倒计时抢分攻略之数学篇丨杭二中高三备课组组长孙惠华
导数
历史回顾与科学分析
1.2000-2003四年新教材高考中关 1.2000-2003四年新教材高考中关 于导数、向量的分值统计. 于导数、向量的分值统计. 分值 2000 2001 分值 导数 导数 14 17 12 16 2002 10 16 2003 12 17
向量 5+12 5+12 11+12 11+12 向量 5+12 5+12 11+12 11+12 注( 文) 注(理) 含积分 含积分 空间向量 空间向量
( x) = 4x
(
)
(
)
f
'
3
f ' ( x) = 4x3( −8x < 0 ⇒x∈ −∞, − 2 , x∈ 0, 2 ( ) )
− 8 x > 0 ⇒ x ∈ − 2, 0 , x ∈ 2, +∞
(
)
(
)
fmin = f
( 2) = f ( − 2) = a−6 >0⇒a <6
例3（新问题新方法） 新问题新方法） ①函数 f ( x) =sin x+3cos x 的值域是 [ −3,3]
历史回顾与科学分析
2.2003年新教材高考关于向量与导 2.2003年新教材高考关于向量与导 数试题得分分析. 数试题得分分析.
19 20 填空 2000 2003 时间 17 18 2001 2002 21 22
3.63 81.8 63.7 平均分( 平均分(理) 80.3 理科 6.87 7.23 1.64105. 7.94 2.07 2.33 5.46 76.3 59.8 平均分( 平均分( ) 78.7 文科 5.9文5.08 1.6699.6 7.17 1.69 0.86
2025届浙江省杭州第二中学高三下学期联考数学试题含解析
2025届浙江省杭州第二中学高三下学期联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+2．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b b a -<-B ．a b b a ->-C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-3．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=，则按照以上规律，若10101010n n=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．1204．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．5．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-7．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=8．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧9．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1B ．7C ．1D ．1或710．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C 10D 10 11．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π12．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020浙江新高考数学二轮复习课件：第3部分 2 抢分攻略二 考前必会的15个规律、结论及方法
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第3部分 追梦高考 高效抢分
21
13 数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即 1＋2＋ 3＋…＋n＝12n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝n2，n∈N*.
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13
用向量法求最值常用到的结论
(1)由 a·b＝|a||b|cos θ 可知 a·b≤|a||b|，当 a 与 b 同向时取等号． |a·b|≤|a||b|，当 a 与 b 平行时等号成立． (a·b)2≤|a|2|b|2，当 a 与 b 平行时等号成立．
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8
函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的 a 倍，而横坐标不 变，得到函数 y＝af(x)(a>0)的图象． (2)把 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到原来的1b倍，而纵坐标不 变，得到函数 y＝f(bx)(b>0)的图象．
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6
(5)复合函数 f(g(x))的奇偶性 若 f(x)为偶函数，则 f(g(x))为偶函数． 若 f(x)为奇函数，则当 g(x)为奇函数时，f(g(x))为奇函数；当 g(x)为偶函数时，f(g(x)) 为偶函数． (6)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有 f(0)＝0. (7)存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
高考复习浙江省杭州第二中学高三数学周练(五)(含详细答案).doc
杭州二中高三代数质量检测题（五）（2005年12月26日下午3：05－4:35） 命题：黄宗巧一、选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.1.函数2sin 3cos 3y x x =--+的最小值为 ( )（A ）0 （B ） 2 （C ）1- （D ）14-2.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合的抽取样本的方法是 ( )(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)先从老年人中随机剔除1人，然后分层抽样 3.如果函数2log (2)3y x =+-的图象按a 平移得到2log y x =的图象,则a = ( ) （A ）(2,3) （B ）(2,3)- （C ）(2,3)-（D ）(2,3)--4.已知随机变量()~10,0.6B ξ，若8ξη+=，则,E D ηη分别是 ( )(A)6和2.4(B)2和2.4(C)2和5.6(D)6和5.6（文科．．）若函数(1)y f x =+的定义域是[2,3]-,则(1)y f x =-定义域是 ( ) （A ）[2,3]- （B ）[0,5] （C ）[1,4]- （D ）[3,2]-5．若b a ≠，ba b a m --=，ba b a n ++=，则m 、n 的大小关系是 （ ）（A ）n m = （B ）n m ≥ （C ）n m ≤ （D ）无法判断 6. 函数()212log 35y x ax =-+在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）（A ）(]6-∞-, （B ）[)06,- （C ）(]68--, （D ）[]68--, 7．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()22+-=-x f x f ，()03=f .则()0=x f 在区间()100,内实根的个数最少是 （ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 8.n S 是首项为1的等比数列{}n a 的前n 项和，若lim11nn nS S →∞=+, 则公比q 的范围是( )（A ）1≥q （B ）11≥-<q q 或 （C ）10<<q （D ）011≠≤<-q q 且（文科．．）已知两个等差数列{}{}、n n a b 满足121253()27n n a a a n n N b b b n *++++=∈++++， 则=66b a ( ) （A ）25 （B ） 2 （C ）1933 （D ）3163 9.函数()x x x f -++=863的值域是 （ ）（A ）[]3010, （B）（C ）[]810, （D ）[]304,10.已知全集{}4321,,,U =，则满足 {}1AB ⊂≠U C 的集合对A 、B 共有 （ ）（A ）24对 （B ）27对 （C ）37对 （D ）42对 二、填空题：满分30分，共6小题，每小题5分.11．已知点()()1,1,2,3A B ，O 为坐标原点，,OP OA AB R λλ=+∈， 若点P 在第四象 限内，则实数λ的取值范围是 .12．函数2log (y x =的反函数是 .13.若集合2{ln(1),}y y x ax x R R =-+∈=，则实数a 的取值范围是 . 14. 设甲射击一次，击中目标的概率是32.假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响，且连续2次未击中．．．目标，则停止射击.则甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是 . 15.若关于x 的方程2ln 0x x a --=在区间[1,3]内恰有一个实根，则实数a 的取值范围是 .（文科．．）若关于x 的方程30x x a --=有三个不同的实根，则a 的取值范围是 . 16．给出下列四个命题：①设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若12()()f x f x =12()x x ≠，则12()f x x c +=；②若偶函数()f x 在0x =处可导，则(0)0f '=； ③函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；④函数y =的最小值是 5.则其中错误的命题的序号是 .杭州二中高三代数质量检测题（五）答题卷班级 姓名 学号一．选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.（11）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（12） 222x x y -+=，[)0,x ∈+∞，（13）(][),22,-∞-+∞，（14）16243，（15）{22ln 2}(32ln3,1]--,文,99⎛- ⎝⎭（16）③ 三．解答题：满分60分，共4小题，每小题15分. 17.已知向量()()2sin ,cos ,3cos ,2cos m x x n x x ==，定义函数()()()log 10,1a f x m n a a =->≠，求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间.解：.因为223sin cos 2cos 2cos 21m n x x x x x =+=++所以 ())log 2cos 2log 2sin 26aa f x x x x π⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ,故 22T ππ== , 令()2sin 206g x x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则()g x 的单调递增的正值区间是(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦，单调递减的正值区间是()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ 则当01a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭当1a >时，函数()f x 的单调递增区间为(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦18．已知不等式22222322(32)log log 02020a a a a x a a -+-+-+<++对任意R ∈x 恒成立，试求实数a 的取值范围.解：令2232log 20a a t a -+=+，则210tx t -++<对任意R ∈x 恒成立则0t <，且()8410t t ∆=-+<，解得：2-<t所以41202302<++-<a a a ，解得()4 , 21 , 43⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∈a ，19.已知f(x)=)(32432R x x ax x ∈-+在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设关于x 的方程f(x)=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2.是否存在实数m ，使得对任意a ∈A 及t ∈[－1，1],不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|恒成立？ 解：（2004福建文T22）（1）f ＇(x)=4+2,22x ax - ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A={a |－1≤a ≤1}.方法二：2a ≥0， 2a<0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0 ⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. （2）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ， ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0， ② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时， m>0， m<0， ②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 20.已知数列{}n a 满足：212,n n n a a a n N *+=-+∈，且1(0,1)a a =∈.(1)用数学归纳法证明：01n a <<；（2）试求{}n a 的通项公式；（3）对于2,n n N *≥∈，求证：3332222121223112()()n n n n a a a a a a a a a a a n -+++-++++<.提示：（2）12211(1)(1),lg(1)2lg(1),1(1)n n n n n n a a a a a a -++-=--=-∴=-- （3）分析：由已知可得：1n n a a ->方法1：21112(0,1),20n n n n n a a a a a a a +-=∈->->，所以左边＝222211222311112231112(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2),n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n ----+-++-+-<-+-++-+-=+++<方法2：32241122(2)k k k k k k k a a a a a a a ++-=-=Q故：左边=13112n k n n k a a a a -=+-å2222411111110,;01,,n n n a a a a a a a a a a >>\><<\>\>Q Q故：左边1134311222n n k n k n k k aa a a a n --==<+-=+<邋方法3：由332231111(1)()(1)0n n n n n n n n a a a a a a a a ----+-+=-+-<又332311111(1)()()(1)0n n n n n a a a a a a a a a a +-+=-++-<累加可证方法4：对上面方法3的一种推广：对任意的*,p q N Î，3321p q p q a a a a +<+证明如下：若p q >，3322231()(1)p q p q q q p p a a a a a a a a +-+=-+- ,10p q p q a a >\>>>Q ，220q p a a \-<，故得证 若p q <，则332231()(1)p q p q p p q q a a a a a a a a +-+=-+-同理可证这样，利用上述命题，对左边各式进行任意组合，便可证明（文科．．）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n .（1）求q 的取值范围；（2）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小. 解：(2005全国卷Ⅰ)（1）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（2）由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且－1<q <0或q >0当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =。
浙江省杭州二中10-11学年高二上学期期末试卷(数学理)
杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间 90分钟 命题 陈洁 校对 张先军 审核 孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x 2．已知A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A B C 、、一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++3．已知平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么 A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C ．若0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠D ．若0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠5．已知βα,是两个不同平面，n m ,是直线，下列命题中不正确．．．的是 A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ B ．若//m α，n αβ=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的方程为A.194422=-y x B ．194422=-x yC ．149422=-x yD ．149422=-y x 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = A ．23 B ．3 C ．27 D ．48．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是B. C ．2 D ． 29. 已知四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC 为水平线），则其侧视图的面积是 A. 2 B. 22C. D.362 10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为 A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a -=- C.MO MT b a -<- D.不确定二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = . 12．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 13. 在正ABC ∆中, D E 、分别为AB AC 、的中点,则以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为 . 14．若,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，则z x y =+的最小值为 ．15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题序号全填上）： ①//EF AB ； ②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直； ③当四面体ABCD的体积最大时，AC =； ④AC 垂直于截面BDE .杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是11． 12．13．14．15．三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．（本小题满分12分）已知圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点. （1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM ON =，求圆C 的方程.17．（本小题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l的参数方程是6x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分12分）如图，已知BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面BCD，2,BC CD ==AB E F =、分别为AC AD 、上的动点.（1）若AE AFEC FD =,求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）若1AE EC =，2AFFD=，求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的大小.19．（本小题满分14分）过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ． (1)求证：124k k =-；(2)求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标； (3)设APQ ∆的面积为S ，当SPQ最小时，求AQ AP ⋅的值． 杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答案（理）一．选择题：本大题共.11．32 12．280x y +-= 131 14．12- 15．②③④ 三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．解：（1）由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． （2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：（1）22:1,4x C y += :260l x y +-=（2）设(2cos ,sin)M θθ，则M 到直线l 的距离d==∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．（1）证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。
杭二中数学动态分析高考复习策略数学模块分值分析下
，取
a1
=
1−
17 2
，则
a10
=
a1
=
1−
17 2
10
；
由此排除 BCD,选 A.
一、考生样本与目标分析
【例 5】(2019 浙江 T10) 设 a ， b R ，数列{an} 满足 a1 = a ，
an+1 = an2 + b ， n N* ，则 (
)
A．当
b
=
1 2
时，
a10
10
B．当 b
故
，
而
，则
.
设
的公比为 ， a1 1， a4 =a1q3 −1,q 0 .
一、考生样本与目标分析
【比较】(2018 浙江 T10) 已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列，且
．若 ，则( a1 + a2 + a3 + a4 = ln(a1 + a2 + a3 )
a1 1
)
A． a1 a3, a2 a4
24
2
2
令 x − 1 y = cos, 3 y = sin
2
2
所以， x + y = cos + 3 sin = 2sin( + ) 2. 6
12 + ( 3)2
(x − 1 y)2 + 3 y2 = 2 24
一、考生样本与目标分析
【例 4】(2009,安徽 T14) 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角
90%
+97% +87% +98% +76%
B-入室 120.5 －3.4 －7.1 －6.8 －12.2
2025届杭州第二中学数学高三上期末考试试题含解析
2025届杭州第二中学数学高三上期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大2．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+3．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]4．已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)5．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．456．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．7．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种8．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加9．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．3610．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎪⎝⎭11．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =12．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( )A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．1280二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
杭州余杭第二高级中学集体备课提纲
引申思考2：探索： 是否有特定表达形式？
引申思考3：探索：若将椭圆改成双曲线 ，那么 是否也有特定表达形式？
变式：2．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．
（五）反思提炼，完善图式
归纳：求椭圆的离心率的次目标：寻找基本量a,b,c之间的方程（范围问题则对应基本量之间的不等关系），探索条件中的关键语句：F1C⊥AB，将之转化成代数方程。
（四）优化方法，巩固提升
变式1（步步高136页跟踪训练3）
分析：结论：“求a，b的值”，作为求值问题，需要我们达成怎样的目标？
条件“|MN|=5|F1N|”反映在点M与N之间的坐标有怎样的关联？从而可得到怎样的代数结论？如果从几何的角度加以分析，又可得到怎样的结果？
（1）标准方程：焦点在x轴上： ；
焦点在y轴上： （对应问题：考点自测1；例1（2））
（2）一般方程：mx2+ny2=1（m>0,n>0且m≠n）（对应问题：思考辨析4；例1（2））
椭圆的一般方程在待定系数法求方程时具有简化运算的功能。
（3）定义方程： （对应问题；跟踪训练1（1））
在已知椭圆的焦点坐标及椭圆上一点时，定义方程具有优化运算的功能。
归纳：（1） ；（2）椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程为
（三）典型精析，整合拓展
例2.（步步高136页跟踪训练2）椭圆中的焦点三角形问题
归纳：焦点三角形问题处理的观测线索：（1）定义的应用；（2）解三角形相关工具的选择。
（四）优化方法，巩固提升
练习：已知椭圆 ，设点P为椭圆上任意一点，记∠F1PF2=θ，设三角形F1PF2的面积为S，若S<ab恒成立，求椭圆的离心率e的取值范围。
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倒计时抢分攻略之数学篇丨杭二中高三备课组组长孙惠华：回归原点，确保基本得分！
2016-05-27浙江教育报刊总社
临近高考，如何科学调整复习行为？如何预防考前焦虑保持良好的心态？如何合理把握数学本质提高备战效率？今天，我们有请杭二中高三数学备课组长孙惠华老师，给广大考生提几点建议，供大家参考。
回归原点，提高应变能力
高考试题百分之百是原创，同时也百分之百的根据教学大纲与考试大纲命题，高考试题的构造必须体现数学学科的本质、体现思维的灵活性、体现教学的指导性、体现人才的选拔性，以数学的核心概念、基本原理、重要的性质结论及通用的思维方法为基本原点，科学合理地命制试题。
能够在高考中运筹帷幄、决胜千里的同学必须是具有较高的数学素养的人、能够回归到原点的人。
因此，最后阶段最重要的不是多做多少训练题，而是高水平地回归数学知识、方法的原点，也就是有序地整理与记忆高中三年来的学习体会及问题解决的方法与经验。
根据解决考点的知识与方法来组织针对性的复习，例如：针对二元函数的最值问题的考点，首先收集平时的训练题与考试题，再总结思路与方法（思路1是消元转化为单元函数；思路2是利用基本不等式凑常数；思路3是转化为约束条件下的目标函数的规划思想方法），最后寻找求解新的试题。
再例如：如何分析数列累加与叠乘方法出现的代数结构特征、如何感悟函数值与自变量对应关系、如何理解天然不等关系在不等式问题构成的作用等。
从原点出发，以不变应万变，实现高三复习的量变到质变的飞跃。
关注重点，确保基本得分
高考的正常发挥往往取决于基本问题的得分能力，并非是难点的完全突破。
要正确理解高考的重点与难点，在高考中必定会出现的试题内容就是高考重点，不论简单的还是困难的考点，只要是考点，哪怕是容易题的考点也必须重点关注（如集合的基本运算、简单的逻辑基础、三角函数图像性质、几何体的三视图等）。
高考最后阶段最该关注的是容易题与中等题的得分，高考不怕压轴题丢分，就怕第一题做错，不怕难题障碍，就怕容易题失误。
数学高考成功的标志是确保了基本得分（选择题的40分、填空题争取超出30分、解答题的前三题确保零失分、最后两题努力超15分）。
对于大部分考生来说，不要只盯牢最后两题，只有确保了基本得分，才能有机会超水平发挥。
把握节奏，保持良好心态
最后阶段的复习大部分考生都是以自主复习为主了，因此，科学合理安排好各学科各种复习行为的时间比例、把握好复习节奏也是非常重要。
建议适当安排完整的模拟训练（下午3-5点），调整数学生物钟的兴奋点。
每天写好一个问题（关注表达规范），积极有效地进行查漏补缺，寻找增分空间。
多交流、多思考，适度活动，保持阳光心态。
高考备战，越到最后越需要具有坚定的意志力。
全力以赴，把握自我，十分重要，面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有给自己准确地定位，科学生态地把握好复习节奏，合理激发自身内在的潜能，才能在最后的高考决战中超越自我、挑战极限，让好运在我们身上降临，让遗憾离我们远去！。