2019届北师大版(理科数学) 函数的单调性圆锥曲线、单元测试

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北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》典型例题剖析

《函数的单调性和最值》典型例题剖析题型1 求函数的单调区间例1、（1）求函数1()1f x x =+的减区间；（2）作出函数()|3|f x x =-. 解析（1）求函数解析式确定的单调区间应本着定义域优先的原则.（2）求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的一般转化成分段函数的形式后再求解.答案（1）函数1()1f x x =+的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则f ()()()()211212121101111x x f x f x x x x x --=-=>++++，所以()()12f x f x >，所以(,1)-∞-为1()1f x x =+的减区间.同理可得(1,)-+∞也为1()1f x x =+的减区间. （2）原函数可化为2,3,()6,33,2,3,x x f x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其图象如图所示.由图象知，函数()f x 的增区间为[3,)+∞，减区间为(,3]-∞-.规律总结利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”或“，”连接，不能用“⋃”连接.变式训练1 已知2()12f x x x =--，求()f x 的单调区间.答案 22149()1224f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.如图，作出函数()f x 的简图，观察其图象可知，函数()f x 的单调递增区间为13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和[4,)+∞，单调递减区间为(,3]-∞-和1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.易错提示上题中单调区间的表示容易错写成：函数()f x 的单调递增区间为13,[4,)2⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为1(,3],42⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦，这里区间之间不能用“⋃”相连.题型2 已知函数的单调性求参数的取值范围例2、已知函数2()2(1)2f x x a x =--+在(,4]-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.解析思路一：根据二次函数图象的开口方向和对称轴与区间的关系构造关于a 的不等式求解.思路二：利用单调性的定义进行求解.答案方法一：2()2(1)2f x x a x =--+22[(1)]2(1)x a a =--+--，()f x ∴的减区间是(,1]a -∞-.又()f x 在(,4]-∞上是减函数，14a ∴-，即3a -.∴实数a 的取值范围是(,3]-∞-.方法二：设124x x <，则()()12f x f x -2211222(1)22(1)2x a x x a x ⎡⎤⎡⎤=--+---+⎣⎦⎣⎦()[]12122(1)0x x x x a =-+-->恒成立.120x x -<， 122(1)0x x a ∴+--<，即122(1)x x a +<-恒成立.()12max 2(1)x x a ∴+<-.124,4x x <，128x x ∴+<.2(1)8a ∴-.3a ∴-.∴实数a 的取值范围是(,3]-∞-.规律总结（1）函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的取值范围.（2）若一个函数在区间[,]a b 上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.变式训练2 已知函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围.答案函数2()23f x x ax =--的图象开口向上，对称轴为直线x a =，画出草图如图所示.由图象可知函数在(,]a -∞和[,)a +∞上分别单调，因此要使函数()f x 在区间[1,2]上单调，只需1a 或2a （其中当1a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增；当2a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递减），从而(,1][2,)a ∈-∞⋃+∞.易错提示本题容易漏掉一种情况，即只考虑在区间[1,2]上单调递增，或只考虑在区间[1,2]上单调递减，在区间[1,2]上单调，包含两种情况，既包括单调递增，也包括单调递减.题型3 利用单调性求函数的最值例3、（1）求函数2()2f x x x =-+在区间[0,)+∞上的最大值；（2）求函数2()1f x x =--在区间[2,6]上的最大值和最小值. 解析（1）画出函数图象，确定函数对称轴与定义域的关系，得出函数的单调性，然后根据单调性求函数的最值.（2）先利用单调性的定义证明函数在区间[2,6]上的单调性，然后根据单调性求函数的最值.答案（1）画出函数2()2f x x x =-+的图象（如图），由图象可知()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,)+∞上是减函数，所以()f x 在[0,)+∞上的最大值是(1)1f =.（2）任取12,[2,6]x x ∈，且12x x <，则()()21f x f x -212211x x =-----()()()2121211x x x x -=++.因为1226x x ，所以()()21210,110x x x x ->++>，于是()()()21212011x x x x ->++，即()()12f x f x <，所以函数2()1f x x =--在区间[2,6]上是增函数，所以函数2()1f x x =--在区间[2,6]的左，右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为22(6)617f ==---，最小值为22(2)213f ==---. 方法归纳利用单调性求最大值、最小值需注意的几点：（1）写出最值时要写最高（低）点的纵坐标，而不是横坐标. （2）求最值要考虑函数的定义域.（3）求最值，尤其是闭区间上的最值，要判断单调性而不能直接将两端点值代入.变式训练3 已知函数3()21f x x =-，求函数()f x 在区间[1,5]上的最值. 答案先证明函数3()21f x x =-的单调性，设12,x x 是区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的任意两个实数，且2112x x >>，则()()()()()2112121263321212121x x f x f x x x x x --=-=----. 由于2112x x >>，所以210x x ->，且()(122121)0x x -->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数3()21f x x =-在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以函数()f x 在区间[1,5]上是减函数，因此，函数3()21f x x =-在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为(1)3f =，最小值为1(5)3f =.易错提示求闭区间上的最值，容易直接代入端点值求函数的最值，这样是错误的，必须先判断单调性，再求最值.规律方法总结1.准确理解函数的单调性.（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，是函数的一个“局部”性质，函数在单独的一点处没有单调性.（2）定义中的1x 和2x 有如下三个特征：①任意性：即“任意取1x 和2x ”中“任意”二字不能去掉，不能以特殊值代换.②12,x x 属于同一个单调区间. ③有大小之分，一般令12x x <.（3）函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系：比如()f x 在区间I 上是减函数，若12,x x I ∈，则()()1212f x f x x x >⇔<.2.函数的最值与值域、单调性之间的联系.（1）对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数1 yx =.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.（2）若函数()f x在闭区间[,]a b上单调，则()f x的最值必在区间端点处取得，即最大值是()f a或()f b，最小值是()f b或()f a.核心素养园地例、函数的单调性是函数的重要性质之一，利用单调性不仅能够解决具体函数的有关问题，还能够解决抽象函数的一些相关问题.已知函数()f x是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意的0,0x y>>，都有()()f xy f x=，且满足(2)1f=.（1）求(1),(4)f f的值；（2）求满足(2)(3)2f f x+-的x的取值范围.解析（1）抽象函数的求值问题一般利用赋值法求解.赋值时要目标明确，要结合已给出的函数值和要求的函数值进行恰当的赋值.（2）解抽象不等式，要充分利用条件和函数的单调性把“f”符号脱掉，转化为一般的不等式求解.答案（1）令1x y==，得(1)(1)(1)f f f=+，所以(1)0f=.令2x y==，得(4)(2)(2)112f f f=+=+=，所以(4)2f=.（2）由(2)1f=及()()()f xy f x f y=+可得211(2)(2)(4)f f f=+=+=.因为(2)(3)2f f x+-.所以(2(3))(4)f x f-.又函数()f x是定义在(0,)+∞上的增函数，所以2(3)0,2(3)4,xx->⎧⎨-⎩解得35x<.讲评本题是抽象函数不等式问题，考查学生应用所学知识把抽象问题转化为具体问題解决的能力.由于没有给出函数解析式，必须结合题目给出的条件，把f f x+-转化成两个函数值的大小，然后利用函数的单调性转化成具体(2)(3)2的不等式求解，转化过程中一定要注意函数的定义域.如果能利用赋值正确求出第（1）题，那么可以认为达到数学运算核心素养水平一的要求；如果能进行正确转化，求出第（2）题中x的取值范围，那么可以认为达到逻辑推理、数学运算核心素养水平二的要求.。

2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《函数的单调性与极值》同步练测及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11函数的单调性与极值建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.关于函数的极值，下列说法正确的是（）A.导数为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D.若在内有极值，则在内不是单调函数2.函数的极值点个数为( )A．2 B．1C．0 D．由a确定3.已知是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )A.{b|b-1或b2}B.{b|b-1或b2}C.{b|-2b1}D.{b|-1b2}4.函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于( )A．9B．－9C．1 D．－1二、填空题（每小题5分）5.函数的极值点个数为.6.若函数f(x)＝a －3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是.7.已知f(x)＝+1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.三、解答题（共55分）8.(10分)设1x =和2x =是函数3()f x ax =+261bx x ++的两个极值点. (1)求a ，b 的值(2)求()f x 的单调区间.9.(12分)已知函数323()(32af x x x a =-++1)1x +其中a 为实数. （1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.10.(10分)设函数，其中≠0．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．11.（8分）已知函数讨论函数f(x)的单调性12.(15分)已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(2)求()f x 的单调区间；(3)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围1.D 解析：函数在处取得极值⇔，且，故A 不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间，一般来说没有大小关系，故B 不正确；函数在定义域内可能有多个极大值和多个极小值，故C 不正确；若在内有极值，则在内不是单调函数，正确.故选D ．2.C 解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.3.D 解析：因为是R 上的单调增函数，所以对x ∈R 恒成立，即解得.4.C 解析：，由，得的两个解，则＝1.5.0解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.6.a ≤1 解析：f ′(x)＝3a －3，由题意知f ′(x)≤0在 (－1,1)上恒成立．若a ≤0，显然有f ′(x)＜0；若a ＞0，由f ′(x)≤0，得－≤x ≤，于是≥1，∴ 0＜a ≤1.综上知a ≤1.7.(] 解析：已知当时，f(x)是减函数.所以，(1)当时，由，知在R 上是减函数；(2)当时，，由函数在R 上的单调性，可知当时，在R 上是减函数；(3)当时，在R 上存在一个区间，其上有所以，当时，函数在R 上不是减函数.综上，所求a 的取值范围是.8.解：（1）2()326f x ax bx '=++，由已知可得(1)3260f a b '=++=，2(2)322260f a b '=⨯+⨯+=.解得91,.2a b ==- (2)由（1）知22'()3963(32)3(1)(2).f x x x x x x x =-+=-+=--当(,1)(2,)x ∈-∞+∞∪时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是(,1),(2,),-∞+∞()f x 的单调减区间是(1,2).9.解：(1)2()3(1)f x ax x a '=-++.由于函数()f x 在1x =处取得极值，所以有(1)0f '=，即3101a a a -++=⇒=.（2）由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立. 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x x x +≤+.20x ∴-≤≤. 从而实数x 的取值范围为20x -≤≤. 10.证明：因为，，所以的定义域为（0，+∞）,．当时，如果＞0，＞0，，在（0，+∞）上单调递增；如果＜0，＜0，＜0，在（0，+∞）上单调递减．所以当＞0，函数没有极值点．当＜0时，.令，得（舍去），，当＞0，＜0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为.当＜0，＞0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为.综上所述，当＞0时，函数没有极值点；当＜0时，若＞0，＜0时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若＜0，＞0时，函数有且只有一个极大值点，极大值为.11.解：当（2）当时，函数上单调递增，最大值为12.解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.(2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>.①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为.②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -内，()0f x '>；在区间1(,)a -+∞内，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,-)a ，单调递减区间为1(-,)a+∞.(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) 当0a <时，函数()f x 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----，所以21ln()a >---，解得31e a <-。

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》核心素养专练

《函数的单调性和最值》核心素养专练必备知识练必备知识1 单调性的判断和证明一、选择题1.根据函数的图象，在定义域上是增函数的是（）A.B.C.D.2.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A.若()f x 为增函数，()g x 为增函数，则()()f x g x +为增函数B.若()f x 为减函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +为减函数C.若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +为增函数D.若()f x 为减函数，()g x 为增函数，则()()f x g x -为减函数3.函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有()()()()12120x x f x f x --<，则()f x 在(,)a b 上（）A.单调递增 B 单调递减 C.不增不减 D.既增又减4.已知函数y ax =和by x =-在(0,)+∞上都是减函数，则函数()f x bx a =+在R 上是（）A.减函数且(0)0f <B.增函数且(0)0f <C.减函数且(0)0f >D.增函数且(0)0f > 二、解答题5.利用单调性的定义证明函数2()1x f x x +=+在(1,)-+∞上是减函数. 必备知识2 函数的单调区间一、填空题6.若函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________.7.若函数2(21)1,0,()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________.8.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则实数k 的取值范围是________.关键能力练关键能力1 求函数的值域与最值一、选择题9.函数y x =+ ）A 最小值为12，无最大值 B 最大值为12，无最小值C.最小值为12，最大值为2D.无最大值，也无最小值10.已知函数2()4,[0,1]f x x x a x =-++∈，若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为（） A.1- B.0 C.1 D.2 二、填空题11.用min{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，则函数()min{41,4,8}f x x x x =++-+的最大值是________.12.已知函数2()68,[1,]f x x x x a =-+∈，且()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题13.已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围.14.已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x <. （1）求(1)f 的值；（2）判定()f x 的单调性；（3）若(3)1f =-，求()f x 在[2,9]上的最小值. 关键能力2 利用函数单调性解不等式一、选择题15.定义在R 上的函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且在[0,)+∞上是增函数，则下列关系成立的是（） A.(3)(4)()f f f π<-<- B.()(4)(3)f f f π-<-< C.(4)()(3)f f f π-<-< D.(3)()(4)f f f π<-<-16.函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >-+，则实数m 的取值范围是（） A.(,3)-∞- B.(0,)+∞ C.(3,)+∞D.(,3)(3,)-∞-⋃+∞17.函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，对任意的,(0,)x y ∈+∞，都有()()()1f x y f x f y +=+-，且(4)5f =.（1）求(2)f 的值；（2）解不等式(2)3f m -.参考答案 1. 答案：D 解析： 2. 答案：C解析：若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +的增减性不确定.例如()2f x x =+为R 上的增函数，当1()2g x x =-时，则1()()22f x g x x +=+为增函数；当()3g x x =-，则()()22f x g x x +=-+在R 上为减函数，∴不能确定. 3. 答案：B解析：()()()()()()12121212000x x x x f x f x f x f x -<⎧--<⇔⎨->⎩，或()()121200x x f x f x ->⎧⎨-<⎩，，即当12x x <时，()()12f x f x >或当12x x >时，()()12f x f x <，∴不论哪种情况，都说明()f x 在(,)a b 上单调递减. 4. 答案：A解析：因为函数y ax =和by x =-在(0,)+∞都是减函数，所以0,0a b <<，所以函数()f x bx a =+在R 上是减函数且(0)0f a =<. 5.答案：见解析解析：设121x x >>-，则()()()()1221121212221111x x x x f x f x x x x x ++--=-=++++. 1212211,10,10,0x x x x x x >>-∴+>+>-<，()()2112011x x x x -∴<++，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，∴函数2()1x f x x +=+在(1,)-+∞上是减函数. 6.答案：(,2]∞-解析：函数2()(1)5f x x a x =--+图象的对称轴为直线12a x -=且在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，1122a -∴，即2a . 7.答案：12b解析：由题意得2102010b b b ->⎧⎪-⎨⎪-⎩，，，解得12b .8.答案：(,40][64,)∞∞-⋃+解析：函数2()48f x x kx =--图象的对称轴为直线8kx =且在[5,8]上是单调函数，58k ∴或88k ，得40k 或64k . 9. 答案：A解析；函数y x =+1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是增函数，∴函数的最小值为12，无最大值. 10. 答案：C解析：()22()444(2)4f x x x a x a =--+++=--++，∴函数()f x 图象的对称轴为直线2x =，()f x ∴在[0,1]上单调递增.又min ()(0)2f x f a ===-，max ()(1)1421f x f ∴==-+-=.11.答案：6解析：在同一坐标系中分别作出函数41,4,8y x y x y x =+=+=-+的图象后，取位于下方的部分得函数()min{41,4,8}f x x x x =++-+的图象，如图所示，由图象可知，函数()f x 在2x =时取得最大值6. 12.答案：13a <解析：函数2()68f x x x =-+的图象如图所示，()f x ∴的单调递减区间为(,3],13a -∞∴<.13.答案：见解析解析：（1）当12a =时，1()22f x x x=++. 设121x x <，则()()()212112112f x f x x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.1221121,0,22x x x x x x <∴->>，12121110,10222x x x x ∴<<∴->. ()()210f x f x ∴->，即()()12f x f x <.()f x ∴在区间[1,)+∞上为增函数. ()f x ∴在区间[1,)+∞上的最小值为7(1)2f =. （2）在区间[1,)+∞上()0f x >恒成立220x x a ⇔++>恒成立.设22,[1,)y x x a x =++∈+∞，则函数222(1)1y x x a x a =++=++-在区间[1,)+∞上是增函数.所以当1x =时，y 取最小值，即min 3y a =+，于是当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-. 14.答案：见解析解析：（1）令12x x =，则()()1111(1)0x f f f x f x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.（2）任取12,x x 满足120x x <<，则22111,0x x f x x ⎛⎫>∴< ⎪⎝⎭. ()()2211x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()()210f x f x ∴-<，即()()12f x f x >，()f x ∴在(0,)+∞上是减函数.（3）9(3)(9)(3)3f f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，(9)2(3)2f f ∴==-.又()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x ∴在[2,9]上是减函数.()f x ∴在[2,9]上的最小值为(9)2f =-.15. 答案：D解析：()(),(4)(4)f f f f ππ-=-=，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，(3)()(4),(3)()(4)f f f f f f ππ∴<<∴<-<-.16. 答案：C解析：因为函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >-+，所以29m m >-+，即3m >. 17.答案：见解析解析：（1）由题意得(4)(22)(2)(2)1f f f f =+=+-. 又(4)5,(2)3f f =∴=.（2）函数()f x 是定义在[0,)+∞上的减函数，且(2)(2)f m f -，22,2 4.20,m m m -⎧∴∴<⎨->⎩ ∴不等式(2)3f m -的解集为{|24}m m <.。

新版精选2019高中数学单元测试《圆锥曲线方程》模拟考核题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2012课标文）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点,||AB =则C 的实轴长为（）A B ．C ．4D ．82．（2010湖北文9）若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（）A.[1-1+B.[1,3]C.[-1,1+D.[1-3．（2002北京文10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A ．x ＝±y 215B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43 D ．y ＝±x 434．(2006福建理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞5．（2004湖南理）如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（） A ．513 B ．13 C ．5 D ．135 6．（2009四川卷理）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（） A.2 B.3 C.115 D.3716【解析1】直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线1:4360l x y -+=的距离，即25|604|min =+-=d ，故选择A 。

2019-2019学年北师大版必修一函数的单调性课时作业

课时跟踪检测（八）函数的单调性层级一学业水平达标1.如图是函数y ＝f (x )的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图像，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B.2．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0”的是( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x 解析：选C f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A 、B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1,2 D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析：选D 由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图像的对称轴为x ＝32且开口向上，所以该函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，32，故选D. 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0在R 上是( ) A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性解析：选B 画出该分段函数的图像，由图像可知，该函数在R 上是增函数．5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：选D 显然A 、B 在(0,2)上为减函数，排除；对C ，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合条件；对D ，函数在⎝⎛⎭⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数．故选D.6.函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：(－∞，1 和(1，＋∞)7．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是________．解析：由题意知m 4≤－2，解得m ≤－8. 答案：(－∞，－88．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －3)＜f (2－x )，则x 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的增函数，又∵f (x －3)＜f (2－x )，∴x －3＜2－x ，∴x ＜52，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，52. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，52 9．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x 2＞x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1)＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2＞x 1≥2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞4，即x 1＋x 2－4＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．10．已知函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x ＞0，y ＞0，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且满足f (2)＝1.(1)求f (1)，f (4)的值；(2)求满足f (x )－f (x －3)＞1的x 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，而f (2)＝1.∴f (4)＝2×1＝2.(2)由f (x )－f (x －3)＞1，得f (x )＞f (x －3)＋1，而f (x －3)＋1＝f (x －3)＋f (2)＝f (2(x －3))，∴f (x )＞f (2(x －3))．∵函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，x －3＞0，x ＞2(x －3)，解得3＜x ＜6.∴x 的取值范围是(3,6)．层级二应试能力达标 1．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定解析：选D 根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.2．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2－1)＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a )解析：选D ∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋1＞a .∴f (a 2＋1)＜f (a )．而A 、B 、C 中的大小关系均无法判断．故选D.3．函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，则y ＝f (x ＋5)的单调增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2,3)D ．(0,5)解析：选B ∵函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，∴y ＝f (x ＋5)的单调增区间满足－2＜x ＋5＜3，解得x ∈(－7，－2)，此即为函数y ＝f (x ＋5)的单调增区间，故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x在区间[1,2 上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1解析：选D 因为g (x )＝a x在区间[1,2 上是减函数，所以a ＞0.因为函数f (x )＝－x 2＋2ax 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝a ，且函数f (x )在区间[1,2 上为减函数，所以a ≤1.故满足题意的a 的取值范围是(0,1 ．5．已知y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则f⎝⎛⎭⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小关系为________________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34， ∴由函数的单调性知f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34.答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫346．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2b －1)x ＋b －1，x ＞0，－x 2＋(2－b )x ，x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________．解析：要使此分段函数为R 上的增函数，必须使函数g (x )＝(2b －1)x ＋b －1在(0，＋∞)上是增函数；函数h (x )＝－x 2＋(2－b )x 在(－∞，0 上是增函数，且满足h (0)≤g (0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，－2－b 2×(－1)≥0，0≤b －1，解得1≤b ≤2.即实数b 的取值范围是[1,2 ．答案：[1,27．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．解：设－2＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)(x 2＋2)(x 1＋2)＝(x 2－x 1)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)，∵－2＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，故当a ＜12时，f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x )在(－2，＋∞)是减函数．当a ＞12时，f (x 2)－f (x 1)＞0，∴f (x )在(－2，＋∞)是增函数．综上得，a ＜12时，f (x )在(－2，＋∞)是减函数；a ＞12时，f (x )在(－2，＋∞)是增函数．8．已知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＞0，f (3)＝1.判断g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3上是增函数还是减函数，并加以证明．解：函数在(0,3 上是减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈(0,3 ，且x 1＜x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)＋1f (x 1)－⎣⎡⎦⎤f (x 2)＋1f (x 2)＝[f (x 1)－f (x 2) ⎣⎡⎦⎤1－1f (x 1)f (x 2). ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＜0. 又∵f (x )＞0，f (3)＝1，∴0＜f (x 1)＜f (x 2)≤f (3)＝1. ∴0＜f (x 1)f (x 2)＜1.∴1f (x 1)f (x 2)＞1,1－1f (x 1)f (x 2)＜0. ∴g (x 1)－g (x 2)＞0，于是函数g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3 上是减函数．。

高中数学北师大版(2019)必修第二册第一章单元测试卷及答案

北师大版（2019）数学必修第二册第一章单元测试题一、单选题 1．11cos 3π=（）A B ．C ．12-D ．122．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15-B ．3715C ．3720D ．13153．点()sin 2019,cos 2019A 位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位 5．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．已知51cos 123πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2ππα-<<-，则cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）AB ．13C ．13-D． 7．已知tan 3θ=，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于A ．32-B ．32C ．0D ．238．设322sin,cos ,tan 555a b c πππ===，则 A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<二、多选题9．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移6π个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（） A ．()102f =B ．函数()y f x =的图象关于直线6x π=对称C ．函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()y f x =的图象关于直线12x π=对称 10．已知函数()1212()tan ,,,22f x x x x x x ππ⎛⎫=∈-≠ ⎪⎝⎭,则下列结论中正确的是A ．()()11f x f x π+=B ．()()11f x f x -=C ．()()12120f x f x x x ->-D ．()()()121212022f x f x x x f x x ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭11．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论中正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在区间()0,π上递减 C ．()f x 为周期函数D ．()f x 的值域为[]1,1-12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,0A ωϕπ>><<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列判断正确的是（） A ．函数()sin()f x A x ωϕ=+中,2T πω==B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心D ．函数1y =与35()1212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π三、填空题13．cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为________．14．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为___cm. 15．已知函数f （x ）＝sin （3x －4π），x∈[2π，π]，则函数f （x ）的单调递增区间为__________．16．tan(2)3x π+≥．．为_____________________________________四、解答题17．设函数()sin(),0,0,2f x A x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 的部分图象如图所示，求()f x 的表达式．18．求下列函数的定义域：（1）y =（2）lg(1)y x =.19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω，π<ϕ)的一段图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若3ππ,84x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.20．方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．21．已知函数()()2cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值.22．已知函数2()sin sin 1f x x a x =-++ （1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若当0a >时，函数()f x 的最大值是3，求实数a 的值；参考答案 1．D 【分析】利用诱导公式化简可直接求得结果. 【详解】 111coscos 4cos 3332ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：D. 2．D 【详解】因为角α的终边经过点()3,4-,所以5r =,则43sin ,cos 55αα=-=,即113sin cos 15αα+=.故选D ． 3．C【详解】2019=5360+2192019⨯∴，为第三象限角，则sin 20190,cos 20190<<，∴点()sin 2019,cos 2019A 在位于第三象限角，故选C.4．D 【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得结论．【详解】解：sin(2)sin 2()612y x x ππ=-=-，故将函数sin 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得sin(2)6y x π=-的图象，故选：D ． 5．A 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．D 【分析】先利用诱导公式51cos 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简得，1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后利用同角三角函数的关系求cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】依题意551cos sin sin 12212123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于2ππα-<<-，所以713121212πππα<-<，故cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】此题考查诱导公式和同角三角函数间的关系，属于基础题. 7．B 【详解】因为tanθ=3，∴()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 333.cos sin 1tan 132θθθθ---===--- 故选B ． 8．D 【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【详解】 sin35π＝cos （2π﹣35π）＝cos （﹣10π）＝cos 10π，而函数y ＝cosx 在（0，π）上为减函数，则1＞cos 10π＞cos 25π＞0，即0＜b ＜a ＜1，tan 25π＞tan 4π＝1，即b ＜a ＜c ，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题.9．ABC 【分析】利用正弦函数的周期性以及图像的对称性，求出函数的解析式，再根据函数()()sin f x x ωϕ=+的图像变化规律、正弦函数的图像的对称性，得出结论. 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，故()()sin 2f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移6π个单位后，得到()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据得到的图象对应的函数为偶函数，可得32ππϕ+=，6πϕ∴=，故()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，对于A ，()10sin 62f π==，故A 正确；对于B ，当 6x π=时，则sin 1636f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，55sin 01266f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，sin sin 12663f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选：ABC 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换以及三角函数的性质，解题的关键是求出函数的解析式，属于基础题. 10．AC 【分析】根据正切函数的周期性可得A 正确，根据奇偶性判断B 错误，根据单调性判断C 正确，结合函数图象即可判断D 错误. 【详解】()tan f x x =的周期为π,故A 正确；函数()tan f x x =为奇函数,故B 不正确；C 表明函数为增函数，而()tan f x x =为区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的增函数,故C 正确；由函数()tan f x x =的图像可知，函数在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭,在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭,故D 不正确.故选：AC 【点睛】此题考查正切函数图象性质的辨析，涉及单调性，奇偶性周期性，结合图象理解凹凸性. 11．AC 【分析】根据奇偶性的定义判断出()f x 为偶函数，A 正确；通过,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 解析式，可知不满足单调递减定义，B 错误；通过分类讨论的方式去掉解析式的绝对值，得到分段函数的性质，可确定函数最小正周期，知C 正确；根据余弦函数值域可确定()f x 值域，知D 错误. 【详解】()()()()cos cos cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴为偶函数，A 正确；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos cos 0f x x x =-=，不满足单调递减定义，B 错误；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()2cos f x x =；当32,222x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()0f x = ()f x ∴是以2π为最小正周期的周期函数，C 正确；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()[]2,2f x ∈-，故()f x 值域为[]22-,，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查与余弦型函数有关的函数的性质及值域的相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性、单调性、周期性和值域的求解；关键是能够通过分类讨论的方式确定函数在不同区间内的解析式，进而研究函数性质. 12．ACD 【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】解：函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0)ϕπ<<的图象关于点5(,0)12M π成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3N π-，则2543124T πππ=-=， T π∴=，进一步解得22πωπ==，3A =，故A 正确．由于函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0)ϕπ<<的图象关于点5(,0)12M π成中心对称，52()12k k Z πϕπ∴⨯+=∈，解得56k ϕπ=π-，由于0ϕπ<<，∴当1k =时，6π=ϕ． ()3sin(2)6f x x π∴=+．对于B ：当2x π=时，3()3sin262f ππ=-=-，故B 不正确；对于C ：由26x k ππ+=，k Z ∈，解得212k x ππ=-，k Z ∈，当0k =时，对称中心为：,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ：由于：351212xππ-，则：0266x ππ+，∴函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标从左到右分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，由2262x k πππ+=+，k Z ∈，解得6x k ππ=+，k Z ∈，所以12263x x ππ+=⨯=，432263x x ππππ⎛⎫+=⨯+=+ ⎪⎝⎭，5622463ππx x ππ⎛⎫+=⨯+=+ ⎪⎝⎭，所以156423247333x x x x x x ππππππ+++++=++++=所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π，故D 正确．∴正确的判断是ACD ．故选：ACD ． 13．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由02xπ，可得663x πππ--，结合余弦函数的性质即可求解．【详解】解：02xπ， ∴663x πππ--，∴1cos()126x π- 即112y ，即1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14．6π＋40 【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角310πα=，再由扇形的弧长公式，可得弧长l ，即可求解扇形的周长，得到答案. 【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角35410πα==， ∴由扇形的弧长公式，可得弧长6l r απ=⋅=， ∴扇形的周长为(640)cm π+. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15．711,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将π34x -代入三角函数的递增区间，求得的x 的范围，然后对k 进行赋值，从而求得在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内的增区间. 【详解】令232242k x k πππππ-+≤-≤+ ()Z k ∈，解得323244k x k ππππ-+≤≤+ ()Z k ∈，故2212343k k x ππππ-+≤≤+ ()Z k ∈，令1k =，解得7111212x ππ≤≤，故函数的单调递增区间为711,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查正弦型类型的三角函数的单调区间的求法，采用的是先求得所有的增区间，然后对k 进行赋值，来求得给定区间内的单调增区间. 16．{|,}2212k k x x k Z πππ≤<+∈ 【分析】由题得2,332k x k k Z πππππ+≤+<+∈，解不等式得不等式的解集.【详解】由题得2,332k x k k Z πππππ+≤+<+∈，所以2,,62212k k k x k x k Z ππππππ≤<+∴≤<+∈. 所以不等式的解集为{|,}2212k k x x k Z πππ≤<+∈. 故答案为{|,}2212k k x x k Z πππ≤<+∈ 【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，考查三角不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.17．()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【分析】通过图像最高点的纵坐标即可求得A ，然后根据图像求最小正周期，再根据最小正周期公式求ω，再通过代点并结合ϕ的范围即可求解. 【详解】由图象可得1A =，32=48844T ππππω=-=， ∴2ω=，从而()sin(2)f x x ϕ=+，又∵点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数的图象上，∴sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而2,42k k ππϕπ+=+∈Z ，即2,4k k πϕπ=+∈Z ，∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4πϕ=，故()f x 的表达式：()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故答案为：()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.18．（1）22/,2cot ()33x k πππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）3572,22,2()4444x k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z .【分析】（1）由题可得2sin 0x ，即3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案；（2）由题可得1010x x ⎧->⎪⎨+⎪⎩即cos x <，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案.【详解】（1）∵2sin 0x ≥，∴3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得22,2()33x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .①（2）∵1010x x ⎧>⎪⎨+⎪⎩∴cos x <，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可得3572,22,2()4444x k k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z .② 【点睛】本题考查借助三角函数线解三角不等式问题，属于基础题.19．（1）5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）2⎡⎤⎣⎦ 【分析】（1）易知2A =，由13ππ288T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，及2πT ω=，可求出ω，进而将点π,28⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 中，可求出ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而求出单调递增区间即可；（2）由x 的范围，可求出3π24x +的范围，再结合正弦函数的性质，可求出()f x 的值域. 【详解】（1）由题意可知2A =，因为13πππ2882T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以πT =，所以2π2Tω==，此时()()2sin 2f x x ϕ=+，把点π,28⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 表达式，得πsin 14ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ-+=+，即3π2π4k ϕ=+，又πϕ<，故3π4ϕ=，故()3π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π3ππ2π22π242k x k -+≤+≤+()k ∈Z ，解得5ππππ88k x k -+≤≤-+()k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵3ππ,84x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴3π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当3π5π244x +=即π4x =时，()f x 取得最小值，()min 5π2sin 4f x == 当3ππ242x +=即π8x =-时，()f x 取得最大值，()max π2sin 22f x ==.∴函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用三角函数的图象求函数的解析式，考查求三角函数的值域，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 20．(]1,0- 【分析】作出cos ,,3y x x π⎡⎤=∈-π⎢⎥⎣⎦与12a y -=的大致图象，结合图象交点的个数即可得到结果.【详解】作出cos ,,3y x x π⎡⎤=∈-π⎢⎥⎣⎦与12a y -=的大致图象，如图所示．由图象，可知当11122a -≤<，即10a -<≤时， cos ,,3y x x π⎡⎤=∈-π⎢⎥⎣⎦的图象与12a y -=的图象有两个交点，即方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围为(]1,0-．【点睛】本题主要考查了余弦函数在给定区间内的图象，将题意转化为两图象交点的个数是解题的关键，属于中档题.21．（1）()7,1212k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，()122k x k ππ=-+∈Z ；（2）()max 2f x =，()min f x =【分析】（1）利用函数的最小正周期求出()f x ，利用余弦函数的单调增区间和对称轴求出答案；（2）利用,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 的最大值和最小值．【详解】（1）由题意知2T ππω==，解得2ω=，所以()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()2226k x k k ππππ-+≤+≤∈Z ，解得()71212k x k k ππππ-+≤≤-+∈Z ，故函数的单调递增区间为()7,1212k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z .令()26x k k ππ+=∈Z ，解得,122k x k ππ=-+∈Z ，所以()f x 的对称轴为()122k x k ππ=-+∈Z .（2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴当206x π+=时，()max 2f x =.当5266x ππ+=时，()min f x =所以,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x =，()min f x =【点睛】本题考查三角函数的性质，考查余弦函数的单调性和最值，考查对称中心的求法，属于中档题．22．（1）514⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）3【分析】（1）1a =时，可得到2()sin sin 1f x x x =-++，可令t ＝sin x ，并得到二次函数y ＝﹣t 2+t +1，配方即可求出该函数的最大、最小值，即得出f （x ）的值域；（2）化简f （x ）并配方得到22()sin 124a a f x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，讨论：2a ≥，02a <<，分别求出对应的f （x ）的最大值，根据f （x ）的最大值为3，即可求出实数a 的值．【详解】解：（1）当1a =时，2()sin sin 1f x x x =-++，令t ＝sin x ， 1-≤t ≤1；则2215124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当12t =时，函数()f x 的最大值是54，当1t =-时，函数()f x 的最小值是1-， ∴函数()f x 的值域514⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，（2）当0a >时，222()sin sin 1sin 124a a f x x a x x ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭当1,22aa ≥≥时，当且仅当sin 1x = 时，max ()f x a =，又函数()f x 的最大值是3，∴3a =；当当01,022a a <<<<时，当且仅当sin 2a x = 时，2max ()14a f x =+，又函数()f x 的最大值是3，∴2134a+=，∴a =02a <<，不适合题意；综上：实数a 的值为3 【点睛】本题考查正弦型二次函数的最值与值域，考查换元法与分类讨论思想，属于中档题.。

北师大版(2019)高中数学选择性必修第一册第二章《圆锥曲线》检测卷(含答案)

北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《圆锥曲线》检测卷一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1．双曲线22115x y -=的焦点坐标是（）A ．)(B ．(0,C ．)(4,0±D ．)(0,4±2．“31m -<<”是“方程22131x y m m+=+-表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =（） A ．4B ．6C ．8D ．104．已知椭圆2214x y +=上一动点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之积为q ，则q 取最大值时，12PF F △的面积为（）A ．1B C ．2D ．5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）A ．B ．6C ．D ．126．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若PT ，则PTF ∠＝（）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒7．设双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线E 在第二象限上的点，直线BO 交双曲线E 于另一个点C （O 为坐标原点），若直线BA 平分线段FC ，则双曲线E的离心率为（）8．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（）A B C D 9．直线l 过点（2，1），且与双曲线2214x y -=有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．过抛物线214y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l 的倾斜角为45︒，则线段AB 的中点到x 轴的距离是（） A ．12B ．2C ．4D ．311．已知双曲线()222104x y b b-=>0y -=，右焦点为F ，点M 在双曲线左支上运动，点N 在圆()2231x y ++=上运动，则MN MF +的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．912．如图，点A ，B ，C 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点F 在AB 上，AC 与x 轴交于点D ，AF AD =，AB BC ⊥，则FD =（）二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左､右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=________.14．过点，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为________．15．过抛物线22y x =的焦点且与对称轴垂直的弦长为__________.16．已知抛物线)(220y px p =>上一点)(2,m 到焦点的距离为4，准线为l ，若l 与双曲线)(2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线所围成的三角形面积为C 的离心率为________.三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率是23，长轴长是6；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．18．（12分）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，Q 1(2在抛物线C 上，且|QF |=32.（1）求抛物线C 的方程及t 的值；（2）若过点M （0，t ）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且3AOBMONS S=，求直线l 的方程.19．（12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A，若12AF F S =△121sin 2AF F ∠=. （Ⅰ）求E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 交E 于P ，Q 两点，设PQ 中点为M ，Q 为坐标原点，2PQ OM =，过点O 作ON PQ ⊥，求证：ON 为定值.20．（12分）已知()1,2P 在抛物线C ：22y px =上. （1）求抛物线C 的方程；（2）A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.21．（12分）已知中心在原点，焦点为1F ()2,0-，2F ()2,0的椭圆经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆方程；（2）若M 是椭圆上任意一点，1MF 交椭圆于点A ，2MF 交椭圆于点B ，求1212MF MF F AF B+的值.22．（12分）已知1A ，2A 是椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)上不同的两点，P 为椭圆上异于1A ，2A 的点.（1）证明：若1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，则1PA 的斜率与2PA 的斜率之积为定值；（2）探讨若1A ，2A 为椭圆C 上关于原点对称的两点，P 仍为C 上异于1A ，2A 的点，若1PA 的斜率和2PA的斜率都存在，是否仍有（1）中的结论呢？请说明理由；（3）类比椭圆中的结论，双曲线C'：22221x ya b-=(0a>，0b>)中是否具有类似（1）的结论，若有，写出该定值(不必证明)；若没有，请简要说明理由.参考答案1．C 【分析】根据双曲线方程可得实半轴长a ，虚半轴长b ，再由关系式222c a b =+求解即得. 【详解】双曲线实半轴长a ，虚半轴长b ，依题意得2215,1a b ==，设双曲线半焦距为c ，则22216c a b =+=，解得4c =，又双曲线焦点在x 轴上，所以焦点坐标是)(4,0±. 故选：C 2．B 【分析】先求出给定方程表示椭圆的等价条件构成的集合，再与集合(3,1)-比对即可判断得解. 【详解】方程22131x y m m+=+-表示椭圆，则有301031m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得3<1m -<-或11m -<<，于是得方程22131x y m m+=+-表示椭圆的m 取值集合为(),111)3(,---，显然，(),111)3(,--- (3,1)-，所以“31m -<<”是“方程22131x y m m+=+-表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 3．B 【分析】根据给定条件画出图形，借助几何图形及抛物线定义即可得解. 【详解】不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线:2l x =-交x 轴于点F '，作NA l ⊥于点A ，MB l ⊥于点B ，如图，而点(2,0)F ，M 为FN 的中点，则2432，，NA FF NA FF MF MB '+'=====，所以26FN MF ==. 故选：B 4．B 【分析】根据椭圆定义12||||2PF PF a +=，结合基本不等式求出12||,||PF PF ，进而求出面积. 【详解】根据椭圆定义，12||||24PF PF a +==，则12||||44PF PF q +=≥=≤，当且仅当12||||2PF PF ==时取“=”，此时三角形是等腰三角形，易知1,b c =所以12PF F △的面积为112122c b ⋅⋅=⋅=故选：B. 5．C 【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答. 【详解】由椭圆23x ＋y 2＝1知，该椭圆的长半轴aA 是椭圆的一个焦点，设另一焦点为F ，而点F 在BC 边上，点B ，C 又在椭圆上，由椭圆定义得2,2BA BF a CF CA a +=+=，所以ABC 的周长4l AB BC CA AB BF CF CA a =++=+++==故选：C 6．B 【分析】过点P 做抛物线准线的垂线，垂足为P '，根据抛物线的定义，结合条件，可求出P PT '∠，由P PT '∠=PTF ∠，即可求解. 【详解】过点P 做抛物线准线的垂线，垂足为P '，||||,|P P PF PT P P ''==，在Rt PP T '中，||cos ||P P P PT PT ''∠=， 30,30P P PT P P T T F ''∴∠=︒∴∠=∠=︒.故选:B.7．A 【分析】由给定条件写出点A ，F 坐标，设出点B 的坐标，求出线段FC 的中点坐标，由三点共线列式计算即得. 【详解】令双曲线E 的半焦距为c ，点(,0),(,0)A a F c ，设0000(,)(0,0)B x y x y <>，由双曲线对称性得00(x ,)C y --，线段FC 的中点00(,)22c x yD --，因直线BA 平分线段FC ，即点D ，A ，B 共线，于是有ABAD k k =，即00000000222y y y y c x x a x a a c x a =⇔=----+-，即3c a =，离心率3c e a ==.故选：A 8．B【分析】令双曲线E 的左焦点为F '，连线即得PFQF '，设FR m =，借助双曲线定义及直角F PR '用a 表示出|PF|，||PF '，再借助Rt F PF '即可得解. 【详解】如图，令双曲线E 的左焦点为F '，连接,,PF QF RF '''，由对称性可知，点O 是线段PQ 中点，则四边形PFQF '是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有PFQF '是矩形，设FR m =，则|||2∣PF FQ m '==，||22PF m a =-，||2,||32RF m a PR m a '=+=-，在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去），从而有82,||33a a PF PF ='=，Rt F PF '中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22179c a =，c e a ==所以双曲线E ．故选：B 9．B 【分析】按l 的斜率存在与否写出直线l 的方程，利用方程组有唯一解即可作答. 【详解】直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：(21)y kx k =--，由22(21)440y kx k x y =--⎧⎨--=⎩得222(14)8(21)4[(21)1]0k x k k x k -+---+=， 12k =时，40-=不成立，方程组无解，12k =-时，解得53,24x y ==，方程组有唯一解，即直线l 与双曲线有唯一公共点，2140k -≠时，222264(21)16(41)[(21)1]16(42)0k k k k k ∆=----+=--≠，即直线l 的斜率存在时，符合条件的直线只有一条，当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =2，代入双曲线方程得y =0，即直线l 与双曲线也有唯一公共点，所以符合条件的直线有2条. 故选：B 10．D 【分析】由题设知直线l 为1y x =+，联立抛物线方程，应用韦达定理易得AB 的中点横坐标，根据中点在直线1y x =+上求纵坐标，即可得线段AB 的中点到x 轴的距离. 【详解】由题意，抛物线为24x y =，则(0,1)F ，即直线l 为1y x =+，∴将直线方程代入抛物线整理得：2440x x --=，令11(,)A x y ，22(,)B x y ， ∴124x x +=，故线段AB 的中点的横坐标为1222x x +=代入直线l ，得：3y =. ∴线段AB 的中点到x 轴的距离是3. 故选：D 11．C 【分析】先由双曲线渐近线求出b ，记双曲线的左焦点为'F ，利用2'MF a MF =+，得'2MN MF MN MF a +=++，再由两点之间线段最短求出'MN MF +的最小值，然后得出答案. 【详解】由双曲线方程()222104x y b b-=>，得2a =，所以渐近线方程为2b y x =±0y -=，得b =所以双曲线方程为221412x y -=，点()4,0F记双曲线的左焦点为()'4,0F -，且点M 在双曲线左支上，所以4'MF MF =+ 所以'4MN MF MN MF +=++由两点之间线段最短，得'4MN MF ++最小为'4F N + 因为点N 在圆()2234x y ++=上运动所以'F N 最小为点'F 到圆心()0,3-的距离减去半径1 所以'514min F N =-= 所以MN MF +的最小值为8 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键. 12．B 【分析】设出点A ，B ，C 的坐标，利用直线AB ，AC ，BC 斜率的关系建立等式即可得解. 【详解】依题意设222112233(,2),(,2),(,2)A y y B y y C y y ，则直线AB ，AC ，BC 斜率分别为：12221212132322222,,AB AC BC y y k k k y y y y y y y y -====-+++，因AF AD =，则1213220AB AC k k y y y y +=+=++，即2312y y y +=-，则23121BC k y y y ==-+，因F (1，0)在直线AB 上，则12121AB yk y =-，而AB BC ⊥，有1AB BC k k ⋅=-，即21121121()131y y y y ⋅-=-⇒=-，点A 在直线3x =上，又AFD 是等腰三角形，点F ，点D 关于直线3x =对称，所以点D 坐标为(5，0)，|FD|=4. 故选：B 13．34【分析】根据给定条件结合双曲线定义求出|PF 1|、|PF 2|与|F 1F 2|，再借助余弦定理计算即得. 【详解】双曲线C ：x 2-y 2=2，即22122x y -=，其实半轴长a =c有2c =，由双曲线定义有|PF 1|-|PF 2|=2a=而|PF 1|=2|PF 2|，则|PF 1|=|PF 2|=而|F 1F 2|=4，则cos ∠F 1PF 2=222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-⋅34=. 故答案为：3414．221204y x +=【分析】由题设条件设出椭圆方程22221y x a b +=，再列出关于a 2与b 2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆221259y x +=的焦点相同，则其焦点在y 轴上，半焦距c 有c 2=25-9=16，设它的标准方程为22221y x a b+= (a ＞b ＞0)，于是得a 2-b 2=16，又点在所求椭圆上，即22531a b +=，联立两个方程得2253116b b+=+，即222()8480b b +-=，解得b 2=4，则a 2=20，所以所求椭圆的标准方程为221204y x +=.故答案为：221204y x +=15．2 【分析】求出过抛物线22y x =的焦点且与x 轴垂直的直线，再求出它与抛物线交点坐标即可得解. 【详解】抛物线22y x =的焦点1(,0)2F ，对称轴是x 轴，经过点F 垂直于x 轴的直线l ：12x =，由2122x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，于是得直线l ：12x =与抛物线二交点11(,1),(,1)22A B -，||2AB =，所以所求弦长为2. 故答案为：216【分析】由给定条件求出抛物线的准线l 的方程，再求出准线l 与双曲线C 的两条渐近线的交点即可作答. 【详解】依题意，抛物线)(220y px p =>准线l ：2px =-，由抛物线定义知2()42p --=，解得4p =，则准线l ：2x =-，双曲线C 的两条渐近线为by x a =±，于是得准线l 与二渐近线交点为22(2,),(2,)b b A B a a ---，原点为O ，则AOB 面积14||22AOBbSAB a =⋅==b a双曲线C 的半焦距为c ，离心率为e ，则有22222312c b e a a ==+=，解得e =所以双曲线C17．（1）22195x y +=或22159x y +=；（2）221189x y +=．【分析】（1）根据离心率与长轴的定义求解椭圆的,,a b c 即可（2）根据△A 1F A 2为一等腰直角三角形，利用勾股定理求解,,a b c 的关系即可【详解】解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>或()222210y x a b a b+=>>．由已知得2a ＝6，23c e a ==，所以a ＝3，c ＝2．所以b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5．所以椭圆方程为22195x y +=或22159x y +=．（2）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3所以a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为221189x y +=．18．（1）y 2=4x ，2；（2）2y x =-+或123=+y x .【分析】(1)利用抛物线定义求出p 值即可作答；(2)设出直线l 的方程，再联立直线l 与抛物线C 的方程消去y ，根据条件探求线段AB 与MN 长度关系即可作答. 【详解】（1）因抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，则其准线为：2p x =-，又Q 1(2在抛物线C 上，由抛物线定义知：13()222Q p F =--=，解得p =2，即抛物线C 的方程为y 2=4x ，将Q 1(2的坐标代入y 2=4x ，得t =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，t 的值是2；（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由(1)知M (0，2)，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：y =kx +2(k ≠0)，由242y x y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得k 2x 2-4(1-k )x +4=0，显然，k ≠0，2216(1)1616(12)0k k k ∆=--=->，解得12k <，且0k ≠，于是得1212224(1)4,k x x x x k k -+==，而3AOBMONSS=，且点A ，B ，M ，N 都在直线l 上，从而得||3||AB MN ，120|0|x x x --，又N 是AB 的中点，即x 0=122x x +，从而得1212|||x x x x -=+，即221212123()4()4x x x x x x +-=+，整理得21212()16x x x x +=，因此有2224(1)64[]k k k -=，解得1k =-或13k =，均满足题意，所以直线l 的方程为2y x =-+或123=+y x . 19．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题设知，12AF F Sbc =，12sin bAF F a∠=，即可求参数，写出椭圆方程.（Ⅱ）由题设易证OP OQ ⊥，若直线l 斜率不存在或为0时根据对称性易得ON =若直线l 斜率存在且不为0时，设直线l 为(0)y kx m m =+≠，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理求12x x ，12y y ，由12120OP OQ x x y y ⋅=+=即可得||m =，又||ON =，则ON 为定值得证.【详解】（Ⅰ）由椭圆的性质知，12122AF F S c b =⋅⋅=△121sin 2b AF F a ∠==.又222a b c =+，解得2a =，1b =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，点M 为PQ 与x 轴的交点，2PQ OM =.设点(),P m m ，代入椭圆E 的方程，解得m =.当直线l 的方程为x =P ⎝⎭，Q ⎝⎭，44055OP OQ ⋅=-=成立，同理当直线l 的方程为x =时也成立，ON m =. 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为y kx m =+，代入2214x y +=，消去y 得()222418440k x kmx m +++-=，()()222264441440k m k m ∆=-+->，所以22410k m -+>.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+. 因为2PQ OM =，则OP OQ ⊥，所以12120OP OQ x x y y ⋅=+=， ()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，所以2222444041m m k OP OQ k -+-⋅==+，整理得22514k m +=. 坐标原点O 到直线l的距离ON 为定值；综上所述，ON. 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的位置关系，（Ⅰ）根据椭圆的性质，利用焦点三角形的面积及对应角的正弦值得到椭圆参数方程组，进而求参数，写出方程.（Ⅱ）当直线斜率存在且不为0时，由已知线段的数量关系可得OP OQ ⊥，设直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理求12x x 、12y y ，由0OP OQ ⋅=即可求ON . 20．（1）22y x =；（2）证明见解析. 【分析】(1)把点P 的坐标代入即可得解；(2)设出直线AB 方程，联立直线AB 与抛物线C 的方程组，借助韦达定理及直线P A 与PB 斜率和为2即可得解. 【详解】（1）将P 点坐标代入抛物线方程22y px =得42p =，即2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）设AB ：x my t =+，将AB 的方程与24y x =联立得2440y my t --=， 220161600m t m t ∆>=+>⇒+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y t ，1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理：242PB k y =+，由题意：1244222y y +=++，()()121212442224y y y y y y ++=+++，解得124y y ，有44t -=，即1t =-，故直线AB ：1x my =-恒过定点()1,0-.21．（1）221106x y +=；（2）143.【分析】（1）根据椭圆第一定义，结合两点距离公式求a ，即可写出椭圆方程. （2）法一：构建以左焦点为极点，12F F 为极轴建立极坐标系，椭圆方程为1cos epe ρθ=-(e为离心率且2a p c c =-)，设()1,M ρθ，()2,A ρπθ+即可求1MF 、1F A ，进而得到11MF F A 、22MF F B ；法二：设M ，A ， 1F 在左准线2a x c=-上的射影分别为1M ，1A ，Q ，利用相似比求11MF F A 、22MF F B，即可求1212MF MF F AF B+【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>.由椭圆定义知：2a =a 2c =， ∴2226b ac =-=，故椭圆方程为221106x y +=.（2）法一：以左焦点为极点，12F F 为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为1cos ep e ρθ=-(e 为离心率且2a p c c =-).设()1,M ρθ，()2,A ρπθ+，则111cos ep MF e ρθ==-，11cos epF A e θ=+.∴111cos 211cos 1cos MF e F A e e θθθ+==---，即11121MF MF F A ep =-.同理，有22221MF MF F B ep =-. ∴()2121212212222441014+1122263MF MF MF MF MF MF aF AF Bepepepb +⨯=-+-=-=-=-=. 法二：设M ，A ， 1F 在左准线2a x c=-上的射影分别为1M ，1A ，Q ，如下图，∴11MF MM e =，221a b FQ c c c =-=，11AF AA e=，由相似形及和分比定理得1111AM AF F M AF AF +=11111222112MF AF MF AF MF e e AF eb eb bAF c c c e--===--，∴112121MF MF eb AF c =-，同理，得222221MF MF eb BF c=-， ∴()21212221224401422263MF MF a MF MF eb AF BF b c +=+-=-=-=.【点睛】关键点点睛：第二问，通过构建极坐标系，利用椭圆极坐标方程求线段比，或利用M ，A ，1F 在准线上的射影，结合相似比求线段比，进而求目标式的值.22．（1）证明见解析；（2）结论仍成立，理由见解析；（3）有，定值为22b a.【分析】(1)写出点1A ，2A 的坐标，设出点P 的坐标，按给定要求经计算即可得证； (2)设出点1A 的坐标，可得2A 的坐标，按给定要求经计算即可得证；(3)将椭圆改为双曲线，结论中定值由负改正即可. 【详解】（1）设点P 的坐标为(),x y ，由题意，知()1,0A a -，()2,0A a ，则直线12,PA PA 的斜率分别为：1PA y k x a=+，2PA y k x a =-，12222PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，因点P 在椭圆C 上，即()22222b a x y a -=，所以()12222222221PA PA b a x b k k x a a a-⋅=⋅=--(定值)；（2）设()1,A m n ，则()2,A m n --，则1PA 的斜率1PA y n k x m -=-，2PA 的斜率2PA y nk x m+=+，于是有122222PA PA y n k k x m -⋅=-，又点1A ，P 都在椭圆C 上，即()22222b a x y a -=，()22222b a m n a-=，所以()12222222221PA PA b b k k m x x m a a⋅=⋅-=--(定值)，即结论仍成立；（3）椭圆改双曲线后有结论：在双曲线C '：22221x y a b -=(0a >，0b >)中，若1A ，2A 为双曲线C '的左右顶点，点P 为其上异于1A ，2A 的一点，则1PA 的斜率与2PA 的斜率之积为定值22b a.。

2019届北师大版(理科数学) 微专题1 高考中的函数与导数问题单元测试

微专题1高考中的函数与导数问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),g(x)=-x2-x.若f(x)=g(x)h(x),h(x)为一元二次函数,f(x)的最高次项的系数为-1,则f(x)的极小值点为()A.x=1B.x=1+C.x=1-D.x=1+或1-2.已知函数f(x)=x+e-x,若存在x∈R,使得f(x)≤ax成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1-e]B.(1,+∞)C.(1-e,1]D.(-∞,1-e]∪(1,+∞)3.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于直线x=1对称,其导函数为f'(x),当x<1时,2f(x)+(x-1)f'(x)<0,那么不等式(x+1)2f(x+2)>f(2)的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,-2)C.(-2,0)D.(-∞,-2)∪(0,+∞)4.若函数f(x)=m-x2+2ln x在[,e]上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为()A.(1,e2-2]B.[4+,e2-2]C.(1,4+]D.[1,+∞)二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知函数f(x)=e x+2x2-4x(e为自然对数的底数),则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程是.6.已知函数f(x)=ln(x+1)-2的图象的一条切线为y=ax+b,则的最小值是.三、解答题(共48分)7.(12分)已知f(x)=x2-2ax+ln x.(1)当a=1时,求f(x)的单调性;(2)若f'(x)为f(x)的导函数, f(x)有两个不相等的极值点x1,x2(x1<x2),求2f(x1)-f(x2)的最小值.8.(12分)已知函数f(x)=(x>0,a∈R).(1)讨论函数f(x)的零点的个数;(2)若函数g(x)=e x-ln x+2x2+1,且对于任意的x∈(0,+∞),总有xf(x)≤g(x)成立,求实数a的最大值.9.(12分)已知函数f(x)=a ln x-x+2,a∈R.(1)若函数f(x)有极值点,求a的取值范围;(2)若对任意的x1∈[1,e],总存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)=4,求实数a的值.10.(12分)已知函数f(x)=e1-x,g(x)=x2+ax-a(a∈R)(e为自然对数的底数).(1)求证:当a≥-2且x<1时,f(x)>g(x);(2)判断“a≤-4”是“φ(x)=f(x)·g(x)存在最小值”的什么条件,并予以证明.答案1.A解法一由题易知0,-1为方程g(x)=0的根,则0,-1为函数f(x)的零点.由于f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则2,3也为函数f(x)的零点,所以f(x)=-(x+1)x(x-2)(x-3)=-[x(x-2)][(x+1)(x-3)]=-(x2-2x)(x2-2x-3),f'(x)=-(2x-2)(x2-2x-3)-(x2-2x)(2x-2)=-4(x-1)(x2-2x-)=-4(x-1)(x-1+)(x-1-),令f'(x)>0,得x<1-或1<x<1+,令f'(x)<0,得1-<x<1或x>1+,所以x=1为函数f(x)的极小值点,故选A.解法二由题易知0,-1为方程g(x)=0的根,则0,-1为函数f(x)的零点.由于f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则2,3也为函数f(x)的零点,所以f(x)=-(x+1)x(x-2)(x-3).把函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为m(x)=f(x+1)=-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=-(x2-1)(x2-4)=-(x4-5x2+4),m'(x)=-4x(x2-)=-4x(x-)(x+),令m'(x)>0,则x<-或0<x<,令m'(x)<0,则-<x<0或x>,所以x=0为函数m(x)的极小值点,则x=1为函数f(x)的极小值点,故选A.2.D解法一可以考虑研究问题“对任意的x∈R,f(x)>ax恒成立”,即x+>ax在R上恒成立.①当x=0时,该不等式显然成立;②当x>0时,a<1+恒成立,设g(x)=1+,显然g(x)在(0,+∞)上单调递减,且当x→+∞时,g(x)→1,∴a≤1;③当x<0时,a>1+恒成立,由②知g'(x)=-,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,∴当x=-1时,g(x)有最大值,最大值为1-e,∴a>1-e,∴1-e<a≤1.∴实数a的取值范围为(-∞,1-e]∪(1,+∞).故选D.解法二利用导数工具研究函数f(x)的性质,得到函数f(x)的图象如图D 1-1所示.图D 1-1设直线y=kx与f(x)的图象相切,切点为(x0,x0+-),∴k=1--,∴切线方程为y=(1--)(x-x0)+x0+-=(1--)x+(x0+1)-,∴(x0+1)-=0,x0=-1,∴k=1--=1-e.又当x0→+∞时,k→1,∴直线y=x为f(x)图象的渐近线.数形结合知,实数a的取值范围为(-∞,1-e]∪(1,+∞).故选D.3.C由已知2f(x)+(x-1)f'(x)<0可构造函数φ(x)=(x-1)2f(x),则φ'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f'(x)=(x-1)[2f(x)+(x-1)f'(x)],当x<1时,φ'(x)>0,所以φ(x)在区间(-∞,1)上为增函数.点P(x0,y0)关于直线x=1的对称点P'(2-x0,y0),由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x0)=f(2-x0),而φ(2-x0)=(2-x0-1)2f(2-x0)=(x0-1)2f(x0)=φ(x0),所以,函数φ(x)的图象也关于直线x=1对称,所以φ(x)在区间(1,+∞)上为减函数.不等式(x+1)2f(x+2)>f(2)可化为φ(x+2)>φ(2),所以|x+2-1|<1,得-2<x<0,故选C.4.C令f(x)=m-x2+2ln x=0,则m=x2-2ln x.令g(x)=x2-2ln x,则g'(x)=2x-=(-)(),∴g(x)在区间[,1]上单调递减,在区间(1,e]上单调递增,∴g(x)min=g(1)=1,又g()=4+,g(e)=e2-2,4+<5,e2-2>2.72-2>5,∴g()<g(e),数形结合知,若函数f(x)在[,e]上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为(1,4+],故选C.5.e x-y-2=0f'(x)=e x+4x-4,∴切线的斜率k=f'(1)=e,当x=1时,f(1)=e+2-4=e-2,∴函数f(x)的图象在x=1处的切线方程是y-(e-2)=e(x-1)=e x-e,即e x-y-2=0.6.1-e2切线y=ax+b在x轴上的截距是-,欲求的最小值,只需求切线y=ax+b在x轴上的截距的最大值.因为f'(x)=>0,所以f(x)在(-1,+∞)上是增函数,零点是x=e2-1.如图D 1-2,作出函数f(x)的大致图象,结合图象可知f(x)的图象在点(e2-1,0)处的切线在x轴上的截距最大,最大值为e2-1.因此,的最小值是1-e2.图D 1-27.(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+ln x(x>0),f'(x)=2x-2+=-=(-)>0.(2分) 所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(3分) (2)f'(x)=2x-2a+=-,由题意得,x1和x2是方程2x2-2ax+1=0的两个不相等的正实数根,所以,,解得a>,-,2ax1=2+1,2ax2=2+1,(6分)由于>,所以x1∈(0,),x2∈(,+∞).(7分) 2f(x1)-f(x2)=2(-2ax1+ln x1)-(-2ax2+ln x2)=2--4ax1+2ax2-ln x2+2ln x1=-2+-ln-1=-+-ln 4-1=-+-ln -2ln 2-1.(9分) 令t=(t>),g(t)=-+t-ln t-2ln 2-1,则g'(t)=+1-=-=(-)(-),当<t<1时,g'(t)<0,当t=1时,g'(t)=0,当t>1时,g'(t)>0,所以y=g(t)在区间(,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,(11分) g(t)min=g(1)=-,所以2f(x1)-f(x2)的最小值为-.(12分) 8.(1)令f(x)=0,即x2+ax+1=0.设h(x)=x2+ax+1, 对于方程x2+ax+1=0,Δ=a2-4.①当Δ=a2-4<0,即-2<a<2时,h(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,所以当-2<a<2时,函数f(x)没有零点;(1分) ②当a=2时,h(x)=x2+2x+1=(x+1)2,所以h(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以当a=2时,函数f(x)没有零点;(2分) ③当a=-2时,h(x)=x2-2x+1=(x-1)2,由h(x)=0,得x=1,所以当a=-2时,函数f(x)有一个零点;(3分) ④当Δ=a2-4>0,即a<-2或a>2时,方程h(x)=0有两个不等实根,设方程h(x)=0的两个不等实根分别为x1,x2,且x1<x2,(i)当a<-2时,x1+x2=-a>0,x1x2=1>0,故x2>x1>0,所以当a<-2时,函数f(x)有两个零点;(4分) (ii)当a>2时,x1+x2=-a<0,x1x2=1>0,故x1<0,x2<0,因为函数f (x )的定义域为(0,+∞), 所以当a>2时,函数f (x )没有零点.(5分)综上,当a>-2时,函数f (x )没有零点; 当a=-2时,函数f (x )有一个零点;当a<-2时,函数f (x )有两个零点.(6分)(2)由题意知,对于任意的x ∈(0,+∞),总有x ·≤e x -ln x+2x 2+1成立,等价于对于任意的x ∈(0,+∞),总有a ≤-+x 成立,等价于a ≤(-+x )min (x>0).(7分)设φ(x )= -+x (x>0),则φ'(x )=( -) -( - )+1= ( - ) ( )( - ),因为x>0,所以当x ∈(0,1)时,φ'(x )<0,所以φ(x )在区间(0,1)上单调递减; (9分) 当x ∈(1,+∞)时,φ'(x )>0,所以φ(x )在区间(1,+∞)上单调递增. (10分) 所以φ(x )min =φ(1)=e +1,所以a ≤e +1. (11分) 所以实数a 的最大值为e +1.(12分)9.(1)因为f (x )=a ln x-x+2,x>0,所以f '(x )=-1=-,x>0,当a ≤0时,任意的x ∈(0,+∞),f '(x )<0,所以f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,此时无极值点; (1分) 当a>0时,令f '(x )=0,得x=a.因为x ∈(0,a )时,f '(x )>0,x ∈(a ,+∞)时,f '(x )<0,所以f (x )的单调递增区间为(0,a ),单调递减区间为(a ,+∞),此时函数f (x )有极大值点. (3分) 综上可知,实数a 的取值范围是(0,+∞).(4分)(2)①当a ≤1时,由(1)知,在[1,e]上,f (x )是减函数,所以f (x )max =f (1)=1. 因为对于任意的x 1∈[1,e],x 2∈[1,e],f (x 1)+f (x 2)≤2f (1)=2<4, 所以对于任意的x 1∈[1,e],不存在x 2∈[1,e],使得f (x 1)+f (x 2)=4.(6分) ②当1<a<e 时,由(1)知,在[1,a ]上,f (x )是增函数,在(a ,e]上,f (x )是减函数,所以f (x )max =f (a )=a ln a-a+2.因为对于任意的x1∈[1,e],x2∈[1,e],f(x1)+f(x2)≤2f(a)=2a(ln a-1)+4,又1<a<e,ln a-1<0,所以2a(ln a-1)+4<4,所以对于任意的x1∈[1,e],不存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)=4.(8分) ③解法一当a≥e时,由(1)知,在[1,e]上,f(x)是增函数,f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(e),由题意,对任意的x1∈[1,e],总存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)=4,则当x1=1时,要使存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)=4,则f(1)+f(e)≥4,同理当x1=e时,要使存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)=4,则f(e)+f(1)≤4,所以f(1)+f(e)=4.(10分) 对任意的x1∈(1,e),令g(x)=4-f(x)-f(x1),x∈[1,e],g(x)=0有解.g(1)=4-f(1)-f(x1)=f(e)-f(x1)>0,g(e)=4-f(e)-f(x1)=f(1)-f(x1)<0,所以存在x2∈(1,e),使得g(x2)=4-f(x2)-f(x1)=0,即f(x1)+f(x2)=4,所以由f(1)+f(e)=a-e+3=4,得a=e+1.综上可知,实数a的值为e+1.(12分) 解法二当a≥e时,由(1)知,在[1,e]上,f(x)是增函数,f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(e),由题意,对任意的x1∈[1,e],总存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)=4,则()-(),()-(),所以f(1)+f(e)=a-e+3=4,得a=e+1.综上可知,实数a的值为e+1.(12分) 10.(1)当a≥-2且x<1时,设h(x)=f(x)-g(x)=e1-x-x2-ax+a,则h'(x)=-e1-x-2x-a,设p(x)=-e1-x-2x-a(a≥-2且x<1),则p'(x)=e1-x-2,令p'(x)≥0,得x≤1-ln 2,令p'(x)<0,得1-ln 2<x<1,∴p(x)在区间(-∞,1-ln 2)上是增函数,在区间(1-ln 2,1)上是减函数.∴当a≥-2时,p(x)≤p(1-ln 2)=2ln 2-4-a≤2ln 2-4+2=2(ln 2-1)<0,∴当x<1时,h'(x)<0,即h(x)在区间(-∞,1)上是减函数.(4分) 又h(1)=0,∴当x<1时,h(x)>0,即f(x)>g(x).故当a≥-2且x<1时,f(x)>g(x).(5分) (2)“a≤-4”是“φ(x)=f(x)·g(x)存在最小值”的充分不必要条件.下面给予证明:设φ(x)=f(x)·g(x)=(x2+ax-a)e1-x,则φ'(x)=-(x+a)(x-2)e1-x.(6分) (i)若a≤-4,令φ'(x)>0,得2<x<-a,令φ'(x)<0,得x<2或x>-a,∴φ(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,-a)上是增函数,在区间(-a,+∞)上是减函数,∴φ(x)的极小值φ(2)=(a+4)e-1≤0,当x≥-a时,x2+ax-a≥(-a)2-a2-a=-a≥4,φ(x)≥4e1-x>0,∴当a≤-4时,φ(x)有最小值,最小值为φ(2)=,∴“a≤-4”是“φ(x)=f(x)·g(x)存在最小值”的充分条件.(9分) (ii)注意到当a=0时,φ(x)=x2e1-x,φ'(x)=x(2-x)e1-x,令φ'(x)>0,得0<x<2,令φ'(x)<0,得x<0或x>2,∴φ(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数,在区间(2,+∞)上是减函数,∴当x=0时,φ(x)有极小值φ(0)=0.又当x>2时,φ(x)=x2e1-x>0,∴φ(x)有最小值0.∴当φ(x)有最小值时,a可以为0.∴“a≤-4”不是“φ(x)=f(x)·g(x)存在最小值”的必要条件.(11分) 综上,“a≤-4”是“φ(x)=f(x)·g(x)存在最小值”的充分不必要条件. (12分)。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《函数的单调性与极值》同步练测及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11函数的单调性与极值建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.关于函数的极值，下列说法正确的是（）A.导数为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D.若在内有极值，则在内不是单调函数2.函数的极值点个数为( )A．2 B．1C．0 D．由a确定3.已知是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )A.{b|b-1或b2}B.{b|b-1或b2}C.{b|-2b1}D.{b|-1b2}4.函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于( )A．9B．－9C．1 D．－1二、填空题（每小题5分）5.函数的极值点个数为.6.若函数f(x)＝a －3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是.7.已知f(x)＝+1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.三、解答题（共55分）8.(10分)设1x =和2x =是函数3()f x ax =+261bx x ++的两个极值点.(1)求a ，b 的值(2)求()f x 的单调区间.9.(12分)已知函数323()(32af x x x a =-++1)1x +其中a 为实数. （1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.10.(10分)设函数，其中≠0．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．11.（8分）已知函数讨论函数f(x)的单调性12.(15分)已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(2)求()f x 的单调区间；(3)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围1.D 解析：函数在处取得极值⇔，且，故A不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间，一般来说没有大小关系，故B不正确；函数在定义域内可能有多个极大值和多个极小值，故C不正确；若在内有极值，则在内不是单调函数，正确.故选D．2.C 解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.3.D 解析：因为是R上的单调增函数，所以对x∈R恒成立，即解得.4.C 解析：，由，得的两个解，则＝1.5.0解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.6.a≤1 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.7.(] 解析：已知当时，f(x)是减函数.所以，(1)当时，由，知在R上是减函数；(2)当时，，由函数在R上的单调性，可知当时，在R上是减函数；(3)当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数在R上不是减函数.综上，所求a的取值范围是.8.解：（1）2'=++，f x ax bx()326由已知可得(1)3260f a b '=++=，2(2)322260f a b '=⨯+⨯+=.解得91,.2a b ==- (2)由（1）知22'()3963(32)3(1)(2).f x x x x x x x =-+=-+=--当(,1)(2,)x ∈-∞+∞∪时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是(,1),(2,),-∞+∞()f x 的单调减区间是(1,2).9.解：(1)2()3(1)f x ax x a '=-++.由于函数()f x 在1x =处取得极值，所以有(1)0f '=，即3101a a a -++=⇒=.（2）由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立. 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x x x +≤+.20x ∴-≤≤. 从而实数x 的取值范围为20x -≤≤. 10.证明：因为，，所以的定义域为（0，+∞）,．当时，如果＞0，＞0，，在（0，+∞）上单调递增；如果＜0，＜0，＜0，在（0，+∞）上单调递减．所以当＞0，函数没有极值点．当＜0时，.令，得（舍去），，当＞0，＜0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为.当＜0，＞0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为.综上所述，当＞0时，函数没有极值点；当＜0时，若＞0，＜0时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若＜0，＞0时，函数有且只有一个极大值点，极大值为.11.解：当（2）当时，函数上单调递增，最大值为12.解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.(2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为.②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -内，()0f x '>；在区间1(,)a -+∞内，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,-)a ，单调递减区间为1(-,)a +∞.(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)当0a <时，函数()f x 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a -=-+=----，所以21ln()a >---，解得31e a <-。

北师版数学高一单元测试卷2.3函数的单调性含解析

9．如果函数 f(x)在[a、b]上是增函数．那么对于任意的 x1、x2∈[a，b](x1 綒 x2)，则有： fx1－fx2 ① >0 x1－x2 ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 ③a<f(x1)<f(x2)<b x2－x1 ④ >0 fx2－fx1 以上说法正确的序号：________. 答案：①②④ 解析：由 f(x)为增函数，当 a≤x1<x2≤b 时有 f(x1)<f(x2)易判断出．三、解答题：(共 35 分，11＋12＋12) 10．试判断函数 f(x)＝
3 函数的单调性时间：45 分钟满分：80 分班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题 5 分，共 5×6＝30 分) 1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) 2 A．y＝3－x B．y＝x ＋1 2 2 C．y＝－x D．y＝x －2x－3 答案：B 2 解析：(排除法)选项 A，y＝3－x 在 R 上是减函数；选项 C，y＝－x 在(0，＋∞)上是减函数，选项 2 2 D，y＝x －2x－3＝(x－1) －4，当 x≤1 时 y 是 x 的减函数，当 x≥1 时，y 是 x 的增函数，而在(0,2) 上并不严格单调．故选 B. 2．如图是函数 y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由图象，可知函数 y＝f(x)的单调递减区间有 2 个．故选 B. 3．下列函数中，在区间(0，k)(k∈(0，＋∞))上单调递增的是( ) 2 A．y＝4－3x B．y＝2x ＋1 2 2 C．y＝－5x D．y＝x －2x＋2 答案：B 2 解析：因为 y＝4－3x 在(0，k)上单调递减，故 A 不满足题意；y＝2x ＋1 在(0，＋∞)上单调递增， 2 则在区间(0，k)(k∈(0，＋∞))上也单调递增，故 B 满足题意；y＝－5x 在(0，k)上单调递减，故 C 不 2 2 满足题意； y＝x －2x＋2＝(x－1) ＋1 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故 D 不满足题意．故选 B. 4．函数 y＝(2k＋6)x－1 在 R 上是减函数，则实数 k 的取值范围是( ) A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3) 答案：D 解析：∵y＝(2k＋6)x－1 在 R 上是减函数，∴2k＋6<0，即 k<－3.故选 D. 2 5．函数 f(x)＝－x －x＋6的单调增区间是( ) 1 1 A．(－∞，－ ] B．[－，＋∞) 2 2 1 1 C．[－3，－ ] D．[－，2] 2 2 答案：C 2 解析：∵－x －x＋6≥0， ∴－3≤x≤2， ∴f(x)定义域为[－3,2]． 2 而 y＝－x －x＋6 图像开口向下，利用复合函数单调性可得． 6．函数 y＝f(x－1)的图像如图所示，它在 R 上单调递减，现有如下结论：

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一、选择题
1．(2018·合肥模拟)下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为( )
A ．y ＝－x 2
B ．y ＝12（）x
C ．y ＝－1x
D ．y ＝2x 2．函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是( )
A ．R
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤143，729 C ．[9,243] D ．[3，＋∞)
3．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( )
A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23
B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13
C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32
D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13
4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋12ax －2，x ≤1，a x －a ，x >1
在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2]
B ．[1,2)
C ．[1,2]
D ．(1，＋∞) 5．函数f (x )＝ln(x 2－2x －3)的单调递减区间为( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(3，＋∞)
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
7．若函数f (x )＝a x
在区间(0，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．R
D ．[－1,1]
8．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭
⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 二、填空题
9．(教材改编)函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的单调递增区间为________．
10．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．
11．设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意的x ，y ∈R ，均有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2 018成立，若函数g (x )＝f (x )＋2 018x 2 017有最大值M 和最小值m ，则M ＋m ＝________.
12．已知函数f (x )＝x ＋1x
(x >0)，若在[a ，a ＋2)上有最小值和最大值，则实数a 的取值范围是________．
答案精析
1．C 2.B
3．B [由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又13<12<23
<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，
即f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23.]
4．A [由f (x )＝x 2＋12ax －2在(0,1]上单调递增，则有－a 4
≤0，即a ≥0；再由f (x )＝a x －a 在(1，＋∞)上单调递增，得a >1；又由增函数的定义，得1＋12
a －2≤a 1－a ，解得a ≤2，则有1<a ≤2.故选A.]
5．C [要使函数有意义，则x 2－2x －3>0，即x >3或x <－1.设t ＝x 2－2x －3，则当x >3时，函数t ＝x 2－2x －3单调递增；
当x <－1时，函数t ＝x 2－2x －3单调递减．
∵函数y ＝ln t 在定义域上为单调递增函数，
∴根据复合函数单调性之间的关系可知：当x >3时，函数f (x )单调递增，即函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；当x <－1时，函数f (x )单调递减，即函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)．故选C.]
6．C [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，
4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，
即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.]
7．A 8.C 9.[2,4]
10．1
解析依题意知，h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，0<x ≤2，
－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；
当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，
∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.
11．－4 036
解析由已知得f (0)＝－2 018，
从而有f (x )＋2 018＝－[f (－x )＋2 018]，
令h (x )＝f (x )＋2 018＋2 018x 2 017，
则h (－x )＝f (－x )＋2 018－2 018x 2 017
＝－[f (x )＋2 018]－2 018x 2 017
＝－[f (x )＋2 018＋2 018x 2 017]＝－h (x )，
所以h (x )是奇函数，若h (x )的最大值为N 、最小值为n ，
则N ＋n ＝0，
又g (x )＝h (x )－2 018，
所以M ＝N －2 018，m ＝n －2 018，
所以M ＋m ＝N ＋n －4 036＝－4 036.
12．(0，2－1]
解析函数f (x )＝x ＋1x
(x >0)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时函数取得最小值．
由题意得a >0，区间[a ，a ＋2)内必定包含1，即－1<a <1，
所以要使函数在[a ，a ＋2)上有最小值和最大值，只需满足f (a )≥f (a ＋2)，
即a ＋1a ≥a ＋2＋1a ＋2
，整理得a 2＋2a －1≤0，
解得－1－2≤a ≤－1＋2，
又a>0，所以实数a的取值范围是(0，2－1]．。