江苏省徐州市王杰中学高中数学必修二132空间几何体的体积导学案
高中数学第一章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积学案苏教版必修2
3 OD＝ 6 ×30＝5 3(cm) ，
6/9
所以棱台的高 h＝ O′O＝ D′D2－ OD－O′D′ 2
13 3
10 3
＝
3 2－ 5 3－ 3 2
＝ 4 3(cm) ． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
h V＝ ( S上 ＋ S下＋ S上× S下 )
3
＝
4
3
3
×（
3 4×
20
2＋
3 4×
30
1. 柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系
S′＝ S
1
S′＝ 0
1
V 柱体 ＝Sh
V
台体
＝
h( 3
S＋
SS′ ＋ S′）――→ V 锥体 ＝3Sh.
3V 2. 在三棱锥 A－ BCD中，若求点 A 到平面 BCD的距离 h，可以先求 VA－ ， BCD h＝ S△BCD. 这种
方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中
5. 如图 (1) 所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为
1 cm 和底面半径为 3 cm
的两个圆柱组成的简单几何体 . 当这个几何体如图 (2) 水平放置时，液面高度为 20 cm ，当
这个几何体如图 (3) 水平放置时，液面高度为
28 cm ，则这个简单几何体的总高度为
________ cm.
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作
2 正方体的对角面有 r 2＝ 2 a，如图 ②．
(3) 长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体
对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为
a， b， c，则过球心作长方体的对
高中数学1.3.2空间几何体的体积教案苏教版必修2
132 空间几何体的体积教学目标:1•了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；2•了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；3 •培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力.教材分析及教材内容的定位：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合.教学重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用.教学难点：运用公式解决有关体积计算问题.教学方法：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合.教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积.一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少.长方体的长、宽、高分别为a, b, c,那么它的体积为V长方体=abc或V长方体=Sh（这里，S, h分别表示长方体的底面积和高.）二、学生活动阅读课本P65 “祖暅原理”.思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1.柱体的体积.棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积.V柱体=sh2.锥体的体积.类似地，底面积相等，高也相等的两个锥体的体积也相等.V锥体1Sh3.台体的体积.上下底面积分别是S' , S,高是h,则V台体§h（S、SS' S'）柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4.球的体积.一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积有什么样神奇的关系呢？一一相等.1 12 4-V球R2屮-R2屮-R3，所以V球-R3.2 3 3 3四、数学运用例1有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ,已知底面是正六边形，边长为12mm内孔直径为10mm高为10mm问这堆螺帽大约有多少个（n取3. 14 , 可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量.^3 210 2 3 3解：V 12 6 10 3.14 （）10 2956（mm ）2.956（cm ）,4 2所以螺帽的个数为6 1000 （7.8 2.956）260 （个）答：这堆螺帽大约有260 个.例2圆锥形封闭容器，高为 h ,圆锥内水面高为h,h -，若将圆锥倒置后，圆锥内3 水面高为h 2，求h ,.分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面， 此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.该西瓜体积大约有多大 ？练习：1•直三棱柱 ABGA' B' C 各侧棱和底面边长均为 a ,点D 是CC 上任意一点，连结 A B , BD A DAD 则三棱锥 A - A BD 的体积是多少？2•将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体 积是原三棱柱体积的倍；3.表面积为324 n 的球，其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面积.五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容1.理解柱体、锥体、台体之间的关系；2.球的表面积和体积公式.解:VS AB-h (J)3 h巡匹倒置后： V 水:V 锥 h 23：h 3 19h 2119以 3h 至h V 锥 27 2727 330 cm,高度为5 cm,V S CD27例3用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为。
高一数学必修2教案：1.3.2空间几何体的表面积和体积(教学设计)Word版
探究几种方法， 找出 形成归纳、
公式背后的理论依
猜想和证
据
明的科学
思维习惯
圆台的上、下底面半径分别为 r，r′，母线 为 l，其表面积 S＝ __________________.
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台 ( 棱台 ) 是由圆锥 ( 棱锥 ) 截成的， 因此可以利用 两个锥体的体积差．得到圆台 ( 棱台 ) 的体积公式．
2 A．3
B．2
3 C． 2
1 D．2
环节四： 归 纳总结 , 知 识回顾
棱台的侧面展开是什么图形？ 圆台的侧面展示是什么图形？ 棱台和圆台的侧面积和体积公式
环节五： 作 业与测试
练习与测试
学生整理反思， 深化 认识
独立完成作业 限时完成测试
通过作业 与测试巩 固知识提 升应用能 力
类比得出圆台的体积
环节二： 例 题讲解
例 1 、已知一正四棱台的上底边长为 8cm，高为 3cm，求其体积。
4cm，下底边长为
例 2．如图，一个圆台形花盆盆口直径 20cm，盆底直径
为 15cm，底部渗水圆孔直径为 1.5cm，盆壁长 15cm．为
了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用
100
1.3 空间几何体的表面积和体积（第二课时）
【教学过程】
教学流程
教师活动
环节一： 问 题导入
类比棱柱、棱锥，思考： 棱台也是由多个平面图形围成的几何体， 什么？如何计算它的表面积？
它的展开图是
学生活动 结合已有知识进行 思考，引出新知识
设计意图 新旧知识 建立联系
环节二： 探 棱台侧面展开图 究过程
忆，加强应用方面的
A． 81π C． 14π
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.3.2 空间几何体的体积》
棱锥的体积（2）教学目标：1、进一步掌握椎体的体积公式及应用。
2、2、了解割补法在求几何体体积中的作用，能运用割补法对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的。
3、在提供的问题情境及解决问题的提示下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，提高学生的空间想象能力和分析问题的能力。
教学重点、难点：1、求空间几何体体积的规范解题。
2、割补法的灵活运用。
教学过程：一、典例回顾例题：三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC三条侧棱两两垂直，且满足SA=SB=SC=1，求此三棱锥的体积。
“直接代体积公式”“等体积转化”【设计意图】：1、回顾棱锥的体积公式，引出求体积的基本方法——直接代公式。
2、复习正棱锥的基本概念和基本结论，等边三角形中高、面积、重心等基本问题。
3、强化求体积解答题的规范，先找高，再证明，最后才计算。
4、通过转化顶点，重新确定垂线与垂面，引出求棱锥体积的第二种方法——等体积转化。
二、素养提升变式1：三棱锥S-ABC中，各棱长都为，求此三棱锥的体积。
“直接代公式” “补体法”【设计意图】： 1、 在例题的基础上稍做变化，将正三棱锥变为正四面体。
由于正四面体是正三棱锥的一种特殊类型，所以方法一——直接代公式法在本题中依旧可行，让学生体会其中的“变”与“不变”。
2、 转换顶点的方法在这题中就失效了。
3、 回顾之前正方体的研究，在正方体中有一些特殊的三棱锥，我们既要能拿得出来，也要能放得进去。
由此引出求棱锥体积的第三种方法——补体法。
4、 再反思刚才的例题，能不能也用补体法解决呢？还能再次巩固一些正方体中关于点线面的经典结论。
变式2：三棱锥S-ABC ，SA=BC=5，SB=AC =， SC=AB=，求三棱锥的体积。
提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图，则V S-ABC =V 长方体-4V 。
设长方体长宽高分别为a 、b 、c ，则有： 20543614543543413425222222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-ABC S V c b a c b c a b a `ABS S -所以三棱锥S-ABC的体积为2021方单位）。
苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积体积教案
课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。
⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。
⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。
难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。
三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。
虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
四、教学过程：。
高中1.3《空间几何体的体积2》教案苏教版
高中数学：1.3《空间几何体的体积2》教案（苏教版必修2）总课题空间几何体的表面积和体积总课时第17课时分课题空间几何体的体积(二)分课时第 2 课时教学目标初步掌握求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等．重点难点割补法，等积转换等方法的运用．?引入新课1．如图，在三棱锥中，已知，，，，且．求证：三棱锥的体积为．2．一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果将冰淇淋全部放入杯中，能放下吗？?例题剖析例1 将半径分别为、、的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积．?巩固练习1．两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比是_____________________．2．若两个球的表面积之差为，两球面上两个大圆周长之和为，则这两球的半径之差为_____________________________．3．如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等．求证：圆柱、球、圆锥体积的比是．?课堂小结割补法，等积转换等方法的运用．?课后训练一基础题1．一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为______．2．球面面积膨胀为原来的两倍，其体积变为原来的______________________倍．3．正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么球的体积是________．4．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则这个球的表面积为_______．5．已知：是棱长为的正方体，，分别为棱与的中点，求四棱锥的体积．二提高题6．一个长、宽、高分别为、、的水槽中有水．现放入一个直径为的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？三能力题7．设，，，分别为四面体中，，，的中点．求证：四面体被平面分成等积的两部分．。
1.3.2空间几何体的体积(2)教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.3.2空间几何体的体积（2）从容说课本课教学的主要内容是：探究球体的体积及表面积计算公式，并能运用柱、锥、台、球的体积计算公式综合解决一些具体的求解体积的问题.球体是异于柱、锥、台的一类特殊的几何体，也是我们生活中比较常见的几何体，对于球的体积计算公式的推导的教学，可以让学生经历“倒沙实验”，通过直观感知发现半球体的体积等于底面半径和高都为球半径的圆柱与圆锥的体积之差.对于球的表面积计算公式的探求，教材中是通过“准锥体”的介绍，让学生体会“无穷”“极限”的思想，教学时应以讲解为主，并注意讲解的速度，让学生慢慢去体会.例2是对物体的三视图、物体直观图的画法以及组合体的体积计算的知识的综合应用，教学时应先组织学生回顾有关知识，并结合这些知识的复习，根据物体的三视图画出物体的直观图，进而分析组合体的结构特征，将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积.教学重点1.球的体积计算公式及表面积计算公式.2.柱、锥、台、球的体积计算公式的综合应用.教学难点在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想.教具准备多媒体课件、半球面模型、半径和高都等于球半径的圆柱和圆锥、投影仪、打印好的作业.课时安排 1课时三维目标一、知识与技能1.了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用球的表面积和体积计算公式解决有关问题.2.能用柱、锥、台、球等几何体的体积计算公式解决有关组合体的体积计算问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考解答例2，培养学生理性思维能力、空间想象能力、观察能力以及判断能力.3.通过推导球的表面积计算公式，学生体会“无穷”“极限”的思想.三、情感态度与价值观1.通过探求球的体积计算公式，培养学生动手实验的能力，体会知识之间的有机联系.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，解答例2，增强学生数学交流能力和数学地分析问题、解决问题的能力.3.通过指导学生阅读“体积的近似计算”,让学生不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养，激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师前面我们分别研究了空间中的三类几何体——柱体、锥体、台体的侧面积和体积计算公式,你还记得这些吗？(生口答，师简单板书)师它们的侧面几何体积计算公式的推导过程你还有印象吗？(生互相交流，复习旧知)师在空间中还有哪一类几何体的表面积和体积我们没有研究呢？生球体.师球表面积和体积计算公式是怎样的?能否用同样的方法来研究球的表面积和体积呢？(生思考)师这就是我们本节课所研究的内容.(引入新课)推进新课(一)探究球的体积计算公式师同学们，你们还记得柱体和锥体的体积计算公式的推导方法吗？生根据“同底面积等高的两个几何体体积相等”即祖暅原理推导的.师怎样推导球体的体积计算公式呢？生根据祖暅原理.师你能找到这样的几何模型吗？(生思考)师请同学们拿出你事先准备好的圆柱、圆锥和半球模型.你还记得这些模型之间有什么关系吗？生球的半径与圆柱、圆锥的高和底面半径都相等.师很好，请同学们将圆锥放进圆柱模型中，使圆锥模型的底和圆柱模型的底重合，并给圆柱形模型内装满沙子.(生动手操作)师都准备好了吗？生准备好了.师请把圆柱形模型中的沙子全倒进半球形模型中.(同桌合作完成)师你发现了什么？生刚好倒满.师这一结果说明了什么？生说明它们的体积相等.师你能说得更具体一些吗？(生讨论交流，得出如下结论)21V 球＝πR 2·R -31πR 2·R=32πR 3. 师你能从中得到球的体积计算公式吗？(生讨论得出公式)球的体积计算公式：V 球＝34πR 3. （二）探究球的表面积计算公式师我们已经通过实验求得球的体积计算公式，那么如何求得球的表面积呢？请同学们各抒己见.生可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法，设法剪开球面，使其展成平面图形而求得结果.师如果球的表面能展开的话，将会形成怎样的平面图形呢？生如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表面就会被削下来，然后展开，再进行计算.生削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平.另外，条形表面也有一定的弯曲度. 生那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也就接近平面图形了. 生（好像受到了启发）我们要求球的表面积，可以先求半球面的大小,用一组平行于底面圆的平面去截球面，随着平行平面间距离的逐渐减小，原来弯曲的球面就转化为一组圆柱侧面的总和，圆柱侧面积有计算公式，那么再找到这一组圆柱侧面积之间的大小关系，最后求出这所有圆柱侧面积之和，我们要求的球表面积就可以解决了.生我想用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，问题也可以解决.……师同学们的想法都很好.要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开的办法了，因为对球体而言，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成为平面图形.大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案，都有一个共同的想法，这就是我们将要在高二进一步学习的极限思想.若把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形.问题解决已有些眉目，再让咱们大家集思广益，完善求解方法.(生深思)师看来这个问题要解决还是有一定的困难，请同学们回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式，我们采取了什么办法？生是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的.师当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长.当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长，这正是“以直代曲”的尝试.我们是否可以对此方法稍加改造，来完成球的表面积计算公式的推导？(生思考)师刚才已经有同学提到用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，就可以求出球的表面积.怎样把球的表面积和球的其他量联系起来呢？ (生思考)师如果说球的表面积会和球体的其他量联系起来的话，这个量会是谁呢？生球的半径.师怎样才能和球的半径联系上呢？(生讨论交流)师如果连结球体在其面上的小正方形的定点和球心的连线，将会得到怎样的几何体？ (生讨论交流，得出结论)师这些“准”锥体的底面并不是真正的多边形，怎样才能使得这些准锥体更接近于锥体呢？(生讨论交流，引出“极限”的思想)师当这些“准锥体”的底面足够小的时候，就可以近似地看成棱锥.此时这些准棱锥的高是多少呢？(生思考)师若设这些准锥体的底面积分别为S 1、S 2、S 3, …且它们的和趋于球的表面积,于是就有： 球面球＝RS RS RS V R 31313134323=++= π. 师从此能得到球的表面积计算公式吗？(生讨论抽象出公式)球的表面积计算公式：它表明球的表面积是球的大圆面积的4倍.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径.师球的表面积由几个几何量来确定？生球的表面积只由球半径的大小决定.S 球面=4πR 2.（三）公式的应用【例1】半径是R的球，如果半径发生了下述变化，则其体积分别增加了多少倍？(1)半径增大到原来的2倍；(2)半径增大了2倍.分析:“增大到”与“增大了”是两个不同的概念.前者是指最终结果，后者还必须再加上原来的一份.解:设变化前后球的体积分别为V,V′，(1)由题意知变化后球的半径为2R，∴V′∶V=(2R)3∶R3=8∶1.∴(V′-V)∶V=7.体积增加了7倍.(2)由题意知变化后球的半径为R+2R=3R，∴V′∶V=(3R)3∶R3=27∶1.∴(V′-V)∶V=26.体积增加了26倍.师解决这类表面积、体积变化问题时，球的体积比必须转化为半径的立方比，球的表面积的比必须转化为半径的平方比.若将球的表面积扩大到原来的3倍，则其半径变为原来的多少倍？体积变为原来的多少倍？【例2】两个球的体积和为12π，这两个球的大圆周长和为6π，求大球的半径与小球的半径差.【例3】一个正方体内接于半径为R的球内，求正方体的体积.解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必然重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为a，则2R=3a,a=332R.所以，正方体的体积为V=a3=(332R)3=938R3评注:解答该题的关键是根据正方体与球体这两个特殊几何体的性质，找出球体的半径和正方体棱长之间的关系.探究:若一个球和正方体的六个面都相切，求正方体的体积与球的体积的比.【例4】课本第56页例题2.(生组织学生研究图形的结构特征，运用有关知识加以解决)（四）目标检测1.课本练习4、5、6.2.若把一个球的半径扩大为原来的2倍,则球的体积比原来增加的倍数为()A.2倍B.4倍C.22倍D.(22-1)倍3.设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是()A.86πB.646πC.242πD.722π4.（2004江苏高考,4）一个平面截一个球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.3100π cm 3B.3208π cm 3C.3500π cm 3D.33416π cm 3 课堂小结球的表面积、体积的计算公式及其应用.布置作业1.课本第60页习题1.3第9、10题.板书设计1.3.2空间几何体的体积(2)球的体积及表面积计算公式公式的应用(例题及学生练习)课堂小结与布置作业活动与探究1.阅读课本57页“体积的近似计算”.2.完成课本第61页第11题.3.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球.3.提示:设球半径为R,则34πR 3=16π,R=433,而正三棱柱底面内切圆半径r=63.由于R 6=641294962⨯＝,r 6=24312962766⨯＝,R 6>r 6,∴R>r,不能放进一个体积为16π的小球. 备课资料典型习题1.棱长为a 的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积是（）A.4πa 3B.4π a 3C.32π a 3D.42π a 3 答案:C2.三棱锥P —ABC 内接于一个球，其底面边长为a ，侧面与底面所成的角为α，求球的体积.答案:(1)设H 是正△ABC 中心,D 是BC 中点,连结P H 并延长交球面于Q ,则P H⊥底面ABC ,PQ 是球的直径.AD ⊥BC ,PD ⊥BC ,则∠PDA 是三棱锥的侧面与底面所成的角,∴∠PDA =α.∵AB =a,∴DH =63a,AH =33 a. P H=63a·ta N α,H Q =2R-63a·ta N α. 又PQ 为球的直径,∠P A Q =90°,由射影定理知AH 2=PH ·HQ ,即(33a)2=63a·ta N α(2R-63a·ta N α). ∴R=ααtan 344tan 2+a,球的体积V=32)tan 4tan (4323a ααπ+. 3.正三棱柱内有一个内切球，已知这个正三棱柱的底面边长为a ，求球的体积.提示:设球半径为R,球心到较近的截面距离为x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+22225)1(,8R x R x .得R=3,V=36π.。
江苏省徐州市王杰中学苏教版高中必修二数学学案2-3-1空间直角坐标系(无答案)
问题1．在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面上任意一点的位置，那么怎样用坐标来表示空间任意一点的位置呢？问题2．怎样表示教室中风扇的位置呢？1．空间直角坐标系：2．右手直角坐标系：问题3．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？问题4．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．3. 空间直角坐标系中两点的距离公式：问题5．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？4. 空间中两点线段21P P 的中点坐标公式：【学习交流与问题探讨】例1.在空间直角坐标系中，作出点)654( ，，P ．例2.如图：在长方体////D C B A ABCD -中，12=AB ，8=AD ，5/=AA ，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，/AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．思考：（1）在空间直角坐标系中，x 轴上的点，xOy 平面内的点的坐标分别具有什么特点？（2）点)0012( ，，B ，)0812( ，，C ，)5012(/ ，，B 到yOz 平面有一个共同点是什么？（3）平行于xOy 平面的平面上的点具有什么特点？（4）平行于xOz 平面的平面上的点具有什么特点？例3.求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例4.平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例5.证明以)134( ，，A ，)217( ，，B ，)325( ，，C 为顶点的ABC ∆是等腰三角形．例6.已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求： （1）线段AB 的中点和线段AB 长度；（2）到A ，B 两点距离相等的点)(z y x P ，，的坐标满足什么条件．【练习检测与拓展延伸】1．在空间直角坐标系中，yOz 平面上的点的坐标形式可以写成（ ）A ．)(c b ，B ．)00( ，，aC ．)(c b a ，，D ．)0( ，，b a2．空间直角坐标系中，正方体的四个顶点坐标分别为)00( ，，a ，)0(a a ，，，)00( ，，a ，)(a a a ，，，则其余四个顶点坐标分别为 ．3．（1）在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标可写成 ；（2）在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标可写成 ；（3）在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可写成 ；（4）在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标可写成 ．4．在空间直角坐标系中，画出下列各点：)300( ，，A ； )321( ，，B ； )402( ，，C ； )221(- -，，D ．5．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．6．试解释方程36)5()3()12(222=-+++-z y x 的几何意义．7．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．8．已知平行四边形ABCD 的顶点)314( ，，A ，)152( - ，，B ，)573(- ，，C ． 求顶点D 的坐标．。
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V锥体 ____________________________________________ ．
V台体 ____________________________________________ ．
V球 _____________________________________________ ．
体铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？
3．若一个六棱锥的高为 10cm ，底面是边长为 6cm 的正六边形，求这个六棱锥的体积．
四、小结与提高
空间几何体的体积 ( 二) 导学案
章节与课题
第一章第 1.3.2 节空间几何体的体积 2
课时安排
主备人
常丽雅
审核人
梁龙云
使用人
使用日期或周次
第三周
（铁的密度是 7.8g / cm3 ）
例 2 下图是一个奖杯的三视图（单位： cm ），试画出它的直观图，
并计算这个奖杯的体积（精确到 0.01cm3 ）．
三、练习检测与拓展延伸
1． 用一张长 12cm、宽 8cm 的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积． 2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为 16cm2 ，高为 4cm ，现将它熔化后铸成一个正方
空间几何体的体积 ( 一) 导学案
章节与课题
第一章第 1.3.2 节空间几何体的体积 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课时安排
主备人
常丽雅
审核人
梁龙云
使用人
使用日期或周次
第三周
本课时学习目标或 学习任务
了解柱、锥、台、球体积的计算公式．
本课时重点难点或 学习建议
柱、锥、台、球体积计算公式的运用．
本课时教学资源的 使用
导学案
学习过 程
4．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径．
球的表面积公式为 ______________________ ；这表明球的表面积是球大圆面积的
4 倍．
二、学习交流与问题探讨
例 1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重
6kg ．已知毛坯底面正六边形边长
是 12mm ，高是 10mm ，内孔直径是 10mm ．那么这堆毛坯约有多少个？
一、自学准备与知识导学
1．圆锥形烟囱的底面半径是 40cm ，高是 30cm ．已知每平方米需要油漆 150 g ，油漆
100 个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（
取 3.14 ，精确到 0.1kg ）
7 课时
2．某长方体纸盒的长、宽、高分别为 7cm ， 5cm ， 4cm ，则每层有 7 5 个单位正方体，
P
E
8 课时
A
C
D
B
2．一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果将冰淇淋全部放入杯中， 能放下吗？
二、学习交流与问题探讨
例 1 将半径分别为 1cm 、 2cm 、 3cm 的三个锡球熔成一个大锡球，
求这个大锡球的表面积．
三、练习检测与拓展延伸
1．两个球的体积之比为 8 : 27 ，则这两个球的表面积之比是 _____________________ ． 2．若两个球的表面积之差为 48 ，两球面上两个大圆周长之和为 12 ，则这两球
本课时 学习目 标 初步掌握求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等．
或学习任务
本课时 重点难 点 割补法，等积转换等方法的运用．
或学习建议
本课时 教学资 源 导学案
的使用
学 习过程
一、自学准备与知识导学
1．如图，在三棱锥 P ABC 中，已知 PA BC ， PA BC l ， PA ED ， BC ED ，且 ED h ．求证：三棱锥 P ABC 的体积为 V 1 l 2 h ． 6
共有 4 层，因此它的体积为 ______________________ ．
设长方体的长、宽、高分别为 a ， b ， c ，那么它的体积为
3．柱体、锥体、台体、球的体积公式：
__________ 或 ___________．
V柱体 ____________________________________________ ．
的半径之差为 _____________________________ ． 3．如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等．
求证：圆柱、球、圆锥体积的比是 3 : 2 : 1．
四、小结与提高