一种新的复合重心有理Hermite插值方法
hermitage插值法
hermitage插值法【实用版】目录1.概述 Hermite 插值法2.Hermite 插值法的基本原理3.Hermite 插值法的应用实例4.Hermite 插值法的优点与局限性正文1.概述 Hermite 插值法Hermite 插值法是一种基于分段多项式的插值方法，用于在给定区间内对已知数据点进行插值。
它是一种三次样条插值法，可以提供比其他低阶插值方法更精确的结果。
Hermite 插值法的名称来自于法国数学家Charles Hermite，他在 19 世纪末开发了这种方法。
2.Hermite 插值法的基本原理Hermite 插值法的基本思想是使用一个三次多项式来表示给定数据点之间的函数。
该多项式可以写成：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3其中，a0、a1、a2 和 a3 是待定系数，需要通过给定的数据点来确定。
为了找到这些系数，Hermite 插值法使用了三个约束条件：（1）插值多项式在区间的端点处取到给定的函数值，即：f(x0) = a0 + a1x0 + a2x0^2 + a3x0^3 = y0f(x1) = a0 + a1x1 + a2x1^2 + a3x1^3 = y1（2）插值多项式在区间的中点处取到区间的平均值，即：f((x0 + x1) / 2) = (f(x0) + f(x1)) / 2（3）插值多项式的一阶导数在区间的中点处等于给定函数在该点的导数值，即：f"(((x0 + x1) / 2)) = (f"(x1) - f"(x0)) / (x1 - x0)通过解这组线性方程组，可以得到插值多项式的系数 a0、a1、a2 和a3。
一旦得到这些系数，就可以用插值多项式来近似表示给定函数在给定区间内的行为。
3.Hermite 插值法的应用实例Hermite 插值法广泛应用于数值分析、工程计算和计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，Hermite 插值法可以用来在给定控制点之间生成平滑的贝塞尔曲线。
函数近似计算的插值法Hermite插值法PPT课件
x x0 x1 x0
2
将以上结果代入
8
H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x) 得两个节点的三次Hermite插值公式
H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x)
f0 (1 2l1( x)) l02( x) f1(1 2l0( x)) l12( x)
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f (4) (x)在[x0 , x1]上存在时, 上述余项公式成立
12
Hermite插值法定理1 满足插值条件:
Hn1( xi ) Hn1( xi )
yi yi
f f
( xi ) , ( xi )
i 0,1,
,n
Hermite值问题的解存在且唯一.
Hermite插值法定理2
P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f (xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi
i 0,1,, n --------(2)
P(m) ( xi )
f (m) ( xi )
f (m) i
3
定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为 Hk (,x) 为k多项式次数.
f0( x x0 ) l02 ( x) f1( x x1) l12 ( x)
f0 1 2
x x0 x1 x0
x x1 x0 x1
2
f1
1
2
x x0
x1 x1
x x1
x0 x0
2
f0 x
x0
x x0
Hermite插值公式 ppt课件
------(4)
显然满足条件(3),(4)的多项式(2)的次数不大于n+r+1次， 且满足插值条件(1).
1.求解 hk (x) (k 0,1,n)
由条件(3)知 xi (i 0,1,, r;i k) 是 hk (x) 的二重
零点 .
ppt课件
3
且由条件(3)知 xi
的零点 .
(i
h0
(
x)
(1
2
x x1
x0 x0
)(
x x0
x1 x1
)
2
h1(
x)
(1
2
x x0
x1 x1
)(
x x1
x0 x0
)2
h0
(
x)
(
x
x0
)(
x x0
x1 x1
)2
h1
(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
多项式(12)常用作分段低次插pp值t课件， 称为分段三次 Hermite插16值.
i0
i r 1
ik
由条件(3)知hk (xk ) 1
C r
1
n
(xk xi )2 (xk xi )
i0
i r 1
ik
将C代入式(7)，得
------(7)
hk
(x)
wr (x) wr (xk )
lkn ( x),
k r 1, r 2,, n -(8)
i0
scipy hermit插值法
scipy hermit插值法SciPy是一个Python科学计算库，其中包含了许多用于数值计算和数据处理的工具。
Hermit插值是SciPy中的一个插值方法，它是一种多项式插值的方法，可以用于逼近给定数据点的函数。
Hermit插值法通过在每个数据点处给定函数值和导数值来构造插值多项式，从而可以更好地逼近原始数据。
在SciPy中，可以使用`scipy.interpolate`模块中的`PchipInterpolator`类来进行Hermit插值。
PchipInterpolator 是一种分段三次Hermite插值，它可以在不需要进行预先计算的情况下对数据进行插值。
以下是一个简单的示例代码，演示了如何在SciPy中使用PchipInterpolator进行Hermit插值：python.import numpy as np.from scipy import interpolate.# 创建一些示例数据。
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])。
y = np.array([0, 1, 4, 9, 16])。
# 使用PchipInterpolator进行Hermit插值。
f = interpolate.PchipInterpolator(x, y)。
# 生成插值后的数据点。
x_new = np.linspace(0, 4, 100)。
y_new = f(x_new)。
在这个示例中，我们首先创建了一些示例数据点x和y，然后使用PchipInterpolator对这些数据点进行Hermit插值。
最后，我们生成了插值后的数据点x_new和y_new，这样就得到了插值曲线。
值得注意的是，Hermit插值法可以在数据点之间产生光滑的曲线，同时保持了原始数据的特征。
除了PchipInterpolator之外，SciPy中还提供了其他的插值方法，如线性插值、三次样条插值等。
每种插值方法都有其适用的场景和特点，可以根据具体的需求选择合适的插值方法。
Hermite插值的一种新形式
给 出一 个算 例 。 关键 词 ： ｅｍｉ Ｈ ｒ ｔ 值 ； 函 数 ； 值 条件 ｅ插 基 插 中 图分 类 号 ： ２ １ ０ ４． ３
文献 标 识 码 ： Ａ
ＭＲ（０ ０ Ｓ ｂｅｔ ｌｓｉｃｔ ｎ ５ Ｃ ７ ２０ ） ｕ ｊｃ ａｓ ａｉ ： ３ ０ Ｃ ｉ ｆ ｏ
文章 编 号 ：１７ — ６ ７ ２ ０ ）３ ０ ２ — ３ ６ ２ ０ ８ （０ ７ ０ — ０ ７ ０
３ 构 造 Ｈｅｍｉ ｒ ｔ 值 的 一 种 新 形 式 ｅ插
ｂ 一 ） ２ ＝ （。 １ 口 Ｏ ＋
（） ６
由（ ） （ ） 解 出 ５ 、６ 式
；６ 一
； 一
２
于是 ｈ（ ） （— ｏ ＝ １２
ｌ ． Ｉ ￣Ｏ
） （
０ ｌ —
）。
按 照相 同的方 法可 以求 出 ｈ ） （— ｌ ＝ １２
￣０ ｑＩ Ｉ＇ ｆ
Ｈｅｍｉ ｒ ｔ 值 的简 述 ｅ插
由于理 论和 实践 的需 要 ， 时需 要构 造一 个插 值 函数 ， 有 不但 要 在 给定 的点 处取 已知 函数 值 ， 而且 还要 取 已知微 商 值 ， 得插 值 函数 和被 插 函数 贴 近 程 度更 好 ， 种 插值 称 为 Ｈｅｍ ｔ 值 ， 使 这 ｒｉ ｅ插 以三次 Ｈ ｒ ｉ 插 值 为 ｅｍ ｔ ｅ
＂
） （
１ ￣０ －
） 。 ）， 风 （ ） 又 为三 次多 项式 ， 于是设
对 于 风 （ ） 由（ ） ， ４ 式知 （ ） 中必 含有 （
） （
Ｈ （ ） Ｃ ｘ ｘ） １ ｏｘ ＝ （－ ０ （ ）
由条件 （ ＝ ， ｃ ＿ ‰） １得 ＝＿ ＿ 同样方 法可 以求 得Ｈ ） ＝
Hermite_插值法
, x0]
lim
xi x0
f [x0, x1,
,
xn ]
1 n!
f
(n) ( x0 )
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
Nn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
三点三次Hermite 插值
余项公式
由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设 R( x) f ( x) P( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )
与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
x
x0
)
x x0
x1 x1
2
1(
x)
(
x
x1
)
x x1
x0 x0
两点三次Hermite 插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
的三次 Hermite 插值多项式为
三点三次Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 , x2
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1) 设 P( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [ x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) A( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 将 P’(x1) = f’(x1) 代入可得 A f '( x1 ) f [ x0 , x1] f [ x0, x1, x2]( x1 x0 )
hermite插值法 python -回复
hermite插值法python -回复Hermite插值法是一种常用的数值方法，用于通过给定数据点的函数值和导数值，来构造一个通过这些点的插值函数。
这种插值方法非常重要，因为它可以用于近似复杂函数、在有限的数据点上进行多项式插值。
在本文中，我们将详细介绍Hermite插值法的原理、实现和应用。
我们将一步一步回答下面的问题，以帮助你理解这个主题：1. Hermite插值法的原理是什么？2. 如何实现Hermite插值法？3. Hermite插值法有哪些应用场景？首先，让我们来了解Hermite插值法的原理。
1. Hermite插值法的原理：Hermite插值法是将给定的数据点表示为n个插值多项式的线性组合。
每个插值多项式表示一个数据点的值和导数值。
通过将这些多项式相加，我们可以获得一个整体的插值函数。
具体来说，给定数据点(x0, y0, m0), (x1, y1, m1), ... , (xn, yn, mn)，其中yi是函数在xi处的函数值，mi是函数在xi处的导数值，我们需要构造一个插值函数f(x)。
插值函数f(x)可以通过以下步骤来计算：a. 计算插值多项式h0(x)、h1(x)、...、hn(x)，这些多项式与数据点的位置相对应。
b. 计算插值多项式的导数q0(x)、q1(x)、...、qn(x)，这些导数是通过给定函数值和导数值来确定的。
c. 计算插值多项式与导数的线性组合p0(x)f0(x) + p1(x)f1(x) + ... + pn(x)fn(x)，这里fi(x)是数据点(xi, yi)上的插值多项式。
最终，插值函数f(x)可以由上述线性组合得到。
2. 如何实现Hermite插值法：在Python中，可以使用NumPy库来实现Hermite插值法。
NumPy 提供了许多对数组和数值计算的支持，特别适用于数值插值。
下面是实现Hermite插值法的步骤：a. 导入NumPy库：import numpy as npb. 定义数据点的函数值和导数值：x = np.array([x0, x1, ..., xn])，y = np.array([y0, y1, ..., yn])，m = np.array([m0, m1, ..., mn])c. 定义插值多项式的导数：q = (y[1:] - y[:-1]) / (x[1:] - x[:-1])d. 定义插值多项式的系数：p = (q[1:] - q[:-1]) / (x[2:] - x[:-2])e. 定义插值多项式的值：f = np.poly1d([0])f. 循环计算插值多项式的值：for i in range(len(x)-1):f += np.poly1d([p[i], q[i], y[i]])(x) * ((x >= x[i]) & (x <=x[i+1]))g. 返回插值函数f(x)：return f上述代码实现了Hermite插值法，并返回了插值函数。
插值法-Hermite插值专业知识
共有m+1个条件
其中 xi (i 0,1,, n) 互异，mi为正整数，记 mi m 1，
谋求m次多项式P(x)使满足插值条件：
i0
P(k)( xi ) f (k)( xi ), (i 0,1,, n;k 0,1,, mi 1) (5.1)
埃尔米特Hermite插值问题
我们只讨论 P( xi ) f ( xi ), P( xi ) f ( xi ) 旳情形。
(5.5)
其中
j
(
x),
j
(
j0
x),( j
0,1,,
n)为Hermite插值基函数,即
j(x)
(1
2( x
n
xj)
i0
xj
1
xi
)l
2 j
(
x
)；
i j
j
(
x)
(
x
x
j
)l
2 j
(
x)；
n
l
j
(x)
n
i0 i j
x xi x j xi
实际上,有 H 2n1 ( xi ) ( j ( xi ) yi j ( xi ) y' j ) yi
j
(
x)
(1
c(
x
x
j
))
(((xxxxx000))222((xx xx11))222(((xxxxxjjj11))22((xx xxjj11))22((xx xxnn))22
((xxjj
xx00))22((xxjj
xx11))22((xxjj
xxjj11))22((xx
jj
xx
))22
jj11
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一种新的复合重心有理Hermite插值方法
本文用切触插值连分式对重心有理Hermite插值进行复合，构造出了一种新的复合重心有理Hermite插值方法。
与传统的切触插值连分式相比，该方法具有更好的灵活性。
标签：重心有理Hermite插值复合逼近
0 引言
有理插值和逼近是非线性逼近的一种典型方法，重心有理插值的研究始于lagrange插值多项式，把有理插值改为重心形式具有许多显著的优点，如无极点、数值稳定性好等等。
切触有理插值是Hermite插值的一种推广，1984年W.Werner 第一次给出了重心有理插值方法[1，3]，1991年C.Schneider和W.Werner 提出了重心有理Hermite插值方法[2]。
重心形式的有理插值方法的独有优点使得重心有理插值和重心有理Hermite插值成为当前插值问题中的一个研究热点[4-5]。
1 重心有理Hermite插值
设有理函数r（x）r（x）∈Rn，n，Rn，n为一有理函数集合，其元素是由分子和分母次数不超过n次的多项式构成。
给定重心有理Hermite插值公式如下：
对于有序实数对（xi，fi （j）），j=0，1，2…si-1，i=0，1，2…n，当i≠j时，xi≠xj。
2 一种新的复合重心有理Hermite插值方法
2.1 基于切触插值连分式的复合重心有理Hermite插值方法
设已知x0＜x1＜…＜xn，f （j）（xi）=fi （j），（j=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），为了构造满足插值条件的复合重心有理Hermite插值公式，我们首先介绍一下文献[6]中的切触插值连分式方法：
设x0＜x1＜…＜xn，f （k）（xi）=fi （k），（k=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），则Thiele型切触插值连分式
满足Ii(s -1)(k)(xi)=fi(k)，(k=0，1，…，si-1)。
其中ai0，ai1，…ai （s -1），（i=0，1，…n）可由Viscovatov算法确定，记cik=f （k）(xi)/k!，该算法可表示如下
ai0=ci0，ai1=1/ci1，aij=ci1 /ci1，（j=2，…，si-1），cik=-，（k=1，…，si-1），cik=c(j-2) -aijc(j-1) ，（k=1，…，si-1），（j=2，…，si-1）。
则基于切触插值连分式的复合重心有理Hermite插值可构造如下：
其中，节点x0，x1，…，xn对应的插值权wik（i=0，1，…，n；k=0，1，…，si-1）满足
下面，对公式(3)我们可以证明满足插值条件。
2.2 满足插值条件
定理1. 若wi，s -1≠0，则由(3)式得到的r(x)满足所有插值条件，即
证明我们先证明si=2的情形:
①首先证r(xi)=f(xi)由(3)式知
所以r(xi)=f(xi)。
同理可证，（i=0，1，…，n，j=1，2，…，si-1）。
3 结论
本文用切触插值连分式与重心有理Hermite插值进行复合构造出了一种新的复合重心有理Hermite插值函数，该方法既具有连分式所特有的循环、递归性质又承袭了重心有理Hermite插值所独有的算法特性，有利于程序的实现。
参考文献：
[1]Berrut J.-P.,Trefethen,L.N.,Barycentric Lagrange interpolation. SIAM Rev.46 (2004)501-517.
[2]C.Schneider and W.Werner,Hermite Interpolation:The Barycentric p.,46,35-51 (1991).
[3]C.Schneider and W.Werner,Some new aspects of rational interpolation,p.,47 (1986),no.175, 285-299.
[4]Luc Knockaert,Senior Member,A Simple accurate algorithm for barycentric rational interpolation,IEEE Signal processing letters,vol.15,2008:156-157.
[5]HT Nguyen,A Cuyt,OS Celis,Shape Control in Multivariate Barycentric Rational Interpolation.International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics September 30,2010 V olume1281,pp.543-548.
[6]Herbert E.Salzer,Note on Oscuatory Rational Interpolation，
p.,V ol.16,No.80 (Oct.,1962),pp.486-491.
基金項目：本文得到国家自然科学基金(60973050,30570431，60873144)，安徽省教育厅自然科学基金项目(KJ2009A50，KJ2007B173)，安徽省优秀人才基金，教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-06-0555), 国家863高技术研究发展计划项目基金(2006AA01Z104) 资助。