(完整版)分式加减乘除运算
分式的加减乘除
分式的加减乘除分式是数学中常见的一种表示数的方式，它是以分数的形式呈现，由一个分子和一个分母组成。
在实际问题中，我们常常需要对分式进行加、减、乘、除的运算。
本文将重点讨论分式的加减乘除运算，并给出相应的计算方法和示例。
一、分式的加法分式的加法是指将两个分式相加的运算。
具体的计算步骤如下：1. 对两个分式的分母进行通分，使得它们的分母相同。
2. 分别对两个分式的分子进行相应的运算。
3. 将得到的结果作为新分式的分子，通分后的分母作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 1/3 + 1/4，按照上述步骤进行计算：1. 通分得到：4/12 + 3/12。
2. 分子相加得到：4 + 3 = 7。
3. 分母保持不变：12。
因此，1/3 + 1/4 = 7/12。
二、分式的减法分式的减法是指将两个分式相减的运算。
计算步骤如下：1. 对两个分式的分母进行通分，使得它们的分母相同。
2. 分别对两个分式的分子进行相应的运算。
3. 将得到的结果作为新分式的分子，通分后的分母作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 5/6 - 2/3，按照上述步骤进行计算：1. 通分得到：5/6 - 4/6。
2. 分子相减得到：5 - 4 = 1。
3. 分母保持不变：6。
因此，5/6 - 2/3 = 1/6。
三、分式的乘法分式的乘法是指将两个分式相乘的运算。
计算步骤如下：1. 将两个分式的分子相乘，作为新分式的分子。
2. 将两个分式的分母相乘，作为新分式的分母。
示例：假设我们要计算 (2/3) * (3/4)，按照上述步骤进行计算：1. 分子相乘得到：2 * 3 = 6。
2. 分母相乘得到：3 * 4 = 12。
因此，(2/3) * (3/4) = 6/12，可以进一步化简得到 1/2。
四、分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式的运算。
计算步骤如下：1. 将除法转化为乘法，即将被除数的分式乘以除数的倒数。
2. 将被除数的分子与除数的分子相乘，作为新分式的分子。
分式的加减乘除法
我来试一试！
x 1 x 3 3 2x , 2 , 2 2 x 16 x 9 x 20 x x 20
（1）
3
分式的加减法
1、通分：在不改变分式的值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母分式的变形叫通分。 注：分式通分的依据是分式的基本性质。 2、最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积叫这 几个分式的最简公分母。 3、分式的加减法运算就是通分运算。
x 1 的最简公分母是______________________. 2 x y x y
2
（2）
（3）
我来试一试！
y x 2x 1 2 的最简公分母是________________________. 2x y y
（1）
例题2
通分： （1）
2a 3b 5x , , ； 2 2 5 xy 2 xz 3 yz 3
一.填空 1.若
M 2 xy y 2 x y ,则 M=___________. x2 y 2 x2 y 2 x y
2.公路全长 s 千米,骑车 t 小时可到达,要提前 40 分钟到达,每小时应多走____千米.
3.某班 a 名同学参加植树活动，其中男生 b 名(b<a)．若只由男生完成，每人需植树 15 棵；若只由女生完成，则
5
每人需植树 4.已知
棵． 。
1 1 2 x 3 xy 2 y = =3，则分式 x y x 2 xy y
二.选择题 5.下列分式的运算中，其中结果正确的是（ A、 ） C、
1 1 2 + a b ab
2
B、
(a 3 ) 2 a3 a
a2 b2 =a+b ab
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
探索分式的运算加减乘除分式的运算法则
探索分式的运算加减乘除分式的运算法则分式是数学中的一个重要概念，它常常出现在我们的日常生活和各个学科中。
了解和掌握分式的运算法则对于我们解决实际问题以及应用数学知识都非常重要。
本文将会就分式的加减乘除运算法则进行探索和讨论。
一、分式的加法运算法则分式的加法运算是指两个分式相加后得到一个新的分式。
下面以两个分式相加的例子来说明分式的加法运算法则。
例1：计算 2/3 + 1/4。
解：我们需要先找到两个分式的公共分母，然后再进行相加。
对于2/3 和 1/4 这两个分式，它们的公共分母可以通过求两个分母的最小公倍数得到。
首先，我们可以列出2/3 和1/4 的四个倍数分别是：3、6、9 和12；4、8、12 和 16。
可以看到，这两个分式的最小公倍数是 12。
因此，我们需要将两个分式的分母都改为 12。
2/3 可以改写为 (2/3) * (4/4) = 8/12，1/4 可以改写为 (1/4) * (3/3) = 3/12。
现在，两个分式的分母相同了，我们只需要将它们的分子相加即可：8/12 + 3/12 = 11/12。
所以，2/3 + 1/4 = 11/12。
根据这个例子，我们可以总结出分式的加法运算法则：将两个分式的分母改成相同的，然后将它们的分子相加，最后化简得到一个最简分式。
二、分式的减法运算法则分式的减法运算是指两个分式相减后得到一个新的分式。
下面以两个分式相减的例子来说明分式的减法运算法则。
例2：计算 3/5 - 1/3。
解：对于分式的减法运算，我们同样需要将两个分式的分母改为相同的。
3/5 可以改写为 (3/5) * (3/3) = 9/15，1/3 可以改写为 (1/3) * (5/5) = 5/15。
现在，两个分式的分母相同了，我们只需要将它们的分子相减即可：9/15 - 5/15 = 4/15。
所以，3/5 - 1/3 = 4/15。
与加法类似，分式的减法运算法则也是将两个分式的分母改成相同的，然后将它们的分子相减，最后化简得到一个最简分式。
初中数学教案分式的加减乘除运算
初中数学教案分式的加减乘除运算初中数学教案：分式的加减乘除运算一、引言在数学学科中，分式的运算是初中阶段的重要内容之一。
分式的加、减、乘、除是我们日常生活和学习中经常会遇到的运算方式。
本教案将重点介绍初中数学中分式的加减乘除运算方法和规则。
二、分式的加法1.同分母分式的加法：对于两个分母相同的分式a/b和c/b，可以直接将其分子相加，分母保持不变，得到结果为(a+c)/b。
2.异分母分式的加法：对于两个分母不同的分式a/b和c/d，首先需要找到它们的公共分母（最小公倍数），将它们的分子化为公共分母对应的分数，然后分子相加，分母保持不变，得到结果。
三、分式的减法1.同分母分式的减法：对于两个分母相同的分式a/b和c/b，可以直接将其分子相减，分母保持不变，得到结果为(a-c)/b。
2.异分母分式的减法：对于两个分母不同的分式a/b和c/d，首先需要找到它们的公共分母（最小公倍数），将它们的分子化为公共分母对应的分数，然后分子相减，分母保持不变，得到结果。
四、分式的乘法分式的乘法是将两个分式相乘，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，然后对结果进行化简，得到最简形式的分数。
五、分式的除法分式的除法是将一个分式除以另一个分式，将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数（即分母与分子对调），这样得到的分子和分母的乘积即为结果。
六、例题与练习1. 分式加法例题：计算 3/4 + 5/6 = ?解答过程：由于两个分式的分母不同，需要找到它们的公共分母，即最小公倍数。
分母4和6的最小公倍数为12，因此将3/4和5/6化为同分母，得到分数: 9/12 + 10/12 = 19/12。
最终答案为19/12。
2. 分式乘法例题：计算 2/3 × 4/5 = ?解答过程：将分式的分子相乘，分母相乘，得到结果: 8/15。
最终答案为8/15。
七、总结与反思通过本教案的学习，我们了解了分式的加减乘除运算方法和规则。
数学分式的计算方法
数学分式的计算方法数学分式是一种数学表达式，由分子和分母组成，分子和分母都可以是整数、自然数、小数或其他数学表达式。
在数学中，分式的计算是一个重要的基础知识点，掌握分式的计算方法可以帮助我们解决各种实际问题。
一、分式的加减要计算分式的加减，首先要求出分式的公共分母。
如果两个分式的分母相同，那么直接将分子相加或相减即可，分母保持不变。
如果两个分式的分母不同，就需要找到它们的公共分母，然后将分子按照公共分母进行相加或相减，分母保持不变。
例如，计算分式1/3 + 1/4。
分母不同，公共分母可以是12，那么将分子相加得到(1*4+1*3)/12=7/12。
二、分式的乘除分式的乘法就是将分子相乘，分母相乘。
例如，计算分式1/3乘以2/5，得到(1*2)/(3*5)=2/15。
分式的除法就是将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。
例如，计算分式1/3除以2/5，得到(1/3)*(5/2)=5/6。
三、分式的化简分式的化简是将分子和分母约分到最简形式。
要化简一个分式，需要找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数。
例如，化简分式12/18，最大公约数是6，所以将分子和分母都除以6，得到2/3。
四、分式的比较要比较两个分式的大小，可以通过将两个分式的分子和分母相乘，然后比较乘积的大小。
例如，比较分式1/3和2/5的大小，计算(1*5)/(3*2)和(2*3)/(5*1)，得到5/6和6/5，显然5/6小于6/5，所以1/3小于2/5。
五、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在分数运算中，我们常常需要将一个整数转化为分数形式，然后进行运算。
在比例和百分比的计算中，我们也需要使用分式。
此外，在经济学、物理学等领域的问题中，分式也经常用于求解。
掌握数学分式的计算方法是数学学习的重要一步。
通过理解和熟练运用分式的加减乘除、化简和比较等方法，我们可以更好地解决实际问题，提高数学思维和计算能力。
分式的运算技巧讲义
分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。
分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。
一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。
例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。
例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。
例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。
以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。
例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。
分式分式的运算分式的加减
分式的约分
定义
把一个分式的分子和分母的公因 式约去，叫做分式的约分。
解释
约分能够简化分式，使分式的值 更容易计算。
例子
如$\frac{x^{2}}{x+1}$可以约分 成$\frac{x}{1}$，$\frac{y}{2x}$ 可以约分成$\frac{y}{2}$等。
02
分式的加减法
同分母分式的加减法
分式要化简成最简分式。
运算顺序
统一形式
先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号 的先算括号里面的。
运算结果要统一成根式或分式。
分式的化简求值
化简方法
利用通分、约分、因式分解等方法将分式 化简。
特殊情况处理
对于一些特殊情况，如分式的分母为零或 分式本身为零，需要特别处理。
求值技巧
代入求值时要注意整体代入思想的运用， 注意变量的取值范围。
详细描述
分式的除法需要将除数转化为它的倒数，然后将分子和分母分别相乘，得到 新的分式。在进行分式除法时，需要注意分数的倒数概念和计算方法。
分式乘除法的实际应用
总结词
分式乘除法的实际应用主要涉及到数学、物理、化学等学科中的一些问题，如计 算比例、速度、密度等。
详细描述
在实际问题中，分式乘除法可以用来计算比例、速度、密度等一些物理量和化学 量。例如，在物理学中，速度等于路程除以时间，密度等于质量除以体积等。
分式分式的运算分式的加减
xx年xx月xx日
contents
目录
• 分式的基本概念 • 分式的加减法 • 分式的乘除法 • 分式的混合运算 • 分式运算的注意事项
01
分式的基本概念
分式的定义
1 2
定义
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（三）分式 的运算知识点一：分式 的乘法 ---分式乘分式，用分子 的积作为积 的分子，分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式 的除法 --分式除以分式，把除式 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、 ；4、 ；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式 的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确 的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确 的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式 的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、 ； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ； ；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式 的是（ ）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确 的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确 的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式 的运算中，其中结果正确 的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小 的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则 ．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面 的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢 的数（要合适哦！ ）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求 的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。
29、先化简，再求值：[4( x y) (x y)(x y)] 2x ，其中 x 2013 y 2011．= ， = 122 2 310先化简，再求值： (a b 2ab b ) b (a b)(a b)，其中 a，b 1．。