江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题13_空间的平行与垂直问题

专题13：空间的平行与垂直问题 班级 姓名

一、前测训练

1．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D 、E 是棱CC 1，AB 的中点，求证：DE ∥平面AB 1C 1．

提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB 1的中点F ，证四边形C 1DEF 是平行四边形．

“中心投影法”延长BD 与B 1C 1交于M ，利用三角线中位线证DE ∥

法二：用面面平行的性质

取BB 1中点G ，证平面DEG ∥平面AB 1C 1． 2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C

(2)若E ，F 分别是A 1A ，C 1C 的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面

BDF ．

提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明BD ∥B 1D 1，A 1B ∥D 1C ．

(2)证明BD ∥B 1D 1，BF ∥D 1E ．

【变式】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1A 的中点．点F 在棱

CC 1上，使得平面EB 1D 1∥平面BDF ． 求证：点F 为棱CC 1的中点．

3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于O ，求证：A 1O ⊥平面MBD

提示：用线面垂直的判定定理：

证BD ⊥平面AA 1C 1C ，从而得出BD ⊥A 1O ； 在矩形AA 1C 1C 中，用平几知识证明A 1O ⊥OM ；

4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均相等，D 为BB 1的中点，求证：A 1B ⊥C D ． 分析：要证明A 1B ⊥C D ，只要证明A 1B 与CD 所在的平面垂直，或CD 与A 1B 所在的平面垂直， 但都没有现成的平面，构造经过CD 的平面与直线A 1B 垂直，或经过A 1B 的平面与直线CD 垂直．

方法1：取AB 的中点E ，连CE ，证A 1B ⊥平面CDE ； 方法2：取B 1C 1的中点F ，连BF ，证CD ⊥平面A 1BF ．

A E A 1

B C

C 1

B 1

D

A

M O

A 1 D 1 A

B

C

D

B 1

C 1

【变式】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 为BB 1的中点， A 1B ⊥CD ，求证：AA 1＝AB ．

5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点． 求证：平面PEF ⊥平面P AC ．

提示：设EF 与AC 交于点O ，证EF ⊥AC ，EF ⊥OP ， 从而得出EF ⊥平面P AC ．

【变式】如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点，若平面PEF ⊥平面P AC ，求证：四边形ABCD 是菱形．

6．如图，已知VB ⊥平面ABC ，侧面VAB ⊥侧面VAC ，求证：△VAC 是直角三角形． 提示：过B 作BD ⊥VA ，垂足为D ，

由侧面VAB ⊥侧面VAC ，得出BD ⊥侧面VAC ，从面BD ⊥AC ，

由VB ⊥平面ABC ，得AC ⊥VB ，从而AC ⊥平面VAB ． 所以AC ⊥VA ．

7．（1）设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．

(2)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．

答案 ：（1）6π；(2) 3

二、方法联想

1. 线线平行

（1）证明线线平行 方法1：利用中位线；

方法2：利用平行四边形； 方法3：利用平行线段成比例； 方法4：利用平行公理；

B C D

A P E

F B C

V

方法5：利用线面平行性质定理；

方法6：利用线面垂直性质定理； 方法7：利用面面平行．

（2）已知线线平行，可得线面平行

【变式1】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 为平行四边形，求证：EF ∥BC ． (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行) 2．线面平行

（1）证明线面平行 方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P ；②连接P A 交平面α于点M ；③连

接P A 交平面α于点N ，④连接MN 即为要找的平行线．

方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内

平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A 、B 构造两平行直线和平面α相交于M 、N ；②连接MN 即为要找的平行线．

方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A 做AC 平

行于平面α内一条直线A ’C ’；②连结BC ；③平面ABC 即为所要找的平行平面．

（2）已知线面平行

方法1 可得线线平行，过直线l 做平面β交已知平面α于直线m ，则l ∥m ．

方法2 可得面面平行

【变式】（1）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 是棱CC 1，AB 的上的点，且AE ＝2

3

AB ，

若DE ∥平面AB 1C 1，求CD

DC 1

的值．

（已知线面，转化为线线平行）

（2）E ，P ，G ，H 分别是四面体的棱ABCD 的棱AB 、CD 、CA 、CB

求证：PE ∥平面PGH ． （通过面面的平行证明线面平行） 3．面面平行

（1）证明面面平行

方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．

注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．

（2）已知面面平行 可得线线平行 4．线线垂直 （1）证明线线垂直

方法1：利用线面垂直；

构造垂面证线线垂直 要证l 垂直于AB ，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A 找垂直于l 的直线AC ；②连结BC ，③证BC 垂直l ，则l ⊥面ABC ． 方法2：利用线线平行转移线线垂直；

m l

α

① ② A B C

A ’

C ’ ①

② ① A M N

B 或

①

② ③ P A B ④ ① ② ③ A B

P ④

M N M N A

B

l

C

①

② M N

N