函数的单调性(第一课时)

2010.9
问题提出
生产总值 （亿元）
30 1971 20 10 467 1985 756 1990 1995 2000
东莞市年生产总值统计表
3360
年份
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
增(减)函数。 （2）判断函数单调区间的常用方法； 方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的图象。 方法三：利用定义证明
作业：
P39习题1.3(A组) # 1 ,# 4
判断函数单调区间的常用方法：
方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的图象。 方法三：利用定义证明
知识探究（二）
考察下列两个函数: 2 （1） f ( x) x ； (2) f ( x) x ( x 0)
y y
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1
O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1 O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1 O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
x1 O
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O x1
x
结论：x∈(-∞,0]，y随x的增大而减小；
-1
-3
1 1
3 4
[练习2] 判断函数f ( x) x 2 x 的单调性。 y 2 f ( x) x 2 x 单调递减区间为：
2
(, 1]
1
单调递增区间为：
2
o
x
[1 ,)
练习3：P32 练习#1，#2，#3
例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们, 对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.
例1.如图是定义在[-5,5]上的函数y f x）的 （ 图象,根据图象说出函数的单调区间以及在每 一个单调区间内,它是增函数还是减函数?
3 -2
-5
1
3
5
练习1.如图是定义在[-3, 4]上的函数y f x）的 （ 图象, 根据图象说出函数的单调区间以及在每一 个单调区间内, 它是增函数还是减函数 ?
思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 x2 时，都有
f ( x1 ) f ( x2 )
,则函数
f ( x) 在区间D上是增函数还
是减函数？
思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 f ( x) 的 f ( x) 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ f ( x) ( x 1) 2 的单调区间如何？ 函数
上的单调性.
x 1 例3 试确定函数 f ( x) 在区间 (0, ) x
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.
复习小结：
（1）函数单调性的概念； 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I：
1. 如果对于定义域为I内的某个区间D上的任意 两个自变量 x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), ( f ( x1 ) f ( x2 )) 称函数 f(x)在这个区间上是 或
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势？通过这个 60 试验，你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？
增(减)函数。 （2）判断函数单调区间的常用方法； 方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的图象。 方法三：利用定义证明
作业P32 练习：4，5
P39 A组 1、2、3； B组 1
同学们再见
k 例2 物理学中的玻意耳定律 P (k为正常数) V
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.
减函数
思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定 义“函数 f ( x) 在区间D上是减 函数”？
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2 x
o
x1
对于函数f (x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x2 ), 则称函数 f ( x) 在区间D上是减函数.
证明: 1 2 3 1.取值 2.作差 3.变形 4.定号 4 5 5.结论
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.
k 反比例函数f(x)= (k 0) 的单调性如何？ x
课堂小结：
（1）函数单调性的概念； 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I：
1. 如果对于定义域为I内的某个区间D上的任意 两个自变量 x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), ( f ( x1 ) f ( x2 )) 称函数 f(x)在这个区间上是 或
y ax2 bx c 当a>0时，在 二次函数
b b , 上 , 上是减函数， 在 2a 2a b 是增函数；当a<0时，在 , 上是 2a b , 是增函数；在 2a 上是减函数。
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x1
x2
x
思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数f ( x) 在区间D上是增函数”？
对于函数f (x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是增函数.
1 [探究1] 判断函数f ( x) 的单调 x 性，并加以证明。
y
1 y x
O
单调递减区间：
x
(, 0), (0 , )
1 2.证明函数f ( x) x 在 (1, )上是 x 增函数.
一次函数f(x)=ax+b,当 a>0 时,在 (,) 是 增函数 ; 当 a<0 时，在 (,) 是 减函数
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
yx
f ( x1 )
O
x1
x
结论： x∈[0，+∞），y随x的增大而增大。
增函数
思考3:如图为函数 f ( x) 在定义域 I内某个区间D上的图象，对于该 区间上任意两个自变量x1和x2， f 当 x1 x2时， ( x1 )与 f ( x2 ) 的大小 关系如何？
1
2
3
t
知识探究（ x ； (2) f ( x) x ( x 0)
2
y
y
o
x o x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的 变化情况如何？