北师大版数学高二-选修1学案 导数的几何意义
高中数学新北师大版精品学案《导数的几何意义》
导数的几何意义【学习要求】1．理解导数的几何意义2．会用导数的定义求曲线的切线方程【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系。
2．理解曲线的切线的概念。
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。
【学习重难点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义。
导数的几何意义。
【学习过程】一、复习旧知：1． 函数=f （）在=0处的导数？求导数的步骤？2．割线的斜率：已知)(x f y =图像上两点))(,(00x f x A ，))(,(00x x f x x B ∆+∆+，过A ，B 两点割线的斜率是_________，即曲线割线的斜率就是___________。
3．函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是___________________，相应地，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为____________。
4．如果把)(x f y =看作是物体的运动方程，那么，导数)(0/x f 表示_____________，这就是导数的物理意义。
二、精典范例例1：（1）求抛物线2x y =在点（1，1）切线的斜率。
（2）求双曲线xy 1=在点（2，21）的切线方程。
例2：（1）求曲线1x 3x y 2++=在点（1，5）处的切线方程。
（2） 求曲线1x 3x y 2++=过点（1，5）处的切线方程。
【达标检测】1．设f （）为可导函数且满足xx f f 2)21()1(lim 0x --→=-1，则过曲线=f （）上点 （1， f （1））处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-22．=X ³在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标_______3．（1）求曲线f （）=X ³21在点（1，4）处的切线方程____________。
（2）已知曲线3x y =上的一点P （0，0） ，求过点P 的切线方程_________（3）求过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程____________ 4．将半径为R 的球加热，若球的半径增加∆R ，则球的体积增加∆约等于（ ）A ．R R πΔ343B ． R R Δ42πC ．D ． R R Δ4π 5．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =（ ）111. . . .1 842A B C D6．如果曲线10x x y 3-+=的一条切线与直线=43平行，那么曲线与切线相切 的切点坐标为_______7．曲线2x 31y 3+=在点（1，37）处切线的倾斜角为__________ 8．下列三个命题：a 若)x (f 0/不存在，则曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处没有切线；b 若曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处有切线，则)x (f 0/必存在；c 若)x (f 0/不存在，则曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处的切线的斜率不存在。
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数的概念及其几何意义 参考教案
3.2 导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的基本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的基本方法①定义法：()x f '=()()xx f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±'3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用．二．基础训练1.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( )A.0>aB.0≥aC.a<0D.0≤a2.函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，-上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-193.a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根 4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断: q x () = -2⋅cos x ()- 2 - ②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ②③④5. 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(I)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．三．典型例题例1.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ．（I ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点． 例2已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．例3已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
北师大版数学高二学案 导数的几何意义
2.2 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.(重点)2.会求导函数.(重点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.(重、难点)知识点一切线的概念如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然割线PP n的斜率是k n＝f（x n）－f（x0）x n－x0，当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝0limx∆→f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【预习评价】1.曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提示不一定.曲线的切线与曲线除了切点外，可能还有其他的公共点.2.曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？提示在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定为切点，点P也不一定在曲线上.题型一 已知过曲线上一点求切线方程【例1】 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值. 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）3＋3a （x ＋Δx ）－x 3－3axΔx＝ 0lim x ∆→3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3＋3a ΔxΔx＝0lim x ∆→[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a .设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图像，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.【训练1】 求过曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程.解 因为0lim x ∆→ f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝0lim x ∆→12＋Δx －12Δx ＝0lim x ∆→ －12（2＋Δx ）＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 题型二 求过曲线外一点的切线方程【例2】 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3，9)的切线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx＝0lim x ∆→[2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝0lim x ∆→(4x ＋2Δx )＝4x .由于点P (3，9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式， 得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0). 解得x 0＝2或x 0＝4， 所以切点为(2，1)或(4，25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 【训练2】 求过点A (2，0)且与曲线y ＝f (x )＝1x 相切的直线方程. 解 易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由f′(x0)＝limx∆→1x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0).由点(2，0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.【例3】已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[（x0＋Δx）2－1]－（x20－1）Δx＝limx∆→2x0·Δx＋（Δx）2Δx＝limx∆→(2x0＋Δx)＝2x0.对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[1－（x0＋Δx）3]－（1－x30）Δx＝limx∆→－3x20Δx－3x0（Δx）2－（Δx）3Δx＝limx∆→[－3x20－3x0·Δx－(Δx)2]＝－3x20，又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－23.【迁移1】(条件不变，改变问法)本典例条件不变，试分别求出这两条平行的切线方程.解 (1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)，切线方程为y ＝－1， 曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x＋9y ＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x＋27y －11＝0.故两曲线的切线方程分别是y ＝－1，y ＝1或 12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0.【迁移2】 (条件不变，改变问法)本典例条件不变，试求出两条切线之间的距离.解 由迁移1知两切线的方程为y ＝－1，y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0，其中36x ＋27y －11＝0可化为12x ＋9y －113＝0， 故两直线间的距离d 1＝2或d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13＋113122＋92＝109. 故两条切线之间的距离为2或109.规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.课堂达标1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4B.16C.8D.2解析 f ′(2)＝0lim x ∆→f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝0lim x ∆→2（2＋Δx ）2－8Δx ＝0lim x ∆→ (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8.答案 C2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析 由题意，知k ＝0lim x ∆→（0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.解析 设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3，30). 答案 (3，30)4.曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1，3)处的切线方程为________. 解析 Δy ＝2(Δx －1)2＋1－2×(－1)2－1＝2(Δx )2－4Δx ，ΔyΔx ＝2Δx －4，0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(2Δx －4)＝－4， 由导数几何意义知，曲线y ＝2x 2＋1在点(－1，3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y ＝－4x －1，即4x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋y ＋1＝05.在抛物线y ＝x 2上，问哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x .设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 0＝4，解得x 0＝2. 所以y 0＝x 20＝4，即P (2，4).设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18. 所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164.故抛物线y ＝x 2在点(2，4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0， 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.课堂小结1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。
高中数学选修1-1北师大版 导数的概念及其几何意义 学案
§2 导数的概念及其几何意义1．函数在一点处的导数设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，则函数值y 关于x 的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的______，通常用符号______表示，记作：____________________________________________________________________________.预习交流1利用导数求切线方程与以前利用方程组的解求切线方程的方法有何关系？2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的____________，这是导数的几何意义．预习交流2下列说法中正确的是__________．①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线；②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在．答案：1．固定的值 导数 f ′(x 0) f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f(x 1)－f(x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f(x 0＋Δx)－f(x 0)Δx预习交流1：提示：利用导数求切线方程是求切线方程的另一种更简便的方法，以前的方法仍可使用，但值得注意的是曲线的切线是割线的一个极限位置，是曲线局部的性质，而切线与曲线未必只有一个公共点，并且与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线，故以前的方法要慎用．2．切线的斜率 预习交流2：③ 解析：因为函数f (x )在一点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在这一点处切线的斜率，f ′(x 0)不存在，并不能说明在这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线斜率不存在，即若在这一点处的切线斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．一、导数的概念的应用求函数y ＝－3x 2在点x ＝1处的导数．思路分析：问题只给出了一个孤立的点，而非变化范围，所以要先构造点附近的一个变化范围，以便求解平均变化率，从而利用定义求函数在此点处的导数．1．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．求函数y ＝x 2＋ax ＋b 在点x ＝0处的导数．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤为：①对x 0给出改变量Δx ，得到相应的函数值的改变量Δy ；②确定函数在x 0处的平均变化率；③利用“无限逼近”思想，即Δx 趋于0时，求得导数．二、导数的实际意义的应用已知球的体积V 是半径r 的函数：V(r )＝43πr 3，若函数在r ＝4处的导数是V ′(4)＝64π，试解释其实际意义．思路分析：利用运动变化的观点分析函数中变量之间的关系，可知随着半径r 的增大，体积V 也随之增大，所以题中的导数的实际意义可以理解为球体的膨胀率．1．若汽车行驶的里程s 与时间t 构成函数s ＝s (t )，行驶的速度v 与时间t 构成函数v ＝v (t )，且在t 0时的导数值分别为s ′(t 0)，v ′(t 0)，则其表达的意义是汽车在t 0的( )A ．平均速度，瞬时速度B ．瞬时速度，加速度C ．平均速度，加速度D ．加速度，瞬时速度2．建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．导数可以描述事物的瞬时变化率，如效率、增长率等，在应用于实际问题时，要结合实际背景，利用运动变化的观点恰当分析该点处的导数值的意义．三、导数的几何意义的应用求曲线f (x )＝1x－x 在点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程． 思路分析：利用常规方法较难解决，则可以利用导数先求得切线斜率，再求切线方程．1．若点A (1,2)是函数y ＝f (x )图像上一点，且f ′(1)＝－1，则图像在点A 处的切线方程为__________________．2．求曲线f (x )＝x 3＋x 在x ＝2处的切线方程．只有在曲线方程可看成函数解析式时才能利用导数来求切线方程，否则不能利用导数求解．求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的步骤为：①利用导数求得曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)；②利用点斜式写出直线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．答案：活动与探究1：解：当x 从1变到1＋Δx 时，函数值y 从－3变到－3(1＋Δx )2，函数值y 关于x 的平均变化率为：f(1＋Δx)－f(1)Δx ＝－3(1＋Δx)2－(－3)Δx ＝－6－3Δx ，当Δx 趋于0时，平均变化率趋于－6，所以f ′(1)＝－6.迁移与应用：1．B 解析：∵f ′(1)＝lim Δx →0 f(1＋Δx)－f(1)Δx ＝lim Δx →0 a(1＋Δx)－a Δx＝lim Δx →0 a ΔxΔx ＝a ，∴a ＝2.2．解：当x 从0变到Δx 时，函数值y 从b 变到(Δx )2＋a Δx ＋b ，函数值y 关于x 的平均变化率为：f(Δx)－f(0)Δx ＝(Δx)2＋a Δx ＋b －b Δx ＝Δx ＋a ，当x 趋于0，即Δx 趋于0时，平均变化率趋于a ，所以f ′(0)＝a .活动与探究2：解：V ′(4)＝64π表示球的体积在r ＝4时，其瞬时变化率即“膨胀率”为64π，也就是说保持这一膨胀率，半径每增加1个单位，球体的体积就增加64π个单位．迁移与应用：1．B 解析：路程关于时刻的导数值为该时刻处的瞬时速度，而速度关于时刻的导数值为该时刻处的加速度．2．解：Δy Δx ＝f(100＋Δx)－f(100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋100＋Δx －1010Δx＝110＋110(100＋Δx ＋10)，当Δx 趋于0时，平均变化率趋于0.105万元/m 2，即f ′(100)＝0.105.f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m 2时，成本增加的速度为1 050元/m 2，也就是说当建筑面积为100 m 2时，每增加1 m 2的建筑面积，成本就要增加1 050元．活动与探究3：解：∵Δy ＝14＋Δx －4＋Δx －⎝⎛⎭⎫14－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋Δx －14－(4＋Δx －2)＝－Δx 16＋4Δx －Δx4＋Δx ＋2，∴ΔyΔx ＝－Δx16＋4Δx －Δx4＋Δx ＋2Δx ＝－116＋4Δx－14＋Δx ＋2.令Δx 趋于零，可知函数在x ＝4处的导数为f ′(4)＝－516，即函数在点P 处切线的斜率为－516，因此切线的方程为y ＋74＝－516(x －4)，即5x ＋16y ＋8＝0.迁移与应用：1．x ＋y －3＝0 解析：由导数的几何意义知，函数图像在点A 处切线的斜率为－1，由点斜式写出方程即可．2．解：∵Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3＋2＋Δx －10＝(Δx)3＋6(Δx)2＋13ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋13，令Δx趋于零，可知函数f (x )＝x 3＋x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝13，即函数在点(2,10)处切线的斜率为13，因此切线的方程为y －10＝13(x －2)，即y ＝13x －16.。
北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义学案
导数的概念及几何意义简析一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数,这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一。
只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点、写切线、跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决。
2求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度。
对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x ∆是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x ∆→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时，3 导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2.（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2 理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ;⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ; ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解。
导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修
控制系统：通 过导数计算， 实现自动控制， 如汽车自动驾 驶系统、机器 人控制系统等
信号处理：通 过导数计算， 实现信号处理， 如图像处理、
音频处理等
力学分析：通 过导数计算， 实现力学分析， 如流体力学、
固体力学等
导数在科学计算中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于求解函数极限、导数、积分等问题 物理：导数用于描述物理量随时间的变化率，如速度、加速度、力等 工程：导数用于求解工程问题，如电路分析、流体力学、热力学等 经济：导数用于描述经济变量随时间的变化率，如价格、需求、供给等
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汇报人：
导数在经济学中的应用
边际分析：通过 导数计算边际成 本、边际收益等
弹性分析：通过 导数计算价格弹 性、需求弹性等
优化问题：通过 导数求解最优化 问题，如利润最 大化、成本最小 化等
动态分析：通过 导数分析经济系 统的动态变化， 如经济增长、通 货膨胀等
导数在工程学中的应用
优化设计：通 过导数计算， 找到最优解， 如桥梁设计、 建筑结构设计
导数与函数图像的变化趋势Biblioteka 导数是函数在某一点的切线斜 率
导数可以反映函数在某一点的 变化率
导数可以预测函数图像的变化 趋势
导数可以帮助我们理解函数的 极值和拐点
导数与极值点的关系
导数等于零的点是函数在该 点处的极值点
导数大于零的点是函数在该 点处的递增点
极值点是函数在某一点处的 最大值或最小值
导数小于零的点是函数在该 点处的递减点
导数的概念及其 几何意义
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北师大版数学高二选修1试题 3.2导数的概念及其几何意义
第三章 §2一、选择题1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．12[答案] C[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f ′(3)＝－2，故选C.2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B.3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －(Δx )2＋13(Δx )3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13(Δx )2，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13(Δx )2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 4．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2B ．52C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1，Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由已知点(0，b )是切点． Δy ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b ＝(Δx )2＋aΔx ，∴Δy Δx＝Δx ＋a ，y ′|x ＝0＝lim Δx →0 Δy Δx ＝a . ∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴a ＝1. 又切点(0，b )在切线上，∴b ＝1.6．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s[答案] A[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt＝－4.8－2Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx ＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上， 故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 三、解答题9．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1) (2)3227[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．10．求下列函数的导数．(1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数； (2)求y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． [答案] (1)y ′|x ＝1＝12 (2)y ′＝2x ＋a[解析] (1)解法一：(导数定义法)：Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.lim Δx →0＝11＋Δx ＋1＝12，∴y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)：Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1x ＋Δx ＋x .∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x＝12x . ∴y ′＝12x，∴y ′|x ＝1＝12.(2)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x (Δx )＋(Δx )2＋ax ＋a (Δx )＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋a (Δx )＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋a ＋Δx ) ＝2x ＋a .一、选择题1．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1B ．π4C.54π D ．－π4[答案] B[解析] 由导数的定义可知f ′(x )＝x ， 所以f ′(1)＝1＝tan θ，故θ＝π4.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.3．已知函数y ＝f (x )的图像如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0[答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0. 4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx ＝lim Δx →0 (Δx )3＋3x ·(Δx )2＋3x 2·Δx －2Δx Δx ＝lim Δx →0((Δx )2＋3x ·Δx ＋3x 2－2)＝3x 2－2， ∴f ′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y ＝x －1. 二、填空题5．函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.6．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f [f (0)]＝__________；lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)[答案] 2 －2[解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义．易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2<x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)＝－2.三、解答题7．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [答案] (1)1 (2)x －y －3＝0 (3)y ＝4x[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .8．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴围成的三角形的面积 [答案] (1)y ＝－13x －229 (2)12512[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋(Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1. ∴f ′(1)＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.故直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。
北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义教案(1)
导数的概念和几何意义一、教学目标(一)知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2．通过函数图象直观了解导数的几何意义.（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题.二、教学重点导数的定义与求导的方法.三、教学难点对导数概念的理解.四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来？生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f （x ）；（2）f （x+d ）－f （x ）；（3）dx f d x f )()(-+； （4）当d 趋于0时，dx f d x f )()(-+趋于一个确定的常数. 师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义.（二）探求新知1.增量、变化率的概念 对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从x 0变化为x 1时，相应的函数值有y 0变为y 1，其中x 1－x 2叫做自变量x 的增量，记为△x ， y 1－y 0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△y ，则).()(01x f x f y -=∆xy ∆∆叫做函数的变化率（或函数)(x f 在步长为△x 的差商）.★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限.★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.2．导数定义设函数)(x f 在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数)(x f 在x=x 0处的导数或微商，记做)('x f . 上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f . 这个表达式读作“d 趋于0时，dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f . 简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商.★)('x f 也是关于x 的函数，叫做函数)(x f 的导函数.3．求导数的步骤（1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）令△x →0，差商→)(0'x f .4．导数的几何意义函数)(x f y =在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （x 0，)(0x f ）处的切线的斜率)(0'x f .5．导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度.（三）讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W 1（t ），W 2（t ）分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要.解：在时刻t 1处，虽然W 1（t ）=W 2（t ），即排污量相同，但是考虑到一开始 有W 1（t 0）＞W 2（t 0），所以有 010*********)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2 投石入水，水面产生圆形波纹区.圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图），计算：（1）半径r 从a 增加到a+h 时，圆面积相对于r 的平均变化率；（2）半径r=a 时，圆面积相对于r 的瞬时变化率.分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。
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第二章 变化率与导数
第三课时 3.2.2 导数的几何意义
一、教学目标：
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；
2、理解曲线在一点的切线的概念；
3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：
了解导数的几何意义
教学难点：求简单函数在某点出的切线方程
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程：
复 习 回 顾 1.平均变化率
.
],[)()()(0)(00000的平均变化率在为函数称时，比值
当及其附近有定义，在点已知函数x x x x f x
x f x x f x y x x x x f y ∆+∆-∆+=∆∆≠∆== 2.瞬时变化率
.
)()
()(0x 000的瞬时变化率在点则这个常数称为函数常数，
时，平均变化率
当x x f x
x f x x f →∆-∆+→∆ 3.导数的定义
x
x f x x f x f y x f x x x f x x x x ∆-∆+='''=→∆=)
()((
lim )(|)()(000
00000，故或记作处的导数在为的瞬时变化率，就定义函数在
4.点斜式直线方程： y-y 0=k(x-x 0) 曲线的切线
y=f(x)
y 0=f(x 0)， y 1=f(x 1)
当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1)
自变量的增量△x= x1- x0
函数值的增量△y= f(x1)- f(x0)
Q(x0+ △x,y0+ △y)
△y=f(x0+ △x)-f(x0)
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y) 过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。
曲线在某一点处的切线的斜率公式
设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α tanβ=
x y ∆∆x
x f x x f ∆-∆+=)()(00当△x→0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即 t an α=
x x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(000
0lim lim
切线斜率
求曲线L ：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。
割线 MN 的斜率为：
ϕtan x y ∆∆=
x
x f x x f ∆-∆+=
)
()(00割线 MN 的极限位置 MT 称 为曲线 L 在点 M 处的切线
αϕ→→∆时，当0x
ϕαtan lim tan ∞
→=n
切线 MT 的斜率为：
αtan =k x y
x ∆∆=→∆0lim
x
x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim
000
说明：
（1）割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.
（2）曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点.
（3）这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
（4）若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f'(x0)不存在，就是切线与y轴平行.
导数的几何意义
函数y = f(x) 在点x0 处的导数f'(x0) 就
是曲线y = f(x) 在点M(x0, y0) 处的切线的斜率，即：
()tan()
2
f x
π
αα
'=≠
由直线的点斜式方程可知，曲线y = f(x) 在点M(x0, y0) 处的切线方程与法线方程分别为：
L
M
x
y
o 0x
ϕ
α
T
1
x
N
y
x∆
•
•
1
y
y∆
当
(
)0
f x
'
≠时，切线方程
000
()()
y y f x x x
'
-=-,
当
()0
f x
'=
时，切线方程为
y y
=或
()
y f x
=.
例1:求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.
.
)
2
1
,2(
1
.2的切线方程
在点
求双曲线
例
x
y=
求函数图象切线需要注意的问题
（1）已知切点(x0, f(x0))，求切线：
①求切线的斜率:k=f'(x0)；
②确定切点(x0,f(x0))；
③写切线方程：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
（2）已知切线过点(a，b)，求切线方程
点(a，b)可以在曲线上，也可以不再曲线上
A、设切点(x0，f(x0))；
B、求斜率k=f'(x0)；
C、写切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)；
D、代入已知点(a,b)，列方程组求得x0；
E、代入求得切线方程.
例4.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.
解：如图各处的切线，我们用此来刻画此三个时刻附近的变化情况 (1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l 0平行于x 轴 ∴在t=t0附近曲线h(t)比较平坦，几乎没有升降. (2)当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线l 1的斜率h'(t1)<0， ∴在t=t1附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l 2的斜率h'(t2)<0， ∴在t=t2附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递减.
由图形可知，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线h(t)
在t1附近比在t2附近下降缓慢.
.)382(3113处的切线方程求：在点，，上一点：如图已知曲线练习P P x y =
解：在点P 处的切线方程是 12x-3y-16=0
.
)4
7
4(4
122
的切线方程，过点：求抛物线练习P x y =
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小结:
求切线方程的步骤：
无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。
高中数学。