对数的概念(数学史)
对数的概念
方法指导
1 -2
4
1
=16; (3)log 1 8=-3; (4)log3 =-3.
2
根据 ab=N⇔logaN=b(a>0,且 a≠1,N>0)求解.
解析 (1)∵53=125,∴log5125=3.
(2)∵
27
1 -2
4
=16,∴log1 16=-2.
4
(3)∵log 1 8=-3,∴
2
1 -3
(1)已知 log (2 2 -1) (3x2+2x-1)=1,求 x 的值;
(2)求
1 2+lo g 1 3
2
方法指导
2
2lo g 3
+3
1
2
的值.
首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”,再求值.
课堂导学
课前预学
解析 (1)由 log (2 2 -1) (3x2+2x-1)=1,
3 2 + 2x-1 = 2 2 -1,
答案
由对数的定义,ax=N(a>0,且 a≠1),则总有 N>0,所以转化为对数式 x=logaN
时,不存在 N≤0 的情况.
课前预学
课堂导学
问题 3:你能推出对数恒等式lo g =N(a>0,且 a≠1,N>0)吗?
答案
因为 ax=N,所以 x=logaN,代入 ax=N 可得lo g N =N.
的值.
(2)已知 log189=a,log1854=b,求 182a-b 的值.
(3)已知 logx27=31+lo g 3 2 ,求 x 的值.
解析
(1)∵log2[log3(log4x)]=0,
高中数学 第四章 对数运算和对数函数 1 对数的概念课件 必修第一册高一第一册数学课件
2
D.4 =x
(2)D
2021/12/12
第七页，共二十二页。
激趣诱思
知识(zhī shi)点
拨
二、对数的基本性质
1.负数和零没有(méi yǒu)对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有
1
loga1=0,logaa=1,loga =-1.
a
3.对数恒等式aa =
N
.
名师点析1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
4
(3)log3(lg x)=1.
2
解:(1)由 log8x=- ,得 x=8
3
3
3
4
2
3
-
2
=(23)-3 =2-2,故
3
4
1
x= .
4
(2)由 logx27=4,得 =27,即 =33,
4
3 3
故 x=(3 ) =34=81.
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
3
-1 1
(3)e = ;
e
(4)10-3=0.001.
分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.
解:(1)
1
1 -3
3
(3)ln =-1.
e
=27.
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
2021/12/12
第十页，共二十二页。
当堂检测
探究(tànjiū)一
探究(tànjiū)二
§1
对数(duìshù)的概念
2021/12/12
对数的概念课件
实际应用题
题目5
例子1
例子2
例子3
在实际生活中，对数有许多 应用。请举出三个例子，并 解释它们是如何应用对数的 。
在物理学中，声速与频率的 对数之间的关系可以用对数 来描述。例如，在声音传播 的实验中，我们可以通过测 量声速和频率来计算对数值 ，进而研究声音在不同介质 中的传播特性。
在化学中，对数可以用来描 述化学反应速率与反应物浓 度的关系。例如，当我们研 究一种化学反应的速率时， 可以通过测量反应物浓度的 变化来计算对数值，进而分 析反应速率与浓度的关系。
三角函数和对数都可以用来表示复数的 幂次，例如：log(z)表示z的实部和虚 部都大于0的对数，而ln(z)表示z的实
部大于0，虚部等于0的对数。
在解决一些数学问题时，需要将三角函 数和对数结合起来使用。
对数与微积分的关系
对数在微积分中有着广泛的应用，例如在求解微分方程时，常常需要用到对数的性 质和运算规则。
对数在现代科技中的应用
01
在物理学中，对数被广 泛应用于测量和计算声 音、光、电等物理量。
02
在工程学中，对数被用 于信号处理、图像处理 、频谱分析等领域。
03
在经济学中，对数被用 于分析复利、人口增长 、股票价格等数据。
04
在天文学和气象学中， 对数被用于计算天体轨 道、预测天气等。
05
练习和思考题
在生物学中，对数可以用来 描述生物种群的增长。例如 ，当我们研究一个种群的增 长时，可以通过观察种群数 量的变化来计算对数值，进 而分析种群的增长趋势和规 律。
THANKS
感谢观看
基础练习题
题目1： 计算下列各题的对数值 $log_2(4)$
$log_3(9)$
对数的起源
对数的起源对数的起源对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中．以加（减）代乘（除）的想法早就存在了．一个简单的三位数乘法（例如265×438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算．涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多．因此，在6世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）．但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的．16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转化：但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了．能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet，?—1500）通过把等差数列与等比数列，如：0，1，2，3，4，… 等差1，2，4，8，16，… 等比或0，1，2，3，4，… 等差1，3，9，27，81，… 等比比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）．由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究．半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提非提出．史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现．”如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5所对应的等比数中的数32．又如82，因为8对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以82的结果是6所对应的等比数列中的数64．就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格．布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John Naeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（JobstBürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办法．他给出的等比数列相当于：1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，…其相应的等差数列是：0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从a x=N的关系出发来定义对数x=log a N的．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的对数表的说明》一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于1620年），而且阐述了这个发明的思想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动，其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等等（图1）．建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列数值为：，…以及作为它们的对数的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列数值为：1，2，3，4，5，…显然，这也是一组相互对应的等比数列和等差数列，因此耐普尔实质是把等差数列中的数定义为对应的等比数列中的数的对数！这说明，耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念，其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合理运用．对数的由来英语名词：logarithms如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。
对数的概念
例1.将下列指数式化为对数式
(1)5 625
4
1 (2)2 64
6
1 m (3)( ) 5.73 3
a N x log a N
x
例2.把下列对数式化为指数式：
(1)log 1 16 4
2
(2)lg 0.01 2
(3)ln10 2.303
Hale Waihona Puke a N x log a N
2.2
2.2.1
对数函数
对数与对数运算
对数
第1课时
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个 分裂成8个…….1个这样的细胞，分裂次数x与细胞个数y 之间可以用函数关系式 y=2x 表示。
反过来,1个细胞经过多少次分裂, 可以得到8个、 1024个？ 多少次分裂可以得到1048576个细胞呢？
loga a 1
loga 1 0
n
a
loga n
log a a n a 0, 且a 1时
n
课后作业：
1.(1)若 log(x 1) (3 x)有意义，则x的取值 范围 _____________ (2)若(lg x)2 2lg x 3 0, 则x _____ (3)若 log 2 log 1 (log 2 x) 0, 求x ____ 2 2.计算 1
a N x log a N
x
log aN
a 0, 且a 1时
xR
幂底数 指数 幂
a 对数底数 x 对数
N 真数 N>0负数和零没有对数
说明： (1)常用对数：以10为底的对数，
将 log10 N记作 lg N
数学史纳皮尔对数
数学史纳皮尔对数数学史纳皮尔对数是数学领域中一项重要的发现，它对于计算和解题有着巨大的影响。
本文将就数学史纳皮尔对数的概念、性质、应用和研究进行详细的阐述，通过引述其他人的研究和观点来支持和证明相关内容。
数学史纳皮尔对数是指以自然对数为底的常用对数，它是德国数学家史纳皮尔在19世纪提出的。
数学史纳皮尔对数的定义是在对数的基础上，以自然对数为底，对数值进行换底。
它是数学中一种非常方便和常用的计算方式，能够简化复杂运算和求解过程。
数学史纳皮尔对数具有以下几个重要性质。
首先，它是一个无理数，因为自然对数的底e是一个无限不循环小数。
其次，数学史纳皮尔对数的值在不同的自然数之间是递增的，这使得它非常适合于表示和比较不同数量级的数值。
此外，数学史纳皮尔对数还具有对数运算的一般性质，如指数与对数互为反运算等。
数学史纳皮尔对数在实际应用中有广泛的用途。
首先，它常用于计算和解决指数函数相关的问题，如复利计算、放射性衰变等。
其次，数学史纳皮尔对数还可以用于度量数值的变化程度和比较不同数量级的数据。
此外，在科学研究和工程领域中，数学史纳皮尔对数也被广泛应用于数据处理、函数拟合和模型分析等方面。
4. 研究和观点关于数学史纳皮尔对数的研究已经有很多人进行过，他们提出了各自的观点和研究成果。
例如，XX教授在他的论文中指出，数学史纳皮尔对数在解决复杂问题时具有较高的计算效率和精确度。
而YY博士通过实验证明，数学史纳皮尔对数在处理和分析大规模数据时具有优势，能够提高计算速度和准确性。
5. 总结观点和结论综上所述，数学史纳皮尔对数是一项重要而实用的数学概念，它在计算和解题中起到了至关重要的作用。
通过本文的详细阐述和引述其他人的研究和观点，我们可以得出结论：数学史纳皮尔对数的概念和性质基础清晰，应用广泛且有效。
未来的研究方向可以进一步探索数学史纳皮尔对数与其他数学概念的关系，并在更多领域中应用其独特的计算和分析能力。
总之，数学史纳皮尔对数对于数学领域的发展和应用具有重要的意义。
对数的发明
对数的发明对数的概念：logarithms如果b^n=x，则记n=log(b)(x)。
其中，b叫做“底数”，x叫做“真数”，n叫做“以b为底的x的对数”。
log(b)(x)函数中x的定义域是x>0，零和负数没有对数；b的定义域是b>0且b≠1对数的历史：对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。
可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。
在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。
让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。
如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。
对数的发展史
对数的发展史自古以来，人们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对计算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展。
印度阿拉伯记数法、十进小数和对数是文艺复兴时期计算技术的三大发明，它们是近代数学得以产生和发展的重要条件。
其中对数的发现，曾被18世纪法国大数学家、天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”。
对数思想的萌芽对数的基本思想可以追溯到古希腊时代。
早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：1，10，102，103，104，105，……；0，1，2，3，4，5，……他发现了它们之间有某种对应关系。
利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。
阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。
2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂非。
1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写出两个数列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……；1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048……他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难。
由于当时指数概念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策了。
在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作。
但他的发现为对数的产生奠定了基础。
纳皮尔的功绩15、16世纪，天文学得到了较快的发展。
为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算。
由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间。
繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《4.3.1.对数的概念》
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
《对数的概念》是职一教材第四章《指数函数与对数函数》的第三节对数的第一课时，对数的概念对于职高生是一个全新的概念。
此前，学生已学习了指数运算法则及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系。
对数的概念比较晦涩难懂，加入数学文化史的介绍，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的作用。
（二）教学目标
1、教学目标确立的依据：
（1）依据全国中等职业教育数学教学大纲
（2）依据职高学生现有数学知识水平
2、教学目标的确定：
（1）认知目标：理解对数的概念
（2）能力目标：a、会进行指数式与对数式之间的互化
b、会用对数的性质简单求值
（3）情感目标：学生体验发现数学概念的过程，激发学生热爱数学，探索新知的能力
3、教学重点、难点的确定：
教学重点：指数式与对数式的关系及互化
教学难点：对数的概念
二、教学过程
（一）衔接导入，创设情景
通过竹子生长速度规律提问“2的多少次幂等于13？”引入已知底数和幂，如何求指数的问题，为解决这一问题，必须引入一个新的数——对数。
对数的发明人就是纳皮尔。
纳皮尔是天文学家、数学家。
于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。
"看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。
"
--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数表的描述》（1614）
为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列：
第1行是正整数，1,2,3,4,5,6,7,8,9,10他们是等差的；
第2行是2的倍数，2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024，他们是等比的；
要计算第2行的等比数列中任意两个数的乘积，例如16×64；
先到第1行的等差数列，寻找对应的数，16对应4，64对应6；
然后做加法,再查找10所对应等比数列的1024；
得到计算结果就16×64=1024.
借助这个表，仅靠心算就可以用4+6=10的加法，完成麻烦的16×64乘法，这个表就是极度简化的对数表。
以上仅仅是对数的优点之一，对数的易于计算，大大减少了数学家、天文学家的计算量。
拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”
伽利略说过“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。
”
（二）新授
1、对数的概念
如果a (a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即 a b ＝N ，那么幂指数 b 叫做以a 为底 N 的对数． “以a 为底 N 的对数b ”记作b ＝log a N (a ＞0且a ≠1)，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
注意：(1) 底数的限制：a ＞0且a ≠1；
(2) 对数的书写格式；
(3) 对数的真数大于零．
2、对数式与指数式的互化：a b ＝N ⇔ b ＝log a N
（三）教师例题示范与学生练习
例1 将下列指数式写成对数式：
（1）411()216=； （2）1
3273=； （3）31464
-=； （4）10x y =． 例2 将下列对数式写成指数式： （1）2log 325=； （2）31log 481
=-； （3）10log 10003=； （4）2
1log 38=-． 例3 求下列对数的值：
(1) 3log 3； (2) 7log 1．
（四） 课堂总结
1、对数的概念
2、指数式与对数式的关系式：a b ＝N ⇔ b ＝log a N
3、对数的性质
(1) log a 1＝0，即1的对数等于零；
(2) log a a ＝1，即底数的对数等于1；
(3) 零和负数没有对数，即真数N 大于零。
（五）思考题的解疑
竹子第1天，长2厘米；第2天，为4厘米；第3天，为8厘米。
按照这样的生长速度，问：第几天后，竹子长为13厘米？
（六）布置作业
教材P80 4.3.1
三、教学反思
本课题以“启发式”教学法为主，辅以数学史介绍，并充分应用现代教学媒体，讲练结合，调动了学生的学习积极性，激发学生的潜在学习兴趣，发挥其主观能动性。
让每位学生都真正地动起来，积极参与到课堂学习中来，并很好的掌握本节知识。