新北师大版九年级数学上册一元二次方程知识点专题复习

一元二次方程知识点复习
考点一：一元二次方程的定义
考查概念问题通常是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的
一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱。

基础知识填空：
(1)只含有_________未知数,,并且未知数的最高次数是____的______方程,叫一元二次方程, 一元二次方程的解也叫一元二次方程的_______.
(2) 一元二次方程的一般形式为__________________________.
例1．（1）方程(m+1)x +7x-m=0是一元二次方程，则m=
（2）若关于x的一元二次方程(m-1)x+5x+m-3m+2=0的常数项为0，则m等于（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
例2.（1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，则方程必有一根为_______.
（2）若b（b≠0）是关于x的方程2x2+cx+b=0的根，则2b＋c的值为 .
(3).（2014?襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0
的一个根，则a的值是．
考点二:一元二次方程的解法
一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法。

对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法。

基础知识填空：
(1)解一元二次方程的基本思路是将____________化为___________(即__________)。

(2)解一元二次方程的基本方法有________,_________,_____________,__________等.
(3)解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式为__________________________.
例3．用适当的方法解一元二次方程
（1） x=3x (2).(x-1)=3 (3)x-2x-99=0 (4)2x+5x-3=0
（5）3x(x-1)=2-2x (6)2x+6=(x+3)2
例4．若（a+b）-2(a+b)-3=0,则a+b=________.若(x+y)-4(x+y) -5=0,则x+y=_________。

例5、用配方法解方程时，此方程可变为（）
(A) (B) (C) (D)
考点三:一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式可以用来：(1)不解方程，判断根的情况；(2)利用方程有无实数根，确定取值
范围，解题时，务必分清“有实数根”、“有两个实数根”，“有两个相等实数根”，“有两个不相等实数根”
等关键性的字眼。

基础知识填空：
一般的式子_________________叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式。

通常用字母____表示。

当Δ>0 时，方程ax+bx+c=0(a≠0)有__________;当______时，方程ax+bx+c=0(a≠0)有___________; 当______时，方程ax+bx+c=0(a≠0)有_________________.
例6.一元二次方程x-2x-1=0的根的情况为____________.
.关于的方程的根的情况是_________.
.一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
变式：若方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________。

例7.关于x的一元二次方程kx-2x-1=0
.若方程有两不相等的实数根，则k的取值范围是_______________.
.若方程的两根是直角三角形的两直角边，且此三角形的斜边为，则k=________________.
考点四：一元二次方程的根与系数的关系
基础知识填空：
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根x,x和系数a,b,c的关系为： x+x=_____, x x=_____
例8、（2014广州）关于x的方程的两根同为负数，则（）
A．且B．且C．且D．且
、（2014山东淄博）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为（）（A）－1或（B）－1（C）（D）不存在、（2014浙江省）已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，
则的取值范围是．
例9、（2014四川成都）已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式
的值为___________.
例10、已知：关于x的方程x2－6x＋m2－3m－5＝0的一个根是－1，求方程的另一个根及m的值。

例11、已知一元二次方程的两根为，试求下列代数式的值。

（1). （2）. （3）. （4）.（）
考点五:一元二次方程应用
解答题（中考链接）
1、（2014湖北天门）已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。

(1)请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2＋αβ的值。

2.（2014?株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三
边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
3.（2014?毕节地区）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能
生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
4．（（2014?新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
5．(2014年贵州安顺6)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
6. （2014?山西）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的 1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它
们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
7. （2014?湖北宜昌）在“文化宜昌?全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数
及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．
（1）求2014年全校学生人数；
（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①．求2012年全校学生人均阅读量；
②．2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的 2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均
阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．。