偏微分方程数值解论文

目录

引言 (3)

物理背景 (3)

网格剖分 (4)

向前Euler格式建立 (4)

差分格式的求解 (6)

收敛性与稳定性 (6)

数值例子 (9)

紧差分格式建立 (12)

差分格式求解 (14)

数值例子 (15)

总结 (19)

参考文献 (20)

附录 (21)

1 引言

本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题：

22(,),0,0,u u

a f x t x l t T t x

∂∂-=<<<≤∂∂

(,0)(),0,u x x x l φ=≤≤ (0,)(),

(1,)(),

0.u t t u t t t T αβ==<≤

其中a 为正常数，(,),(),(),()f x t x t t ϕαβ为已知函数，(0)(0),(1)(0).ϕαϕβ==

目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler 差分格式、向后Euler 差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式[1,2,3]．本文将给出前向Euler 格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子．

2 物理背景

热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数(),,,u x y z t 表示物体在t 时刻,(),M M x y =处的温度,并假设

(),,u x y z 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数.()

,,k k x y z =是物体在(),,M x y z 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为(),,c c x y z =,密度为

(),,x y z ρ.根据Fourier 热传导定律,热量守恒定律以及Gauss 公式得

,u u u u c kx k k t x x y y z z ρ

⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫

=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

如果物体是均匀的,此时,k c 以及ρ均为常数.令2

k

a c ρ

=

,上式方程化为 2222

2222,t u u u u a a u x

y z ⎛⎫

∂∂∂=++=∆ ⎪∂∂∂⎝⎭

若考虑物体内有热源,其热源密度函数为(),,F F x y z =,则有热源的热传导方程为

()2,,,,t u a u f x y z t =∆+

其中F

f c ρ

=

.

3 网格剖分

取空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中M N ,都是正整数．用两族平行直线),1,0(N j jh x j ==和),,1,0(M k k t k ==τ将矩形域}0,0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x ．记),(k j k j t x u u =．以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合.

引进如下记号:

0max i i m

ω

ω∞

≤≤=，

21

()m

i j h ωω==∑，

21

11

(

)m

i i j h h

ωωω-=-=∑，

22

11ωωω=+，

分别称为无穷范式（一直范式）2范数（2L 范数，平均范数），差商的2范数（差商的2L 范式）和1H 范式.

4.1.1向前Euler 格式建立

定义h τΩ上的网格函数

{0,0},

k i U U i m k n =≤≤≤≤

其中

(,),k i i k U u x t = 0,i m ≤≤ 0 1.k n ≤≤- 在结点处考虑微分方程(3.1-1),有

22(,)(,)(,),11,0 1.

i k i k i k u u

x t a x t f x t i m k n t x ∂∂-=≤≤-≤≤-∂∂ (3.2)

将

224112241(,)[(,)2(,)(,)](,)12i k i k i k i k ik k u h u

x t u x t u x t u x t t x h x ξ-+∂∂=-+-∂∂

242

11

4

(,),12k x

i

ik k i ik i h u

U t x x x δξξ-+∂=-<<∂

和

2121(,)[(,)(,)](,)2i k i k i k i ik u u x t u x t u x t x t t τητ+∂∂=--∂∂

21

2

(,),2k

t

i

i ik k ik k u

DU x t t t

τηη+∂=-<<∂

代入(3.2),得到

224224

(,)(,)(,),212k

k t i

x

i

i k i ik ik k u

ah u

DU a U f x t x t t x τδηξ∂∂-=+-∂∂

11,0 1.i m k n ≤≤-≤≤- (3.3-1) 注意到初边值条件(3.1-2)和(3.1-3),有

0(,0)(),0,i i i U u x x i m ϕ==≤≤ (3.3-2)

0(),k k U t α=

(),1.k m k U t k n β=≤≤ (3.3-3)

在(3.3-1)~(3.3-3)中略去小量项

224(1)24(,)(,),212ik

i ik ik k u

ah u

R

x t t x τηξ∂∂=-∂∂ (3.4)

并用k i u 代替k

i U ，得到如下差分格式

2(,),k k

t i x i i k D u a u f x t δ-= 11,0 1.i m k n ≤≤-≤≤- (3.5-1) 0(),i i u x ϕ= 0,i m ≤≤ (3.5-2)