江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题 Word版含答案

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．函数()ln(1f x =-的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则(8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值 为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为0022a b+．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ．14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长； （2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．A B CDD 1 A 1 B 1C 1MN第15题图第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 817．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈． AO BCPα第17题图（1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． （参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12． A BPCD O ·第21（A ）图（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．3 10． 11．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ， 所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//A C AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理， 得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分 故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c = ……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得cos c b A =． ……10分 ABCDDABCM N则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． (14)分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠， 即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP πα=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分（2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα==∈++，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+-+-'=+2)4(sin cos )πααα-+=+， ……10分 由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． (12)分列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a =±，所以2243b a a a-==， ……2分化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分 （2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m --⋅=---，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k =……12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-所以0y ……14分所以(G -，H，所以2PG k ==所以r ==. 故存在满足条件的r ，且r = ……16分19．解：（1）()1xg x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分（2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==， 故实数p的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e -==，()(1)x xh x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”， 故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=，00220x e x --=，设()22xn x e x =--， ……10分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022xx e +=， 此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k k a a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n nn a a n a a ++---==≥-， 所以数列{}2*22||()n n aa n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++， 依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--， 由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k kk k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， ……14分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--， 由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=． 同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=， 所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠， 所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分 因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC ==由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以4CD ==． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分A BPCDO·此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分（C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=， 得曲线C的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以2d ==，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为=． ……10分 （D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分 当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=， 1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X…………8分所以，X的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为i a >，i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+． 所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知i a >,i b >(,1i N i n*∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++． ……………………………4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立， 则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++， 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． (6)分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分） （2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n nnn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n nn n C C C n C +=+++++[]212135(21)35(21)nn nn nn C C C n C+++++≥+++++ ①， (8)分记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++，则1(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++，012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++， 所以，301213521(1)2nnn n nn n n C C C C ++++++≥，证毕． ……10分。