2017年嘉定区初三数学一模试卷
2017年嘉定区九年级第一次质量调研 数学试卷 2017.1.11
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1． 本试卷含三个大题，共25题；
2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定位置上作答，在草稿纸，本试卷上大题一律无效。
3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步
骤。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸相应位置上】
1.已知线段a ,b ,c ,d ,如果
d
c
b a =，那么下列式子中不一定正确的是（ ） A 、b
c a
d =； B 、c a =，d b = C 、d c c b a a +=+ D 、b
a
d b c a =++ 2.在ABC Rt △中，︒90=C ∠，5=AB ,3=AC ,下列选项中正确的是（ ）
A 、53sin =A
B 、53cos =A
C 、53tan =A
D 、5
3
cot =A
3.将抛物线23y x =向右平移1个单位长，再向上平移2个单位长，所得到的抛物线的表达式为（ ） A 、23(1)2y x =++ B 、23(1)2y x =+- C 、23(1)2y x =-+ D 、23(1)2y x =--
4.抛物线22(1)4y x =+-与y 轴的交点坐标为（ ）
A 、(0,4)- B.(1,4)-- C 、(0,2)- D 、(2,0)-
5.在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上（如图1），下列四个选项中，能判定DE ∥BC 的是（ ） A 、
BD CE AB AC = B 、AB AE AD AC = C 、AB BC AD DE = D 、AB AE
AC AD
=
图1
B
C
6.下列四个命题中，真命题是（ ） A 、垂直于弦的直线平分这条弦；
B 、平分弦的直径垂直于这条弦；
C 、如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角所对的弧相等；
D 、如果两条弧相等，那么这条弧所对的圆心角相等。
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7、计算：2a a -=
.
8、已知线段2AB =，如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP .那么AP 的值为 . 9、如果ABC ∆∽DEF ∆，且相似比为1:2，那么它们的面积之比为 .
10、如图2，在平面直角坐标系y x O 内有一点Q ，5=OQ ，射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为α，如果4
sin 5α=
，
那么点Q 的坐标为 .
x
11、在ABC Rt △中，︒=∠90C ,如果1
tan 2
A ∠=
，那么sin A ∠= . 12、如果一个斜坡的坡角为30︒，那么该斜坡的坡度i 为 .
13.如果抛物线2
(1)y m x =-的最高点是原点,那么实数m 的取值范围是_________. 14.抛物线2
23y x =+的对称轴是__________.
15.抛物线22y x x =-在直线1x =右侧的部分是__________.(从“上升的”或“下降的”中选择). 16.如果正多边形的一个外角为o 30，那么这个正多边形的边数是__________.
17.已知1O 的半径长为3，2O 的半径长为5，当1O 与2O 内切时，圆心距12O O 的长为__________. 18.在ABC Rt △中，D 是斜边AB 的中点（如图3），点M 、N 分别在边AC 、BC 上，将ΔCMN 沿直线MN 翻折，使得点C 的对应点E 落在射线CD 上，如果B α∠=,那么AM E ∠度数为 .（用含α的代数式表示）
图3B
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19、（本题满分10分）
计算：sin30错误！未找到引用源。
tan30错误！未找到引用源。
+ cos60错误！未找到引用源。
cot30错误！未找到引用源。
20、（本题满分10分）
用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过21米），围成一个矩形花圃ABCD.为便于管理，拟决定在与墙平行的边BC上预留出长度为1米的出口（如图4中的EF）.设AB边的长为x米，花圃面积为y平
方米，求y关于x的函数解析式及函数的定义域.
21. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图5，已知梯形ABCD 中，EF //AD //BC 。
点E ，F 分别在腰AB 、DC 上，且AE =3，EB =5 （1）求
DF
DC
的值； （2）当AD =4，BC =12时，求EF 的长
图5
B
22.（本题满分10分）
如图6，用高度为1.5米的测角仪分别在A 处、E 处测得电线杆上的C 处的仰角分别为o 30、o 60（点B 、F 、D 在同一直线上）如果BF =4米，求电线杆CD 的高度
图6
D
23.（本题满分12分，每小题6分）
在ΔABC 中，点D 在BC 边上，且满足CB CD CA ⋅=2
（如图7）.
（1）求证：
BC
AC
AB AD =
; （2）如图8，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AC 的延长线于点E ，联结BE ，延长AD 交BE 于点F ，求证：
BD
AD
BF EF =
. 图7
A
B
B
24、已知在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知抛物线42++-=bx x y 与x 轴的一个交点为()0,1-A ，与y 轴的交点记为C
（1）求该抛物线的表达式以及顶点D 的坐标；
（2）如果点E 在这个抛物线上，点F 在x 轴上，且以点F E C 、、、O 为顶点的四边形是平行四边形，
直接写出点F的坐标（写出两种情况即可）；
（3）点P与点A关于y轴对称，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，点Q在抛物线上，且QCB
PCB∠
=
∠,求点Q的坐标。
图9x
y
25、已知点P不在⊙O上，点Q是⊙O上任意一点，将线段PQ的长度中的最小的值定义为点P到⊙O 的“最近距离”；将线段PQ的长度中的最大的值定义为点P到⊙O的“最远距离”；
（1）（尝试）已知点P到⊙O的“最近距离”为2，点P到⊙O的“最远距离”为6，求⊙O的半径长（不需要解题过程，直接写出答案）.
（2）（证明）如图10，已知点P在⊙O外，试在⊙O上确定一点Q,使得PQ最短，并简要说明AQ最
短的理由.
（3）（应用）已知⊙O 的半径长为5，点P 到⊙O 的“最近距离”为1，以点P 为圆心，以线段PQ 为半径画圆，⊙P 交⊙O 于点A 、B ，联结OA 、PA ，求OAP ∠的余弦值.
图10
P
备用图1
备用图2
参考答案： 1-6：BBCCAD
7、a -
； 8
1； 9、1:4； 10、(3,4)； 11
； 12
、； 13、1m < 14、y 轴（或直线0x =）；15、上升的；16、12；17、2；18、1802α︒-
19
；
20、2221y x x =-+定义域（010x <≤）； 21、（1）
3
8
（2）7
22、32
（米
23、略
24、（1）234y x x =-++，顶点325D()24
，
（2）1(3,0)F ，2(3,0)F -，3F ，4F ，
（只要写出两个点坐标即可） （3）1(724Q ，-），213(33)416
Q ，
25、（1）点P 在⊙O 内，⊙O 的半径为2+6
=42
； 点P 在⊙O 外，⊙O 的半径为62
=22
-.
（2）略
（3）①点P 在⊙O 内，5cos 8OAP ∠=； ②点P 在⊙O 外，5
cos 12
OAP ∠=。
上海市嘉定区中考数学一模试卷
2016学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）（）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.已知线段a 、b 、c 、d ，如果a cb d=，那么下列式子中不一定正确的是………（▲）（A ）bc ad =； （B ）c a =，d b =；（C ）d c c b a a +=+；（D ）b a d b c a =++． 2.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AB ，3=AC .下列选项中正确的是………（▲）（A ）53sin =A ； （B ）53cos =A ； （C ）53tan =A ； （D ）53cot =A ．3.将抛物线23x y =向右平移1个单位长，再向上平移2个单位长，所得到的抛物线的表达式为…………………………………………………………………………………………（▲）（A ）2)1(32++=x y ； （B ）2)1(32-+=x y ；（C ）2)1(32+-=x y ； （D ）2)1(32--=x y ．4.抛物线4)1(22-+=x y 与y 轴的交点坐标为………………………………………（▲）（A ）(0，4-)； （B ）(1-，4-)； （C ）(0，2-)； （D ）(2-，0) .5.在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上（如图1），下列四个选项中，能判定DE ∥BC 的是………………………………………………………………………(▲)（A ）AC CE AB BD =； （B ）AC AE AD AB =； （C ）DE BC AD AB =； （D ）ADAE AC AB =． 6.下列四个命题中，真命题是………………………………………………………………(▲)（A ）垂直于弦的直线平分这条弦；（B ）平分弦的直径垂直于这条弦；（C ）如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角所对的弧相等；（D ）如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7.计算：=-a a 2 ▲ ．8.已知线段2=AB ，如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且BP AP >，那么AP 的长为 ▲ ．9.如果△ABC ∽△DEF ，且相似比为2:1，那么它们的面积之比为 ▲ ．10.如图2，在平面直角坐标系xOy 内有一点Q ，5=OQ ，射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为α（︒<<︒900α），如果54sin =α，那么点Q 的坐标为 ▲ ． 11.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，如果21tan =∠A ，那么A ∠sin = ▲ ．12.如果一个斜坡的坡角为︒30，那么该斜坡的坡度i 为 ▲ ．13.如果抛物线2)1(x m y -=的最高点是原点，那么实数m 的取值范围是 ▲ ．14.抛物线322+=x y 的对称轴是 ▲ ．15.抛物线x x y 22-=在直线1=x 右侧的部分是 ▲ （从“上升的”或“下降的”中选择）．16.如果正多边形的一个外角为︒30，那么这个正多边形的边数是 ▲ .17.已知⊙1O 的半径长为3，⊙2O 的半径长为5,当⊙1O 与⊙2O 内切时，圆心距21O O的长为 ▲ ．18.在Rt△ABC 中，D 是斜边AB 的中点（如图3），点M 、N 分别在边AC 、BC 上，将△CMN 沿直线MN 翻折，使得点C 的对应点E 落在射线CD 上.如果α=∠B ，那么∠AME 的度数为 ▲ （用含α的代数式表示）.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：︒⋅︒+︒⋅︒30cot 60cos 30tan 30sin .20．（本题满分10分）用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过21米），围成一个矩形花圃ABCD ，为了便于管理，拟决定在与墙平行的边BC上预留出长度为1米的出口（如图4中的EF ）.设AB 边的长为x 米，花圃面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域.21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图5，已知梯形ABCD 中，EF ∥AD ∥BC ，点E 、F 分别在腰AB 、DC 上，且AE = 3，EB = 5.（1）求DCDF 的值； （2）当AD = 4，BC = 12时，求EF 的长.22．（本题满分10分）如图6，用高度为米的测角仪分别在A 处、E 处测得电线杆上的C 处的仰角分别为︒30、︒60（点B 、F 、D 在同一条直线上）.如果4=BF 米，求电线杆CD 的高度.23．（本题满分12分，每小题6分）在△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足CB CD CA ⋅=2（如图7）.（1）求证：BCAC AB AD =； （2）如图8，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AC 的延长线于点E ，联结BE ，延长AD 交BE 于点F .求证：BDAD BF EF =.24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图9）中，已知抛物线42++-=bx x y 与x 轴的一个交点为A (1-，0)，与y 轴的交点记为点C .（1）求该抛物线的表达式以及顶点D 的坐标；（2）如果点E 在这个抛物线上，点F 在x 轴上，且以点O 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F 的坐标（写出两种情况即可）；（3）点P 与点A 关于y 轴对称，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，点Q 在抛物线上，且∠PCB =∠QCB 25．（满分14分，第（1）、（2已知：点P 不在．．⊙O 上，点定义：将线段PQ ；将线段PQ （1）（尝试）已知点P 到⊙O 的“最近距离”为2，点P 到⊙O 的“最远距离”为6，求⊙O 的半径长（不需要解题过程，直接写出答案）.（2）（证明）如图10，已知点P 在⊙O 外，试在⊙O 上确定一点Q ，使得PQ 最短，并简要说明PQ 最短的理由.（3）（应用）已知⊙O 的半径长为5，点P 到⊙O 的“最近距离”为1，以点P 为圆心，以线段PO 为半径画圆.⊙P 交⊙O 于点A 、B ，联结OA 、PA .求OAP ∠的余弦值.。
上海市2017各区中考数学一模试卷6套(包含答案解析)
2017年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣13．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．C． =D． =， =5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A．B．C．D．6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为．8．计算：（﹣3）﹣（+2）= ．9．已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1y2．（填“＞”、“=”或“＜”）14．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．2017年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=，cotA=．2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别求出x=0时y的值，即可判断是否过原点．【解答】解：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键．3．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．C． =D． =， =【考点】*平面向量．【分析】根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∥，∥，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、=，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、=， =，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵AD∥BC∴=，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴=，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴=，故D正确．∴C错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由△AEF∽△ABC，可知△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，根据cosA==，即可解决问题．【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵ =，∴b=a，∴==．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．8．计算：（﹣3）﹣（+2）= ．【考点】*平面向量．【分析】根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．【解答】解：：（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．【点评】本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．9．已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是k＜1 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．【解答】解：∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数有关是解题的关键．10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为y=（x﹣4）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x ﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是8 ．【考点】解直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形．【分析】利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8，故答案为：8【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1＞y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．故答案为：＞【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线x=2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，故答案为：x=2．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数值相等的点到对称轴的距离相等是解题的关键．15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为 2 ．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2，故答案为：2【点评】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的重心的性质，判断点G为三角形的重心是解题的关键．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为5+5米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】CF⊥AB于点F，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出AF和BF，即可解答．【解答】解：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米故答案为：5+5．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】探究型．【分析】设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度．【解答】解：设CE=x，连接AE，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为4．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【分析】先解直角△ABC，得出BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．再根据旋转的性质得出BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN=3×=2，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=2AN=4．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．故答案为4．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式====．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．【解答】解：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【点评】本题考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定义，以及向量加法的平行四边形法则．21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．【解答】解：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、熟记相似三角形的判定定理和性质定理、掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角函数定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．2017年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x23．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．8．计算：3﹣4（+）=．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于厘米．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．14．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是．15．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：（结果保留π，不要求写出定义域）17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．18．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果=，那么S△DPQ ：S△CPE的值是．三、解答题19．计算：cos245°+﹣•tan30°．20．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．21．如图，已知向量，，．（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设=，=，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比i2（结果保留根号）23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．25．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的长；（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．2017年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形【考点】相似图形．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故B正确；C、y=不是二次函数，故C错误；D、y=（x﹣2）2﹣x2是一次函数，故D错误；故选：B．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【考点】二次函数的性质．【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断A、B；当x=0或x=1时，y=6可求得其对称轴，可判断C；由表中所给函数值可判断D．【解答】解：当x=﹣2时，y=0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②=；故选：C．6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥【考点】*平面向量．【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．【解答】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项错误；B、当k＞0且≠时，那么k的方向与的方向相同，故本选项正确；C、如果k=0或=，那么k=，故本选项错误；D、如果=，=，其中是非零向量，那么向量a与向量b共线，即∥，故本选项错误；故选：B．二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质用x表示y，代入计算即可．【解答】解：∵x：y=4：3，∴x=y，∴==，故答案为：．8．计算：3﹣4（+）=﹣﹣4．【考点】*平面向量．【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．【解答】解：3﹣4（+）=3﹣4﹣4=﹣﹣4．故答案是：﹣﹣4．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是（0，0）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令x=0可求得y=0，可求得答案．【解答】解：在y=4x2﹣3x中，令x=0可得y=0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为12．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y=x2+2x﹣3，∴n=9+6﹣3=12，即n=12，故答案是：12．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于5﹣5厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，。
2017-2018上海嘉定区数学一模试卷与答案
DC = b ， 5. 已知矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 如果 BC = a ， 那么 OB 等于 （ ）
(A)
1 ( a -b ) 2
(B)
1 ( a +b ) 2
(C)
1 (b - a ) 2
(D) a - b
6. 下列四个命题中，真命题是（ ） (A) 相等的圆心角所对的两条弦相等 (C) 平分弦的直径一定垂直于这条弦
3 ，那么该斜坡的坡角为 ______ 度。 3
2 3
16、已知弓形的高是 1 厘米，弓形的半径长是 13 厘米，那么弓形的弦长是 ____ 厘米。 17、已知⊙O1 的半径长为 4，⊙O2 的半径为 r，圆心距 O1O2 = 6，当⊙O1 与⊙O2 外切时，r 的长为 ____ 。 18. 如图 3，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AD=3，AB=4，BC=8，点 E、F 分别 在边长 CD、BC 上，联结 EF。如果△CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 与点 A 恰好重合，那么 的值是 ____ 。
嘉定区 2017 学年第一学期九年级期终学业质量调研测试
数学试卷
一、选择题：(本大题共 6 题，每题 6 分，满分 24 分)
1、已知线段 a、b、c、d，如果 ab = c d ，那么下列式子一定正确的是（ (A) ）
a b =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc d
(B)
a b = d c
(C)
a d = c b
(D)
a c = b d
大力数学工作室 • 李老师
2
21. （本题满分 10 分，每小题 5 分） 如图 4，某湖心岛上有一亭子 A，在亭子 A 的正东方向上的湖边有一颗树 B，在这个湖 心岛的湖边 C 处测得亭子 A 在北偏西 45°方向上。 测得树 B 在北偏东 36°方向上， 又测得 B、 C 之间距离等于 200 米，求 A、B 之间距离（结果精确到 1 米） 。 （参考数据： 2 =1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727， cot36°≈1.376）
嘉定区数学一模初三试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1. 下列选项中，不是有理数的是（）A. 2/3B. -5C. √2D. 02. 若a=3，b=-2，则a+b的值为（）A. 1B. -1C. 5D. -53. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. 0C. 2D. -14. 下列各数中，有最小整数解的是（）A. 2x+3=7B. 3x-5=8C. 4x+2=9D. 5x-3=105. 若x+y=6，xy=12，则x²+y²的值为（）A. 36B. 48C. 60D. 726. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x+1D. y=-2x-17. 若∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 下列各式中，正确的是（）A. a²+b²=(a+b)²B. a²-b²=(a+b)(a-b)C. (a+b)²=a²+b²D. (a-b)²=a²-b²9. 下列各式中，正确的是（）A. (x+y)²=x²+y²B. (x-y)²=x²-y²C. (x+y)²=x²+2xy+y²D. (x-y)²=x²-2xy+y²10. 下列各式中，正确的是（）A. (x+y)³=x³+y³B. (x-y)³=x³-y³C. (x+y)³=x³+3xy²+3y³D. (x-y)³=x³-3xy²+3y³11. 下列各式中，正确的是（）A. a²+b²≥2abB. a²+b²≤2abC. a²+b²=2abD. a²+b²≠2ab12. 下列各式中，正确的是（）A. a³+b³=(a+b)³B. a³-b³=(a-b)³C. a³+b³=a³+b³D. a³-b³=a³-b³13. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=a²+2ab+b²B. (a-b)²=a²-2ab+b²C. (a+b)²=a²-2ab+b²D. (a-b)²=a²+2ab+b²14. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³B. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³C. (a+b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ D. (a-b)³=a³+3a²b-3ab²+b³15. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)³=a³+3ab²+3a²b+b³B. (a-b)³=a³-3ab²+3a²b-b³C. (a+b)³=a³-3ab²+3a²b-b³ D. (a-b)³=a³+3ab²-3a²b+b³16. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴B. (a-b)⁴=a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴C.(a+b)⁴=a⁴-4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴ D. (a-b)⁴=a⁴+4a³b-6a²b²+4ab³+b⁴17. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵B. (a-b)⁵=a⁵-5a⁴b+10a³b²-10a²b³+5ab⁴-b⁵ C. (a+b)⁵=a⁵-5a⁴b+10a³b²+10a²b³-5ab⁴+b⁵ D. (a-b)⁵=a⁵+5a⁴b-10a³b²+10a²b³-5ab⁴-b⁵18. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶B. (a-b)⁶=a⁶-6a⁵b+15a⁴b²-20a³b³+15a²b⁴-6ab⁵+b⁶ C. (a+b)⁶=a⁶-6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³-15a²b⁴+6ab⁵+b⁶ D. (a-b)⁶=a⁶+6a⁵b-15a⁴b²+20a³b³-15a²b⁴+6ab⁵-b⁶19. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)⁷=a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷B. (a-b)⁷=a⁷-7a⁶b+21a⁵b²-35a⁴b³+35a³b⁴-21a²b⁵+7ab⁶-b⁷ C. (a+b)⁷=a⁷-7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³-35a³b⁴+21a²b⁵-7ab⁶+b⁷ D. (a-b)⁷=a⁷+7a⁶b-21a⁵b²+35a⁴b³-35a³b⁴+21a²b⁵-7ab⁶-b⁷20. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)⁸=a⁸+8a⁷b+28a⁶b²+56a⁵b³+70a⁴b⁴+56a³b⁵+28a²b⁶+8ab⁷+b⁸B. (a-b)⁸=a⁸-8a⁷b+28a⁶b²-56a⁵b³+70a⁴b⁴-56a³b⁵+28a²b⁶-8ab⁷+b⁸C. (a+b)⁸=a⁸-8a⁷b+28a⁶b²+56a⁵b³-70a⁴b⁴+56a³b⁵+28a²b⁶-8ab⁷+b⁸ D. (a-b)⁸=a⁸+8a⁷b-28a⁶b²+56a⁵b³-70a⁴b⁴+56a³b⁵-28a²b⁶+8ab⁷-b⁸二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）21. 若a=3，b=-2，则a²+b²的值为______。
上海市嘉定区初三数学一模测验考试卷及答案
嘉定区2017学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.已知线段a 、b 、c 、d ，如果cd ab =，那么下列式子中一定正确的是 （▲） （A ）d b c a =； （B ）c b d a =； （C ）b d c a =； （D ）dc b a =． 2.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，6=AB ，b AC =，下列选项中一定正确的是（▲） （A ）A b sin 6=； （B ）A b cos 6=； （C ）A b tan 6=； （D ）A b cot 6=． 3.抛物线2)1(22-+=x y 与y 轴的交点的坐标是（▲）（A ）)2,0(-； （B ）)0,2(-； （C ）)1,0(-； （D ）)0,0(． 4.如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，联结AE 并延长交BC 的延长线于点F ，若CF AD 3=，那么下列结论中正确的是（▲）（A ）3:1:=FB FC ； （B ）3:1:=CD CE ； （C ）4:1:=AB CE ； （D ）2:1:=AF AE .5.已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，如果=，=，那么等于(▲) （A ）)(21-； （B ）)(21+； （C ）)(21-； （D ）-． 6.下列四个命题中，真命题是 (▲)（A ）相等的圆心角所对的两条弦相等； （B ）圆既是中心对称图形也是轴对称图形； （C ）平分弦的直径一定垂直于这条弦； （D ）相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7.已知点P 在线段AB 上，且3:2:=BP AP ,那么=PB AB : ▲ ．图18. 计算：=-+a b a 4)64(21▲ ． 9. 如果函数32)2(2++-=x x m y （m 为常数）是二次函数，那么m 取值范围是 ▲ ． 10. 抛物线342++=x x y 向下平移4个单位后所得的新抛物线的表达式是▲ ． 11. 抛物线2322-++=k x x y 经过点)0,1(-，那么=k ▲ ． 12. 如果△ABC ∽△DEF ，且对应面积之比为4:1，那么它们对应周长之比为 ▲ ．13. 如图2，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，四边形DEFB 是菱形，6=AB ，4=BC ，那么=AD ▲ ．14. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，如果32cos =∠A ，那么A ∠cot = ▲ ． 15. 如果一个斜坡的坡度33:1=i ，那么该斜坡的坡角为 ▲ 度． 16. 已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是 ▲ 厘米.17. 已知⊙1O 的半径长为4，⊙2O 的半径长为r ,圆心距621=O O ，当⊙1O 与⊙2O 外切时，r 的长为 ▲ ．18. 如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ， 3=AD ，4=AB ，8=BC ，点E 、F 分别在边CD 、 BC 上，联结EF ．如果△CEF 沿直线EF 翻折，点C与点A 恰好重合，那么ECDE的值是 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot .20．（本题满分10分，每小题5分）已知二次函数c bx ax y ++=2的图像上部分点的坐标),(y x 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.图2DAB CEF 图321．（本题满分10分）如图4，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西︒45方向上，测得树B 在北偏东︒36方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：414.12≈，588.036sin ≈︒，809.036cos ≈︒，727.036tan ≈︒，376.136cot ≈︒）22．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AC ，52=BC ，以点C 为圆心，CA长为半径的⊙C 与边AB 交于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与⊙C 另一个交点为点E .（1）求AD 的长；（2）求DE 的长．23．（本题满分12分，每小题6分） 如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.图6︒36 ︒45 AB C 图4A CB DE 图524．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=22点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； （2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图8图9图10嘉定区2017学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷参考答案一、1.C ；2.B ；3.D ；4.C ；5.A ；6.B .二、7.3:5；8.23-；9. 2≠m ；10.142-+=x x y ；11.3；12.2:1；13.518； 14.552；15. ︒60；16. 10；17.2；18.52. 三、19．解：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot12322233-⨯+-= ………………………8分 13223-+= 1323++= …………………………1分1233+=……………………………………………1分 20．解：（1）由题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-2,2,4c b a c c b a ……………………1+1分解这个方程组，得 1=a ，3=b ………………………………2分所以，这个二次函数的解析式是232-+=x x y . …………………1分（2）417)23(24949323222-+=--++=-+=x x x x x y …………1分顶点坐标为)41723(--； …………………………………………2分对称轴是直线23-=x . …………………………………………2分21．解：过点C 作AB CH ⊥，垂足为点H …………1分由题意，得 ︒=∠45ACH ,︒=∠36BCH ,200=BC在Rt △BHC 中，BCBH BCH =∠sin , ……1分 ∴20036sin BH=︒ ∵588.036sin ≈︒∴6.117≈BH ……………………1分 又BC HCBCH =∠cos ……………………1分∴20036cos HC =︒. ∵809.036cos ≈︒ ∴8.161≈HC ……………………1分︒36︒45 ABC 图4 H在Rt △AHC 中，HCAHACH =∠tan ……………………1分 ∵︒=∠45ACH ∴HC AH = ……………………1分 ∴8.161≈AH ……………………1分 又BH AH AB +=∴4.279≈AB ……………………1分 ∴279≈AB （米） ……………………1分答：A 、B 之间的距离为279米. 22.解：（1）过点C 作AB CH ⊥，垂足为点H ∵CH 经过圆心C∴AD HD AH 21== ……………1分 在Rt △ACB 中，︒=∠90ACB ，222AB BC AC =+∵5=AC ，52=BC ∴5=AB …………1分∵ABACAC AH A ==cos …………1分 ∴1=AH …………1分 ∴2=AD …………1分（2）设DE 与CB 的交点为F由题意，得CB DF ⊥,DE FE DF 21== …………1分∴︒=∠=∠90DFE ACB ∴AC ∥DF∴ABBD AC DF = …………1分∵2=AD ,5=AB ∴3=BD …………1分 ∴535=DF ∴553=DF …………1分∴556=DE …………1分23.证明（1）∵AD ∥BC ∴ACB DAE ∠=∠ ……1分∵BAC ADE ∠=∠∴△ADE ∽△CAB …1分 ∴BCAE AB DE =…………1分 ∴BC DE AE AB ⋅=⋅ ……1分∵CD AB =∴BC DE AE CD ⋅=⋅ ……2分（2）AD ∥BC ,CD AB =∴DAB ADC ∠=∠……………1分∵BAC ADE ∠=∠又CDE ADE ADC ∠+∠=∠， CAD BAC DAB ∠+∠=∠∴CAD CDE ∠=∠ ……………………1分 ∴△CDE ∽△CAD ……………………1分∴ CDCE CA CD = ∴CA CE CD ⋅=2……………………1分 由题意，得AF AB =,CD AB =∴CD AF = …………1分∴CA CE AF ⋅=2…………1分AC BDE 图5 HF 图624. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2032c c b ……………………1+1分 ∴38-=b …………1分∴抛物线的表达式是238322+-=x x y …………1分（2）由（1）得：238322+-=x x y 的对称轴是直线2=x ……1分∴点C 的坐标为)0,2(，……………………1分 ∵第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上∴以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似有两种① 当DAC ABO ∠=∠时，CACDOB OA =， ∴121CD =，21=CD ∴点D 的坐标为)21,2(- …………1分② 当ADC ABO ∠=∠时，同理求出2=CD ∴点D 的坐标为)2,2(- …………1分综上所述，点D 的坐标为)21,2(-或)2,2(-（3）∵点E 在该抛物线的对称轴直线2=x 上，且纵坐标是1∴点E 坐标是)1,2(， …………1分又点)2,0(B ，∴5=BE设直线2=x 与x 轴的交点仍是点C ∴ACE ABO BOCE ABE S S S S ∆∆∆--=∴23112112212)12(21=⨯⨯-⨯⨯-⨯+=∆ABE S ……1分 过点E 作AB EH ⊥，垂足为点H ,5=AB∴2321=⨯⨯=∆EH AB S ABE∴553=EH ……………………1分 在Rt △BHE 中，︒=∠90BFE∴53sin ==∠BE EH ABE ……………………1分25.（1）解：由题意，得8====AD CD BC AB ,︒=∠=∠90A C在Rt △BCP 中，︒=∠90C∴BC PC PBC =∠tan ∵43tan =∠PBC∴6=PC ∴2=RP ……………………1分∴1022=+=BC PC PB∵BQ RQ ⊥ ∴︒=∠90RQP ∴RQP C ∠=∠ ∵RPQ BPC ∠=∠∴△PBC ∽△PRQ ……………………1分 ∴PQ PC RP PB = ……………………1分 ∴PQ6210= ∴56=PQ ……………………1分（2）答：MQRM 的比值随点Q 的运动没有变化 ………1分解：∵MQ ∥AB ∴ABP ∠=∠1,A QMR ∠=∠∵︒=∠=∠90A C∴︒=∠=∠90C QMR ……………………1分∵BQ RQ ⊥ ∴︒=∠+∠901RQM ︒=∠+∠=∠90PBC ABP ABC ∴PBC RQM ∠=∠……………………1分∴△RMQ ∽△PCB ……………………1分∴BC PC MQ RM = ∵6=PC ，8=BC ∴43=MQ RM …1分 ∴MQ RM 的比值随点Q 的运动没有变化,比值为43 （3）延长BP 交AD 的延长线于点N ∵PD ∥AB ∴NANDAB PD =∵ND AD ND NA +=+=8∴882+=ND ND ∴38=ND …………1分∴31022=+=ND PD PN ∵PD ∥AB ,MQ ∥AB ∴PD ∥MQ ∴NQ NPMQ PD =……………………1分 ∵43=MQ RM ,y RM = ∴y MQ 34= 又2=PD ,310+=+=x PN PQ NQ ∴310310342+=x y ……………………1分 ∴23209+=x y ……………………1分 它的定义域是5260≤<x ……………………1分图8图9图10。
2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷解析版
2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题〔共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕1．〔4分〕设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．〔4分〕函数y=sin〔ωx﹣〕〔ω＞0〕的最小正周期是π，则ω=．3．〔4分〕设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．〔4分〕假设函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的反函数的图象经过点〔4，1〕，则实数a=．5．〔4分〕已知〔a+3b〕n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．〔4分〕甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．假设圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．假设数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n〔n∈N*〕，则〔〕=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①假设函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕的值域为{0}；②假设函数f〔x〕是偶函数，则f〔|x|〕=f〔x〕；③假设函数f〔x〕在其定义域内不是单调函数，则f〔x〕不存在反函数；④假设函数f〔x〕存在反函数f﹣1〔x〕，且f﹣1〔x〕与f〔x〕不完全相同，则f〔x〕与f﹣1〔x〕图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．〔写出所有真命题的序号〕11．设向量=〔1，﹣2〕，=〔a，﹣1〕，=〔﹣b，0〕，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，假设A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．“x＜2”是“x2＜4”的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．假设无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的选项是〔〕A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出以下命题：〔1〕存在实数α使．〔2〕直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．〔3〕y=cos〔cosx〕〔x∈R〕的值域是[cos1，1]．〔4〕假设α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为〔〕A．〔1〕〔2〕B．〔2〕〔3〕C．〔3〕〔4〕D．〔1〕〔4〕16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，] B．[3，+∞〕C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题〔共5小题，总分值76分〕17．〔14分〕如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；〔1〕求三棱锥A﹣BCD的体积；〔2〕设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．18．〔14分〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．〔I〕求角A的大小；〔II〕假设a=，b+c=3，求b和c的值．19．〔14分〕某地要建造一个边长为2〔单位：km〕的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为〔1，2〕，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD 内作一次函数y=kx+b〔k＞0〕的图象，与线段DB交于点N〔点N不与点D重合〕，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：〔1〕求证：b=﹣；〔2〕设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S〔t〕，并求S的最大值．20．〔16分〕已知函数f〔x〕=9x﹣2a•3x+3：〔1〕假设a=1，x∈[0，1]时，求f〔x〕的值域；〔2〕当x∈[﹣1，1]时，求f〔x〕的最小值h〔a〕；〔3〕是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①n＞m＞3；②当h〔a〕的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，假设存在，求出m、n的值，假设不存在，请说明理由．21．〔18分〕已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n﹣1，其中a≠1，常数r∈N；+1〔1〕求证：a n﹣a n是一个定值；+2〔2〕假设数列{a n}是一个周期数列〔存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n 成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；〔3〕假设数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1〔n∈N*〕，问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？假设是，请说明理由，假设不是，请举出反例．2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题〔共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=〔1，3〕，集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】此题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin〔ωx﹣〕〔ω＞0〕的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin〔ωx﹣〕〔ω＞0〕，∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】此题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．假设函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的反函数的图象经过点〔4，1〕，则实数a= 3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a过〔1，4〕，代入求得a的值．【解答】解：函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的反函数的图象经过点〔4，1〕，即函数f〔x〕=log2〔x+1〕+a的图象经过点〔1，4〕，∴4=log2〔1+1〕+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】此题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知〔a+3b〕n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】此题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决此题的关键，属中档题．7．假设圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】此题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．此题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．假设数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n〔n∈N*〕，则〔〕=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n〔n∈N*〕，∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=〔n﹣1〕2+3〔n﹣1〕，可得：=2n+2，∴a n=4〔n+1〕2．=4〔n+1〕．∴〔〕==2．故答案为：2．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】此题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①假设函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕的值域为{0}；②假设函数f〔x〕是偶函数，则f〔|x|〕=f〔x〕；③假设函数f〔x〕在其定义域内不是单调函数，则f〔x〕不存在反函数；④假设函数f〔x〕存在反函数f﹣1〔x〕，且f﹣1〔x〕与f〔x〕不完全相同，则f 〔x〕与f﹣1〔x〕图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．〔写出所有真命题的序号〕【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①假设函数f〔x〕既是奇函数又是偶函数，则f〔x〕=0，为常数函数，所以f〔x〕的值域是{0}，所以①正确．②假设函数为偶函数，则f〔﹣x〕=f〔x〕，所以f〔|x|〕=f〔x〕成立，所以②正确．③因为函数f〔x〕=在定义域上不单调，但函数f〔x〕存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比方函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1〔x≤0〕的交点坐标有〔﹣1，0〕，〔0，1〕，显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】此题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=〔1，﹣2〕，=〔a，﹣1〕，=〔﹣b，0〕，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，假设A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=〔+〕〔2a+b〕，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=〔1，﹣2〕，=〔a，﹣1〕，=〔﹣b，0〕，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=〔a﹣1，1〕，=﹣=〔﹣b﹣1，2〕，∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=〔+〕〔2a+b〕=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】此题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体外表上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如下图，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】此题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，表达了转化〔空间问题转化为平面问题，化曲为直〕的思想方法．二、选择题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．“x＜2”是“x2＜4”的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】此题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．假设无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的选项是〔〕A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】此题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出以下命题：〔1〕存在实数α使．〔2〕直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．〔3〕y=cos〔cosx〕〔x∈R〕的值域是[cos1，1]．〔4〕假设α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为〔〕A．〔1〕〔2〕B．〔2〕〔3〕C．〔3〕〔4〕D．〔1〕〔4〕【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】〔1〕利用辅助角公式将可判断〔1〕；〔2〕根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断〔2〕；〔3〕根据余弦函数的性质可求出y=cos〔cosx〕〔x∈R〕的最大值与最小值，从而可判断〔3〕的正误；〔4〕用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断〔4〕．【解答】解：〔1〕∵，∴〔1〕错误；〔2〕∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴〔2〕正确；〔3〕根据余弦函数的性质可得y=cos〔cosx〕的最大值为y max=cos0=1，y min=cos 〔cos1〕，其值域是[cos1，1]，〔3〕正确；〔4〕不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，〔4〕错误；故选B．【点评】此题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，] B．[3，+∞〕C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f〔y〕=+，利用基本不等式可求得f〔y〕min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f〔y〕=+，则asinx+1﹣sin2x≤f〔y〕min，当y＞0时，f〔y〕=+≥2=3〔当且仅当y=6时取“=”〕，f〔y〕min=3；当y＜0时，f〔y〕=+≤﹣2=﹣3〔当且仅当y=﹣6时取“=”〕，f〔y〕max=﹣3，f〔y〕min不存在；综上所述，f〔y〕min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①假设sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g〔t〕=t+〔0＜t≤1〕，则a≤g〔t〕min．由于g′〔t〕=1﹣＜0，所以，g〔t〕=t+在区间〔0，1]上单调递减，因此，g〔t〕min=g〔1〕=3，所以a≤3；②假设sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③假设sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】此题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f〔y〕=+，求得f〔y〕min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题〔共5小题，总分值76分〕17．〔14分〕〔2017•上海一模〕如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；〔1〕求三棱锥A﹣BCD的体积；〔2〕设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】〔1〕由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD 的体积．〔2〕以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：〔1〕如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．〔2〕以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A〔0，2，2〕，D〔2，0，0〕，C〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，M〔〕，=〔2，﹣2，﹣2〕，=〔〕，设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】此题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．〔14分〕〔2017•上海一模〕在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．〔I〕求角A的大小；〔II〕假设a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．〔I〕在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos〔B+C〕]﹣4cos2A+2=7，【分析】解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．〔II〕由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：〔I〕在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos〔B+C〕]﹣4cos2A+2=7，〔1分〕又∵cos〔B+C〕=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．〔4分〕解得，∴．〔6分〕〔II〕由．〔8分〕又．〔10分〕由．〔12分〕【点评】此题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．〔14分〕〔2017•上海一模〕某地要建造一个边长为2〔单位：km〕的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为〔1，2〕，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b〔k＞0〕的图象，与线段DB交于点N〔点N不与点D重合〕，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：〔1〕求证：b=﹣；〔2〕设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S〔t〕，并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】〔1〕根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y 得△=0即可证明b=﹣；〔2〕写出点P的坐标〔t，2t2〕，代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S〔t〕，利用基本不等式求出S 的最大值．【解答】〔1〕证明：函数y=ax2过点D〔1，2〕，代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=〔﹣k〕2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；〔2〕解：设点P的横坐标为t，则P〔t，2t2〕；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M〔，0〕；令y=2，解得x=+，∴N〔+，2〕；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S〔t〕=2×2﹣×2×[+〔+〕]=4﹣〔t+〕；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】此题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．〔16分〕〔2017•上海一模〕已知函数f〔x〕=9x﹣2a•3x+3：〔1〕假设a=1，x∈[0，1]时，求f〔x〕的值域；〔2〕当x∈[﹣1，1]时，求f〔x〕的最小值h〔a〕；〔3〕是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①n＞m＞3；②当h〔a〕的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，假设存在，求出m、n的值，假设不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】〔1〕设t=3x，则φ〔t〕=t2﹣2at+3=〔t﹣a〕2+3﹣a2，φ〔t〕的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f〔x〕的值域；〔2〕由函数φ〔t〕的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h〔a〕的表达式可求；〔3〕假设满足题意的m，n存在，函数h〔a〕在〔3，+∞〕上是减函数，求出h〔a〕的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：〔1〕∵函数f〔x〕=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ〔t〕=t2﹣2at+3=〔t﹣a〕2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ〔t〕=〔t﹣1〕2+2在[1，3]递增，∴φ〔t〕∈[φ〔1〕，φ〔3〕]，∴函数f〔x〕的值域是：[2，6]；〔Ⅱ〕∵函数φ〔t〕的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h〔a〕=φ〔〕=﹣；当≤a≤3时，y min=h〔a〕=φ〔a〕=3﹣a2；当a＞3时，y min=h〔a〕=φ〔3〕=12﹣6a．故h〔a〕=；〔Ⅲ〕假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h〔a〕=12﹣6a，∴函数h〔a〕在〔3，+∞〕上是减函数．又∵h〔a〕的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6〔n﹣m〕=〔n﹣m〕•〔m+n〕，又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】此题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．〔18分〕〔2017•上海一模〕已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；〔1〕求证：a n+2﹣a n是一个定值；〔2〕假设数列{a n}是一个周期数列〔存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n 成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；〔3〕假设数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1〔n∈N*〕，问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？假设是，请说明理由，假设不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】〔1〕由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1〔a n+2﹣a n〕，由此能够证明a n+2﹣a n为定值．〔2〕当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．〔3〕因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2〔r+〕，化简2a2﹣ar ﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】〔1〕证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1〔a n+2﹣a n〕，∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．〔2〕解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，〔3〕解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2〔r+〕，化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时〔k﹣r〕〔k+r〕=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1〔n∈N*〕，a n=1时，不符合，舍去．a n=时，假设2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2018年上海市嘉定区初三数学一模考试卷及标准答案
嘉定区2017学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.已知线段a 、b 、c 、d ，如果cd ab =，那么下列式子中一定正确的是 （▲） （A ）d b c a =； （B ）c b d a =； （C ）b d c a =； （D ）dc b a =． 2.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，6=AB ，b AC =，下列选项中一定正确的是（▲） （A ）A b sin 6=； （B ）A b cos 6=； （C ）A b tan 6=； （D ）A b cot 6=． 3.抛物线2)1(22-+=x y 与y 轴的交点的坐标是（▲）（A ）)2,0(-； （B ）)0,2(-； （C ）)1,0(-； （D ）)0,0(． 4.如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，联结AE 并延长交BC 的延长线于点F ，若CF AD 3=，那么下列结论中正确的是（▲）（A ）3:1:=FB FC ； （B ）3:1:=CD CE ； （C ）4:1:=AB CE ； （D ）2:1:=AF AE .5.已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，如果=，=，那么等于(▲) （A ）)(21-； （B ）)(21+； （C ）)(21-； （D ）-． 6.下列四个命题中，真命题是 (▲)（A ）相等的圆心角所对的两条弦相等； （B ）圆既是中心对称图形也是轴对称图形； （C ）平分弦的直径一定垂直于这条弦； （D ）相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7.已知点P 在线段AB 上，且3:2:=BP AP ,那么=PB AB : ▲ ．图18. 计算：=-+a b a 4)64(21▲ ． 9. 如果函数32)2(2++-=x x m y （m 为常数）是二次函数，那么m 取值范围是 ▲ ． 10. 抛物线342++=x x y 向下平移4个单位后所得的新抛物线的表达式是▲ ． 11. 抛物线2322-++=k x x y 经过点)0,1(-，那么=k ▲ ． 12. 如果△ABC ∽△DEF ，且对应面积之比为4:1，那么它们对应周长之比为 ▲ ．13. 如图2，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，四边形DEFB 是菱形，6=AB ，4=BC ，那么=AD ▲ ．14. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，如果32cos =∠A ，那么A ∠cot = ▲ ． 15. 如果一个斜坡的坡度33:1=i ，那么该斜坡的坡角为 ▲ 度． 16. 已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是 ▲ 厘米.17. 已知⊙1O 的半径长为4，⊙2O 的半径长为r ,圆心距621=O O ，当⊙1O 与⊙2O 外切时，r 的长为 ▲ ．18. 如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ， 3=AD ，4=AB ，8=BC ，点E 、F 分别在边CD 、 BC 上，联结EF ．如果△CEF 沿直线EF 翻折，点C与点A 恰好重合，那么ECDE的值是 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot .20．（本题满分10分，每小题5分）已知二次函数c bx ax y ++=2的图像上部分点的坐标),(y x 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴. 21．（本题满分10分）如图4，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个图2DAB CEF 图3湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西︒45方向上，测得树B 在北偏东︒36方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：414.12≈，588.036sin ≈︒，809.036cos ≈︒，727.036tan ≈︒，376.136cot ≈︒）22．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AC ，52=BC ，以点C 为圆心，CA 长为半径的⊙C 与边AB 交于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与⊙C 另一个交点为点E .（1）求AD 的长；（2）求DE 的长． 23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =BAC ADE ∠=∠. （1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F 求证：CA CE AF ⋅=2.24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=22点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始图6终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； （2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图8图9图10嘉定区2017学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷参考答案一、1.C ；2.B ；3.D ；4.C ；5.A ；6.B .二、7.3:5；8.23-；9. 2≠m ；10.142-+=x x y ；11.3；12.2:1；13.518； 14.552；15. ︒60；16. 10；17.2；18.52.三、19．解：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot12322233-⨯+-= ………………………8分 13223-+= 1323++= …………………………1分 1233+=……………………………………………1分 20．解：（1）由题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-2,2,4c b a c c b a ……………………1+1分解这个方程组，得 1=a ，3=b ………………………………2分 所以，这个二次函数的解析式是232-+=x x y . …………………1分 （2）417)23(24949323222-+=--++=-+=x x x x x y …………1分 顶点坐标为)41723(--； …………………………………………2分 对称轴是直线23-=x . …………………………………………2分21．解：过点C 作AB CH ⊥，垂足为点H …………1分由题意，得 ︒=∠45ACH ,︒=∠36BCH ,200=BC在Rt △BHC 中，BCBH BCH =∠sin , ……1分 ∴20036sin BH=︒ ∵588.036sin ≈︒∴6.117≈BH ……………………1分又BCHCBCH =∠cos ……………………1分∴20036cos HC =︒. ∵809.036cos ≈︒∴8.161≈HC ……………………1分在Rt △AHC 中，HCAHACH =∠tan ……………………1分︒36 ︒45 ABC 图4H∵︒=∠45ACH ∴HC AH = ……………………1分 ∴8.161≈AH ……………………1分 又BH AH AB +=∴4.279≈AB ……………………1分 ∴279≈AB （米） ……………………1分答：A 、B 之间的距离为279米. 22.解：（1）过点C 作AB CH ⊥，垂足为点H ∵CH 经过圆心C∴AD HD AH 21== ……………1分 在Rt △ACB 中，︒=∠90ACB ，222AB BC AC =+∵5=AC ，52=BC ∴5=AB …………1分∵ABACAC AH A ==cos …………1分 ∴1=AH …………1分 ∴2=AD …………1分（2）设DE 与CB 的交点为F由题意，得CB DF ⊥,DE FE DF 21== …………1分∴︒=∠=∠90DFE ACB ∴AC ∥DF∴ABBD AC DF = …………1分∵2=AD ,5=AB ∴3=BD …………1分 ∴535=DF ∴553=DF …………1分 ∴556=DE …………1分 23.证明（1）∵AD ∥BC ∴ACB DAE ∠=∠ ……1分∵BAC ADE ∠=∠∴△ADE ∽△CAB …1分 ∴BCAEAB DE = …………1分∴BC DE AE AB ⋅=⋅ ……1分∵CD AB =∴BC DE AE CD ⋅=⋅ ……2分（2）AD ∥BC ,CD AB =∴DAB ADC ∠=∠……………1分∵BAC ADE ∠=∠又CDE ADE ADC ∠+∠=∠， CAD BAC DAB ∠+∠=∠∴CAD CDE ∠=∠ ……………………1分 ∴△CDE ∽△CAD ……………………1分∴ CDCE CA CD = ∴CA CE CD ⋅=2……………………1分 由题意，得AF AB =,CD AB =∴CD AF = …………1分∴CA CE AF ⋅=2…………1分24. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(BAC BDE 图5 HF 图6∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2032c c b ……………………1+1分 ∴38-=b …………1分∴抛物线的表达式是238322+-=x x y …………1分（2）由（1）得：238322+-=x x y 的对称轴是直线2=x ……1分∴点C 的坐标为)0,2(，……………………1分 ∵第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上∴以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似有两种① 当DAC ABO ∠=∠时，CACDOB OA =， ∴121CD =，21=CD ∴点D 的坐标为)21,2(- …………1分② 当ADC ABO ∠=∠时，同理求出2=CD ∴点D 的坐标为)2,2(- …………1分综上所述，点D 的坐标为)21,2(-或)2,2(-（3）∵点E 在该抛物线的对称轴直线2=x 上，且纵坐标是1∴点E 坐标是)1,2(， …………1分又点)2,0(B ，∴5=BE 设直线2=x 与x 轴的交点仍是点C ∴ACE ABO BO CE ABE S S S S ∆∆∆--=∴23112112212)12(21=⨯⨯-⨯⨯-⨯+=∆ABE S ……1分 过点E 作AB EH ⊥，垂足为点H ,5=AB∴2321=⨯⨯=∆EH AB S ABE∴553=EH ……………………1分 在Rt △BHE 中，︒=∠90BFE∴53sin ==∠BE EH ABE ……………………1分 25.（1）解：由题意，得8====AD CD BC AB ,︒=∠=∠90A C在Rt △BCP 中，︒=∠90C∴BC PC PBC =∠tan ∵43tan =∠PBC∴6=PC ∴2=RP ……………………1分∴1022=+=BC PC PB∵BQ RQ ⊥ ∴︒=∠90RQP ∴RQP C ∠=∠∵RPQ BPC ∠=∠∴△PBC ∽△PRQ ……………………1分∴PQ PC RP PB = ……………………1分 ∴PQ6210=∴56=PQ ……………………1分（2）答：MQRM 的比值随点Q 的运动没有变化 ………1分解：∵MQ ∥AB ∴ABP ∠=∠1,A QMR ∠=∠∵︒=∠=∠90A C∴︒=∠=∠90C QMR ……………………1分∵BQ RQ ⊥ ∴︒=∠+∠901RQM ︒=∠+∠=∠90PBC ABP ABC ∴PBC RQM ∠=∠……………………1分∴△RMQ ∽△PCB ……………………1分∴BC PC MQ RM = ∵6=PC ，8=BC ∴43=MQ RM …1分 ∴MQRM的比值随点Q 的运动没有变化,比值为43（3）延长BP 交AD 的延长线于点N ∵PD ∥AB ∴NANDAB PD = ∵ND AD ND NA +=+=8∴882+=ND ND ∴38=ND …………1分∴31022=+=ND PD PN ∵PD ∥AB ,MQ ∥AB ∴PD ∥MQ ∴NQ NPMQ PD =……………………1分 ∵43=MQ RM ,y RM = ∴y MQ 34= 又2=PD ,310+=+=x PN PQ NQ ∴310310342+=x y ……………………1分∴23209+=x y ……………………1分 它的定义域是5260≤<x ……………………1分图9图10。
上海市嘉定区2017届初三第二学期质量调研测试数学试题
2016学年嘉定区九年级第二次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）（2017.4）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果a 表示不为0的任意一个实数，那么下列四个算式中，正确的是 ················· （▲） （A ）a a a =-2323； （B ）a a a =⋅313； （C ）a a a =÷23； （D ）a a =212)(.2.在解答“一元二次方程021212=+-a x x 的根的判别式为 ▲ ”的过程中，某班同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是 ············································ （▲） （A ）0241≥-a ； （B ）a 241-； （C ）081≥-a ； （D ）a 81-．3.如果函数122++=x ax y 的图像不经过第四象限，那么实数a 的取值范围为 ······· （▲） （A ）0<a ；（B ）0=a ；（C ）0>a ；（D ）0≥a ．4.从概率统计的角度解读下列诗词所描述的事件，其中属于确定事件的是 ·············· （▲） （A ）黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙； （B ）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开； （C ）水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯；（D ）一夜北风紧，开门雪尚飘.5.已知⊙A 的半径长为2，⊙B 的半径长为5，如果⊙A 与⊙B 内含，那么圆心距AB 的长度可以为 ·············································· ······························ ························ (▲) （A ）0；（B ）3；（C ）6；（D ）9.6.将两个底边相等的等腰三角形按照图1所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”.假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是 ······················································································ (▲)（A ）有两组邻边相等的四边形称为“筝形”； （B ）有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”； （C ）两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”；（D ）以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”.1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】 7.计算：=-1)21( ▲ ．8.已知73.13≈，那么≈31▲ （保留两个有效数字．．．．．．．．）9.不等式组⎩⎨⎧>+<01,32x x 的解集是 ▲ ．10.方程2+x ＝x 的实数解是 ▲ ．11.已知点),(11y x A 、点),(22y x B 在反比例函数xy 2-=的图像上.如果210x x <<，那么1y 与2y 的大小关系为：1y ▲ 2y （从“<”、“=”、“>”中选择）．12.某校学生综合素质评价方案中有这样一段话：“学生自评、同学互评与班级评定小组评价在学生综合素质评价中所占的权重分别为%10、%30、%60”.如果甄聪明同学的自评分数、同学互评分数、班级评定小组给出的分数分别为96分、95分、95分，那么甄聪明同学的综合素质评价分数为 ▲ 分．13.一名射击运动员连续打靶9次，假如他打靶命中环数的情况如图2所示，那么该射击运动员本次打靶命中环数的中位数为 ▲ 环．14.如果非零向量a 与向量b 的方向相反，且b a 32=，那么向量a 为 ▲ （用向量b 表示）．15.从山底A 点测得位于山顶B 点的仰角为︒30，那么从B 点测得A 点的俯角为 ▲ 度． 16.已知扇形的弧长为8，如果该扇形的半径长为2，那么这个扇形的面积为 ▲ ． 17.命题“相等的角不一定是对顶角”是 ▲ 命题（从“真”或“假”中选择）． 18.已知在△ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ，53cos =A （如图3），将△ABC 绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别记为A '、B '，B A ''与边AB 相交于点E ．如果B A ''⊥AC ，那么线段E B '的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：2122442--++-x x x ，其中2=x .20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=--=-．，032222y xy x y xABC图3将大小相同，形状也相同的三个菱形按照图4的方式拼接在一起（其中，点B 、C 、F 、G 在同一条直线上），3=AB .联结AG ，AG 与EF 相交于点P .（1）求线段EP 的长；（2）如果︒=∠60B ，求△APE 的面积.22．（本题满分10分，第（1）小题6分；第（2）小题4分）某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：（1）如果该车的油箱内剩余油量（升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，求y关于x 的函数解析式（不需要写出它的定义域）；（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）.假如不在高速公路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少．．需要有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由. 23．（本题满分12分，每小题6分）已知：正方形ABCD ，点E 在边CD 上，点F 在线段BE 的延长线上，且CBE FCE ∠=∠. （1）如图5，当点E 为CD 边的中点时，求证：EF CF 2=； （2）如图6，当点F 位于线段AD 的延长线上，求证：DFDEBE EF =.ABCDEF图5ABCD 图6FEABCD图4FEGHP在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知点A 的坐标为（3,1），点B 的坐标为（6，5），点C 的坐标为（0,5）；某二次函数的图像经过点A 、点B 与点C .（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，直接．．写出点Q 的坐标； （3）如果第一象限内的点P 在（1）中求出的二次函数 的图像上，且21tan =∠PCA ，求PCB ∠的正弦值.25．（满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分、第（3）小题4分）已知：8=AB ，⊙O 经过点A 、B .以AB 为一边画平行四边形ABCD ，另一边CD 经过点O （如图8）.以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交线段OC 于点E （点E 不与点O 、点C 重合）.（1）求证：OE OD =；（2）如果⊙O 的半径长为5（如图9），设x OD =，y BC =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为5，联结AC ，当AC BE ⊥时，求OD 的长.图9备用图图82016学年嘉定区九年级第二次质量调研数学试卷参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、C ；2、B ；3、D ；4、C ；5、A ；6、D.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、2；8、58.0；9、231<<-x ；10、2=x ；11、>；12、1.95；13、9环；14、b a 23-=；15、︒30；16、8；17、真命题；18、524.三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 解：2122442--++-x x x )2)(2(2)2)(2()2(2)2)(2(4-++--+-+-+=x x x x x x x x ······ 3分 21)2)(2()2()2)(2(2424+=-+-=-+---+=x x x x x x x x . ··································· 2+2+1分当2=x 时，原式=221221-=+. ···················································· 2分 20．（本题满分10分）解：03222=--y xy x 可以化为：0))(3(=+-y x y x ，所以：03=-y x 或0=+y x . ·································································· 2分原方程组可以化为：⎩⎨⎧=-=-032y x y x ，（Ⅰ）与⎩⎨⎧=+=-02y x y x ，（Ⅱ） ·························· 2分 解（Ⅰ）得⎩⎨⎧==1,3y x ； 解（Ⅱ）得⎩⎨⎧-==1,1y x ················································· 2+2分 所以，原方程组的解为：⎩⎨⎧==;1,311y x 与⎩⎨⎧-==.1,122y x ················································· 2分21．（本题满分10分，每小题5分）解：（1）由题意得四边形ABGH 、ABFE 是平行四边形. ·································· 1分∴ AE ∥FG . ····················································································· 1分ABCD图4FEGHPH ∴FGAEFP EP =. ······················································································· 1分 将6=AE ，3=FG 代入，得 2=FP EP ，即32=EF EP ································· 1分 又∵四边形ABFE 是平行四边形，3=AB ，∴3==AB EF .∴2=EP . ··········· 1分 （2）过点P 作AE PH ⊥，垂足为H （如图4）. ········································· 1分 ∵四边形ABFE 是平行四边形，︒=∠60B ，∴︒=∠=∠60B PEH . ············ 1分 在Rt △PEH 中，︒=∠90PHE ，︒=∠60PEH ，2=EP ，∴323260sin =⨯=︒⋅=EP PH . ······················································· 2分 ∴△APE 的面积为33362121=⨯⨯=⋅PH AE . ··································· 1分22．（本题满分10分）解：（1）设油箱内剩余油量y （升） 与行驶路程x （千米）之间的函数关系式为b kx y +=. ······················································································· 1分分别将100=x ，52=y ；150=x ，48=y 代入上式，得⎩⎨⎧=+=+.48150,52100b k b k ······· 2分解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=.60,252b k ···················································································· 2分 ∴所求的函数关系式为60252+-=x y ························································· 1分 （2）方法1：由题意可得，该型号的汽车在该路段行驶时，每行驶100耗油8升. ·· 2分 设行驶300公里时需要耗油x 升，可得8:100:300x =，解得24=x 升. ············· 1分方法2：将300=x 代入60252+-=x y ，得36=y . ······································ 2分 243660=-. ··············································································· 1分答：张老师的这辆车的油箱内至少．．需要有24升汽油. ········································ 1分 备注：学生若是在得到24升油的基础上又考虑了其它因素（如离开高速公路之后还需要再行驶一段路程才可以抵达目的地（或寻找到加油站），因此给出了大于24升油的其它数据，只要能够自圆其说，且符合生活实际情况，那么可以酌情评分. 23．（本题满分12分，每小题6分）（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =. ··········································· 1分∵点E 为CD 边的中点，∴CD CE 21=BC 21=. ··································· 1分 ∵CBE FCD ∠=∠，F F ∠=∠，∴△FCE ∽△FBC . ··························· 2分 ∴BCCECF EF =. ·················································································· 1分又∵BC CE 21=，∴21=CF EF .即EF CF 2=. ············································· 1分 （2）∵四边形ABCD 是正方形，∴DE ∥AB ，AD ∥BC ，AD =CD . ················ 1分∵点F 位于线段AD 的延长线上，DE ∥AB ，∴ADDFBE EF =. ························ 1分 又∵AD =CD ，∴CDDFBE EF =.（1） ··························································· 1分 ∵AF ∥BC ，∴CBE DFE ∠=∠.又∵CBE DCF ∠=∠，∴DCF DFE ∠=∠. ················································ 1分 又∵CDF FDE ∠=∠，∴△FDE ∽△CDF . ················································ 1分∴CD DF DF DE =（2）.由（1）、（2）得 DFDEBE EF =. ········································ 1分24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2，将A （3,1）、B （6，5）、C （0,5）代入，得 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=++.5,5636,139c c b a c b a 解得 94=a ，38-=b ，5=c . ································· 3分所以，这个二次函数的解析式为538942+-=x x y . ·········································· 1分 （2）)6,3(1Q ，)4,3(2-Q ，)9,3(3Q ，)825,3(4Q . ············································ 4分（3）由题意得，该二次函数图像的对称轴为直线3=x . ····································· 1分 联结PC 交直线3=x 于点M ，过点M 作AC MN ⊥，垂足为N (图7-1) . 将直线3=x 与BC 的交点记为H ，易得3=CH ，4=AH ，5=AC .∴53sin ==∠CA CH CAH ········································································ 1分 故可设k MN 3=，则k AM 5=，k AM 4=.又∵21tan =∠PCA ，则k CN 6=.由题意得方程：564=+k k .解得21=k ，25=AM ，23254=-=MH ·········· 1分A B CDEF图5ABCD 图6FE∴523)23(322=+=CM.∴55sin==∠CMMHPCB. ····························1分25．（满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）解：（1）联结OA、OB(如图8-1)，易得OBOA=，OBAOAB∠=∠. ····················1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BCAD=.∵BCBE=，BCAD=，∴BEAD=. ······················································1分又∵AB∥CD，∴四边形ABED是等腰梯形.∴EBADAB∠=∠. ·····················1分又∵OBAOAB∠=∠，∴OBAEBAOABDAB∠-∠=∠-∠.即O B EO A D∠=∠. ··················································································1分在△AOD和△BOE中，∵OBOA=，OBEOAD∠=∠，BEAD=，∴△AOD≌△BOE.∴OEOD=. ·························1分方法2：∵BEDADE∠=∠，EBODAO∠=∠，BEAD=，∴△AOD≌△BOE.……方法3：∵BEDADE∠=∠，EBODAO∠=∠，OBOA=，∴△AOD≌△BOE.……方法4：如图8-2，过点O作ABOH⊥，过点D作ABDG⊥，过点E作ABEI⊥.……方法5：如图8-3，过点O作ABOH⊥，垂足为H，联结DH、EH.……（2）方法1：如图9-1，过点O作ABOH⊥，垂足为H，过点D作ABDG⊥，垂足为G. 联结OB，3=OH，4==BHAH，得1分；得到3==OHDG，得2分；在Rt△ADG 中，写出xAG-=4，yBCAD==，得1分；利用222AGDGAD+=得到2582+-=xxy，得1分，函数定义域40<<x，得1分.方法2、方法3见评分细则.（3）如图10-1，过点O作ACOM⊥，交AC于点M，交AB于点N.证明四边形ONBE 是平行四边形，得1分；利用ODOEBN==，CDAB=得到ANOC=，得1分；利用△AMN≌△CMO或COANCMAM=得到CNAM=，进而得到OM是AC的垂直平分线，5==OAOC，得1分；利用8==ABCD，5=OC得到3=OD，得1分.方法2.如图10-,2；方法3：如图10-3；方法4（利用圆周角，略）.图8-1图8-3图8-2。
嘉定区九年级数学学业考试模拟试卷(含答案)华师大版-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
嘉定区九年级数学学业考试模拟试卷(含答案)华师大版-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载2006年嘉定区九年级数学学业考试模拟试卷（考试时间100分钟，满分150分）题号一二三四总分1-1213-16171819202122232425得分一、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分）1. 9的平方根是.2. 计算：=.3. 函数的定义域是.4. 已知、是方程的两个根，则.5. 点P关于轴对称的点的坐标为.6. 若反比例函数的图象经过点A，则此函数解析式为.7. 若二次函数的对称轴是直线，则=.8. 若一组数据1、2、4、5、的平均数是4，则数为.9. 已知菱形的两条对角线的长分别为、2，则此菱形的边长是.10. 在直角ABC中，=900，AC=8，，则BC=.11. 半径分别为2cm和3cm两圆的圆心距为1cm，则这两圆的公切线共有条.12. 在RtACB中，C=900，A=300，点D（与点A不重合）在边AC上，且AD<CD，若经过点D的直线截ACB所得的三角形与ACB相似，则这样的直线共有条.二、选择题（本题共4题，每题4分，满分16分）13. 在下列化简中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）14. 一次函数的图象不经过下列各象限中的（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限15. 下列命题中，假命题的是（）（A）平行四边形的对角线互相平分（B）对角线互相平分的四边形是平行四边形（C）矩形的对角线相等 初中数学资源网收集整理（D）对角线相等的四边形是矩形16. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）（A）角（B）线段（C）等边三角形（D）平行四边形三、（本题共5题，第17、18题每题9分，第19、20、21题每题10分，满分48分）17. 计算：;18. 解方程组：19. 最近某学校九年级某班的学生进行了一次数学测验，其成绩大致分布情况如图1，此图是频率分布直方图（每组含最低值，但不含最高值）.请根据图形所提供的信息解答下列问题：（1）这个班级的学生共有人；（2）在图1中，频率最小的分数段是；（3）在图1中小长方形的表示的是频率；（4）这些成绩的中位数所在的分数段是；（5）若成绩在80及80分以上的学生为优秀，则这个班的优秀率为（用百分比表示）.20.如图2：在□ABCD中，A=1400，直线BE交AD于点E，交CD的延长线于点F，且DE=DF.求F的度数.21.如图3：在RtACB中，C=900，AC=8，BC=6，CD是斜边AB上的高.若点P在线段DB上，连结CP，=.求CP的长.四、（本题共4题，第22、23、24题每题12分，第25题14分，满分50分）22.已知关于的方程有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）当取最大整数时，求方程的两个根.23.如图4：AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，切点为点D，连结OD，点C是⊙O上一点，且PC=PD.（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）连结BC，CB=BP，PD=，求⊙O的半径.24.将二次函数(如图5)向右平移1个单位所得的二次函数的图象的顶点为点D，并与轴交于点A.（1）写出平移后的二次函数的对称轴与点A的坐标；（2）设平移后的二次函数的对称轴与函数的交点为点B，试判断四边形OABD是什么四边形？请证明你的结论；（3）能否在函数的图象上找一点P，使DBP是以线段DB为直角边的直角三角形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请简要说明理由.25.如图6：ACB与DCE是全等的两个直角三角形，其中ACB=DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；（2）如图6（1）若DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；（3）在DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使DCE与ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为，这个四边形的面积为，求与的函数关系式，并写出它的定义域.参考答案与评分意见一、1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.8；9.2；10.411.1；12.3.二、13.C ；14. A；15.D；16.D.三、17.解：原式==3分=2分18.解：由（2）得：1分即或2分所以原方程组变为：，2分解这两个方程组得：，4分19.（1）40；（2）40~50；（3）面积；（4）70~80；（5）40%.每格2分20.解：⊙四边形ABCD是平行四边形⊙AB⊙CF⊙⊙3=⊙F2分⊙DE=DF⊙⊙2=⊙F2分⊙⊙3=⊙12分⊙⊙3+⊙1+⊙A=18001分⊙⊙A=1400⊙⊙3=2002分⊙⊙F=2001分21.解：在RtACB中，⊙C=900，AC=8，BC=6⊙AB==102分⊙CD是斜边AB上的高⊙又⊙2分⊙CD=2分在RtCDP中，=1分⊙1分⊙CP=52分四、22.解：（1）=1分==1分根据题意得：1分2分又1分所以的取值范围为且.1分（2）根据题意得：1分把代入原方程得：1分即：1分解此方程得：，2分所以当取最大整数时，此方程的两个根分别是：，.23.（1）证明：连结OC1分在和中⊙⊙（S、S、S）2分⊙⊙OCP=⊙ODP1分⊙PD是⊙O的切线⊙OD⊙PD1分⊙⊙ODP=900⊙⊙OCP=9001分又OC是⊙O的半径⊙直线PC是⊙O的切线1分（2）⊙CB=BP ⊙⊙1=⊙2⊙⊙OCP=900⊙⊙4+⊙2=900⊙1+⊙3=900⊙⊙3=⊙41分⊙BO=BC又BO=OC⊙是等边三角形⊙⊙3=6001分⊙直线PC是⊙O的切线PD是⊙O的切线⊙PC=PD1分⊙PD=⊙PC=在RtPCO中1分⊙⊙OC=21分即⊙O的半径为224.（1）平移后的二次函数的对称轴为直线1分点A的坐标（0，2）1分（2）四边形OABD是矩形.1分证明：把代入得：⊙点B的坐标为（1，2）1分根据题意得：平移后的二次函数解析式为：⊙顶点D的坐标为（1，0）1分⊙OA=DB=2OA⊙BD⊙四边形OABD是平行四边形1分又⊙AOD=900⊙四边形OABD是矩形1分（3）能.1分当⊙DBP=900时，⊙四边形OABD是矩形⊙⊙DBA=900即点P在直线AB上，直线AB为：把代入得：（正值舍去）即点P的坐标为2分当⊙PDB=900时，⊙四边形OABD是矩形⊙⊙BDO=900即点P在轴上，又点P在函数上，所以点P与点O重合，即点P的坐标为2分所以点P的坐标为、25. （1）直线DE与AB垂直.1分证明：延长DE交AB于点F⊙ACB与DCE是全等的两个直角三角形⊙⊙D=⊙A1分⊙ACB=900⊙⊙A+⊙B=900⊙⊙D+⊙B=9001分⊙BFD=9001分⊙直线DE与AB垂直.（2）设平移距离DD，=则CC，=，BC，=1分⊙AC⊙E，C，⊙1分又BC=2，EC=E，C，=2AC=4⊙1分⊙1分所以平移距离DD，为1.（3）在DCE沿着直线DB向右平移的过程中第一种情况：如图当点E落在ACB内部或边AB上设D，E，与边AC交于点G⊙DD，=⊙CD，=由题意可知：D，G⊙DE⊙⊙⊙又CD=4，⊙⊙1分⊙⊙1分定义域为1分第二种情况如图当点E落在ACB外部，且点C与点B重合或在CB的延长线上，点D在线段CD上（与点C不重合）.设D，E，分别交边AC、AB于点G、F由第一种情况可知：由（1）可知：D，F⊙AB⊙D，FB =ACB=900又ABC=D，BF⊙⊙⊙又AB==BD，=⊙⊙1分=即：1分定义域为1分欢迎下载使用，分享让人快乐。
(整理版)嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷
嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷〔总分值150分，考试时间100分钟〕考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕 1. 对于线段a 、b ，如果3:2:=b a ，那么以下四个选项一定正确的选项是〔▲〕 〔A 〕b a 32=； 〔B 〕1=-a b ； 〔C 〕3232=++b a ； 〔D 〕25=+b b a . 2. 如图1，在直角坐标平面内有一点)4,3(P ,那么射线OP 与x 夹角α的余弦值是〔▲〕〔A 〕34； 〔B 〕35； 〔C 〕53； 〔D 〕54.3. 抛物线c bx x y ++-=2如图2所示，那么b 、c 的取值范围是〔▲〕 〔A 〕0<b ，0<c ； 〔B 〕0<b ，0>c ； 〔C 〕0>b ，0<c ； 〔D 〕0>b ，0>c . 4.个数为〔▲〕①面积相等的两个直角三角形相似； ②周长相等的两个直角三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．〔A 〕4； 〔B 〕3； 〔C 〕2； 〔D 〕1. 5．正多边形的一个内角的度数不可能是〔▲〕〔A 〕︒80； 〔B 〕︒135； 〔C 〕︒144； 〔D 〕︒150.6. ⊙1O 的半径长为2，假设⊙2O 〔2O 与1O 不重合〕上的点P 满足21=PO ，那么以下位置关系中，⊙1O 与⊙2O 不可能存在的位置关系是〔▲〕(A)相交； 〔B 〕内切； 〔C 〕外切； 〔D 〕外离. 二、填空题〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕7. 如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，如果6=AD ，8=BD ，4=AE ，那么CE 的长为 ▲ .图1yx OPαxyO 图2A BC图3DE8. 2=a，4=b ，且b 与a 反向，如果用向量b 表示向量a ，那么a = ▲ ．9. 如图4，飞机P 在目标A 的正上方1000B 的俯角为︒30，那么地面目标A 、B 之间的距离为 ▲ 米〔结果保存根号〕. 10.如果二次函数132+-+-=m x x y 的图像经过原点，那么m 的值为 ▲ ．11.二次函数c x y +=22的图像在y 轴左侧的局部是 ▲ 的.〔从“上升〞或“下降〞中选择〕．12.二次函数x x y 42+=图像的对称轴是直线 ▲ ．13.把抛物线2(1)4y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移2点坐标是 ▲ ．14.⊙O 的半径长为2，点P 满足2=PO ，那么过点P 的直线l 与⊙O 不可能存在的位置关系是 ▲ 〔从“相交〞、“相切〞、“相离〞中选择〕15.正六边形的边心距与半径长的比值为 ▲ ．16.对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称图形A 被这个圆“覆盖〞．例如图5中的三角形被一个圆“覆盖〞.如果边长为1的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖〞，那么R 的取值范围为 ▲ ． 17.如图6，⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，8=AB ，121=O O ，⊙1O 的半径长为5，那么⊙2O 的半径长为 ▲ ．18.如图7，弧EF 所在的⊙O 的半径长为5，正三角形ABC 的顶点A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C 在弧EF 上，︒=∠60EOF .如果OF AB ⊥，那么这个正三角形的边长为 ▲ ．三、简答题〔本大题共7题，总分值78分〕19.〔此题总分值10分〕 计算：︒-︒︒+︒+︒⋅︒tan45cos45260cos 45sin 30cos 60cot .20.〔此题总分值10分〕如图8，△ABC 中，10==AC AB ，16=BC ，矩形 DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在 边AB 、AC 上，设DE 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y .AB C OF图7EABP图4图5A BCDEF G图8图6 AB 1O 2O求y 关于x 的函数关系式，并写出这个函数的定义域.21.〔此题总分值10分，第〔1〕小题5分，第〔2〕小题5分〕如图9，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE ∥BC ，DB AD 21=，四边形DBCE 的面积等于16. 〔1〕求△ABC 的面积；〔2〕如果向量a AD=，向量b AE =，请用a 、b 表示向量BC .22.〔此题总分值10分，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题4分〕如图10，一条细绳系着一个小球在平O 到球心的长度OG 为50厘米，小球在左、右两个最高位置时〔不考虑阻力等其他因素〕，细绳相应所成的角为︒90. 〔1〕求小球在最高位置和最低位置时的高度差； 〔2〕联结EG ，求OGE ∠的余切值.23.〔此题总分值12分，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题6分〕：点D 是Rt ABC △的BC 边的一个动点〔如图11〕，过点D 作AB DE ⊥，垂足为E ，点F 在AB 边上〔点F 与点B 不重合〕，且满足BE FE =，联结CF 、DF . 〔1〕当DF 平分CFB ∠时，求证：FBBDCB CF =； 〔2〕假设10=AB ，43tan =B .当CF DF ⊥时，求BD 的长.AB CDE F图11ABDE图9O E 图10 ABC备用图24．〔此题总分值12分，每题总分值4分〕在平面直角坐标系xOy 中〔图12〕，抛物线c ax ax y ++=42〔0≠a 〕经过)4,0(A 、(-3,1)B 两点，顶点为C .〔1〕求该抛物线的表达式及点C 的坐标；〔2〕将〔1〕中求得的抛物线沿y 轴向上平移m 〔0>m 〕个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D .当△ACD 是等腰三角形时，求点D 的坐标；〔3〕假设点P 在〔1〕中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针旋转︒90得到线段O P '，假设点O '恰好落在〔1〕中求得的抛物线上，求点P 的坐标.25.〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分〕点A 、B 、C 是半径长为2的半圆O 上的三个点，其中点A 是弧BC 的中点〔如图13〕，联结AB 、AC ，点D 、E 分别在弦AB 、AC 上，且满足CE AD =，联结OD 、OE . 〔1〕求证：OE OD =；〔2〕联结BC ，当22=BC 时，求DOE ∠的度数；〔3〕假设︒=∠120BAC ，当点D 在弦AB 上运动时，四边形ADOE 的面积是否变化？假设变化，请简述理由；假设不变化，请求出四边形ADOE 的面积.图13备用图备用图嘉定区九年级第一次质量调研 数学试卷答案要点与评分标准 说 明：1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果学生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2.第一、二大题假设无特殊说明，每题评分只有总分值或零分；答案假设为分数，需要化成最简分数.3.第三大题中各题右端所注分数，表示学生正确解答到这一步应得分数；4.评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因学生解答中出现错误而中断对此题的评阅.如果学生的解答在某一步出现错误，影响后继局部而未改变此题解答的实质，视影响的程度决定后继局部的给分，但原那么上不超过后继局部应得分数的一半；5.评分时，给分或扣分均以1分为根本单位.一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1.C ；2.C ；3.B ；4.C ；5.A ；6.D . 二、填空题〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕7.316〔或者315〕； 8.b a 21-=； 9.31000； 10.1=m ；11.下降； 12.2-=x ； 13.〔4,2〕； 14.相离； 15.23； 16.1≥R ； 17.52； 18.2175. 三、简答题〔本大题共7题，总分值78分〕19.解：︒-︒︒+︒+︒⋅︒tan45cos45260cos 45sin 30cos 60cot =122221222333-⨯++⨯…………〔6分〕 =22)223(2121)12(21221+=++=-++.……………………………〔2+1+1〕分20.解：过点A 作BC AH ⊥，交BC 于H ，交DG 于P 〔如图8〕.…………〔1分〕 ∵四边形DEFG ，EF 在BC 边上，∴DG ∥BC .…………………………………………………………………〔1分〕得 △ADG ∽△ABC .………………………………………………………〔1分〕∵DG ∥BC ，BC AH ⊥，∴DG AP ⊥.∴BCDGAH AP =.……………………………………………………………〔1分〕 在△ABC 中，∵AC AB =，BC AH ⊥，16=BC ，∴821==BC BH . 68102222=-=-=BH AB AH .…………………………………〔1分〕 ∵BC PH ⊥，BC DE ⊥，∴PH ∥DE .又DG ∥BC ， ∴DE PH =.∴x PH AH AP -=-=6.…〔1分〕 由x AP -=6，6=AH ，16=BC 得1666DGx =-.………………………………………………………………〔1分〕解得 )6(38x DG -=.……………………………… ……………………〔1分〕 ∴23816)6(38x x x x y -=-⨯=.………………………………………〔1分〕定义域为60<<x .…………………………………………………………〔1分〕21.解：〔1〕∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴2)(ABAD S S ABC ADE =∆∆.………〔1+1分〕 ∵DB AD 21=，∴AB AD 31=. ∴91=∆∆ABC ADE S S .…………………………〔1分〕 又∵16=D BCE S 四边形，∴9116=+∆∆ADE ADE S S .解得 2=∆ADE S .………………〔1分〕∴18216=+=∆ABC S .………………………………………………………〔1分〕〔2〕∵向量a AD=，向量b AE =，∴向量a b DE -=.…………………〔1分〕∵DE ∥BC ，∴ABADBC DE =.………………………………………………〔1分〕 ∵AB AD 31=，∴DE BC 3=.………………………… … ……………〔1分〕 ∴ 向量a b a b BC33)(3-=-=.………………… ……… ……………〔2分〕22.解：〔1〕过点E 作OG EH ⊥，垂足为点H . ……………〔1分〕 小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH 的长.根据题意，可知︒=∠=∠4521EOF EOH .………………〔1分〕 在EOH △Rt 中，∵OEOHEOH =∠cos ，ABCDE F G图8 P H OE 图10H∴22545cos 50cos =︒⨯=∠⋅=EOH OE OH . …… 〔2分〕 ∴22550-=-=OH OG GH .…………………………〔2分〕 〔2〕联结EG .…………………………………………………〔1分〕在EOH △Rt 中，22545sin =︒⋅=OE EH .…………〔1分〕 ∴1222522550cot -=-==∠EH GH OGE .……………〔2分〕 23.解：〔1〕∵AB DE ⊥，BE FE =，∴DB DF =，B DFE ∠=∠.………………………………〔1分〕 ∵DF 平分CFB ∠，∴BFD CFD ∠=∠.∵B DFE ∠=∠，∴B CFD ∠=∠. …… …………〔1分〕 又∵FCB DCF ∠=∠，∴△DCF ∽△FCB . ………………〔1分〕 ∴FBDFCB CF =.………………………………………………〔2分〕 ∵DB DF =，∴FBDB CB CF =. …………………………〔1分〕〔2〕在Rt ABC △中，由10=AB ，43tan =B ，易得53sin =B ，54cos =B ，6=AC ，8=BC .………………………〔1分〕过点C 作AB CH ⊥，垂足为H 〔如图11-2〕.在Rt △BCH 中，524538sin =⨯=⋅=B BC CH .………………………〔1分〕532548cos =⨯=⋅=B BC BH .设x BD 5=〔备注：也可以设x BD =〕，在Rt △BDE 中，x x B BD DE 3535sin =⨯=⋅=，x x B BD BE 4545cos =⨯=⋅=.由x BE EF 4==，可得x BF BH HF 8532-=-=. …………………〔1分〕 由CF DF ⊥，易得︒=∠+∠90CFH DFE ，又︒=∠+∠90CFH FCH ，∴DFE FCH ∠=∠.方法1：∴DFE FCH ∠=∠tan tan .………………………………………〔1分〕∵354tan x CH FH FCH -==∠，43tan tan =∠=∠B DFE ， ∴43354=-x . …………………………………〔1分〕 解得475=x .即47=BD .………………………〔1分〕方法2：∴△HCF ∽△EFD . …………………〔1分〕A B CDE F 图11 ABC 图11-2FH DE∴EFCHED HF =. 将x HF 8532-=，x DE 3=，x EF 4=，524=CH 代入上式，得 xx x 452438532=-. ……………………………………………………………………〔1分〕 解得 475=x .即47=BD .………………………………………………………〔1分〕24.解：〔1〕由抛物线c ax ax y ++=42经过)4,0(A ，(-3,1)B ，得⎩⎨⎧=+-=.1129,4c a a c ……………………………………………………………〔1分〕解这个方程组，得⎩⎨⎧==.1,4a c ……………………………………………………〔1分〕因此，所求的抛物线的表达式为442++=x x y .…………………………………〔1分〕 由22)2(44+=++=x x x y ，易得顶点C 的坐标为〔2-，0〕.…………〔1分〕 〔2〕因为点D 是将抛物线442++=x x y 沿y 轴向上 平移m 〔0>m 〕个单位所得新抛物线与y 轴的交点.所以，点D 必定在点A 的上方〔如图12-1〕，得 ︒=∠>∠90AOC DAC .………………………………〔1分〕 ∵△ACD 是等腰三角形，∴AC AD =.………………〔1分〕 在Rt △AOC 中，2=OC ，4=OA ，由勾股定理可得 52422222=+=+=OA OC AC .∴52==AC AD ，524+=+=AD OA OD .……〔1分〕 ∴点D 的坐标为〔0，524+〕.………………………〔1分〕 〔3〕因为点P 在抛物线2)2(+=x y 的对称轴上，故 可设点P 的坐标为〔2-，n 〕.由题意知：O P PO '=，︒='∠90O OP . 过点O '作CP E O ⊥'，垂足为E .∵︒=∠+'∠90OPC PE O ，︒=∠+∠90OPC POC . ∴POC PE O ∠='∠.∵︒=∠='∠90PCO EP O ，POC PE O ∠='∠， O P PO '=，∴△PE O '≌△POC .Oy1 x2 43 5 6-6 -5 -3 -4-2-1 4 5 6 7 8 9 -1-2图12-13 2 110 AC D 图12-2xy∴PC E O ='，OC PE =.当点P 在第二象限时〔如图12-2〕，n PC E O =='，2==OC PE ，n EC +=2.故而可得点O '的坐标为〔2-n ，2+n 〕.……〔1分〕 备注：假设点O '在第一象限，其坐标也是〔2-n ，2+n 〕，下同. ∵点O '〔2-n ，2+n 〕恰好在2)2(+=x y 上，∴2)22(2+=+-n n . 整理，得 022=--n n .解得 21=n ，12-=n 〔舍去〕. 故可得点P 〔2-，2〕.……………………………〔1分〕 当点P 在第三象限时〔如图12-3〕，n PC E O -=='，2==OC PE ，n EC +=2.由此可得点O '的坐标为〔2-n ，2+n 〕……〔1分〕∵O '〔2-n ，2+n 〕在抛物线2)2(+=x y 上， ∴ 2)22(2+=+-n n .整理，得 022=--n n ，解得21=n 〔舍去〕，12-=n .故而可知P 〔2-，1-〕. ………〔1分〕图12-3xy25.解：〔1〕方法1：联结OA 、OB 、OC 〔如图13-1〕，易得OC OA OB ==.在⊙O 中，∵，∴AC AB =.…………………… ……〔1分〕∵OC OB =，OA OA =，AC AB =，∴△AOB ≌△AOC .∴CAO BAO ∠=∠. ………………………………………………〔1分〕 又 ∵OC OA =，∴OCA CAO ∠=∠.∴OCA BAO ∠=∠.∵CE AD =，OCA BAO ∠=∠，OC OA =，∴△AOD ≌△COE .…………………………………………〔1分〕∴OE OD =. ……………………………………………………〔1分〕 方法2：在⊙O 中，∵，∴AC AB =. …………………〔1分〕过点O 分别作AB OM ⊥，AC ON ⊥，垂足分别为M 、N 〔如图13-2〕， ∵AB OM ⊥，AC ON ⊥，∴AB AM 21=，AC CN 21=. 由 AC AB =易得 ON OM =，CN AM =.……………………〔1∵CE AD =，CN AM =，∴CN CE AM AD -=-，即 EN DM =. ∵EN DM =，︒=∠=∠90ONE OMD ，ON OM =，∴△ODM ≌△OEN . ……………………………………………………〔1分〕 ∴OE OD =. ……………………………………………………………〔1分〕 〔2〕如图13-3，在△BOC 中，由2==OC OB ，22=BC ，得 8222222=+=+OC OB ，8)22(22==BC .∴222BC OC OB =+. ∴︒=∠90BOC . ………〔1+1分〕∵，O 是圆心，∴︒=︒⨯=∠=∠=∠45902121BOC AOB AOC . ………………………………〔1分〕∵△AOD ≌△COE ，∴COE AOD ∠=∠.………………………………………〔1分〕∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠45AOC AOE COE AOE AOD DOE .……………〔1分〕假设使用锐角三角比或其他方法，请参照评分.〔3〕当点D 在弦AB 上运动时，四边形ADOE 的面积不变.理由如下：…………〔1分〕∵CAO BAO ∠=∠，︒=∠120BAC∴︒=︒⨯=∠=∠601202121BAC CAO ，……………〔1分〕 又∵OC OA =，∴△AOC 是等边三角形.∴2==OC AC .…………………………………………〔1分〕 由〔1〕中的△AOD ≌△COE ，可知COE AOD S S ∆∆=. ∴AO C AO ECO E AO E AO D AD O E S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形.……〔1分〕BO AD E图13-1CB O A D E图13-2CNMBOA DE图13-3CBO ADE图13-4C过点O 作AC ON ⊥，垂足为N ，易得360sin =︒⋅=OA ON ， ∴3322121=⨯⨯=⋅=∆ON AC S ACD . …………………〔1分〕。