轴向均布荷载压杆稳定问题的重心插值配点法

易于程序实现。关键词：压杆稳定；微分矩阵；点法；配重心Ｌｇａｇ插值ａｒｅｎ中图分类号：Ｕ１．１Ｔ３１４文献标识码：Ａ
Ｂａｙｅｔｉｎｅｐｌｔｎｐｅｄｓｅｔａｅｈｄｆｒａａｙｉｇｒｃｎｒｃｉｔｒｏａｉｓｕｏｐｃｒｌｏｍｔｏｏｎｌｚｎ
ｆｒｌｓｔｅｂｃｌｇｃｅｆｉｎｓａｄｍｏｅｆｔｅｃｌｍｎｕｄｒａｉｌｌａｉｇｃｎｂｂａｎｄｗｔｏｍｕａ，ｈｕｋｉｏｆｃｅｔｎｄｓｏｏｕｎｅｘａｏｄｎａｅｏｔｉｅｉｎｉｈｈ
ｃｎｔｃＬａｒｎｅｉｅｐｌｔｏｅｒｇａｇｎｔｒｏａｉｎｉ
上的分岔点，也就是临界状态。此时的荷载即为临
０引言
当等直杆件受均布轴向荷载作用时，采用静力
ｔｎｍｅｈｄｔｅｈｉｅｅｔｔｎＭａｒｆｎｎｗｕｃｉｎＳｅｃｎｒｌｎｅｘａｏｄｎ — ｉｔｏｏｇｔｅｄｆｒｎｉｉｔｉｏｋｏｎｆｎｔ．ｏｔｏｔｄｒａｉｌａｉｇｅｏｔｆａｏｘｕｏｈｏｕｌ
第２６卷第４期
２０１１正
山东建筑大学学报
ＪＲＮＡＬＯＵＯＳＦＨＡＮＤＯＮＧＪＡＮＩＺＨＵＵＮＩＥＲＩＹＶＳＴ
Ｖｏ．６Ｎｏ４１２．
Ａｕｇ．２０１１
８月
文章编号：６３— ６４２１）４— ３３— ３１７７４（０１００５０
ｂｋｎｇｏｏｕｎｎｄｅｘａｏｄｉｕｃｉｆｃｌｍｕｒａｉｌｌａｎｇ
ＹＵＷｅ．ｏ，ＯＮＧＪｅ，ＨＡＯＷｅ．ｉｉｔＳａｉＺｉｘａ
，
（．ｉｚｏｏｓｕｔｎＰｏｃＱａｔｕｅｖｉｎＳａｏ，ｉｚｏ５６０，ｈｎ；．ｉｚｏｏｓｕｔｎＳａｄｒｓ１ＢｎｈｕＣｎｔｃｉｒｊｔｕｌｙＳｐｒｉｏｔｔｎＢｎｈｕ２６０Ｃｉａ２ＢｎｈｕＣｎｔｃｉｔａｒｏｅｉｓｉｒｏｎｄＱａｏＳａｏ，ｉｈｕ２６０，ｈｎ；．ｈｎｏｇＵｂｎＣｎｔｃｏｏａｏａＣｌｇ，ｎｎ２０１，ｈａｕｔｔｉＢｎｏ５６０Ｃｉａ３ＳａｄｎｒａｏｓｕｔｎＶｃｔｎｌｏｅｅＪａ５０４Ｃｉ）ｔｎｚｒｉｉｌｉｎ
ｇａ・ｒｍ
ＫｅｒｓｂｃｌｇｏｏｕｎｅｘａｏｄｎｄｆｒｎｉｔｎＭａｒ；ｏｌｃｔｎｍｅｈｄ；ａｙｙｗｏｄ：ｕｋｉｆｃｌｍｎｕｄｒａｉｌｌａｉｇ；ｉｅｅｔｉｔｘｃｌａｉｔｏＢ均布荷载压杆稳定问题的重心插值配点法
于卫涛宋洁赵维霞，，
（．１滨州市建设工程质量监督站，山东滨州２６０２滨州市工程建设标准定额站，５６０；．山东滨州２６０；．５６０３山东城市建设职业学院，山东济南２０１）５０４
ｑａｉｎｏｏｕａｅｅｐｅｓｄａｉｅｒｓｓｅｙｔｅｃｌｃｔｎｍｅｈｄＡｃｏｄｎｏｔｏｅｕｔｆｃｌｍｎｃｎｂｘｒｓｅｓｌａｙｔｍｓｂｈｏｌａｉｔｏ．ｃｒｉｇｔｈｓｏｎｏｏ
摘要：用重心插值配点法对轴向均布荷载下压杆稳定问题进行了研究。采用重心Ｌｇｎｅａｒｇ插值多项式建立未ａ
知函数的微分矩阵，采用配点法将压杆稳定问题的控制方程表示为代数方程组。通过求解代数方程组系数矩
阵的特征值和特征向量，到了精度很高的后屈曲挠度数值和临界载荷数值。实例证明，得这种方法原理简单，
ｄｆｒｎｏｎａｙｃｎｉｏｓＥａｌｓｓｏｔａｈｓｍｅｈｄｉｓｍｐｅｉｒｃｐｅａｄｅｓｏｐｏｉｅｅｔｂｕｄｒｏｄｔｎ．ｘｍｐｅｈｗｈｔｔｉｆｉｔｏｓｉｌｎｐｎｉｌｎａｙｔｒ — ｉ
ＡｂｔａｔＢｒｃｎｒｃｉｔｒｏａｉｎｐｅｄｓｅｔｌｔｏｓｄｔｅｌｔｈｒｂｅｏｅｂｃｓｒｃ：ａｙｅｔｎｅｐｌｔｓｕｏｐｃｒｈｄｉｕｅｏｄａｈｔｅｐｏｌｍｆｔｕ — ｉｏａｍｅｓｗｉｈｋｎｆｏｕｎｅｘａｏｄｎ．ｈｓｐｐｒｒｓｎｓｔｅＢａｙｅｔｉａｒｎｅｉｔｒｏａｉｎｃｌｃ－ｉｇｏｌｍｎｕｄｒｉｌａｉｇＴｉａｅｅｅｔｒｃｎｒＬｇａｇｎｅｐｌｔｏｌａｃａｌｐｈｃｏｏ

合集下载

重心插值配点法及其应用

重心插值配点法及其应用摘要：重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。

采用重心Lagrange插值近似未知函数，建立未知函数各阶导数的微分矩阵。

采用微分矩阵近似未知函数的导数，利用配点法将控制方程和边界条件离散为代数方程组，通过求解代数方程组，从而可求解偏微分方程。

数值算例表明，重心插值配点法具有原理简单，易于程序实现和数值计算精度高的优点。

关键词：重心Lagrange插值；微分矩阵；配点法Barycentric Lagrange interpolation collocation Method and its ApplicationAbstract：Barycentric Lagrange interpolation collocation method has excellent numerical stability and high accuracy. this paper presents the Barycentric Lagrange interpolation collocation method to get the differentiation Matrix of unknown function. So the control equation can be expressed as linear systems by the collocation method. According to those formulas, differential equations can be soluted. The principle of this method is simple and easy to programming. The accuracy and the numerical stability are very excellent.Key words: Barycentric Lagrange interpolation, differentiation Matrix, collocation method,0 引言具有初、边值条件的常、偏微分方程的解析解常无法通过理论推导获得，一种有效的途径是采用数值求解方法获得具有一定数值精度的近似解，这些数值方法包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、无网格法及一些杂交使用的方法等数值求解方法。

建筑力学第9章压杆稳定

27
图 9.8
图 9.9
28
3）当压杆两端的支承情况在两个方面不同时，即 μ 值不同，则采用 Iy 和 Iz 不等的截面与相应的约束条件配合。如采用矩形或工字形截面，使得在两个相互垂直方向的柔度尽可能相等或相近，从而使压杆在两个方向上抵抗失稳的能力相等或接近，以便使材料能得到充分的利用。
第9章压杆稳定
前面各章着重研究受力杆件的强度和刚度计算问题，但杆件的破坏不仅会由于强度不够而引起，也可能会由于稳定性丧失而发生，因此在设计杆件（特别是受压杆件）时，除了进行强度计算外，还必须进行稳定性计算以满足其稳定条件。本章将对压杆的稳定问题进行讨论，因为它是进行其他形式结构的稳定分析时的理论基础。
18
9.3.2 折减系数法在工程中，对压杆进行稳定性计算时还常用另外一种方法———折减系数法，这种方法就是将材料的轴向拉压的许用应力［σ］乘以一个随压杆柔度λ而改变且小于1的系数 φ=φ（λ）作为压杆的稳定许用应力［σw］，即
19
20
21
22
1）先假设φ的一个近似值φ1（一般可取φ1=0.5 ）由式（9.12）算出截面面积的第一次近似值A1，并由A1初选一个截面（这一步也可根据经验初选型钢号码或截面尺寸）。 2）计算初选截面的惯性矩I1、惯性半径i1和柔度λ1，由折减系数查表（或由公式计算）得相应的 φ值。
17931安全系数法对于工程中的受压杆件要使其不丧失稳定性就必须保证使压杆所承受的轴向工作压力f小于压杆的临界压力fcr并要考虑一定的安全储备即采用规定的稳定安全系数nw因此压杆的稳定条件是18932折减系数法在工程中对压杆进行稳定性计算时还常用另外一种方法折减系数法这种方法就是将材料的轴向拉压的许用应力乘以一个随压杆柔度而改变且小于1的系数作为压杆的稳定许用应力w即192021221先假设的一个近似值1一般可取105由式912算出截面面积的第一次近似值a1并由a1初选一个截面这一步也可根据经验初选型钢号码或截面尺寸

-第十五章-压杆稳定

象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以安全因数就是稳定中的应力极限
（2）同作为常数的比例极限、屈服极限不同，变化的临界应力依赖压杆自身因素而变
对于临界应力总图形成的不同见解
（1）书中思路：
大柔度
中柔度（a，b）
小柔度
0
s a
b
（2）我猜想的历史发现过程：
大柔度
小柔度
发现不安全 — 插进中柔度
拍脑袋确定中柔度最低限 0
2
EIm L2
in
此公式的应用条件： 1.理想压杆§15.3 压杆两端约束不同的临界力（Critical Load)
两端约束不同的情况，分析方法与两端铰支的相同
其它支承情况下，压杆临界力为
Pcr
2 EImin (L)2
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）
y Py 0 EI
§15.2 两端铰支压杆的临界力图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P x
P
y MPy EI EI
y
M
P
P x
yPyyk2y0 EI
其中k2 P
EI
若向下弯，所得挠曲方程是一样的
③微分方程的解 yA sik n xB co ks x
cr
S
P
2E
cr
2
0
P
0.6 P
L i
根据中柔度最低限 0
算出a，b
由(0 ,s)与(p ,s) 待定 crab中a，的 b
ab0 s abp p
a(s ps)/(p 0) b(ps 0ps)/(p 0)

工程力学第16章(压杆稳定问题)

杆长l = 700mm ，截面直径d = 45mm ，杆承受Fmax = 100kN 。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。
解：⑴ 计算压杆柔度
i d 11.25mm 4
两端为铰链约束
1
il11.1 2 5 0.1 70362.2
P
2E P
2200109
200106 100
62.2
压杆平衡稳定
压力小于一定的数值
时，压杆的直线平衡是稳定的。
压杆平衡非稳定
当压力达到一定数值，压杆仍具有直线平衡方式；在外界扰动下，压杆偏离直线平衡位置，但当扰动除去后，在某一弯曲状态下达到新的平衡
压力达到一定的数值时，压杆存在直线和弯曲两种平衡形式，压杆的直线平衡是不稳定的。
压杆失稳
解： ⑴ 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合）经过分析，AB 的危险截面为C 截面
F N F c o s 3 0 o 2 5 0 .8 6 6 2 1 .6 5 k N
M y F s i n 3 0 o l 1 2 5 0 .5 1 .2 5 1 5 .6 3 k N m 查型钢表
1 0 5 .5 2
4 7 3 k N
钢柱的许可载荷
F2 F nsctr
473157.7kN 3
例：图所示结构中，梁AB 为No.14 普通热轧工字钢，支承的杆直径d = 20mm ，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力 [σ] = 170MPa 。试校核此结构是否安全。
解：⑴ 压杆稳定校核(折减因素法）

压杆稳定问题-工程力学-课件-13

4
l
P341例13.3：压杆如图，材料为A3 ，E=205GPa，l=2.3m， b ＝40mm ，h＝60mm 。求临界载荷。
h=60
（）z>y，连杆在xy 面容易失
杆在不同的纵向平面内约束不同。＝132.8>101，属于细长杆。用
稳计算临界载荷应以z计算。
P y P z
h y b z
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
( 2l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )
2
Pcr
2 EI
(0.7 l )
2
9
2 EI Pcr ( l ) 2
杆端支承情况
细长压杆的临界载荷公式。（欧拉公式）
为长度折算系数，l为相当长度。
一端固定一端自由两端铰支一端铰支一端固定两端固定
挠曲线图形
长度系数
Pcr
l
Pcr
Pcr
Pcr
l
l
l

2
1
0.7
0.5
10
1、Pcr∝EI
2、杆端约束越强，Pcr越大。
注意:
1、细长压杆的临界力公式在弹性范围内适用。
2 EI Pcr ( l ) 2
2、若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。
2
64
l
在临界力作用下，压杆横截面上的应力
N Pcr 63872 4 50.8 MPa 2 40 A A
而A3钢的比例极限为200MPa，说明压杆仍处于弹性阶段。

梁方程降阶计算的重心插值配点法

梁方程降阶计算的重心插值配点法徐子康;王兆清;孙浩森;李金【摘要】采用重心插值配点法求解梁方程时,随着计算节点数量的持续增加,其计算精度将逐步下降.通过对降阶计算重心插值配点法的研究,可为数值求解梁方程提供一种数值稳定性好、计算精度高的新方法.文章基于重心Lagrange插值及其微分矩阵,推导了梁方程降阶计算重心插值配点法的公式,并通过数值算例验证其有效性.结果表明:随着计算节点数量的持续增加,降阶法的计算精度仍保持在10-10 ～ 10-12范围内;求解两端简支的梁方程时,两步降阶法的计算精度高于一步降阶法;直接法计算矩阵条件数与节点数的7次方是同阶的,而一步降阶法计算矩阵条件数与节点数的4次方是同阶的,降阶法可以有效地降低计算矩阵的条件数,提高计算精度;重心插值配点法采用矩阵—向量形式的计算公式,便于程序的编写,提高了计算效率.%When the beam equations are solved by barycentric interpolation collocation method,computational accuracy will decline gradually as the number of nodes increases.The research on barycentric interpolation collocation method based on depression of order,can provide the new method that has a good numerical stability and high computational accuracy for beam equations.Based on barycentric Lagrange interpolation and its differential matrices,the formula of barycentric interpolation collocation method based on depression of order is derived.Numerical examples are given to verify the effectiveness of the proposed method.The result shows that the computational accuracy of depression of order method remains the range of 10-10 ～ 10-12 as the number of nodes increases.When the beam equations with simply supported ends aresolved,the computational accuracy of the two-step depression of order method is higher than the one-step depression of order method.The condition number of the direct method is close to 7th power of the number of nodes,and the condition number of one-step depression of order method is close to 4th power of the number of nodes.The depression of order method can effectively reduce the condition number of computing matrix such that improves the computational accuracy.By applying the computational formula with matrix-vector form,the program is easy to write and the computational efficiency of barycentric interpolation collocation method can be improved remarkably.【期刊名称】《山东建筑大学学报》【年(卷),期】2017(032)003【总页数】6页(P245-250)【关键词】梁方程;降阶法;重心Lagrange插值;配点法【作者】徐子康;王兆清;孙浩森;李金【作者单位】山东建筑大学工程力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学工程力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学学报编辑部,山东济南250101;山东建筑大学理学院,山东济南250101【正文语种】中文【中图分类】O302梁方程是工程技术领域中常见的四阶常微分方程。

建筑力学压杆稳定课件

E c 0.57 s
0.43，
E c 0.57 s
对Q235钢：
s 235MP ， a
cr 235 0.00668 2
c 123
(MPa)
第10章压杆稳定 2、临界应力总图
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
第10章压杆稳定
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
不能保持原有的直线平衡状态的平衡。
压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界荷载（Critical loads）。压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现象也称为屈曲。
第10章压杆稳定
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示
上述说明有、无扫地杆的脚手架搭设是完全不同的情况，在施工过程中要注意这一类问题。
cr1 cr 2 196.5 37.94 100% 80.6% cr1 196.5
第10章压杆稳定
10.3 压杆的稳定计算
一、安全系数法压杆稳定条件为：
商丘职业技术学院汽车建筑工程系

l
i

0.7 1800 79.85 ＜ 15.78
c 123
2
所以压杆为中粗杆，其临界应力为
cr1 240 0.00682 196.5MPa
（2）第二种情况的临界应力一端固定一端自由因此 μ=2 计算杆长l=1.8m
第10章压杆稳定
i
商丘职业技术学院汽车建筑工程系
欧拉公式的适用范围
1、临界应力（ critical stress ）和柔度

含端部弹性约束和铰支约束压杆的稳定性问题研究

含端部弹性约束和铰支约束压杆的稳定性问题研究雷明伟;骆凯;史文谱【摘要】弹性压杆在工程中有广泛应用,压杆的失稳问题是压杆失效的重要原因之一,是压杆可靠性优化设计中需要重点关注的问题,临界载荷的计算方法和表达式是数学建模和优化的基础.本文针对含端部弹性约束和铰链支撑约束压杆的临界失稳问题进行探讨,提出了解析分析方法,得到的结果当弹性约束刚度系数分别为无穷大和零时,将分别简化为一端固定一端铰支和两端铰支的压杆临界失稳载荷计算结果,本文的分析方法和结论对含多个弹性约束的压杆失稳问题研究都有一定的参考意义.【期刊名称】《烟台大学学报（自然科学与工程版）》【年(卷),期】2018(031)002【总页数】5页(P153-157)【关键词】压杆稳定;弹性约束;临界载荷【作者】雷明伟;骆凯;史文谱【作者单位】烟台大学机电汽车工程学院,山东烟台264005;烟台大学机电汽车工程学院,山东烟台264005;烟台大学机电汽车工程学院,山东烟台264005【正文语种】中文【中图分类】TB12压杆稳定问题是机械工程中广泛存在的问题,许多工程失效事故常常是由于压杆抗失稳能力不够造成的,比如大型桁架结构的局部坍塌、桥梁断裂事故、油压千斤顶、螺杆传动的压榨机构、含有连杆的传动机构等．文献[1]针对Q500qE高强度钢压杆稳定问题进行探讨,利用有限元软件Abaqus建立实体和壳单元压杆计算模型,数值分析中考虑了非线性、初始缺陷、焊接应力、杆件长细比及杆件截面形状等因素;文献[2]利用有限元软件ANSYS分析了初始挠度及中间弹性支承对压杆临界失稳载荷的影响问题;文献[3]针对常规有限元法不能得到稳定问题精确解的情况提出了新的压杆稳定单元,建立了精确单元形函数,利用迭代算法确定临界载荷和失稳模态．事实上,确定压杆临界载荷的方法除了上述有限元等数值计算方法外,还有微分方程求解法[4]、积分方程法[5]、微分变换法[6]、泰勒级数法[7]、重心插值配点法[8]、刚度判别法[9]以及可为压杆选用型材的图解算法[10]等．从上述列出文献以及其他未列出的参考文献来看,等截面压杆稳定性问题解析求解的难点在于压杆端部约束的类型和性质,目前两端固定、两端铰支、一端固定一端铰支、一端固定一端自由的压杆临界失稳载荷已经给出解析解[4],但有关含有端部弹性约束的压杆稳定性问题的解析研究却未见有论文发表,而实际上端部固定约束只是一种理想的力学模型,这是一种刚性约束,现实中是不存在的．为此本文采用近似挠度微分方程,通过设定合理的约束边界条件,利用求解微分方程的办法得到了确定压杆临界载荷的超越方程,再利用迭代的办法得到问题的解．当假设弹性约束刚度系数很大或很小时,问题将分别简化为人们熟知的一端固定一端铰支的压杆稳定性问题和两端铰支的压杆稳定性问题,得出的结论与已知结果是严格一致的,说明本文分析方法和结论是正确可行的,本文方法和研究思路对于其他类似约束性质的压杆稳定问题研究都具有理论参考意义．1 问题模型及理论分析如图1所示,一根均质等径压杆,长度为L,材料杨氏模量为E,截面惯性矩为I．其一端O处为弹性支撑(弹性刚度系数为K),另外一端A处为铰链支撑,受到图示轴向压力F的作用,发生如图1所示的弯曲变形．建立图示坐标系xOy,其中x轴沿着压杆原始位置时的轴心线方向,y轴垂直于压杆轴心线方向．按照材料力学分析方法以及有关物理量的符号规定,压杆任意位置x处的截面弯矩M(x)可表为M(x)=-Fw+T(x-L),(1)其中:w为压杆失稳弯曲变形挠度,T是由于压杆受到压缩作用失稳发生弯曲导致左端弹性约束处产生的抵抗弯矩M0的作用下为保证压杆静力平衡的右端支撑横向作用力．并假设F>0,T>0,即取两者的绝对值．图1 一端弹性约束一端铰支压杆的失稳变形Fig.1 Unstable deformation of buckling column with elasticside and pin support压杆挠度满足的近似微分方程为EIw″=M(x).(2)将方程(1)代入(2)中整理有EIw″+Fw=T(x-L),(3)或者w″+ FEI w= FEI (x-L).根据常微分方程理论,其解为通解w1(x)和特解w2(x)之和．通解w1(x)即为方程(3)对应的齐次常微分方程的解,可表为w1(x)=c1coskx+c2sinkx,(4)其中:k= FEI ,cj(j=1,2)为待定系数．按照非齐次常微分方程的求解方法和理论,根据现有问题的特点,可假设其特解为w2(x)=ax+b,(5)其中:a,b是2个待定系数．将方程(5)带入微分方程(3)中可得待定系数的解为a=T/F ,b=-TL/F .(6)这样微分方程(3)的全解为w(x)=c1coskx+c2sinkx+Tx/F-TL/F.(7)从图1可看出,问题的边界条件可表为w(0)=0 ,w(0)=-α ,w(L)=0 ,(8)其中:α是压杆左端面外法线转过的角度大小．此外根据压杆的静力平衡条件有Kα=T/L,(9)由此得T=Kα/L.(10)将方程(7)代入边界条件(8)中的第一个方程有c1=TL/F .此外,将方程(7)两边微分有w′(x)=-kc1sinkx+kc2coskx+T/F.(11)将方程(11)代入边界条件(8)中第2个边界条件有c2=(-T/F-α)/k.将方程(7)代入边界条件(8)中的第3个边界条件可得tg(kL)=-c1/c2= kL1+FL/K .(12)显然,作为特例,也是验证本文推导结论是否正确的一种方法,当K=∞时,即压杆左端为固定,这样原有的问题成为一端固定一端铰支的压杆问题,而该问题的结论是有的,结果是tg(kL)=kL.(13)当K=0时,即压杆左端也是铰链支撑,则有tg(kL)=0或者sin(kL)=0.(14)从方程(13)和方程(14)可看出,本文分析的问题的简化结果与文献[4]所给结论是一致的．为了下面讨论方便起见,假设β=kL,重新整理方程(12)有tg β= β1+EIβ2/(LK) =f(β,K).(15)2 算例结果及分析作为数值算例,假设压杆为45号钢制成,其比例极限为σp=280 MPa;E=210GPa;L=1.5 m,d=30 mm.欧拉公式可以应用的柔度下限为λ1=π E/σp =86.0,压杆约束介于一端固定一端铰支和两端铰支的情形之间,故有效长度系数(或长度因数)为μ∈(0.7,1.0),压杆截面为圆形,其截面惯性半径:L= I/S =d/4=7.5 mm ,其中:S是压杆横截面积．截面惯性矩:I=i2S=πd4/64=3.974×10-8 m4,EI=210×109×3.974×10-8=8 345.4 N·m2.计算柔度:λmin=μL/i=0.7×1.5/0.007 5=140>λ1.分别取:K=1,10,20 N·m·rad-1,K=100,200,300 N·m·rad-1,K=1 000,2 000,3 000 N·m·rad-1,K=104,2×104,3×104N·m·rad-1,K=105,2×105,3×105N·m·rad-1,K=106,2×106,3×106N·m·rad-1,计算结果分别如图2～7所示．在这些计算结果中,切线斜率最大的曲线是函数y=tg β的图像,其他曲线是函数y=f(β,K)的图像．从结果来看,随着K的增大,函数曲线从下向上依次排开,由于每一组K值仅仅取了3个数值,故每个图中都有3条曲线(不算正切曲线)．由于正切函数是周期函数,其最小正周期为π,在正实数轴范围内其间断点为jπ/2(j=1,3,5,7,…)．它在每个周期范围内均为单调增函数．从图2来看,由于刚度系数K较小,正切函数曲线和这些不同K值的函数f(β,K)曲线的交点都非常接近于零,这是一个平凡解,没有实际意义;但是根据压杆失稳的物理特性,压杆临界失稳力是客观存在的,所以只能从sinβ=0方程中得到解答;为了进一步说明问题,又给出了计算结果图3和图4,在β∈[0,π/2]范围内,情况与图1是类似的,只是函数f(β,K)的大小有所不一样,显然随着K的增大,函数f(β,K)的曲线呈现向上移动的趋势,但能够看出在K≤3 000 N·m·rad-1范围内,正切曲线y=tg β与函数f(β,K)在β∈[0,π]范围内除了坐标原点附近外不可能出现其他交点了,因此只能借助于方程sinβ=0来确定压杆的临界力了,即对于本文讨论的算例来说,K≤3 000 N·m/rad范围内,弹性约束端可看作铰链支撑约束了,即原来的一端弹性约束一端铰链约束的压杆稳定性问题可按照两端铰支约束压杆问题来处理．图2 函数y=tg β与函数y=f(β,K)的相交Fig.2 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with dif-ferent图3 函数y=tg β与函数y=f(β,K)的相交Fig.3 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with dif-ferent图4 函数y=tg β与函数y=f(β,K)的相交Fig.4 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with different当弹性刚度系数K≥104 N·m·rad-1时,结果如图5～7所示,函数f(β,K)与正切函数tg β在[π,3π/2)范围内有非零交点．容易看出,随着刚度系数K的增大,这个交点的横坐标和纵坐标都随着增大,即该交点向右上方移动,并且当K越来越大时,正切函数tg β曲线与函数f(β,K)的曲线的交点逐步稳定下来,其横坐标越来越接近于4.49,这说明当K增大到一定程度时,压杆原来的弹性约束端逐步演变为固定端约束了,这与前面的理论分析是一致的,而且容易看出来,当刚度系数K增大到一定程度时,函数f(β,K)就趋近于斜率为1的直线了,这与事实和理论分析是吻合的(如图7所示)．图5 函数y=tgβ与函数y=f(β,K)的相交Fig.5 Intersection of function y=tgβ and y=f(β,K) with dif-ferent图6 函数y=tgβ与函数y=f(β,K) 的相交Fig.6 Intersection of function y=tgβ and y=f(β,K) with dif-ferent图7 函数y=tg β与函数y=f(β,K) 的相交Fig.7 Intersection of function y=tg β and y=f(β,K) with dif-ferent3 结论从前面的理论分析和数值算例来看,可得如下几个结论:(1)在弹性刚度系数K较大的范围内(比如对于本文算例来说,K≤3 000 N·m·rad),压杆弹性约束端可近似简化为铰链支撑约束,因而可利用两端铰支压杆的临界力公式[4]处理压杆失稳问题;(2)弹性约束刚度系数K对失稳临界力是有影响的,只是不特别敏感而已;随着刚度系数K的增大,临界失稳力是单调增加的;(3)当刚度系数K增大到一定程度时,它对压杆失稳临界力的影响逐步减弱,直到稳定下来(比如对于本文讨论的算例而言,K≥3×106 N·m·rad),K(β,K)的影响可以忽略了,使得K(β,K)→β．即原来的一端弹性约束一端铰链支撑约束压杆失稳问题可以高精度地近似看作一端固定一端铰链支撑约束压杆的稳定性问题了．(4)刚度系数K对于本文讨论的压杆失稳问题的临界载荷客观上还是有影响的,当这种影响不可忽略时,完全可按照本文得到的结果,进一步利用数值迭代方法得到相应失稳临界力的解答．参考文献:[1] 鞠晓臣, 田越, 赵欣,等. Q500qE高强钢压杆稳定研究[J]. 铁道建筑,2015(10):80-84.[2] 张晓霞, 钟文生, 姚远. 初始挠度及中间弹性支承对压杆稳定的影响分析[J]. 设计与研究, 2011,38(6): 1-4.[3] 任风鸣, 范学明. 弹性压杆稳定问题的精确解法[J]. 建筑科学, 2008, 24(3): 12-14.[4] 刘鸿文. 材料力学[M].第5版. 北京: 高等教育出版社, 2011, 290-303.[5] 陈春. 积分方程在压杆稳定中的应用[J]. 重庆建筑工程学院学报, 1991, 13(4): 74-78.[6] 禹金云, 胡辉. 微分变换在压杆稳定问题中的应用[J]. 湘潭师范学院学报(自然科学版), 2004,26(1): 38-40.[7] 张适, 谢冬梅. 求压杆稳定的临界力的数学方法[J]. 云南民族学院学报(自然科学版), 1996, 5(1): 25-30.[8] 于卫涛, 宋洁, 赵维霞. 轴向均布荷载压杆稳定问题的重心插值配点法[J]. 山东建筑大学学报, 2011,26(4): 353-355.[9] 周奇才, 李文军, 吴青龙,等. 空间压杆极值失稳轴向刚度判别法[J]. 机械强度,2016, 38(1):94-98.[10] 焦良. 为压杆选用型材的图解法[J]. 机械强度,1992,14(1): 64-65.。

《工程力学》压杆稳定

粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱被压扁；铸铁短圆柱脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形；最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效；脆性材料：工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr

(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr

2 EI ( l )2
Fcr

2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。