概率论复习题

7
00
02
24
7、设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为
求: (1) 求 X, Y 的边缘概率密度 fX(x), fY(y), 并判断 X 与 Y 是否相 互独立(说明原因) (2) 求 P{ X + Y 1}
解：
(1)
f X (x)
f
(x,
y)dy
1
(2
0
x) ydy 0，
1 2
4. 已知 P(A) 0.6 ， P(B) 0.8 ，则 P( AB) 的最大值为 ，最小值为。
5、设某试验成功的概率为，现独立地进行该试验 3 次，则至少有一次成功 的 概率为
6、 已知 P(A) 0.6 ， P(B) 0.8 ，则 P(AB) 的最大值为
。
，最小值为
。
7、设 A、B 为二事件，P(A)=,P(B)=，P(A∣ B )=，则 P(A∪B)=
7
00
02
24
8、已知连续型随机变量 X 的密度函数为
f
(x)
2x 2
,
0,
x (0, a) 其它
求（1）a； （2）分布函数 F (x)；（3）P (－ < X < )。
解
：
(1)
a
f (x)dx
0
2x 2dx
1
a
（2）当x 0时，
x
F(x) f (t)dt 0
当0 x 时， F(x)
一、填空题
函授概率论与数理统计复习题
1、已知 P(A)=P(B)=P(C)= 0.25，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)= 0.15，则 A、B、C
中至少有一个发生的概率为
。
2、A、B 互斥且 A=B，则 P(A)= 0 。
1
3．把 9 本书任意地放在书架上，其中指定 3 本书放在一起的概率为 12
PA1 0.5, PA2 0.3, PA3 0.2 PB A1 0.94, PB A2 0.90, PB A3 0.95
由全概率公式
PB 0.5 0.94 0.3 0.90 0.2 0.95 0.93
4、设连续型随机变量
X
的概率密度为
f
(
x)
Asin 0,
x,0
（D） A B B A B
4、设 A、B 为两事件，且 B A，则下列式子正确的是（ A ）。
（A） PA B PA （B） PAB PA
（C） PAB PB
（D） PB A PB PA
5．设随机变量 X, Y 相互独立,
与
分别是 X 与 Y 的分布
函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y} 分布函数
9 10
0.3
2 9
6、设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为
求: (1) 求 X, Y 的边缘概率密度 fX(x), fY(y), 并判断 X 与 Y 是否相 互独立(说明原因) (2) 求 P{ X + Y 1}
解：(1)
f X (x)
f
(x,
y)dy
1
(2
0
x) ydy 0，
（A） A1 A2 A3 （B） A1 A2 A1 A3 A2 A1
（C） ABC
（D） A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
3、事件 A，B 为任意两个事件，则（ D ）成立。
（A） A B B A
（B） A B B A
（C） A B B A
解：设 A ‘次品’， B ‘产品是甲厂生产’
依题意有： P(B) 70% ， P(B ) 30% ， P(A | B) 5% ， P( A | B ) 10% ，
（1） P(A) P(B)P(A | B) P(B)P(A | B) ＝ 70%5% 3010% 0.065
（2） P(B | A)
（2）
(1) lim F(x) 1 A/4 0 x2
、解： A 4
f (x)
8
F
(
x)
x3
,
x2
0,
x2
(3) P（0<X<4）=3/4
精心搜集整理，只为你的需要
(C) D(XY) = D(X)D(Y)
(D) D(X + Y) = D(X) + D(Y)
8、袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机摸出 4 个球，其中 恰有 3 个白球的概率为（ D ）。
（A） 3 5
（B） 3 5 1 5 8
（C） 3 3 1 5 8
（D） 5
C
4 8
9．设随机变量 X 的概率密度为 f (x), 且满足 f (x) = f ( x), F(x) 为
(D) P{X Y 1} 1 2
11．设 X1, X2, …, Xn (n 3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则
下列估计量中不是总体期望 的无偏估计量的是 ( C ).
(A) X
(B) (6X1 + 4X2) (C)
(D) X1 + X2
X3
三、计算题
1、一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产，甲厂和乙厂生产的产品分别占 70％和 30％，甲乙两厂的合格率分别为 95％和 90％，现从中任取一只，则（1） 它是次品的概率为多少（2）若为次品，它是甲厂生产的概率为多少
。
f
(
x)
1 4
e
1 4
x
,
x0
8、设 X、Y 相互独立， X ~U(0,3) ,Y 的概率密度为
0
, 其它
，则 E(2X 5Y 3)
-14
， D(2X 3Y 4) 147 。
9．设 A、B 为随机事件, P(A) = , P(B) = , 若 P(A|B) =, 则 P(A B) = ; 若 A 与 B 相互独立, 则 P(A B) = . 10.已知 P( A) 0.5, P(B) 0.6, P( A B) 0.2 ，则 P( AB) ＝
x
0dt 0
当
0 x 时，F ( x)
x
f (t)dt
0
0dt
x1
1
sintdt (1 cos x)
02
2
当
x 时，F ( x)
x
f (t)dt
0
1
0dt sintdt
x
0dt 1
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以
0,
F ( x)
x
f
(t )dt
=
1 2
(1
cos 1,
x
f (t)dt
x 0
2t 2
dt
x2 2
当x 时，
x
F(x) f (t)dt 1
0,
故
F
(
x)
x2 2
,
1,
x0 0 x
x
1 (3) P（<X<）=F—F= 4 2
9、已知连续型随机变量 X 的分布函数为
F ( x)
1
A x2
,
0,
x2 x2
求（1）A； （2）密度函数 f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。
x 其他
，
求 : (1) 常 数 A 的 值 ; (2) 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 F(x); (3)
P { 3
X
}. 2
解：(1)
1 f ( x)dx Asinxdx 2A
A 1
0
2
(2)
x
F ( x) f (t )dt
当
x 0 时，F ( x)
x
f (t)dt
x),
x0 0 x
x
(3)
P{
X
}
F(
)
F(
)
1
1
1
3
2
2
3 24 4
5、一个袋中共有 10 个球，其中黑球 3 个，白球 7 个，先从袋中先后任取一
球（不放回）(1) 求第二次取到黑球的概率; (2) 若已知第二次取到的是黑球，
试求第一次也取到黑球的概率 解：设 A 事件表示“第二次取到黑球，B1 事件表示“第一次取到黑球”，B2
事件表示“第一次取到白球”， (1) 第二次取到黑球的概率:
P( A) P( A B1 )P(B1 ) P( A B2 )P(B2 )
2 3 3 7 0.3 9 10 9 10 (2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率:
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P(B1
A)
P( A B1 )P(B1 ) P( A)
解：设 A 事件表示“产品为次品”，B1 事件表示“是甲厂生产的产品”，B2 事 件表示“是乙厂生产的产品”，B3 事件表示“是丙厂生产的产品” (1) 这件产品是次品的概率:
P(A) P(A B1 )P(B1 ) P(A B2 )P(B2 ) P(A B3 )P(B3 )
0.04 0.45 0.02 0.35 0.05 0.2 0.035 (2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:
1．设 A, B, C 是三个随机变量，则事件“A, B, C 不多于一个发生” 的逆
事件为( D ).
(A) A, B, C 都发生
(B) A, B, C 至少有一个发生
(C) A, B, C 都不发生
(D) A, B, C 至少有两个发生
2、射击 3 次，事件 Ai 表示第 I 次命中目标（I=1,2,3），则事件（ D ）表 示恰命中一次。
P(A | B) P(B)
P(A | B) P(B) P(A | B) P(B)