重心插值配点法及其应用
精确重心法
• 待选设施的初始坐标：
xs ( 0 ) =
∑ω x
i =1 n i
n
i
ys(0) =
∑ω
i =1 n i =1
n
i
yi
i
∑ω
i =1
i
∑ω
引自：方仲民 《物流系统规划与设计》
• 当考虑运输费率时，重心坐标为：
n
பைடு நூலகம்x0 =
∑C w x
i =1 n i i
n
i
∑C w
i =1 0
，
i
y0 =
∑C
i =1 n i −1
• 由于迭代的次数是有限的，所以在迭代过程
中需要确定一个终止准则。终止准则有两个 方法：
– （1）根据经验和以前的试验结果，直接设置一个 确定的迭代次数N； – （2）将每一次得到的迭代结果xs(t），ys(t)跟前一次 的迭代结果xs(t-1)，ys(t-1）比较，当迭代得到的结果 变化小于某一个阙值时，迭代过程结束。
三、精确重心法
• 精确重心法是一种布置单个设施的方法，这种方 精确重心法是一种布置单个设施的方法，
法考虑现有设施之间的距离和运输的货物量。它 法考虑现有设施之间的距离和运输的货物量。 经常用于中间仓库或分销仓库的选择。 经常用于中间仓库或分销仓库的选择。
• 精确重心法的思想是在确定的坐标中，各个原材 精确重心法的思想是在确定的坐标中，
i
wi yi
0
∑C
wi
wi：表示第 i个供应点的运量 个供应点的运量 Ci：若用表示各供应点的运输费率 C0 ：表示场址的运输费率
• 案例：一个报刊连锁公司想在一个地区开设一个新的报刊零售点，主要的服 案例：
数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
计算方法讲义课件 五 插值
第五章插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n对应的值y0, y i,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：存在性、唯一性、表示方法以及误差分析。
插值和逼近有广泛应用，例如构造曲线曲面等。
5.1 代数插值用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
插值插值问题就是根据已知数据来构造函数y = f (x )的近似表达式。
常用方法就是利用多项式P n (x )，使n i y x P i i n ,2,1,0,)( == ，作为f (x )的近似。
多项式求值方便，且有导数。
称P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点。
用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设x 0 < x 1< …< x n ，记a = x 0, b = x n ，则[a, b]为插值区间。
设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件 n i y x P i i n ,,1,0,)( ==。
得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i ,2,1,0,110==+++⋅。
该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD212112)(111，为范得蒙行列式。
当jixx≠，;,2,1ni=nj,2,1=时，D ≠0，所以P n(x)由a0, a1,…, a n唯一确定。
5.2 Lagrange插值已知y = f (x)在给定点x0, x1上的值为y0，y1。
线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b，使它满足条件P1 (x0) = y0，P1 (x1) = y1。
几何解释就是一条直线。
由解析几何，)()(111xxxxyyyxP---+=或11111)(yxxxxyxxxxxP--+--=。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
工程中的计算方法课件4 插值
4 插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n及对应的值y0, y1,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：插值函数的构造、插值函数的存在性、唯一性以及误差分析等。
图4.1 插值在CAD中的应用4.1 代数插值图4.2 插值一个基本的插值问题就是构造函数)(x f y =的近似表达式。
常用方法是构造n 次多项式)(x P n ，使i i n y x P =)(，n i ,,1,0 =。
作为)(x f 的近似表达式，称)(x P n 为)(x f 的插值函数，n x x x ,,,10 为插值节点。
以代数多项式作为工具来构造插值的方法叫做代数插值，代数插值的优点是基于多项式求值方便且连续可导的特性。
设n x x x <<< 10为插值节点，令n x b x a ==,0，称],[b a 为插值区间。
设插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件n i y x P i i ,,1,0,)( ==，得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i 2,1,0,110==+++⋅该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j jin nn nn nx x x x x x x x x x x D 0212110200)(111，D 为范得蒙行(Vandermonde)列式。
由于对于任何满足n i j ≤<≤0的j i ,，都有j i x x ≠，所以0≠D ，即该线性方程组有唯一解，故)(x P n 由n a a a ,,,10 唯一确定。
4.2 拉格朗日插值图4.3 线性插值与抛物线插值已知)(x f y =在给定节点10,x x 上的值为10,y y 。
线性插值就是构造一次多项式b ax x P +=)(1，使它满足条件001)(y x P =，111)(y x P =。
第2章插值法
对n=1及n=2时的情况前面已经讨论. 用类似 的推导方法，可得到n次插值基函数为
lk
(
x)
(x ( xk
x0 x0
) )
( x xk1 )( x xk1 ) ( x xn ) ( xk xk1 )( xk xk1 ) ( xk xn )
(k 0,1, ,n)
(2.8)
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显然它满足条件(2.7). 于是，满足条件(2.6)的插值多
(2.4)
上页 下页
满足条件(2.4)的插值基函数是很容易求出的，例如
求lk-1(x)，因它有两个零点xk及xk+1，故可表示为
lk1( x) A( x xk )( x xk1 ),
其中A为待定系数，可由条件lk-1(xk-1)=1定出
A
1
,
( xk1 xk )( xk1 xk1 )
于是
(2.6)
为了构造Ln(x)，我们先定义n次插值基函数.
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定义1 若n次多项式lj(x) (j=0,1,…,n)在n +1个 节点x0<x1<…<xn上满足条件
1, k j l j ( xk ) 0, k j ( j, k 0,1, , n)
(2.7)
就称这n +1个n次多项式l0(x), l1(x), …, ln(x)在为节点 x0, x1, …, xn上的n次插值基函数.
Lagrange 法1736-1813
1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日 卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中
都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突
出。
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2.2.1 线性插值与抛物线插值
重心插值Galerkin法求解梁弯曲变形问题
重心插值 Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ法求解梁 弯 曲变 形 问题
綦 甲帅， 王 兆清
（ 山 东建筑大学工程力学研 究所， 山东 济南 ２ ５ ０ １ ０ １ ）
摘要 ： 本 文运 用广 义函数 建 立非连续 载荷作 用下 梁弯 曲变形的控 制方程 ， 采 用重心 有理插 值 函数 作为 试 函数 ， 利用 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ 函数 的积 分 筛选 性 ， 建 立重 心有理插值 Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ法 求解 梁弯 曲 变形 问题 的计 算公 式 。数值 算例 表 明 ， 该 方 法原理 简单 ，
山东科学
ＳＨＡＮＤＯ ＮＧ ＳＣＩ ＥＮＣＥ
第２ ６卷
第 ห้องสมุดไป่ตู้期
２ ０ Ｉ ３年 ６ 出版
ＶＯ Ｉ ． ２ ６ ＮＯ． ３ Ｊ ｕｎ． ２ ０ １ ３
Ｄ ＯＩ ：１ ０ ． ３ ９ ７ ６ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ２— ４ ０ ２ ６ ． ２ ０ Ｉ ３ ． ０ ３ ． ０ １ ２
在 处理 梁弯 曲问题 时 ， 经 常遇到 非连续 载荷作 用 ， 解 析方法 需要 在间 断处分段 ， 在每 一段分 别处 理 ， 然 后
在分段处通过施加连续性条件和边界条件来求解 ， 导致积分常数很多 ， 计算过程复杂。在这种情况下 ， 常采
用 数值 方法求 解 ¨ 。利 用广 义 函数 来表示 非连 续载荷 的分 布集度 ， 不需 要分段 ， 可在 全梁范 围 内建立 统 一 的梁弯 曲变 形控制 方程 ， 使计算 过程 大为简 化 Ｊ 。 最 常用 的广 义 函数 是 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ函数 。这种 函数 最早 出现 于 ２ ０世 纪 ３ ０年代 ， 是 由著名 物 理学 家 Ｄ ｉ ｒ ａ ｃ 。 在 链子 力学研 究 中引入 和定 义的 ， 后来 被命 名 为 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ函数 。５ ０年 代 Ｓ ｃ ｈ ｗ ａ ｒ ｚ ＿ ６ 在深 入 研究 Ｄ ｅ ｌ ｔ ａ函数性 质 的 基础 上创立 了分 布论 （ 亦称广 义 函数论 ） 。２ ０ ０ ０年 ， Ｙ ａ ｖ ａ ｒ ｉ 等 研究 了广 义 函数 在 梁弯 曲问 题 上 的应 用 。
插值法综述《计算方法》学习报告
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践,早在一千多年前,我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值,但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多,特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要,并得到了空前的发展。
2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3．代表性文献● 不等时距ＧM （1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) ２00８.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2００８．３● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑201０.10● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程1997● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报(自然科学版)200４.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ,i y ) （i=0,1,2，...n ）则存在唯一的多项式:2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++ 使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令:0011111nn n n n x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（４）有唯一解。
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重心插值配点法及其应用
摘要：重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。
采用重心Lagrange插值近似未知函数，建立未知函数各阶导数的微分矩阵。
采用微分矩阵近似未知函数的导数，利用配点法将控制方程和边界条件离散为代数方程组，通过求解代数方程组，从而可求解偏微分方程。
数值算例表明，重心插值配点法具有原理简单，易于程序实现和数值计算精度高的优点。
关键词：重心Lagrange插值；微分矩阵；配点法
Barycentric Lagrange interpolation collocation Method and its Application
Abstract：Barycentric Lagrange interpolation collocation method has excellent numerical stability and high accuracy. this paper presents the Barycentric Lagrange interpolation collocation method to get the differentiation Matrix of unknown function. So the control equation can be expressed as linear systems by the collocation method. According to those formulas, differential equations can be soluted. The principle of this method is simple and easy to programming. The accuracy and the numerical stability are very excellent.
Key words: Barycentric Lagrange interpolation, differentiation Matrix, collocation method,
0 引言
具有初、边值条件的常、偏微分方程的解析解常无法通过理论推导获得，一种有效的途径是采用数值求解方法获得具有一定数值精度的近似解，这些数值方法包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、无网格法及一些杂交使用的方法等数值求解方法。
其中，有限差分法、有限单元法这两种方法要对求解区域划分单元，计算精度依赖于单元的大小。
采用配点法求解边值问题不需要划分单元，公式简单，不需要积分，易于编程。
目前用于求解工程中的常微分方程边值问题的配点法主要有拟谱法和微分求积法。
拟谱法是根据谱方法发展出来的一种方法，虽然这种方法的理论研究已经有进一步的发展，但是工程技术人员对这种方法不是很了解。
微分求积法的基本原理是将未知函数在区间上所有离散点的函数值的加权和来逼近该函数在某一离散点的偏导数或者积分，这种方
法中的权系数的确定通常是根据Lagrange多项式在网点处的导数值给出。
但是这种方法的局限性是离散点不能取得太多，否则Lagrange多项式表示的曲线随多项式次数的升高而出现Runge现象，从而产生计算的不稳定性。
重心Lagrange插值具有极好的数值稳定性和极高的近似精度，同时重心Lagrange插值公式具有紧凑的各阶导数的计算公式。
本文所采用的重心插值配点法就是用重心Lagrange插值多项式求出某一函
数在各个离散点的微分矩阵，从而可以通过矩阵的运算来求出微分方程的解。
而许多结构力学问题的求解最终也归结为在一定的边界条件和初始条件下的(偏)微分方程(组)的求解，所以，可以把重心插值配点法作为用于结构力学问题的求解的一种数值方法。
本文把重心插值配点法用于矩形薄板的挠度问题的分析中，精度较高，得到了满意的效果。
1微分矩阵
设为一待求函数，它在区间[0，L]上连续可微，现沿轴设置个节点，并以节点函数值作为基本未知量，且令=。
在全域内采用重心Lagrange高阶多项式插值逼近，则有：
（1）
其中，为重心权，
（2）
令：（3）
因为所求解的问题是线性的，因此可以定义一个的矩阵。
则（3）式可以写成如下的形式：
（4）
其中为未知函数一阶导数值构成的列向量，为节点函数值的列向量。
就是对求一次导数的微分矩阵。
由（1）、（2）、（3）式可得：
（5）
（6）
同理，可以推得求次导数的微分矩阵。
（7）
（8）
令：（9）
则：（10）
于是，通过矩阵的运算就可以求出节点的函数值，再由（1）式可求出待求
函数各非节点处的值。
2 重心插值配点法求解热传导方程
考虑一维热传导问题，控制微分方程如下：
（11）
其中：为无量纲的时间；为无量纲的轴向坐标；为一个无量纲的参数，现取值为1．上式边界条件为：当=0时，；当=1时，=1．按照重心插值配点法的规则，控制方程及边界条件离散为：
（12）
（13）
（14）
写成矩阵形式如下：
（15）
式中：为的参数列阵；分别是行列的1阶和2阶微分矩阵。
令=,考虑边界条件：则边界约束条件可以表示为：
（16）
将2个方程的左边分别取代矩阵的第1，行，并把矩阵的第行放到矩阵的第1行和第2行之间，则原矩阵的第2行，第3行，第-1行依次成为第3行，第4行，第行。
同样，把第列放到矩阵的第1列和第2列之间，则原矩阵的第2列，第3列，第-1列依次成为第3列，第4列，第列。
将此方程的右边分别取代0矩阵的第1，行。
则根据举证运算即可求得值。
微分矩阵以及节点值的计算，本文都编制Matlab程序来实现。
计算结果及比较如下：
表1温度分布的重心插值解
3、重心插值配点法求解梁弯曲
细长梁在集度为的荷载作用下，在弹性范围内发生线性弯曲，其控制方程为：
（17）
在梁上取个节点，则可以用微分矩阵对个节点值求导表示，写成矩阵形式为：
（18）
式中为的待定的位移参数列阵，是一行列的4阶微分矩阵，为列的载荷列阵。
考虑边界条件：以两端简支梁且在边界有集中力偶为例，当时，。
当时，
则边界约束条件可以表示为：
(19)
将此4个方程的左边分别取代微分矩阵的第1，，2，+1行，将此4个方程的右边分别取代载荷列阵的第1，，2，+1行。
令，则由（18）式可得：
（20）
由（20）式即可求得梁的节点位移列阵。
方程（20）是适定的，可以得到唯一解[9]。
微分矩阵以及梁节点位移的计算，本文都编制Matlab程序来实现。
算例2，两端简支梁，长50cm，高2cm，宽1cm，弹性模量为10Gpa，受如图1所示均布载荷，，得到梁轴线的各节点挠度、转角、弯矩与解析解比较如表1所示（选取5个节点计算）：
图1 受均布载荷梁示意图
表2 梁各点挠度解析解与本文解比较挠度×10-3m
图3 梁挠度示意图
4、结语
重心插值配点法是一种快速求解偏微分方程的方法。
从数值算例中可以看出，这种方法的精度很好，即使是计算复杂分布荷载，也能得到相当高的精度。
在重心插值配点法中采用微分矩阵记号，可以得到简洁的矩阵形式的计算公式，极大地方便了边界条件的离散。
重心插值配点法数学原理简单，编程容易实现，在结构力学的分析中有非常良好的应用前景。
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