_________。也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为______________。 2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量。 3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量。 (二)函数的概念 1：上面的每个问题和实验中的两个变量互相_______.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有_____________________。 2.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于____的每一个确定的值,___都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说___是自变量,___是x的函数。如果当x=a时,y=b,那么,_____叫做当自变量的值为______时的____。例如在问题1中,时间______是自变量,里程____是______的函数。t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120。 3、在心电图中,时间_____是自变量,心脏电流____是_____的函数；在人口统计表中,年份___是自变量,人口数_____是______的函数.当x=1999时,函数值y=_______ 巩固新知 下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗? 1.右图是北京某日温度变化图 2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形的面
八年级数学下册第十九章一次函数函数函数的图象教案新人教版
函数的图象（1）知识技能目标1.掌握平面直角坐标系的有关概念；2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．过程性目标1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.教学过程一、创设情境如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．二、探究归纳问题1 例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？解因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．问题2 在教室里，怎样确定一个同学的座位？解例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．问题3 要在一块矩形ABCD(AB＝40mm，AD＝25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求：(1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm，(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm．试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？分析圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5 mm，所以圆心O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点（圆心O）的位置要有两个数(20和10)．在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系(rightangledcoordinates system)．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x 轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标(abscissa)；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标(ordinate)．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3,2)，称为点P的坐标(coordinates)．这时点P可记作P(3,2)．在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．三、实践应用例1 在上图中分别描出坐标是(2,3)、(－2,3)、(3,－2)的点Q、S、R，Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗？S(－2,3)与R(3,－2)是同一点吗？解Q(2,3)与P(3,2)不是同一点；S(－2,3)与R(3,－2)不是同一点．例2 写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答：(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征？(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？解 A(－1,2)、B (2,1)、C (2,－1)、D (－1,－1)、E (0,3)、F (－2,0)．(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；(2)x轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零．说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．例3 在直角坐标系中描出点A(2,－3)，分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？(2)关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？解(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．例4 在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？分析如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则OM为负值，MP 也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若P点为第二、四象限角平分线上任一点，则OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数．解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数．四、交流反思1.平面直角坐标系的有关概念及画法；2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．五、检测反馈1.判断下列说法是否正确：(1)(2，3)和(3，2)表示同一点；(2)点(－4，1)与点(4，－1)关于原点对称；(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？3.指出下列各点所在的象限或坐标轴：A(－3,－5)，B(6,－7)，C(0,－6)，D(－3,5)，E(4,0)．4.填空：(1)点P(5,－3)关于x轴对称点的坐标是；(2)点P(3,－5)关于y轴对称点的坐标是；(3)点P(－2,－4)关于原点对称点的坐标是．5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三)．请至少说出图中四个棋子的“位置”．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列语句是命题的是（）（1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余.（3）请画出两条互相平行的直线；（4）过直线外一点作已知直线的垂线；A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（1）（4）【答案】A【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都由题设和结论两部分组成，依此对四个小题进行逐一分析即可；【详解】（1）两点之间，线段最短符合命题定义，正确；（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，符合命题定义，正确．（3）请画出两条互相平行的直线只是做了陈述，不是命题，错误；（4）过直线外一点作已知直线的垂线没有做出判断，不是命题，错误，故选：A．【点睛】本题考查了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．注意命题是一个能够判断真假的陈述句．2．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A.不是任何边上的高，故不正确；B.是BC边上的高，故正确；C. 是AC边上的高，故不正确；D. 不是任何边上的高，故不正确；故选B.3．如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠COP ＝∠DOPB ．PC ＝PD C ．OC ＝OD D ．∠COP ＝∠OPD【答案】D 【分析】先根据角平分线的性质得出PC ＝PD ，∠POC ＝∠POD ，再利用HL 证明△OCP ≌△ODP ，根据全等三角形的性质得出OC ＝OD 即可判断．【详解】∵OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，∴PC ＝PD ，∠POC ＝∠POD ，故A ，B 正确；在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，OP OP PC PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴OC ＝OD ，故C 正确．不能得出∠COP ＝∠OPD ，故D 错误．故选：D ．【点睛】此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知角平分线的性质定理与全等三角形的判定方法． 4．点P(﹣2，﹣4)与点Q(6，﹣4)的位置关系是（ ）A ．关于直线x ＝2对称B ．关于直线y ＝2对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】A【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．【详解】解：点P （﹣2，﹣4）与点Q （6，﹣4）的位置关系是关于直线x ＝2对称，故选：A ．【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知轴对称的性质．5．下列图形是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选A．考点：轴对称图形．6．在矩形（长方形）ABCD中，AB=3，BC=4，若在矩形所在的平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PAD都为等腰三角形，则满足此条件的点P共有（）个．A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【答案】C【分析】根据矩形的对称性画出对称轴，然后根据等腰三角形的定义作图即可．【详解】解：作矩形的两条对称轴l1和l2，交于点P1，根据对称性可知此时P1满足题意；分别以A、B为圆心，以AB的长为半径作弧，交l1于点P2、P3；分别以A、D为圆心，以AD的长为半径作弧，交l2于点P4、P1．根据对称性质可得P1、P2、P3、P4、P1均符合题意这样的点P共有1个故选C．【点睛】此题考查的是矩形的性质和作等腰三角形，掌握矩形的性质和等腰三角形的定义是解决此题的关键．7．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．3，4，8B ．5，6，11C ．12，5，6D ．3，4，5【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断，两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】A 选项中，因为3+4<8，所以A 中的三条线段不能组成三角形；B 选项中，因为5+6=11，所以B 中的三条线段不能组成三角形；C 选项中，因为5+6<12，所以C 中的三条线段不能组成三角形；D 选项中，因为3+4>5，所以D 中的三条线段能组成三角形.故选D.【点睛】判断三条线段能否组成三角形，根据“三角形三边间的关系”，只需看较短两条线段的和是否大于最长线段即可，“是”即可组成三角形，“否”就不能组成三角形.8．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-，解得：2m =-，7n =，则275m n +=-+=故选C .【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. 9．过点()1,3P -作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 【答案】C【分析】先设出函数解析式，y=kx+b ，把点P 坐标代入，得-k+b=3，用含k 的式子表示b ，得b=k+3，求出直线与x 轴交点坐标，y 轴交点坐标，求三角形面积，根据k 的符号讨论方程是否有解即可．【详解】设直线解析式为：y=kx+b ，点P （-1,3）在直线上，-k+b=3，b=k+3，y=kx+3+k ，当x=0时，y=k+3，y=0时，x=k+3-k ， S △=1k+3k+3-=52k，2k+3=10k ， 当k>0时，（k+3）2=10k ，k 2-4k+9=0，△=-20<0，无解；当k<0时，（k+3）2=-10k ，k 2+16k+9=0，△=220>0， 故选择：C ．【点睛】本题考查的是直线与坐标轴围成的三角形面积问题，关键是用给的点坐标来表示解析式，求出与x,y 轴的交点坐标，列出三角形面积，进行分类讨论．10．练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有①3(1)(1)x x x x x +=+- ②2222()x xy y x y -+=-③21(1)1a a a a -+=-+ ④2216(4)(4)x y x y x y -=+-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】试题解析：①x 3+x=x （x 2+1），不符合题意；②x 2-2xy+y 2=（x-y ）2，符合题意；③a 2-a+1不能分解，不符合题意；④x 2-16y 2=（x+4y ）（x-4y ），符合题意，故选B二、填空题11．若5x y +=，且()()3326x y ++=，则223x xy y ++=____________.【答案】27【分析】将x+y 的值代入由（x+3）（y+3）=26变形所得式子xy+3（x+y ）=17，求出xy 的值，再将xy 、x+y 的值代入原式=（x+y ）2+xy 计算可得．【详解】解：∵（x+3）（y+3）=26，∴xy+3x+3y+9=26，则xy+3（x+y ）=17，将x+y=5代入得xy+15=17，则xy=2，∴223x xy y ++=（x+y ）2+xy=25+2=27.故答案为：27.【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．12．若三角形的三边满足a ：b ：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为_____度．【答案】1【解析】设三角形的三边分别为5x ，12x ，13x ，则（5x ）2+（12x ）2=（13x ）2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，则这个三角形中最大的角为1度，故答案为：1．13．若无理数a 满足1<a<4，请你写出一个符合条件的无理数________．【答案】π【分析】估计一个无理数a 满足1＜a ＜4，写出即可，如π等．【详解】解：∵1＜a ＜4∴1＜a ∴a=π故答案为：π.【点睛】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于掌握其定义．14．一次函数的图象经过点(0,2)-，且函数y 的值随自变量x 的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式_________________.【答案】y=x-2【分析】设y=kx+b ，根据一次函数的图象经过点(0,2)-，且函数y 的值随自变量x 的增大而增大，可得：b=-2，且k>0，即可得到答案.【详解】设y=kx+b ，∵一次函数的图象经过点(0,2)，且函数y的值随自变量x的增大而增大，∴b=-2，且k>0，∴符合条件的一次函数表达式可以是：y=x-2（答案不唯一）.故答案是：y=x-2【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，掌握一次函数的系数的意义，是解题的关键.15．一组数据5，7，7，x的众数与平均数相等，则这组数据的方差为_____．【答案】2【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得：众数为7，则：5+7+7+x＝4×7，解得x＝1．则这组数据的方差为14[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（1﹣7）2]＝2；故答案为：2．【点睛】本题考查众数的定义、平均数和方差，解题的关键是掌握众数的定义、平均数和方差的计算.16．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C=______．【答案】35°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.17．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝_____．【答案】240°．【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．【详解】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2＝360°﹣120°＝240°．故答案为：240°．【点睛】本题考查多边形角度的计算,关键在于结合图形运用角度转换.三、解答题18．（1）分解因式：3ax2+6axy+3ay2（2）化简：2()b a aa ab --【答案】（1）3a（x+y）2 ；（2）a+b【分析】（1）原式先提公因式，再运用完全平方公式分解；（2）原式括号内先通分，分子分解因式后再约分即得结果．【详解】解：（1）原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2 ；（2）原式=22a b aa a b--=()()aaa aabbb-+-=a+b．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和分式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法和分式的混合运算法则是解题关键．19．（基础模型）已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E．（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE（模型应用）在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为．（3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为．（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）【答案】（1）详见解析；（2）(﹣6，﹣2)；（3）2；（1）a+ b=-1或b﹣a＝1．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而利用AAS即可得出结论；（2）先求出直线l的解析式，进而确定出点A，B坐标，再判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（3）同（2）的方法可得△OAB≌△FBC，从而得BF＝OA＝1，再证△BED≌△FEC（AAS），即可得到答案；（1）分点C在第二象限，第三象限和第四象限三种情况：先确定出点A，B坐标，再同（2）（3）的方法确定出点C的坐标（用k表示），即可得出结论．【详解】（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵CA＝CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵直线l：y＝kx﹣1k经过点(2，﹣3)，∴2k﹣1k＝﹣3，∴k＝32，∴直线l的解析式为：y＝32x﹣6，令x＝0，则y＝﹣6，∴B(0，﹣6)，∴OB＝6，令y＝0，则0＝32x﹣6，∴x＝1，∴A(1，0)，∴OA＝1，同（1）的方法得：△OAB≌△EBC（AAS），∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝1，∴OE＝OB﹣BE＝6﹣1＝2，∵点C在第三象限，∴C(﹣6，﹣2)，故答案为：(﹣6，﹣2)；（3）如图2，对于直线l：y＝kx﹣1k，令x＝0，则y＝﹣1k，∴B(0，﹣1k)，∴OB＝1k，令y＝0，则kx﹣1k＝0，∴x＝1，∴A(1，0)，∴OA＝1，过点C作CF⊥y轴于F，则△OAB≌△FBC（AAS），∴BF＝OA＝1，CF＝OB＝1k，∴OF＝OB+BF＝1k+1，∵点C在第四象限，∴C(1k，-1k-1)，∵B(0，﹣1k)，∵BD∥x轴，且D在y＝x上，∴D(﹣1k，﹣1k)，∴BD＝1k＝CF，∵CF⊥y轴于F，∴∠CFE＝90°，∵BD∥x轴，∴∠DBE＝90°＝∠CFE，∵∠BED＝∠FEC，∴△BED≌△FEC（AAS），∴BE＝EF＝12BF＝2，故答案为：2；（1）①当点C在第四象限时，由（3）知，C(1k，-1k-1)，∵C(a，b)，∴a＝1k，b＝-1k-1，∴a+ b=-1；②当点C在第三象限时，由（3）知，B(0，﹣1k)，A(1，0)，∴OB＝1k，OA＝1，如图1，由（2）知，△OAB≌△EBC（AAS），∴CE＝OB＝1k，BE＝OA＝1，∴OE＝OB﹣BE＝1k﹣1，∴C(﹣1k，-1k+1)，∵C(a，b)，∴a＝﹣1k，b＝-1k+1，∴b﹣a＝1；③当点C在第二象限时，如图3，由（3）知，B(0，﹣1k)，A(1，0)，∴OB＝1k，OA＝1，∵△OAB≌△MBC（AAS），∴CM＝OB＝1k，BM＝OA＝1，∴OM＝BM﹣BO＝1﹣1k，∴C(﹣1k，1﹣1k)，∵C(a，b)，∴a＝﹣1k，b＝1﹣1k，∴b﹣a＝1；④点C不可能在第一象限；综上所述：a+ b=-1或b﹣a＝1．图3【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理与等腰直角三角形的性质定理以及一次函数图象的综合，掌握“一线三垂直”三角形全等模型，是解题的关键．20．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC 于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；AC=．求出ABCD的边BC上的高h的值．（2）若60∠=，6∠=，15DACADB【答案】(1)详见解析;(2)33【分析】(1)根据平行四边形性质得BO=DO,AO=CO,AD∥BC,构造条件证△AOE≌△COF（ASA）,证CF=AE,CF∥AE,即可;(2)作AH ⊥BC,根据直角三角形性质得CH=116322AC =⨯=,再运用勾股定理可得.【详解】证明:（1）∵在▱ABCD 中,AC,BD 交于点O,∴BO=DO,AO=CO,AD ∥BC,∴∠OAE=∠OCF,在△AOE 和△COF 中OAE OCFAO CO AOE COF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AOE ≌△COF （ASA ）,∴CF=AE,∵CF ∥AE,∴四边形AFCE 是平行四边形.(2)作AH ⊥BC,因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC,所以∠DAH=∠AHC=90°,因为60DAC ∠=,所以∠CAH=30°,所以CH=116322AC =⨯=所以AH=22226333AC CH -=-=所以ABCD 的边BC 上的高h 的值是33.【点睛】考核知识点:勾股定理,平行四边形性质和判定.熟练运用平行四边形性质和勾股定理是关键.21．如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆三个顶点的坐标分别是()0,0O ，()2,1A ，()1,3B ．（1）在图中，以x 轴为对称轴，作出OAB ∆的轴对称图形．（2）在图中，把OAB ∆平移使点A 平移到点()1,2A '-，请作出OAB ∆平移后的O A B '''∆，并直接写出点O '和点B '的坐标．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，()3,1O '-，()2,4B '-【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出OCD ∆；（2）点A 平移到A '，是向上平移1个单位，向左平移3个单位，将B 和O 进行同样的平移．【详解】（1）OCD ∆即为所求．（2）O A B '''∆即为所求，()3,1O '-，()2,4B '-．【点睛】本题考查画轴对称图形和图形的平移，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法和图形平移的画法． 22．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用300元钱购买门票，下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴的人数．【答案】8人【分析】设小伙伴的人数为x 人，根据图中所给的信息，从左图可以得到票价为：3002x -，右图可以知道票价打七折之后为：30020x-，根据折扣列方程求解即可． 【详解】解：设小伙伴的人数x 人， 依题意得3003002070%2x x-⨯=- 解得8x =经检验：8x =是原方程的解答：小伙伴的人数为8人．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即可．23．化简（1）212111x x x x ++⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭．（2）1193332xx x x-⎛⎫+⋅⎪-+⎝⎭．【答案】（1）x+1；（2）33x-+．【分析】（1）先算括号内的分式的减法,再算乘法,因式分解后约分可以解答本题；（2）先算括号内的分式的加法,再算乘法,因式分解后约分可以解答本题．【详解】解：（1）2121 11x xx x++⎛⎫-⋅⎪+⎝⎭＝2 11(1)1x xx x +-+⋅+＝1 1x xx+⋅＝x+1；（2）1193332x x x x-⎛⎫+⋅⎪-+⎝⎭＝333(3) (3)(3)2x x x x x x ++--⋅+-＝2332 xx x-⋅+＝33x-+．【点睛】本题考查了分式的四则混合运算,掌握运算法则和运算顺序是关键.24．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE ＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，=AD DGADC GD CD BDB ⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．25．解方程：121x -=12-342x -． 【答案】3x =【分析】先确定最简公分母是42x -,将方程两边同时乘以最简公分母约去分母可得: 2213x =--,然后解一元一次方程,最后再代入最简公分母进行检验.【详解】去分母得:2213x =--,解得:3x =,经检验3x =是分式方程的解．【点睛】本题主要考查解分式方程的方法,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的方法和步骤.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图□ABCD 的对角线交于点O ，70ACD ∠=，BE AC ⊥，则ABE ∠的度数为（ ）A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质得到70BAC ACD ∠=∠=︒,再根据垂直的定义及三角形的内角和求出ABE ∠.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴70BAC ACD ∠=∠=︒∵BE AC ⊥∴ABE ∠=90°-BAC ∠=20°故选D.【点睛】此题主要考查平行四边形内的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质.215 ）A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间【答案】A【分析】根据算术平方根的定义由9＜15＜16可得到315＜＜1．【详解】解：∵9＜15＜16，∴315＜＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 3．下列各图中，能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义逐一判断即可.【详解】A 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 不唯一，不符合题意；B 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 不唯一，不符合题意；C 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 唯一确定，符合题意；D 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 不唯一，不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键.4．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BA 和CD 的延长线交于点E ，若点P 使得S △PAB =S △PCD ，则满足此条件的点P （ ）A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．组成∠E 的角平分线D ．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外）【答案】D【解析】试题分析：作∠E 的平分线，可得点P 到AB 和CD 的距离相等，因为AB=CD ，所以此时点P 满足S △PAB =S △PCD ．故选D ．考点：角平分线的性质．5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：1x -，-a b ，3，21x +，a ，1x +分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将223(1)3(1)a x b x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱学B ．爱广益C ．我爱广益D ．广益数学。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次函数全章教案 课题：14.1.1变量
知识与技能：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。增强对变量的理解 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想 重点：变量与常量 难点：对变量的判断 教学媒体：多媒体电脑，绳圈 教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式 教学设计： 引入： 信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s. t/m 1 2 3 4 5 s/km
新课： 问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y? (2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？ （3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r? （4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？ 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。 指出上述问题中的变量和常量。 范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ （1） 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式； （2） 购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系； （3） 运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系； （4） 银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。 活动：1.分别指出下列各式中的常量与变量. (1) 圆的面积公式S=πr2; (2) 正方形的l=4a; (3) 大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系为y=2.5x. 2.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量. （1） 某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式. （2） 如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.
思考：怎样列变量之间的关系式？ 小结：变量与常量 作业：阅读教材5页，11.1.2函数 课题：14.1.2函数 知识与技能：理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数 会用变化的量描述事物 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：回用运动的观点观察事物，分析事物 重点：函数的概念 难点：函数的概念 教学媒体：多媒体电脑，计算器 教学说明：注意区分函数与非函数的关系，学会确定自变量的取值范围 教学设计： 引入： 信息1：小明在14岁生日时，看到他爸爸为他记录的以前各年周岁时体重数值表，你能看出小明各周岁时体重是如何变化的吗？ 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重（kg） 9.3 11.8 13.5 15.4 16.7 18.0 19.6 21.5 23.2 25 27.6 30.2 32.5
信息2：当你坐在摩天轮上时，随着旋转时间t（min）与你离开地面的高度h(m)之间的关系如图，你能填写下表吗？ 时间/min 0 1 2 3 4 5 高度/m
新课： 问题：（1）如图是某日的气温变化图。 ① 这张图告诉我们哪些信息？ ② 这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温变化规律的？ (2)收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和赫兹（KHz）为单位标刻的，下表中是一些对应的数： 波长l(m) 300 500 600 1000 1500 频率f(KHz) 1000 600 500 300 200 ① 这表告诉我们哪些信息？ ② 这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的，你能用一个表达式表示出来吗？ 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 范例：例1 判断下列变量之间是不是函数关系： （5） 长方形的宽一定时，其长与面积； （6） 等腰三角形的底边长与面积； （7） 某人的年龄与身高； 活动1：阅读教材7页观察1. 后完成教材8页探究，利用计算器发现变量和函数的关系 思考：自变量是否可以任意取值 例2 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。 （1） 写出表示y与x的函数关系式. （2） 指出自变量x的取值范围. （3） 汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ 解：（1）y=50-0.1x （2）0≤x≤500 （3）x=200,y=30 活动2：练习教材9页练习 小结：（1）函数概念 （2）自变量，函数值 （3）自变量的取值范围确定 作业：18页：2，3，4题 课题：14.1.3函数图象（一） 知识与技能：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象 结合函数图象，能体会出函数的变化情况 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：增强动手意识和合作精神 重点：函数的图象 难点：函数图象的画法 教学媒体：多媒体电脑，直尺 教学说明：在画图象中体会函数的规律 教学设计： 引入： 信息1：下图是一张心电图，
信息2：下图是自动测温仪记录的图象，他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？
新课： 问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2， 你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？ 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。 范例：例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家.其中x表示时间，y表示小名离家的距离. 根据图象回答问题： （8） 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？； （9） 小明给菜地浇水用了多少时间？ （10） 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ （11） 小明给玉米锄草用了多少时间？ （12） 玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？ 例2 在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：
（1）y=x+0.5; (2)y=x6 (x>0) 解：
活动1： 教材16页练习1，2题 思考：画函数图象的一般步骤是什么？ 小结：（1）什么是函数图象 （2）画函数图象的一般步骤 作业：19：5，7题 课题：14.1.3函数图象（二） 知识与技能：学会函数不同表示方法的转化，会由函数图象提取信息 正确识别函数图象 过程与方法：师生互动，讲练结合 情感态度世界观：激发学生的探索精神 重点：利用函数图象解决问题 难点：从函数图象中提取信息 教学媒体：多媒体电脑，直尺 教学说明：在画图象中找函数的规律 教学设计： 引入： 信息1：
信息2： 新课： 函数的表示方法为列表法、解析式法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。 范例：例1 一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度. 解：（1）y=0.05t+10 (0≤t≤7) （2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35 预计2小时后水位将达到10.35米。 思考：函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系？ 例2 已知函数y=2x-3，求： （1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）x取什么值时，函数值大于1； （3）若该函数图象和函数y=-x+k相交于x轴上一点，试求k的值. 活动2：在同一直角坐标系中，画出函数y=-x与函数y=2x-1的图象，并求出它们的交点坐标. 练习：教材18页：练习1，2题 小结：（1）函数的三种表示方法； （2）函数图象上点的坐标与函数关系式之间的关系； 作业：20页8，9，10题
(1) 由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象； (2) 据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？