动态计划求解方法的Matlab实现及应用[]
利用MATLAB求解离散动态规划问题
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利用MATLAB求解离散动态规划问题
三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析
1. 阶段变量k： 将问题按工程分为4个阶段，即k = 1, 2, 3, 4 2. 状态变量sk ： 状 态 变 量sk 表 示 第k个 工 程 至 第4个 工 程 可 用 的 投 资 总 额 ， 显 然 有s1 = 60
穷举所有可能的结果，找出其中最优值及对应的策略
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利用MATLAB求解离散动态规划问题
二、穷举法：算例1-算法与程序
对 于上 述 问 题 ， 在 穷 举 求 解 时 应 注 意 投 资 额 不 多 于60万 元 的 约 束。稍加分析便知道60万元必须全部用完没有剩余，否则结果一 定不会是最优解。因此可以写出以下程序: 输入利润函数： V 1 = [0, 20, 50, 65, 80, 85, 85]; V 2 = [0, 20, 40, 50, 55, 60, 65]; V 3 = [0, 25, 60, 85, 100, 110, 115]; V 4 = [0, 25, 40, 50, 60, 65, 70];
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利用MATLAB求解离散动态规划问题
二、穷举法：算例2-算法与程序（续）
n = size(R, 1); Path = zeros(50, 5); Path(1 : 50, 1) = 1; Path(1 : 50, 5) = n; D = inf ∗ ones(50, 1); m = 1; for i = 1 : n; if R(1, i) ∼= inf for j = 1 : n if R(i, j) ∼= inf for k = 1 : n if R(j, k) ∼= inf Path(m, 2 : 4) = [i, j, k]; D(m) = 0; D(m) = D(m)+ R(1, i)+ R(i, j)+ R(j, k)+ R(k, n); m = m + 1; end ...
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用动态规划（Dynamic Programming）是一种用来求解多阶段最优化问题的方法，在许多领域中都得到了广泛的应用。
本文将介绍如何使用Matlab实现动态规划算法，并通过一个具体的应用案例来说明其使用方法和效果。
动态规划算法的基本思想是将一个问题分解成多个阶段，每个阶段的最优解可以通过前一阶段的最优解来计算得到。
具体实现时，需要定义一个状态转移方程来描述问题的阶段之间的关系，以及一个递推公式来计算每个阶段的最优解。
在Matlab中，可以使用矩阵来表示问题的状态和状态转移方程，使用循环结构来进行递推计算。
下面以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）为例来说明动态规划算法在Matlab中的实现和应用。
最长递增子序列是一个经典的动态规划问题，给定一个序列，找出一个最长的子序列，使得子序列中的元素是递增的。
可以使用动态规划算法来求解该问题。
定义一个状态数组dp，其中dp(i)表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。
初始化dp数组为1，表示每个元素自身就是一个递增子序列。
然后，使用一个循环结构遍历序列的每个元素，计算以当前元素结尾的最长递增子序列的长度。
具体实现时，需要比较当前元素与之前的元素的关系，如果当前元素大于之前的元素，则可以将当前元素加入到之前的最长递增子序列中，并更新dp(i)为dp(j)+1，其中j为小于i的所有元素的位置。
遍历dp数组，找出其中的最大值，即为整个序列的最长递增子序列的长度。
下面是Matlab代码的实现：```matlabfunction LIS = LongestIncreasingSubsequence(nums)N = length(nums);dp = ones(1, N);for i = 1:Nfor j = 1:i-1if nums(i) > nums(j)dp(i) = max(dp(i), dp(j)+1);endendendLIS = max(dp);end```以上代码定义了一个函数LongestIncreasingSubsequence，输入参数为一个序列nums，输出结果为最长递增子序列的长度LIS。
基于Matlab的动态规划程序实现
动态规划方法的Matlab 实现与应用动态规划(Dynamic Programming)是求解决策过程最优化的有效数学方法，它是根据“最优决策的任何截断仍是最优的”这最优性原理，通过将多阶段决策过程转化为一系列单段决策问题，然后从最后一段状态开始逆向递推到初始状态为止的一套最优化求解方法。
1．动态规划基本组成(1) 阶段 整个问题的解决可分为若干个阶段依次进行，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k(2) 状态 状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。
各阶段状态通常用状态变量描述，用k x 表示第k 阶段状态变量，n 个阶段决策过程有n+ 1个状态。
(3) 决策 从一确定的状态作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量，决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用()k k u x 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数。
用()k k D x Dk(xk)表示k x 的允许决策的集合。
(4) 策略 每个阶段的决策按顺序组成的集合称为策略。
由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为{}11(),(),,()k k k k n n u x u x u x ++ 。
可供选择的策略的范围称为允许策略集合，允许策略集合中达到最优效果的策略称为最优策略。
从初始状态*11()x x =出发，过程按照最优策略和状态转移方程演变所经历的状态序列{}****121,,,,n n x x x x + 称为最优轨线。
(5) 状态转移方程 如果第k 个阶段状态变量为k x ，作出的决策为k u ，那么第k+ 1阶段的状态变量1k x +也被完全确定。
用状态转移方程表示这种演变规律，记为1(,)k k k x T x u +=。
(6) 指标函数 指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上，用()k k f x 表示。
Matlab中的动态系统建模与仿真
Matlab中的动态系统建模与仿真Matlab是一种专业的数学计算软件，被广泛应用于工程、科学和经济等领域。
它提供了一系列强大的工具，使得动态系统的建模与仿真变得更加简便和高效。
本文将介绍在Matlab中进行动态系统建模与仿真的方法和技巧，以及应用领域的案例分析。
一、动态系统建模动态系统是指随时间变化的系统，包括物理系统、生物系统、经济系统等。
动态系统建模是通过数学模型来描述系统的运动规律和行为。
在Matlab中，可以利用函数、方程和状态空间等方法进行动态系统的建模。
1.1 函数建模函数建模是最基本的建模方法之一。
使用函数可以将系统的输入与输出之间的关系表示为一个简单的数学表达式。
例如，对于一个简单的弹簧振子系统，可以用下面的方程描述其运动：m * x''(t) + k * x(t) = 0其中，m是质量，k是弹簧的劲度系数，x(t)是位置关于时间的函数，x''(t)是加速度的二阶导数。
通过利用Matlab的符号计算工具箱，可以求解这个运动方程，并得到系统的解析解。
这种方法适用于简单系统和已知解析解的情况。
1.2 方程建模方程建模是一种更加通用的建模方法。
通过列写系统的动态方程和边界条件，可以得到系统的数学模型。
例如，对于一个控制系统，可以利用微分方程来描述系统的运动规律。
然后，可以利用Matlab的ode工具箱来求解这个微分方程。
这种方法适用于非线性系统和复杂系统的建模。
1.3 状态空间建模状态空间建模是一种描述系统状态和输入输出之间的关系的方法。
通过定义状态向量和状态方程，可以将系统的动态行为表示为一个状态空间模型。
在Matlab 中，可以使用ss函数来构建状态空间模型，并利用sim函数进行仿真。
这种方法适用于线性系统和多输入多输出系统的建模。
二、动态系统仿真动态系统仿真是指通过在计算机上运行模型来模拟系统的行为。
在Matlab中，可以利用仿真工具箱实现动态系统的仿真。
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用动态规划算法是解决许多计算问题的有效方法，它可以用于组合优化、资源分配和时间序列分析等方面。
Matlab是一种高级计算软件，提供了许多内置函数，使得动态规划算法的实现变得简单。
一、动态规划算法的基本思想动态规划算法是一种优化技术，可以用于解决一些复杂的计算问题。
它的基本思想是把一个大问题分解成一系列子问题，通过解决子问题得到整体的最优解。
在动态规划算法中，通常使用递推式来描述问题的最优解。
在Matlab中，动态规划算法的实现通常包括以下几个步骤：1.定义状态变量：根据问题的特性，定义一组状态变量，用于描述问题的状态。
2.制定状态转移方程：根据问题的条件和规则，制定一组状态转移方程，用于计算问题的最优解。
3.构建转移矩阵：将状态转移方程转化为矩阵形式，便于计算和优化。
4.初始化状态变量：将初始状态赋值给状态变量，用于递推计算。
5.递推计算：根据状态转移矩阵和当前状态，计算下一时刻状态的值，直到达到目标状态。
6.输出最优解：输出最终状态对应的最优解。
三、应用实例1.背包问题背包问题是一种组合优化问题，目标是在给定的一组限制条件下，尽可能地装满容量限制的背包。
动态规划算法可以有效解决背包问题。
function [optx,optf]=knapsack(w,v,c)%w：物品的重量； v：物品的价值； c：背包容量%optx：最优解； optf：最优解对应的函数值n=length(w); %物品数量f=zeros(n+1,c+1); %状态变量fx=zeros(1,n); %物品的选择变量xfor i=1:nfor j=1:cif j<w(i) %背包容量不足的情况f(i+1,j)=f(i,j);else %背包容量足够的情况f(i+1,j)=max(f(i,j),f(i,j-w(i))+v(i));endendendoptf=f(n+1,c); %最优解j=c; %从后往前寻找物品for i=n:-1:1if f(i+1,j)>f(i,j)x(i)=1;j=j-w(i);endendoptx=x; %最优解2.最长公共子序列问题最长公共子序列问题是一种字符串匹配问题，目标是在两个字符串中找到最长的公共连续子序列。
《动态规划MATLab》课件
寻找最优子结构
将问题拆分为多个子问题，并定义子问 题之间的关系。
初始条件与边界条件定义
确定初始条件和边界条件，为求解过程 提供基础。
动态规划常见问题
1 背包问题
在给定容量和价值的情况 下，选择合适的物品放入 背包，使得背包中物品的 总价值最大化。
2 最长公共子序列
3 最长上升子序列
在给定两个序列的情况下， 找到它们之间最长的公共 子序列。
《动态规划MATLab》 PPT课件
这个《动态规划MATLab》PPT课件将帮您深入了解动态规划算法及其在 MATLab中的应用。通过丰富的示例和清晰的代码演示，您将掌握动态规划求 解问题的步骤和常见方法。
什么是动态规划
定义
动态规划是一种用于解决最优化问题的算法思想，通过将问题拆分为多个子问题并保存已计 算的中间结果，以减少重复计算的次数。
在给定序列的情况下，找 到其中最长的上升子序列。
MATLab介绍
基本语法
MATLab具有简洁而灵活的 语法，易于学习和使用。
数组与矩阵操作
MATLab提供了丰富的数组 和矩阵操作函数，方便快捷 地处理数据。
函数与脚本文件
MATLab支持函数和脚本文 件的编写与调用，使程序逻 辑更加结构化。
使用MATLab进行动态规划问题求解
1
用MATLab实现背包问题
通过MATLab编写代码，解决背包问题，得出最优解。
2
用MATLab实现最长公共子序列
利用MATLab函数，找到两个序列之间的最长公共子序列。
3
用MATLab实现最长上升子序列
使用MATLab算法，求解给定序列的最长上升子序列。
总结
动态规划思想及其应用
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用
基于Matlab的动态规划算法的实现及应用动态规划算法是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它可以在每个阶段选择最优决策，并且在各个阶段间保持最优子结构，从而达到整体最优的目的。
在实际应用中，动态规划算法被广泛用于求解优化问题、路径规划、资源分配等方面。
本文将介绍基于Matlab 的动态规划算法的实现及应用，并深入探讨其在实际问题中的应用。
一、动态规划算法的基本原理动态规划算法的基本原理是通过将问题分解为子问题，并计算每个子问题的最优解，然后存储下来以供后续使用。
最终得到整体最优解。
动态规划算法通常包括以下几个步骤：1. 确定状态和状态转移方程：首先需要确定问题的状态，然后建立状态之间的转移关系，也就是状态转移方程。
状态转移方程描述了问题的子问题之间的关系，是动态规划算法的核心。
2. 初始化：初始化动态规划数组，将初始状态下的值填入数组中。
3. 状态转移：利用状态转移方程计算出各个阶段的最优解，并将其存储在动态规划数组中。
4. 求解最优解：根据动态规划数组中存储的各个阶段的最优解，可以得到整体最优解。
Matlab是一种强大的计算软件，具有丰富的数值计算函数和可视化工具，非常适合实现动态规划算法。
下面以一个简单的背包问题为例，介绍如何在Matlab中实现动态规划算法。
假设有n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]。
现在有一个容量为C的背包，问如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
我们需要确定问题的状态和状态转移方程。
在这个问题中，我们可以定义状态dp[i][j]表示在前i件物品中选择若干个放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])然后，我们可以利用Matlab实现这个动态规划算法，代码如下：```matlabfunction max_value = knapsack(w, v, C)n = length(w);dp = zeros(n+1, C+1);for i = 1:nfor j = 1:Cif j >= w(i)dp(i+1,j+1) = max(dp(i,j+1), dp(i,j-w(i)+1)+v(i));elsedp(i+1,j+1) = dp(i,j+1);endendendmax_value = dp(n+1,C+1);end```三、动态规划算法在实际问题中的应用动态规划算法在实际问题中有着广泛的应用，下面以路径规划问题为例，介绍动态规划算法的应用。
MATLAB中的动态系统建模与仿真技巧
MATLAB中的动态系统建模与仿真技巧1.方程建模：在MATLAB中建模动态系统的第一步是根据系统的特性和动态方程来构建模型。
动态方程可以是微分方程、差分方程或状态空间方程。
MATLAB提供了许多函数和工具来帮助用户定义和求解方程。
例如，ode45函数可以用来求解常微分方程，可以通过定义动态方程和初始条件来调用该函数。
2.参数估计：在动态系统建模中，有时候我们需要估计一些未知参数的值。
MATLAB提供了多种参数估计的方法和工具。
例如，可以使用最小二乘法来拟合实验数据并估计出参数值。
MATLAB中的lsqcurvefit函数可以用来实现最小二乘曲线拟合，并估计出参数的最优值。
3.系统仿真：一旦我们有了动态系统的模型和参数值，就可以使用MATLAB进行仿真。
MATLAB提供了许多用于建立和仿真动态系统的函数和工具。
例如，simulink是MATLAB中用于建立和仿真动态系统的主要工具之一、通过拖放模块和连接线，可以建立具有各种输入、输出和参数的动态系统模型，并进行仿真和分析。
4.系统响应：在仿真过程中，我们可以通过改变输入信号来观察系统的响应。
MATLAB提供了许多绘图函数和工具，用于分析和可视化系统的响应。
例如，使用plot函数可以绘制系统的输入和输出信号，并进行比较和分析。
此外，MATLAB还提供了一些用于计算和分析系统步态响应、频率响应和稳态响应的函数。
5.控制系统设计：MATLAB还提供了许多用于控制系统设计的工具和函数。
例如，可以使用Control System Toolbox来分析和设计控制系统，并应用于仿真和实际应用。
MATLAB中的bode函数可以用来绘制系统的频率响应曲线，并进行控制系统设计和性能评估。
6.系统优化：在动态系统建模和仿真过程中，有时候我们需要选择最优的参数值或设计方案。
MATLAB提供了多种优化算法和工具，可以帮助我们找到最优解。
例如，使用fmincon函数可以进行约束最优化，通过定义目标函数和约束条件，可以找到系统的最优参数值。
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动态规划求解方法的Matlab实现及应用[1].txt我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉。
你的手机比话费还便宜。
路漫漫其修远兮，不如我们打的吧。
第%卷第,期信息工程大学学报S>:+%<>+,!""’年>月T>8D3F:>C53C>DEFB2>3G3?23@@D23?032H@DA2BI6@N+!""’!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!动态规划求解方法的!"#$"%实现及应用于斌，刘姝丽，韩中庚<信息工程大学信息工程学院，河南郑州#’"""!）摘要：文章对动态规划问题的求解方法进行了分析研究，根据问题的特点、难点和关键点做了针对性的处理，然后用!"#$"%做了实现尝试，从而实现了“最佳组队”和“最短路线”等问题的求解。
实践证明所采用方法和程序都是有效的。
关键词：动态规划；基本方程；!"#$"%实现；最佳组队中图分类号：*!!&+,文献标识码：-文章编号：&%.&$"%.,<!""’）",$"">’$"#!"#$"%&’"$(>"#(*+*,#-’./+"0(123*43"00(+45663*"1-"+78#9566$(1"#(*+/0123，4506789:2，。
-<=7>3?9?@3?<53AB2B8B@>C53C>DEFB2>3G3?23@@D23?，53C>DEFB2>3 G3?23@@D23?032H@DA2BI，=7@3?J7>8 #’"""!，K723F）5%9#3"1#：1IF3F:IJ23?F3L23H@AB2?FB23?B7@LI3FE2MND>?DFEE23?FNND>FM7，F3@CC@MB2H@L2AN>AF:7FAO@@3L>3@FMM>DL23?B>B7@ND>O:@E+P7@3F3FBB@ENB>3B7@ND>O:@EA>C“1@ABB@FE9C>DE23?”F3L“67>DB@ABNFB7”7FAO@@3A8MM@AAC8::IEFL@OIQFB:FO+5B2AND>H@LB7FBB7@E@B7>LF3LND>?DFEE@FD@@CC@MB2H@+:’/。
*379：LI3FE2MND>?DFEE23?；OFA2M@R8FB2>3；QFB:FO；O@ABB@FE9C>DE23?ND>O:@E小规模的动态规划问题成为可能，从而使得动态规"引言划的理论和方法在实际中的应用范围迅速增加。
目前，在计算机上实现动态规划的一般求解方动态规划是一类解决多阶段决策问题的数学法并不多见，尤其是用来解决较复杂的具体问题的方法，在工程技术、科学管理、工农业生产及军事等成果甚少。
本文从实际出发，利用数学工具软件领域都有广泛的应用。
在理论上，动态规划是求解QFB:FO的强大功能，对动态规划模型的求解方法做［&］［!］这类问题全局最优解的一种有效方法，特别是对于了尝试，并结合“最佳组队问题”和最短路问题实际中的某些非线性规划问题可能是最优解的唯进行了应用检验，实际证明结果是令人满意的。
一方法。
然而，动态规划仅仅是解决多阶段决策问题的一种方法，或者说是考查问题的一种途径，而&动态规划的基本模型不是一种具体的算法。
就目前而言，动态规划没有统一的标准模型，其解法也没有标准算法，在实际实际中，要构造一个标准的动态规划模型，通应用中，需要具体问题具体分析。
动态规划模型的常需要采用以下几个步骤：求解问题是影响动态规划理论和方法应用的关键!划分阶段按照问题的时间或空间特征，把所在，而子问题的求解和大量结果的存储、调用更问题分为若干个阶段。
这些阶段必须是有序的或是一个难点所在。
然而，随着计算机技术的快速发者是可排序的<即无后向性），否则，应用无效。
展，特别是内存容量和计算速度的增加，使求解较"选择状态将问题发展到各个阶段时所处收稿日期：!""#$"%$&%修回日期：!""’$"’$"(作者简介：于斌<&>(!$），男，江苏姜堰人，信息工程大学硕士研究生，主要研究方向为通信工程。
>=信息工程大学学报年""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ""的各种客观情况用不同的状态表示，即称为状态。
状态的选择要满足无后效性和可知性，即状态不仅依赖于状态的转移规律，还依赖于允许决策集合和指标函数结构。
!确定决策变量与状态转移方程当过程处于某一阶段的某个状态时，可以做出不同的决策，描述决策的变量称为决策变量。
在决策过程中，由一个状态到另一个状态的演变过程称为状态转移。
状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。
"写出动态规划的基本方程动态规划的基本方程一般根据实际问题可分为两种形式，逆序形式和顺序形式。
动态规划基本方程的逆序形式为!"）!$"!%"<#"）｛&"$"<%&｝"!’，.，&<#""#$<#"，）% !"%&），’’&，(，{边界条件：!’%&<#’%&）!>或!<’#’）!&<’#’，$’）<&）其中第"阶段的状态为#"，其决策变量$"表示状态处于#"%&的决策，<#"，状态转移方程为#"%&!("$"）"阶段的允许决策集合记为%"）&"$"，<#"，<#"，）为指标函数。
当求解时，由边界条件从"!’开始，由后向前逆推，逐阶段求出最优决策和过程的最优值，直到最后求出!<&#&）即得到问题的最优解。
类似的，动态规划基本方程的顺序形式为{ !"<#"%&）!"#$$"!%>#"%&）｛&"<#"%&，$"）%!"’&<#"）｝，"!&，(，.，’’&，’）<#&边界条件：!>!><(）其中状态转移方程为#"!(>"$"）"阶段的<#"%&，，允许决策集合为%<>#"%&）指标函数为&"，<#"%&，$"）。
当求解时，由边界条件从"!&开始，由前向后顺推，逐阶段求出最优决策和过程的最优值，直到最后求出!<’#’）即得到问题的最优解。
"(基本方程求解的*+$,+-实现动态规划没有统一的标准模型，对于基本方程<&）和<(）的求解也没有统一的标准算法。
但是，我们分析用动态规划解决问题的思想方法，会发现一个共同的明显特征，这就是将所研究的问题分为关联着的多个阶段后，每个阶段都有若干个对应的子问题，求解问题的关键就是按阶段次序求解大量子问题的最优解。
而且对于每一个子问题的求解结果都必须完整贮存下来，上一阶段子问题的结果将对下一阶段产生一定的影响，即对全局最优决策也产生影响。
如何处理好所有各阶段的大量子问题的求解及结果的贮存和调用等，这是编程求解动态规划问题的难点所在，也是必须要解决的问题。
(*&*+$,+-实现方法综述在这里仅就动态规划基本方程的逆序形式进行讨论，顺序形式也类似。
对于各个阶段的子问题的求解方法基本都是相同的，在当前阶段的所有子问题求得最优决策以后，通过状态转移方程可以确定出下一阶段的状态和允许状态集合，从而可以在决策集合上来寻求这个新阶段的最优决策。
从第’个阶段出发，直到第一个阶段为止，即可得到全过程的最优决策。
因此，在具体实现的过程中，针对每一个状态编写一个相对通用的函数，然后在主程序中循环调用该函数，以实现任意状态下的最优决策。
问题的主体程序框图如图&所示。
图&主程序框图(*(具体程序实现按照如上的程序框图，编写相关程序，主要由.个子程序构成：#主函数/012$3"1［#+3，453］!+,-’<6，7）输入状态向量6和相关指标矩阵7，返回最优策略和相应指标值；用全局变量8，88，888，分别记录指标值、状态地址和相应决策。
$状态计算子函数!.’/0-1’//<1，66，9+,）计算相应状态下的最优决策，并存储；1为目前阶段数，66为前一阶段某个状态的最优决策，9+,为相应指标值。
!辅助计算子函数!.’/0-1’［6:。
，<］!2>32<6，$"$，1，6:。
）确定变量88；在某个阶段，对该阶段所第+期于斌等：动态规划求解方法的9/#:/。