2019届高三数学文科三诊模拟试卷含答案
四川省成都市2019届高三第三次诊断性考试数学(文)(含答案)
成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U= {x∈Z|(x+l) (x-3)≤0），集合A={0，1，2}，则=(A){一1，3} (B){一1，0）(C){0，3) (D){一1，0，3）2.复数z =i(3 -i)的共轭复数为(A) 1+3i (B) -1+3i (C) -1- 3i (D) 1- 3i3．已知函数f(x) =x3+ 3x．若f(-a)=2，则f(a)的值为(A)2 (B) -2 (C)1 (D) -14．函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为(A) (B) π(C) 2π(D) 4π5．如图，在正方体ABCD-A1B l C l D1中，已知E，F，G分别是线段A l C1上的点，且A1E =EF =FG =GC l.则下列直线与平面A1BD平行的是(A) CE (B) CF (C) CG (D) CC16．已知实数x，y满足，则z =2x +y的最大值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)47．若非零实数a，b满足2a =3b，则下列式子一定正确的是(A)b>a (B)b<a (C)|b|<|a| (D)|b|>|a|8．设数列的前n项和为S n，则S10=(A) (B) (C) (D)9．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)．则“5阶幻方”的幻和为(A) 75 (B) 65 (C) 55 (D) 4511.已知双曲线C: =l(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px(p>0)与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且，则双曲线C的离心率为(A) 或(B) 或3 (C)2或(D)2或312.三棱柱ABC -A1BlCl中，棱AB，AC，AA1两两垂直，AB =AC，且三棱柱的侧面积为+1。
2019届成都三诊文科数学(试题含答案)
为学溪四川家长高考一群235649790（已满）
为学溪四川家长高考二群553268333
地址：成都西城角巷18号华润峰锦2303
19届高考志愿优质填报
报名热线：18215571552
连续四年为四川考生
精准提供大学录取预估分
大一上入学升实验班、创新班布局
大一下转专业精准布局、升学规划
(
a６０ ,
a１５０),(
∴(x０ －４０) Nhomakorabea００３＋０
１８＋０
０７＝０
５
解得 x０ ＝４８
５ 分
１
３
６ 分
(Ⅱ )回访的这 ５ 人分别记为 a３０ ,
a６０ ,
a９０ ,
a１２０ ,
a１５０
从 ５ 人中任选 ２ 人的基本事件有:
(
a３０ ,
a６０),(
a３０ ,
a９０),(
a３０ ,
a１２０),(
a３０ ,
为学溪四川家长高考二群553268333
19届高考志愿优质填报
报名热线：18215571552
大一上入学升实验班、创新班布局
大一下转专业精准布局、升学规划
地址：成都西城角巷18号华润峰锦2303
19届高考志愿优质填报
报名热线：18215571552
连续四年为四川考生
精准提供大学录取预估分
大一上入学升实验班、创新班布局
８ 分
９ 分
３
综上,实数 a 的取值范围是(
－ ¥, ]
４
１０ 分
数学(文科)“三诊”考试题参考答案 第
４ 页(共 ４ 页)
为学溪四川家长高考一群235649790（已满）
2019年合肥市高三第三次模拟考试文科数学试卷答案
高三数学试题（文科）答案 第1 页（共4页）合肥市2019年高三第三次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(0，2) 14.1 33⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 15.216.14-三、解答题：17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由3456a a a +=，得2610q q --=，解得12q =或13q =-.∵数列{}n a 为递减数列，且首项为1 ∴12q =∴1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………………………6分(Ⅱ)∵012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 两式相减得0121111111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111222221222212nn n nn n n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-∴1242n n n T -+=-. ……………………………12分18.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)由题意得：城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 24 124 不经常阅读 50 26 76 合计150 50 200题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D A CC D D B B A D高三数学试题（文科）答案 第2 页（共4页）则()2220010026502498005.546 5.02415050124761767K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关. ……………………………6分 (Ⅱ)采取分层抽样抽取出6人，则其中经常阅读的有4人，不经常阅读的有2人，∴62155P ==. ……………………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连结OP ，OB ，OC.设OB 交AC 于点H ，连结GH.∵AD ∥BC ，12AB BC CD AD ===∴四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形 ∴OB ⊥AC ，OB ∥CD ∴CD AC ⊥ PAD PO AD∆∴⊥ 为等边三角形，O为AD中点PAD ABCD PAD ABCD AD PO PAD PO AD PO ABCD⊥=⊂⊥∴⊥ 平面平面且平面平面，平面且平面∵CD ABCD ⊂平面 ∴PO CD ⊥∵H ，G 分别为OB， PB 的中点 ∴GH ∥PO ∴GH CD ⊥又∵GH AC H = ∴CD GAC ⊥平面. ………………………6分(Ⅱ)1:1222D GAC G ADC G ADC ADC P ABC P ABC G ABC ABC V V V S AD V V V S BC---∆---∆=====. ……………………………12分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由椭圆C 经过点P (1 2，)，且12PF F ∆，得1c =，且221112a b +=.∵222221a b c a b =+∴=+ ∴42222111210112b b b b b+=--==+即，解得 ∴22a =∴椭圆C 的方程为2212xy +=. ……………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()11 0F -，，()21 0F ，.令()11A x y ，，()22B x y ，.若直线l 的斜率不存在，则2272F A F B ⋅= .当直线l 的斜率存在时，设():1l y k x =+，代入椭圆方程得()()2222124210k x k x k +++-=. 则()()4222168121880k k k k ∆=-+-=+>恒成立 .∴2122412k x x k +=-+，()21222112k x x k -=+ ∴()()222121222971721121212k F A F B x x y y k k-⋅=--+==-++高三数学试题（文科）答案 第3 页（共4页）令2121t k =+≥，则()2227971 22221F A F B k ⎡⎫⋅=-∈-⎪⎢+⎣⎭，. 综上可知，22F A F B ⋅ 的取值范围为71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()()()()211x xx a x a x x a f x e e-++--'==，由()0f x '=得，1x =或x a =. 当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在()-∞+∞，单调递增. 当1a <时，函数()f x 的递增区间为()() 1 a -∞+∞，，，，递减区间为() 1a ，. 当1a >时，函数()f x 的递增区间为()() 1a -∞+∞，，，，递减区间为()1a ，. ……………………………6分(Ⅱ)证明：对[)0x ∀∈+∞，，()1f x ≥-，即证[)0x ∈+∞，，()min 1f x ≥-. ①由(Ⅰ)单调性可知，当1a >，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0f x f f a =，. ()1aa f a e --=. 设()11a a g a a e --=>，，()0a ag a e '=>，∴()g a 在()1+∞，单调递增，故()()211g a g e>=->-，即()1f a >-. 又∵()01f =- ∴()min =1f x -.②当1a =时，函数()f x 在[)0+∞，单调递增，()()min 01f x f ==-.③当31e a -≤<时，由(Ⅰ)单调性可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 01f x f f =，. ()()33311e a f e e---=≥=-. 又∵()01f =- ∴()min =1f x -. 综上，当3a e ≥-时，对[)0x ∀∈+∞，，()1f x ≥-. ……………………………12分22.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)曲线C：224x y +=(0y ≥)，曲线E：2214x y +=. ……………………………5分(Ⅱ)设A (2cos 2sin αα，)，[]0απ∈，，要使得AOB ∆面积的最大，则B (2cos sin αα-，).∴1133sin 2cos sin 2222AOB B S AB x ααα∆=⋅=⋅⋅= ∵[]202απ∈，∴当4πα=时，AOB ∆的面积取最大值32. ……………………………10分高三数学试题（文科）答案 第4 页（共4页）23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)()42131124 1142 1x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≥⎩，，，当1x =时，()f x 的最小值为2k =. ……………………………5分(Ⅱ)依题意，2242m n +=.()22222222111414144614444m n m n m n m n ⎛⎫+=+=+++⋅ ⎪+++⎝⎭(222214441314566244n m m n ⎡⎤+=+++≥+=⎢⎥+⎣⎦. 当且仅当222244444n m m n +=+，即220m n ==，时，等号成立. ……………………………10分。
2019届高三第三次模拟考试卷文科数学(四)(含答案)
2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i1i +等于（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，bπ6A =，则B =（ ） A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π34．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）A ．328B ．332C ．532D ．5565．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A ．24π+B ．12π-C ．14π-D ．136．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF的斜率为MAF △的面积为（ ）AB． C．D．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） ABC ．13D10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则班级 姓名 准考证号 考场号 座位号n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．[2019·宁波期末]关于x ，y 的不等式组23000x y x m y m -+>+<->⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞12．[2019·凉山二诊]设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[)2,0x ∈-时，()1xf x =-⎝⎭，则在区间()2,6-内关于x 的方程()()8log 20f x x -+=解得个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·昆明诊断]设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是______．（只需填写一个满足条件的m 即可）14．[2019·合肥质检]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若51310a a -=，则13S =______． 15．[2019·南通联考]已知角ϕ的终边经过点()1,2P -，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____． 16．[2019·郴州期末]已知直线y x a =+与圆()2222500x y ax a a +-+-=>交于不同的两点A ，B，若AB ≤，则a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·咸阳模拟]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos 12sin sin B C B C +=． （1）求A ∠的大小．（2）若4b c +=，求ABC △的面积的最大值．18．（12分）[2019·莆田质检]为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放200台P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）．最后该公司共收回有效评分表600份，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数m ；（2）已知40个样本数据的平均数80a =，记m 与a 的最大值为M ．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M 的为“满意型”，评分小于M 的为“需改进型”．①请以40个样本数据的频率分布来估计收回的600份评分表中，评分小于M 的份数； ②请根据40个样本数据，完成下面22⨯列联表：根据22⨯列联表判断能否有99％的把握认为“认定类型”与性别有关？19．（12分）[2019·潍坊一模]如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．（1）求证：1AA BC ⊥；（2）若12BB ==，145A AC ∠=︒，D 为1CC 的中点，求三棱锥111D A B C -的体积．20．（12分）[2019·宜春期末]椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ， 使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）[2019·江南十校]已知函数()()()1e 0,x f x ax x a =->∈R （e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，()2f x kx >-恒成立，求整数k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·广东模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），已知点()4,0Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·陕西质检]已知对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立． （1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足415326na b a b +=++时，求47a b +的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（四）答 案一、选择题． 1．【答案】B 【解析】()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2-+===+++-，故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()-⊥a b a ，所以()0-⋅=a b a ，所以20-⋅=a a b ，所以1⋅=a b ， 设向量a 、b 的夹角为θ，则11cos 122θ⋅===⨯a b a b ， 由[]0,πθ∈，所以π3θ=，故选C ． 3．【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，即112=sin B ， 故π3B =或2π3，所以选D ． 4．【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为187282⨯⨯=种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A ，则事件A 包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为()328P A =．故选A ．5．【答案】C【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的14个圆柱．故21111π114π4V =⋅⋅-⋅⋅=-．故选C ．6．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =，执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环； 12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环；132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，所以9k ≤． 故选D ． 7．【答案】D【解析】设在函数()ln f x x =处的切点设为(),x y ，根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=， 故切点为()1,0，可求出切线方程为1y x =-， 直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-，化简得到()2110x a x +-+=，只需要满足()214013Δa a =--=⇒=-或．故答案为D ． 8．【答案】C【解析】因为抛物线的准线:1l x =-，所以焦点为()1,0F ， 抛物线2:4C y x =，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上， 若MA l ⊥，且直线AF的斜率AF k =， 准线与x 轴的交点为N，则2tan3πAN ==，(A -，则(M ，∴11422MAF S AM AN =⨯⨯=⨯⨯=△．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，所以直线m 与1A C 所成角，即为直线AC 与直线1A C 所成的角， 即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角， 在直角1ACA △中，11cos AC ACA AC ∠===， 即m 与1A CB ． 10．【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，设这堆货物总价为W 万元，则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23999991231010101010nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2311999991101010101010nn W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭919991010109101010110nn n nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则99910100100100200101010n n nW n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得10n =，故选D ． 11．【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=， 则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-， 即实数m 的取值范围是(),1-∞-，故选C ．12．【答案】C【解析】对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-，∴()()()()42222f x f xf x f x +=++=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴函数()f x 是一个周期函数，且4T =．又∵当[]2,0x ∈-时，()12xf x =-⎝⎭，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()61f =，则函数()y f x =与()8log 2y x =+在区间()2,6-上的图象如下图所示：根据图象可得()y f x =与()8log 2y x =+在区间()2,6-上有3个不同的交点． 故选C ．二、填空题． 13．【答案】12（()0,1的任意数均可） 【解析】由01xx <-得01x <<，所以:01q x <<， 又0m >，:0p x m <<，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，q ⇒p ，所以01m <<，满足题意的12m =（()0,1的任意数均可），故答案为12（()0,1的任意数均可）． 14．【答案】65【解析】在等差数列中，由51310a a -=，可得()113410a d a +-=， 即121210a d +=，即1765a d a +==， ()113713721313136522a a a Sa +∴=⨯=⨯==，故答案为65． 15．【答案】 【解析】角ϕ终边经过点()1,2sin P ϕ-⇒==，cos ϕ==，()f x 两条相邻对称轴之间距离为π3π23T ⇒=，即2π2π33T ωω==⇒=，()()sin 3f x x ϕ=+，sin sin cos cos sin 12444ππππf ϕϕϕ⎛⎛⎫⎛⎫∴=+=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭本题正确结果 16．【答案】⎡⎢⎣⎭【解析】()2222500x y ax a a +-+-=>，可得圆心坐标为(),0C a，半径为r =根据圆的弦长公式，得l =，因为直线y x a =+与交于不同的两点A ，B，且AB ≤，则≤d <d ≤，又由点到直线的距离公式可得圆心(),0C a 到直线y x a =+的距离为d =<1a ≤<即实数a 的取值范围是⎡⎢⎣⎭．三、解答题． 17．【答案】（1）π3A =；（2 【解析】（1）由2cos cos 12sin sin B C B C +=，得()1cos 2B C +=-，可得2π3B C +=，所以π3A =． （2）22π114sin sin 22322ABCb c S bc A bc +⎫⎛⎫===≤==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ 当且仅当2b c ==时取等号，即ABC △ 18．【答案】（1）81；（2）①300；②见解析． 【解析】（1）由茎叶图知8082812m +==． （2）因为81m =，80a =，所以81M =．①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，所以在40个样本数据中，评分不小于81的频率为1550.540+=， 可以估计收回的600份评分表中，评分不小于81的份数为6000.5300⨯=； ②根据题意得22⨯列联表：由于()224015155510 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，查表得()2 6.6350.010P K ≈≥，所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关． 19．【答案】（1）见解析；（2）16． 【解析】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O ，因为平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥，又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=︒， 所以AOC BOC ≅Rt Rt △△，故OA OB =， 因为145A AB ∠=︒，所以1AA OB ⊥，又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥． （2）由（1）可知，OA OB =，因为AB 12BB =，故1OA OB ==，又因为145A AC ∠=︒，CO AO ⊥，所以1CO AO ==，1111111113D A B C B A C D A C D V V S h --==⨯⋅△，11111122A C D S =⨯⨯=△，因为OB ⊥平面11AA C C ，所以1h OB ==，故1111111326B A C D V -=⨯⨯=，所以三棱锥111D A B C -的体积为16．20．【答案】（1）22184x y+=；（2）存在定点()0,4Q 满足题意． 【解析】（1）因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为22b a=，且离心率是2，所以c a =24b =，28a =， 所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程1y kx =+，由22281x y y kx +==+⎧⎨⎩，得()2221460k x kx ++-=，()221624210Δk k =++>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，122122421621k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，假设存在定点()0,Q t 符合题意，PQA PQB ∠=∠，QA QB k k ∴=-，()()()()2112122112121212121211QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--∴+=+== ()()()()1212122124421063kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-，上式对任意实数k 恒等于零，40t ∴-=，即4t =，()0,4Q ∴．当直线l 斜率不存在时，A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点()0,2-，()0,2， 显然此时PQA PQB ∠=∠， 综上，存在定点()0,4Q 满足题意．21．【答案】（1）见解析；（2）k 的最大值为1．【解析】（1）()()()()()1e 0,,1e x xf x ax x a f x ax a =->∈⇒=--⎡⎤⎣⎦'R ，当1a ≥时，()()0f x f x '≥⇒在()0,+∞上递增； 当01a <<时，令()0f x '=，解得1ax a-=， ()f x ⇒在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增； 当0a ≤时，()()0f x f x '≤⇒在()0,+∞上递减． （2）由题意得()()1e x f x x =-，即()1e 2x x kx ->-对于0x >恒成立，方法一、令()()()1e 20x g x x kx x =--+>，则()()e 0x g x x k x =->'， 当0k ≤时，()()0g x g x '≥⇒在()0,+∞上递增，且()010g =>，符合题意； 当0k >时，()()1e 0x g x x x ''=+⇒>时，()g x '单调递增，则存在00x >，使得()000e 0x g x x k '=-=，且()g x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增()()()0000min 1e 20x g x g x x kx ⇒==--+>，00000122011x k kx k x x x -∴⋅-+>⇒<⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 由0012x x +≥，得02k <<， 又k ∈⇒Z 整数k 的最大值为1，另一方面，1k =时，1021g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，()1e 10g ='->， 01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()0021,211x x ∈⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1k ∴=时成立．方法二、原不等式等价于()()1e 20x x k x x-+<>恒成立，令()()()()()()221e 21e 200x x x x x h x x h x x xx -+--+>⇒='=>，令()()()21e 20x t x x x x =-+->，则()()1e 0x t x x x =+>'， ()t x ∴在()0,+∞上递增，又()10t >，1202t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()()()200001e 20x h x t x x x ==-+-='，且()h x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增，()()0min 00211h x h x x x ∴==+-， 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001311,2x x ⎛⎫⇒+-∈ ⎪⎝⎭，()04,23h x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2k ∴<，又k ∈Z ，整数k 的最大值为1．22．【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k = 【解析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ．且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点， 所以2cos 42cos 22sin sin 2x y θθθθ+==+==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，整理得()2221x y -+=．即22430x y x +-+=，化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=．（2）设直线:l y kx =的极坐标方程为θα=．设()1,A ρα，()2,B ρα， 因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=． 联立24cos 30ρρθθα-+==⎧⎨⎩，整理得24cos 30ραρ-⋅+=．则1212124cos 343ρραρρρρ+===⎧⎪⎨⎪⎩，解得7cos 8α=．所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =． 23．【答案】（1）6m ≤；（2）9．【解析】（1）对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立， 又24246x x x x ++-≥+-+=，6m ∴≤．（2）由（1）知6n =，由柯西不等式知：()()414147475329532532a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当313a =，1513b =时取等号，47a b ∴+的最小值为9．。
2019年高考全国Ⅲ文科数学模拟试题及答案(word解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（文科）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． （1）【2017年全国Ⅲ，文1，5分】已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中的元素的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】集合A 和集合B 有共同元素2，4，则{}2,4A B =I 所以元素个数为2，故选B ．（2）【2017年全国Ⅲ，文2，5分】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C【解析】化解i(2i)z =-+得22i i 2i 1z =-+=--，所以复数位于第三象限，故选C ． （3）【2017年全国Ⅲ，文3，5分】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）（A ）月接待游客量逐月增加 （B ）年接待游客量逐年增加 （C ）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月（D ）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A ．（4）【2017年全国Ⅲ，文4，5分】已知4sin cos ,3αα-=，则sin2α=（ ）（A ）79- （B ）29- （C ）29（D ）79【答案】A【解析】()2167sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-=∴=-，故选A ．（5）【2017年全国Ⅲ，文5，5分】设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是（ ） （A ）[]3,0- （B ）[]3,2- （C ）[]0,2 （D ）[]0,3【答案】B【解析】由题意，画出可行域，端点坐标()0,0O ，()0,3A ，()2,0B ．在端点,A B 处分别取的最 小值与最大值． 所以最大值为2，最小值为3-，故选B ．（6）【2017年全国Ⅲ，文6，5分】函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为（ ）（A ）65 （B ）1 （C ）35 （D ）15【答案】A【解析】11113()sin()cos()(sin cos cos sin sin 5365225f x x x x x x x x xππ=++-=⋅++⋅=6sin()53x π=+，故选A ．（7）【2017年全国Ⅲ，文7，5分】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A ，C ，当x →+∞时，1y x →+，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D ．（8）【2017年全国Ⅲ，文8，5分】执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D【解析】若2N =，第一次进入循环，12≤成立，100100,1010S M ==-=-，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．（9）【2017年全国Ⅲ，文9，5分】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）（A ）π （B ）3π4（C ）π2 （D ）π4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以r BC ==22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B ． （10）【2017年全国Ⅲ，文10，5分】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）（A ）11A E DC ⊥ （B ）1A E BD ⊥ （C ）11A E BC ⊥ （D ）1A E AC ⊥ 【答案】C【解析】11A B ⊥平面11BCC B 111A B BC ∴⊥，11BC B C ⊥又1111B C A B B =，1BC ∴⊥平面11A B CD ，又1A E ⊂平面11A B CD 11A E BC ∴⊥，故选C ．（11）【2017年全国Ⅲ，文11，5分】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）（A（B（C（D ）13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a =选A ．（12）【2017年全国Ⅲ，文12，5分】已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） （A ）12- （B ）13 （C ）12 （D ）1【答案】C【解析】()()11220x x f x x a e e --+'=-+-=，得1x =，即1x =为函数的极值点，故()10f =，则1220a -+=，12a =，故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）【2017年全国Ⅲ，文13，5分】已知向量()2,3a =-，()3,b m =，且a b ⊥，则m =______． 【答案】2【解析】因为a b ⊥0a b ∴⋅=，得630m -+=，2m ∴=．（14）【2017年全国Ⅲ，文14，5分】双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =__ ____． 【答案】5【解析】渐近线方程为by x a=±，由题知3b =，所以5a =．（15）【2017年全国Ⅲ，文15，5分】ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A _______． 【答案】075【解析】根据正弦定理有：3sin 60=sin B ∴，又b c > 045=∴B 075=∴A ． （16）【2017年全国Ⅲ，文16，5分】设函数1,0,()2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_______．【答案】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时12221x x-+> 恒成立，即12x >；当102x <≤时12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤；综上x 的取值范围是1(,)4-+∞． 三、解答题：共70分。
福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学(文科)及参考答案
绝密★启用前福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学(文科)考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x2＋2x－3<0}，N＝{x|－1≤x≤1}，则M∩N＝A．{x|－3<x≤1} B．{x|－1≤x<1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－3≤x<1}2．已知复数z满足(z－i)(3＋4i)＝25，则|z|＝A. 2 B．2 2 C．3 D．3 23．已知等比数列{a n}满足a n<a n＋1，且a2＋a4＝20，a3＝8，则数列{a n}的前10项的和为A．1 022 B．1 024 C．2 046 D．2 0484．已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－1)，且b⊥(2a－b)，则m的值为A．1 B．3 C．1或3 D．45．已知命题p：∃x0∈R，cos x0>sin x0，命题q：直线3x＋4y－2＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相离，则下列判断正确的是A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨(¬q)是假命题D．命题p∧(¬q)是真命题6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3＋ 3B．3＋2 3C．2＋ 3D．2＋2 37．执行如图所示的程序框图，当输入a＝1时，则输出的k的值为A．0B．1C．2D．38．已知sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6＝t (t >0)，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6的取值范围是A ．(－1，1]B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝y ＋2x的取值范围为A.⎣⎡⎦⎤0，43 B ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－2，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪[2，＋∞) 10．已知O 为坐标原点，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作一条直线，与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相切于点T ，与双曲线右支交于点P ，M 为线段FP 的中点．若该双曲线的离心率为3，则|MF |－|OM ||TF |＝A.24 B.22C. 2 D ．2 11．已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n ，n ∈N *，记b n ＝a n －7a n －52，则数列{b n }的最大项是A ．b 8B ．b 7C ．b 6D ．b 512．已知函数f (x )＝2x 2＋x 2sin x ＋4x 2＋2，则函数g (x )＝2－sin 2πx 与f (x )的图象在区间(－1，1)上的交点个数为A ．1B ．3C ．5D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝x ln(2－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为__________．14．某市电视台对本市2019年春晚的节目进行评分，分数设置为1分，2分，3分，4分，5分五个等级．已知100名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这100名大众评委的分数的方差为__________．15．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点F 和点(4，0)的距离之和的最小值为5，则此抛物线方程为__________．16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD＝2，BD ⊥CD .将其沿对角线BD 折成一个鳖臑A ′－BCD ，则该鳖臑内切球的半径为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 在线段AC 上，且AE ＝2EC ，BE ＝433. (Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)若∠ADC ＝60°，AD ＝3，求∠ACD 的大小．18．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，D 为AB 1的中点，B 1C 交BC 1于点E ，AC ⊥BC ，BC ＝2，侧面AA 1C 1C 的周长为8.(Ⅰ)证明：DE ⊥平面BB 1C 1C ；(Ⅱ)设F 是棱AA 1上的点，且A 1F ＝14A 1A ，求四棱锥B 1－A 1FCC 1的体积的最大值．19．(12分)2019年春节期间，各种手机红包成了亲友间互动的重要手段，因此占据了人们大量的时间，对人们的眼睛造成较坏的影响．大学生小王随机调查了班内20位同学每人在春节期间抢到的红包金额x (元)，得到下面的频数分布表：(Ⅰ)将这20位同学的红包金额与眼睛近视的人数填入下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；(Ⅱ)[120，160)的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d .20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知点M (－4，0)，过F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，证明：∠FMA ＝∠FMB .21．(12分)已知函数f (x )＝x e x ＋a (x －1)2＋b 在点(0，f (0))处的切线方程为3x －y －1＝0. (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)证明：当x >0时，f (x )>2eln x ＋1.(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 的交点为P ，Q ，求弦长|PQ |的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知f (x )＝|x －1|＋|x －4|.(Ⅰ)求不等式f (x )≥5的解集；(Ⅱ)已知f (x )≥x 2＋|x |＋a 的解集包含[－1，1]，求实数a 的取值范围．福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学(文科)参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查集合的运算，考查数学运算能力．【解析】 根据题意，M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |－1≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{x |－1≤x <1}． 2．【答案】 D【命题意图】 本题主要考查复数的模、复数的四则运算，考查数学运算能力． 【解析】 由(z －i)(3＋4i)＝25，得z －i ＝253＋4i＝25（3－4i ）25＝3－4i ，所以z ＝3－3i.所以|z |＝3 2.3．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查等比数列的通项和前n 项和公式，考查数学运算能力．【解析】 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，所以a n ＝2n.故S 10＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046.4．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查数学运算能力．【解析】 根据题意，得2a －b ＝(4－m ，3)．由b ⊥(2a －b )，得m (4－m )－3＝0.解得m ＝1或m ＝3.5．【答案】 D【命题意图】 本题主要考查简易逻辑的有关知识，考查逻辑推理能力．【解析】 当x 0＝π6时，cos x 0>sin x 0成立，所以p 是真命题．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0⇒(x－1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心到直线3x ＋4y －2＝0的距离为1，所以直线3x ＋4y －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，所以q 是假命题．所以p ∧(¬q )是真命题．6．【答案】 A【命题意图】 本题主要考查三视图、组合体的表面积，考查空间想象能力．【解析】 该几何体为两个三棱锥的组合体，直观图如图所示．所以表面积为S ＝4×12×1×1＋1×1＋2×34×(2)2＝3＋ 3.7．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查程序框图，考查论证推理能力、数学运算能力． 【解析】 第一次循环k ＝0，b ＝1，a ＝－12；第二次循环k ＝1，b ＝1，a ＝－2；第三次循环k ＝2，a ＝1＝b ；结束循环，输出k ＝2.8．【答案】 D【命题意图】 本题主要考查三角恒等变换，考查数学运算能力．【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α2＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α2－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α2－1＝2t 2－1，所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6＝2t 2－1t ＝2t －1t .根据题意，t ∈(0，1]，此时y ＝2t －1t 单调递增，所以y ＝2t －1t∈(－∞，1]．9．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查线性规划，考查数学运算能力、数形结合的思想． 【解析】 根据题意，画出可行域，如图阴影部分所示．z ＝y ＋2x 表示可行域内的点(x ，y )与P (0，－2)连线的斜率．k PC ＝－2，k P A ＝43，故z ∈(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.10．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查数学运算能力． 【解析】 设双曲线的另一个焦点为F 2，连接OT ，OM ，则OT ⊥PF ，且OM ＝12PF 2.在Rt △FTO 中，由|OF |＝c ，|OT |＝a ，得|TF |＝b .所以|MF |－|OM ||TF |＝12|PF |－12|PF 2||TF |＝ab＝1c 2a2－1＝22. 11．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查数列的通项公式、数列中的最值，考查数学运算能力． 【解析】 根据题意，当n ＝1时，1－1a 1＝1a 1，a 1＝2；当n ≥2时，由⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n 和⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n －1＝1a n －1，两式相除，得1－1a n ＝a n －1a n，即a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，a n ＝n ＋1.所以b n ＝a n －7a n －52＝1＋52－7n ＋1－52.当n ≤6时，b n <1；当n ≥7时，1<b n ≤1＋52－78－52＝b 7，所以b 7为数列{b n }的最大项．12．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查函数图象、性质和函数的零点问题，考查数形结合的思想、运算求解能力．【解析】 f (x )＝2x 2＋x 2sin x ＋4x 2＋2＝2＋x 2sin x x 2＋2，因为y ＝x 2sin xx 2＋2是奇函数，图象关于原点对称，所以f (x )的图象关于点(0，2)对称．同理可得g (x )的图象也关于点(0，2)对称．因为当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＝x 4cos x ＋2x 2cos x ＋4x sin x（x 2＋2）2>0，所以f (x )在(－1，1)上单调递增，且f (1)＝2＋sin 13，2<f (1)<3，f (0)＝2，作出f (x )和g (x )在(－1，1)上的图象可以看出交点个数为5. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】 (1，10)【命题意图】 本题主要考查函数的定义及不等式的解法．【解析】 f (x )＝x ln(2－x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >1.解得0<x <1.所以0<lg x <1.解得1<x <10.14．【答案】 1.6【命题意图】 本题主要考查频率分布条形图的识别、数据平均值与方差，考查数据处理能力．【解析】 分数的平均值为x －＝1×20＋2×10＋3×30＋4×30＋5×10100＝3，所以s x ＝[（1－3）2×20＋（2－3）2×10＋（3－3）2×30＋（4－3）2×30＋（5－3）2×10]100＝1.6.15．【答案】 y 2＝4x【命题意图】 本题主要考查抛物线的方程和几何性质，考查数学运算能力．【解析】 根据抛物线的定义，P 到焦点与点(4，0)的距离之和等于点P 到准线的距离与到点(4，0)的距离之和，其最小值为点(4，0)到准线的距离，即p2＋4＝5，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .16．【答案】2－12【命题意图】 本题主要考查数学文化、空间几何体与球的相切问题，考查空间想象能力．【解析】 因A ′D ＝CD ＝1，且△A ′CD 为直角三角形，所以CD ⊥A ′D ，又CD ⊥BD ，BD ∩A ′D ＝D ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以CD ⊥A ′B .又由A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，得A ′B ⊥A ′D .所以A ′B ⊥平面A ′CD .所以A ′B ⊥A ′C .易得A ′C ＝ 2.设内切球的半径为r ，则13(S △A ′BC ＋S △A ′CD ＋S △A ′BD ＋S △BCD )r ＝13CD ·S △A ′BD ，即13⎝⎛⎭⎫22＋12＋12＋22r ＝13×1×12.解得r ＝2－12. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【命题意图】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查数学运算能力． 【解析】 (Ⅰ)设AC ＝3z ，在△ABE 中，由余弦定理可得cos ∠BEA ＝163＋（2z ）2－42×433×2z.(2分)在△CBE 中，由余弦定理可得cos ∠BEC ＝163＋z 2－92×433×z.(4分)由于∠BEA ＋∠BEC ＝180°，所以cos ∠BEA ＝－cos ∠BEC ， 所以163＋（2z ）2－42×433×2z ＝－163＋z 2－92×433×z.(6分)整理可得16＋6z 2－4－18＝0.解得z ＝1(负值舍去)．所以AC ＝3.(8分)(Ⅱ)在△ADC 中，由正弦定理可得AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠ACD ，所以332＝3sin ∠ACD，所以sin ∠ACD ＝12. (10分)因为AD <AC ，所以∠ACD <60°，所以∠ACD ＝30°.(12分) 18．【命题意图】 本题主要考查直线与平面的平行、垂直的判定，简单几何体的体积，考查逻辑推理和空间想象的能力．【解析】 (Ⅰ)因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥平面ABC .所以CC 1⊥AC .(1分) 又因为AC ⊥BC ，CC 1∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C .(2分)易知四边形BCC 1B 1是矩形，所以E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点， 所以DE ∥AC .(3分)所以DE ⊥平面BB 1C 1C .(4分)(Ⅱ)由题意，得CC 1＋A 1C 1＝4.(5分)易知B 1C 1是四棱锥B 1－A 1FCC 1的高．(7分) 所以四棱锥B 1－A 1FCC 1的体积V ＝13S 四边形A 1FCC 1·B 1C 1＝13×12(CC 1＋14CC 1)·(4－CC 1)×2＝512CC 1(4－CC 1)＝512[－(CC 1－2)2＋4]≤53.(10分) 故当CC 1＝2时，四棱锥B 1－A 1FCC 1的体积取最大值，最大值为53.(12分)19．【命题意图】 本题主要考查独立性检验思想、古典概型的求解，主要考查数据分析能力．【解析】 (Ⅰ)填写表格如下：(3分)所以K 2＝20×（2×4－7×7）29×11×9×11≈3.430>2.706.故有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关．(6分)(Ⅱ)由题意，红包金额在[80，120)的同学有4位，设为A ，B ，C ，D ，红包金额在[120，160)的同学有3位，设为a ，b ，c ，(8分)则从中抽取2位的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(C ，D )，(C ，a )，(C ，b )，(C ，c )，(D ，a )，(D ，b )，(D ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )．共21种．(10分)其中满足这2位同学的红包金额都在[120，160)的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种．设这2位同学的红包金额都在[120，160)的基本事件为M ，则P (M )＝321＝17.(12分)20．【命题意图】 本题主要考查椭圆的几何性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，主要考查数学运算能力．【解析】 (Ⅰ)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b 2a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.(2分)解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 3.(3分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(Ⅱ)当l 与x 轴重合时，∠FMA ＝∠FMB ＝0°；当l 与x 轴垂直时，直线MF 恰好平分∠AMB ，则∠FMA ＝∠FMB ；(7分) 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)． 代入椭圆方程可得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.(8分)直线MA ，MB 的斜率之和为k AM ＋k BM ＝y 1x 1＋4＋y 2x 2＋4＝y 1（x 2＋4）＋y 2（x 1＋4）（x 1＋4）（x 2＋4）＝k （x 1＋1）（x 2＋4）＋k （x 2＋1）（x 1＋4）（x 1＋4）（x 2＋4）＝k [2x 1x 2＋5（x 1＋x 2）＋8]（x 1＋4）（x 2＋4）.因为2·4k 2－123＋4k 2＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2＋8＝0，所以k AM ＋k BM ＝0.(11分)故直线MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠FMA ＝∠FMB .综上，∠FMA ＝∠FMB .(12分) 21．【命题意图】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及导数的几何意义，考查逻辑推理能力和数学运算能力．【解析】 (Ⅰ)因为f ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2a (x －1)，函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程的斜率为3，所以f ′(0)＝1－2a ＝3.解得a ＝－1.(2分)又f (0)＝－1，所以－(0－1)2＋b ＝－1.解得b ＝0.(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得f (x )＝x e x －(x －1)2.设g (x )＝f (x )－2eln x －1＝x e x －2eln x －(x －1)2－1，则 g ′(x )＝(x ＋1)e x －2ex －2(x －1)．(5分)令h (x )＝(x ＋1)e x －2ex －2(x －1)，x >0，则h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2e x 2－2＝x e x ＋2ex2＋2(e x －1)．(6分)所以当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0.故h (x )在(0，＋∞)上单调递增．(8分)又h (1)＝0，所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(10分) 所以当x ＝1时，g (x )取得最小值g (1)＝e －1>0，(11分) 所以g (x )>0，即f (x )>2eln x ＋1.(12分) 22．【命题意图】 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化、弦长的最值问题．【解析】 (Ⅰ)根据题意，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0.(2分)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4.(4分) (Ⅱ)由题意，直线l 经过圆内的定点A (2，－2)，(6分)设圆心C (1，－1)到直线l 的距离为d ，因为d ≤|AC |＝（1－2）2＋（－1＋2）2＝2，(8分)所以|PQ |＝24－d 2≥24－2＝22，当直线l 与AC 垂直时，等号成立． 故弦长|PQ |的最小值为2 2.(10分) 23．【命题意图】 本题主要考查绝对值不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题． 【解析】 (Ⅰ)不等式即为|x －1|＋|x －4|≥5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－2x ＋5≥5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≥5.(3分)解得x ≤0或x ≥5，故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(5分)(Ⅱ)根据题意，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x ＋4－x ＝5－2x ≥x 2＋|x |＋a ，(6分) f (x )≥x 2＋|x |＋a 的解集包含[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，x 2＋3x ＋a －5≤0且⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，x 2＋x ＋a －5≤0恒成立．(7分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －5≤0，12＋3×1＋a －5≤0且⎩⎪⎨⎪⎧a －5<0，（－1）2－1＋a －5≤0.(9分) 解之得a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(10分)。
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟文科数学试题(全国Ⅲ卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟文科数学试题（全国Ⅲ卷）一、选择题1．设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48},（B ）{026}，, （C ）{02610}，，, （D ）{0246810}，，，，, 【答案】C【解析】试题分析：由补集的概念，得C {0,2,6,10}A B =，故选C ． 【考点】集合的补集运算． 2．若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43i 55-【答案】D【解析】试题分析：43i ||55z z ==-，故选D ． 【考点】1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．3．已知向量1(2BA =uu v,1),2BC =uu u v 则ABC ∠=（A ）300（B ） 450（C ）600（D ）1200【答案】A【解析】试题分析：由题意，得112222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量夹角公式．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是（A ）各月的平均最低气温都在00C 以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于200C 的月份有5个 【答案】D【解析】试题分析：由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选D ． 【考点】1、平均数；2、统计图5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 （A ）815 （B ）18 （C ）115 （D ）130【答案】C【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C ．【考点】古典概型． 6．若tan 13θ=，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15-（C ）15 （D ）45【答案】D【解析】试题分析：2222222211()cos sin 1tan 43cos 2cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++． 【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角． 7．已知4213332,3,25a b c ===，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】试题分析：因为423324a ==，1233255c ==，又函数23y x =在[0,)+∞上是增函数，所以222333345<<，即b a c <<，故选A ．【考点】幂函数的单调性．8．执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二次循环，得2,6,4,10a b a s =-===，2n =；第三次循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四次循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=，退出循环，输出4n =，故选B ．【考点】程序框图． 9．在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A = （A ）310（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3,2B C A D D C A D ==，所以AC ．由正弦定理，知sin sin AC BC B A =3sin AD A =，解得sin A =，故选D ．【考点】正弦定理．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B）54+（C ）90 （D ）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【考点】空间几何体的三视图及表面积．11．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 【考点】1、三棱柱的内切球；2、球的体积．12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】试题分析：由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点||()FM k a c =-，||OE ka =，由OBECBM ∆∆，得1||||2||||OE OB FM BC =，即2(c)ka a k a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ． 【考点】椭圆方程与几何性质．二、填空题13．若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最大值为_____________.【答案】10-【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数235z x y =+-经过点(1,1)A --时取得最小值，即min 2(1)3(1)510z =⨯-+⨯--=-．【考点】简单的线性规划问题．14．函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π=-=-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【考点】1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．15．已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________. 【答案】4【解析】试题分析：由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以||AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．【考点】直线与圆的位置关系．16．已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．【考点】1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．三、解答题17．已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式. 【答案】（Ⅰ）41,2132==a a ；（Ⅱ）121-=n n a ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）将11a =代入递推公式求得2a ，将2a 的值代入递推公式可求得3a ；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列{}n a 为等比数列，由此可求得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（Ⅰ）由题意得41,2132==a a . （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a . 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a . 【考点】1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．18．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，7≈2.646.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -【答案】（Ⅰ）0.99r ≈，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系；（Ⅱ）1.82亿吨【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数r 公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得r 的值，最后根据其值大小回答即可；（Ⅱ）利用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立y 关于t 的回归方程，然后作预测． 试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i i t t ，55.0)(712=-∑=i iy y ，89.232.9417.40))((717171=⨯-=-=--∑∑∑===i i i i i i i iy t y t y y t t，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i ity y t tb ， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用． 19．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明MN平面PAB ；（Ⅱ）求四面体N BCM -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MNAT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S . 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . 【考点】1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．20．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12-=x y ．【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴垂直的两条直线，然后得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点坐标1(,0)D x ，利用面积可求得1x ，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况结合AB DE k k =求解． 试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥.（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . 【考点】1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． 21．设函数()ln 1f x x x =-+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.【答案】（Ⅰ）当01x <<时，()f x 单调递增；当1x >时，()f x 单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数()f x '，然后通过解不等式()0f x '>或()0f x '<可确定函数()f x 的单调性（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的x 换为1x即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．试题解析：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()1f x x=-，令'()0f x =，解得1x =. 当01x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =.所以当1x ≠时，ln 1x x <-.故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln 1x x <-，即11ln x x x-<<. （Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x g x c x c =+--，则'()1ln x g x c c c =--，令'()0g x =， 解得01lnln ln c c x c -=. 当0x x <时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，'()0g x <，()g x 单调递减. 由（Ⅱ）知，11ln c c c-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >. 所以当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C 1的参数方程普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=代入曲线C 2的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQ d α=的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P 坐标即可．试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. （Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值， 即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d αP 的直角坐标为31(,)22. 【考点】1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式|()|()h x a a h x a ≤⇔-≤≤，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解()()f x g x +的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于a 的不等式求解即可．试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.【考点】1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．。
2019届高三数学第三次模拟考试题(含答案)文
2019届高三第三次模拟考试卷 文 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·深圳期末]已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞ B ．(],4-∞ C ．()3,4 D ．[]3,4 2．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．2i - D ．23i -+ 3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分 4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13 B ．59 C ．79 D ．89 5．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 BCD6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π2 7．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ） A ． B ． 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（ ）A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若BC =，且1AF =，则此抛物线的方程为（ ）A．2y = B ．22y x = C．2y = D ．23y x =11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π2 12．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M ，N ，设BM x =，[]0,1x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[]0,1x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ）A ．①④B ．②C ．③D ．③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a，+=a b ，则=b _____． 14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·哈三中]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，22a <，且2019n S =，则n 的最大值为___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin c A C +=．（1）求角A 的大小；（2）若a 1b =，求ABC △的面积．18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED 中，AB DE ∥，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD △沿CD 折起，使点A 到达点P的位置，且PE =．（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）求三棱锥P EBC -的体积．19．（12分）[2019·合肥质检]为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱（已知：0.751r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数（精确到个） 参考公式：n x x y y r --=，()2110n i i x x =-=∑，()21 1.3n i i y y =-=∑ 3.6056≈，()()()121ˆn i i i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）[2019·豫西名校]已知函数()()2ln f x a x x ax a =+-∈R ．（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()2g x f x x =-在区间[]1,e 上的最小值()h a ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈三中]已知曲线1:C x =2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程； （2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·江南十校]设函数()()f x x x a=-++-．lg2121f x的定义域；（1）当4a=时，求函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．（2）若函数()2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ．2．【答案】A【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-， ∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ．3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分）．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈，区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ．5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-， ∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()121a ⨯-=-，即2a =，∴c e a ==B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ．7．【答案】A 【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C 【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ．9．【答案】C 【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ． 10．【答案】A 【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义，BF BE =，1AF AD ==，∵BC =，∴BC =，∴45DCA ∠=︒，∴2AC ==+211CF ==，∴PF ==，即p PF =，∴抛物线的方程为2y =，故选A ． 11．【答案】D 【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）．故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ．12．【答案】C【解析】①连结BD ，B D ''，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD B ''，∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，∴①正确；②连结MN ，∵EF ⊥平面BDD B ''，∴EF MN ⊥，四边形MENF 的对角线EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时， 即12x =时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，∴②正确；③∵EF MN ⊥，∴四边形MENF 是菱形，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大，∴函数()L f x =不单调，∴③错误；④连结C E '，C M '，C N '，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C EF '为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥，∵三角形'C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面'C EF 的距离是个常数，∴四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数，∴④正确，∴四个命题中③假命题，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ，变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1，又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】12 【解析】设男学生人生为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，且x ，y ，*z ∈N ， 则2z x y z >>>，当1z =时，21x y >>>不成立；当2z =时，42x y >>>不成立； 当3z =时，63x y >>>，则5x =，4y =，此时该小组的人数最小为12． 15．【答案】3800 【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+， 甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域，由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2， 当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800． 16．【答案】63 【解析】数列{}n a n -是以1-为公比，以11a -为首项的等比数列， 数列{}n a n -的前n 项和为()()()()111112122n n n n n S n S a +---++⋯+=-=-⋅， ()()()1111122n n n n S a --+=-⋅+， 当n 为偶数时，()120192n n n S +==，无解； 当n 为奇数时，由()()11120192n n n S a +=+-=，可得()1120202n n a +=-，由121n n a a n ++=+可得213a a +=，123a a =-，∵22a <，∴11a >，即()()1120201140382n n a n n +=->⇒+<，结合n ∈N ，可得63n ≤，∴使得2019n S =的n 的最大值为63，故答案为63．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）S ．【解析】（1）∵()1cos sin c A C +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +=cos 1A A -=， ∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．（2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯=18．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）证明：∵AB BE ⊥，AB CD ⊥，∴BE CD ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴PC BE ⊥，又BC BE ⊥，PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）解法1：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =得2PB ==，∴PBC △为等边三角形，∴22PBC S ==△∴11233P EBC E PBC PBC V V S EB --==⋅==△，解法2：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =，得2PB ，∴PBC △为等边三角形，取BC 的中点O ，连结OP，则PO =∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，∴21112332P EBC EBC V S PO -=⋅=⨯⨯=△． 19．【答案】（1）相关性很强；（2）0.36 4.6ˆ727y x =-，208个． 【解析】（1）2016x =，1y =，n x x y y r --=20.710.410.420.7360.7536056-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==>．．， ∴y 与x 线性相关性很强． （2）()()()()()()()12120.710.410.420.70.3641014ˆn i i i n i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， 120160.36724.7ˆ6ˆa y bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是0.36 4.6ˆ727y x =-． 当2019x =时，0.36724.76ˆ 2.08y x =-=（百个）， 即A 地区2019年足球特色学校的个数为208个． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2） 【解析】（1）依题意得22b=，2c e a ==，解得a 1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =， 联立2212x y +=，解得y =ABCD 的面积S = 当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-， 联立2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k xx k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =， 则平行四边形ABCD 的面积)22112k S k +==+，令212t k=+，1t >，则S =，()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减，则(S =，综上所述，平行四边形ABCD的面积的最大值为21．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222a x ax af x x a x x -+=+-='，∵3x =是()f x 的极值点，∴()183303a af '-+==，解得9a =，∴()()()2233299x x x x f x x x ---+=='， 当302x <<或3x >时，()0f x '>；当332x <<时，()0f x '<．∴()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()2ln 2g x a x x ax x =+--，则()()()22122x a x x ax a g x x x ---+='=-，令()0g x '=，得2ax =或1x =． ①当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()min 11h a g a ==--； ②当1e 2a<<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴()2min 1ln 224a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ③当e 2a≥，即2e a ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数，∴()()()2min e 1e e 2e h a g a ==-+-．综上，()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+；（2）1．【解析】（1）∵2C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）， ∴其普通方程为22162x y +=，又1:C x +=∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+． （2）∵)M ，()0,1N，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为π6θ=， 把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3a <． 【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-； 当112x -<<时，12224x x -++>，无解； 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>， 综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++， ()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=， ∴3a <．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019届高三数学文科三诊模拟试卷含答案
数学（文史）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，集合，则
A．B．C．D．
2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为A．B．C．D．
3．等差数列中，，则的前9项和等于
A．B．27 C．18 D．4.已知集合，那么“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C. 充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A．B．
C．D．
6．设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为B．的图形关于直线对称
C．的一个零点为D．在区间上单调递减
7.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出
A．B． C. D．
8.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为
A．B． C. D．
9.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为
A．B．C．D．10. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为
A．B． C. D．
11.定义在上的偶函数（其中为自然对数的底），记，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
12．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为．
14. 设，满足约束条件，则的最小值为______.
15. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为______.
16.已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17.(本大题满分12分)
正项等比数列中，已知，.
(I)求的前项和；
（II）对于中的，设，且，求数列的通项公式.
18．(本大题满分12分)
“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：、步，（说明：“”表示大于或等于，小于，以下同理），、步，、步，、步，、步，且、、三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M的参与“微信运动”的位微信好友中，每天走路步数在的人数；
（Ⅱ）若在大学生M该天抽取的步数在的微信好友中，按男女比例分层抽取人进行身体状况调查，然后再从这位微信好友中随机抽取人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
19. (本大题满分12分)
如图，边长为的正方形中，、分别是、边的中点，将，分别沿，折起，使得两点重合于点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
20. (本大题满分12分)
已知，，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
(I)求点的轨迹的方程；
（II）设，，连接并延长，与轨迹交于另一点，点是中点，是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.
21.(本大题满分12分)
已知函数.
(I)讨论的单调区间；
（II）当时，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为.
(I)若直线与圆相切，求的值；
（II）若直线与曲线相交于两点，求的值.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知.
(I)当时，求不等式的解集；
（II）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.
文科数学参考答案
一、选择题
1-5:DBBCC 6-10:DDDBB 11-12:AA
二、填空题
13．14. 4 15. 16.
三、解答题
17.解：设正项等比数列的公比为，则
由及得，化简得，解得或（舍去）.
于是，所以，.
由已知，，所以当时，由累加法得
.
又也适合上式，所以的通项公式为，.
18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走步的人数：男12人，女14人
位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走步的人数
约为：人
（Ⅱ）该天抽取的步数在的人数：男6人，女3人，共9人，
再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分
列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种
设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A，
则所求概率
19.解：（1）证明：在正方形中，，
在三棱锥中, 且
（2）分别是边长为的正方形中边的中点
由（1）知
20.解：（1）设，∵，，∴，，
又，∴，∴，
∴轨迹的方程为（注：或，如不注明扣一分）. （2）由，分别为，，的中点，故，
故与同底等高，故，，
当直线的斜率不存在时，其方程为，此时；
当直线的斜率存在时，设其方程为：，设，，显然直线不与轴重合，即；
联立，解得，
，故，
故，
点到直线的距离，
，令，
故，
故的最大值为.
21.解：（1）的定义域为，且，
①当时，，此时的单调递减区间为.
②当时，由，得；
由，得.
此时的单调减区间为，单调增区间为.
③当时，由，得；
由，得.
此时的单调减区间为，单调增区间为. （2）当时，要证：，
只要证：，即证：.（*）
设，则，
设，
由（1）知在上单调递增，
所以当时，，于是，所以在上单调递增，所以当时，（*）式成立，
故当时，.
22．解：（1）圆的直角坐标方程为，
直线的一般方程为，
∴，∴；
（2）曲线的一般方程为，代入得，∴，，
∴.
23. 解：（1）当时，.
∴.
或或
或或或.
∴当时，不等式的解集为.
（2）∵的解集为实数集对恒成立.
又，
∴.
∴.故的取值范围是.。