一元二次不等式及其解法课件
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人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
总结出： 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
当x取 0 < x <5 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -5x>0 的 解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的 解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
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一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
(3)求出方程 的实根;画出函数图像
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
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一元二次不等式PPT优秀课件
6.2一元二次不等式
本节主要内容：一元二次不等式的解法， 一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的联系.要求能熟练、准确、迅速 地解一元二次不等式，会用分类讨论的方 法求解含参数的一元二次不等式，能够判 断一元二次不等式恒成立的条件.注意等价 转化的思想、函数与方程的思想、数形结 合的思想以及分类讨论的思想在解决问题 中的应用.
一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的关系如下
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
△>0
y
x1 x2
x1
x2
O
x
△=0 y
x1 x2
O
x
方程ax2 bx c 0 (a 0)的根
有x1,2两不等实根 b b2 4ac
2
时
x
a
x
2
a
当 a 2 时，原不等式的解集是 x x 2 ；
a
2
时，原不等式的解集为
x
2 a
x
a ；
0a
2
时，原不等式的解集为
x
a
x
2 a
；
a 2 时，原不等式的解集是 R ；
2
a
0
时，不等式的解集为
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
本节主要内容：一元二次不等式的解法， 一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的联系.要求能熟练、准确、迅速 地解一元二次不等式，会用分类讨论的方 法求解含参数的一元二次不等式，能够判 断一元二次不等式恒成立的条件.注意等价 转化的思想、函数与方程的思想、数形结 合的思想以及分类讨论的思想在解决问题 中的应用.
一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的关系如下
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
△>0
y
x1 x2
x1
x2
O
x
△=0 y
x1 x2
O
x
方程ax2 bx c 0 (a 0)的根
有x1,2两不等实根 b b2 4ac
2
时
x
a
x
2
a
当 a 2 时，原不等式的解集是 x x 2 ；
a
2
时，原不等式的解集为
x
2 a
x
a ；
0a
2
时，原不等式的解集为
x
a
x
2 a
；
a 2 时，原不等式的解集是 R ；
2
a
0
时，不等式的解集为
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
25
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拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
23
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(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
18
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第二章考点一元二次不等式及其解法完整版课件
(x－1)·(3x－2)≥0⇒x≤
∴原不等式的解集为
x
|23x或 23x≥或x1，1
.
第19页，共54页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
(2)2x(x＋1)>3x2－3； 解：2x(x＋1)>3x2－3⇒x2－2x－3<0⇒(x－3)(x＋1)<0⇒ －1<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－1<x<3}．
2．不等式x2－2 022x－2 023>0的解集为( D )
A．x |－2 023＜x＜1
B．x | x 1或x 2023
C．x | 1 x 2023
D．x | x 1或x 2023
【提示】 x2－2 022x－2 023>0⇒(x＋1)(x－2 023)>0⇒x<－1或 x>2 023.
(4)(x－2)(3－x)≥3－x. 解：原不等式可化为(x－3)(3－x)≥0，即(x－3)2≤0，解 得x＝3， ∴原不等式的解集为{3}．
第22页，共54页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
例3 已知关于x的不等式ax2＋4x＋b＜0的解集为 (－∞，－2)∪(6，＋∞)，求实数a，b的值． 【思路点拨】 此类题一般通过“构造方程”或“构造不等式 ”来求解．
解：由题意得，方程ax2－bx＋3＝0的两个根为x1＝1，
x2＝
3 2
，根据韦达定理得
1
3 2
b a
,
1
3 2
3 a
,
解得
a 2, b 5.
第25页，共54页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第34讲 一元二次不等式及其解法(50张PPT)
②若 a＝12，则不等式为(x－2)2<0，不等式的解集为∅；
③若 a>12，则1a<2，此时不等式的解集为1a，2.
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第34讲 一元二次不等式及其解法
(2)当 a＝0 时，不等式为－x＋2<0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．
点
(3)当 a<0 时，不等式可化为x－1a(x－2)>0.
面
（x－a）（x－b）≥0，
xx－ －ab≥0 等价于_x_－___b_≠__0_____________；
xx－ －ab≤0 等价于（x－x－b≠a）0. （x－b）≤0，
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第34讲 一元二次不等式及其解法
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1 ． [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 － x2 － x ＋ 2≥0 的 解 集 是
础 间的函数关系式为 y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，
若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是________台．
[答案] 150
[解析] 根据题意，得 3000＋20x－0.1x2≤25x，移项 整理，得 x2＋50x－30 000≥0，解得 x≤－200(舍去)或 x ≥150.因为 x∈N，则生产者不亏本时的最低产量是 150 台．
即 0<|x|<2，解得－2<x<0 或 0<x<2，故所求的不等式的解
点 集是(－2，0)∪(0，2)．
面 讲 考
(2)x－1x<0⇒x2－x 1<0⇒x<－1 或 0<x<1；x2－1x>0⇒x<0
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共49张PPT)
(
)
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：选 B.由题意知，方程 ax2＋5x＋c＝0 的两根为 x1＝13，x2＝12，由根与 系数的关系得 x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ac，解得 a＝－6，c＝－1.
4．不等式(2x－5)(x＋3)<0 的解集为________． 答案：x－3<x<25
解不等式应用题的步骤
1．若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋20x
－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是
()
A．100 台
B．120 台
C．150 台
D．180 台
解析：选 C.由题意知 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即 x2＋50x－30 000≥0， 解得 x≥150 或 x≤－200(舍去)．
6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原不 等式的解集为∅.
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的 乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解 集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平 方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法， 即判别式法．
含参一元二次不a(a－1)>0，(a∈R)． 解：因为关于 x 的不等式 x2＋x－a(a－1)>0， 所以(x＋a)(x＋1－a)>0， 当－a>a－1， 即 a<12时，x<a－1 或 x>－a， 当 a－1>－a，
一元二次不等式及其解法(习题课) 课件
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不 要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
探究二 不等式中的恒成立问题 [典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
(4)方程 f(x)＝0 的一根小于 k1，另一根大于 k2 且 k1<k2 的条件是 fk1<0， fk2<0.
探究四 一元二次不等式的实际应用 [典例 4] 某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担．政府 为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低 x(x>0)个百 分点，预测收购量可增加 2x 个百分点． (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确 定 x 的取值范围．
a<0，
Δ<0
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 (1)f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a. (2)f(x)≥a 恒成立⇔f(x)min≥a.
探究三 一元二次方程根的分布问题
[典例 3] 已知方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根都大于 2，求实数 m
的取值范围．
[解析] 法一：设方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根为 x1，x2.
则 x1，x2 的分布范围与方程系数之间的关系如下表所示．
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3分钟
只含有____ 一 个未知数，并且未知数的最
高次数是 ____ 2 的不等式，称为一元二次 不等式．
2、函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 △>0 y x1 O
y>0
△=0
y
y>0
△<0
y
y>0
x2 x
y<0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
评
9分钟
1.评做题过程方法有无错误，步骤是否 规范 2.总结关键知识点与基本方法
考点一
一元二次不等式的解法
例1.（2012湖南卷）不等式
x2－5x+6 ≤ 0
不等式的解集为： ｛x| 2 ≤ x ≤3 ｝
图象为:
2
3
注:开口向上,小于0取中间;大于0取两边.
考点二
三个“二次”之间的关系
例2. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 {x|1＜x＜2}，则不等式cx2－bx＋a＜0 的解集为________．
要求：专注、投入、高效
议
9分钟
讨论例题的做法并总结以下知识点：
1. 解一元二次不等式的一般步骤 2. 含参数的一元二次不等式的解法 3.一元二次不等式恒成立问题的解决方法 4. 学案例1、变式1、例2、例3
展
8分钟
1.口头展示自测题关键知识点总结
2.书面展示例1、例2、例3、例4
要求：口头展示用语规范，声音响亮； 书面展示字迹工整，答题规范。
1.一元二次不等式的解法 2.三个“二次”间的关系 3.含参数的不等式的解法
4.不等式恒成立问题的化解
思
13分钟
1. 一元二次不等式的解法 2. 含参数的一元二次不等式参数的分类标 准 3. 函数的零点、方程的根、不等式解集端 点的关系 4.一元二次不等式恒成立问题的解决 5. 完成学案例1、变式1、例2、例3
2、含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，要把握好分类 讨论的层次： 1、根据二次项系数的正、负、零进行分类 2、根据根是否存在，即Δ的符号进行分类 3、在根存在时，根据根的大小进行分类
3、失误防范
（ 1 ）当二次项系数为负数时，一般先化为
正数再求解，同时不要忘记不等号改变方向。
______．
解析：令x2－2ax－3a2＝0，
则x1＝3a，x2＝－a， 又∵a<0， ∴3a<－a， ∴不等式的解集为{x|3a<x<－a}．
3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2. (1)求a、b的值； (2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
1 解： (1)∵方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2， 2 1 b － ＋2＝－ 2 a 由根与系数的关系，得 ， 1 2 － ×2＜－a}；
(3) 若 a ＝ 0 ，则原不等式即为 x2 ＜ 0 ，此时
解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：
当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；
当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}；
当a＝0时，∅.
考点四 不等式的恒成立问题 例4.已知不等式mx2-2x-m+1<0.若对所 有的实数x，不等式恒成立.求m的取值 范围
谢谢大家 光临指导!
再 见
（ 2 ）一元二次不等式的解集要用集合表示。
（ 3 ）含参数的一元二次不等式的求解往往
要分类讨论，讨论结束后要进行总结。
检
1．不等式的解集是（ D ）
1 A．( 2 ,1)
3分钟
C．(,1) (2, )
B. (1, ) 1 ( , ) (1, ) D． 2
2．若a<0，则不等式x2－2ax－3a2<0的解集为
2
解得 a＝－2，b＝3. (2)由(1)知，ax ＋bx－ 1＞0 变为－2x ＋ 3x－1 ＞ 0， 即 2x － 3x＋ 1＜0， 1 解得 ＜x＜1. 2 ∴ 不 等 式 ax2 ＋ bx － 1 ＞ 0 的 解 集 为
1 x . ＜ x ＜ 1 2
2 2 2
心态决定一切！
——信心，耐心，细心，上进心。
3．2 一元二次不等式及其解法
[考纲要求]
1. 会从实际情境中抽象出一元二次不 等式模型. 2. 通过函数图像了解一元二次不等式 与相应的二次函数、一元二次方程的 关系.
3.会解一元二次不等式,对给定的一元 二次不等式，会设计求解的程序框图.
导
1．一元二次不等式
O x1
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} (y>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x < x <x } 1 2 (y<0)的解集
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
3.直击考点
要点点评 ·能力提 升
1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系 数大于0，即ax2 ＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋ bxc<0(a>0)； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的 两根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等 式的解集
考点三
解含参数的一元二次不等式
例3.解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0.
解：方程x2－ax－2a2＝0的判别式 Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0， 得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}； (2)若a＜0，则2a＜x＜－a，