违背经典假设的计量经济学问题

第三章 违背经典假设的计量 经济学问题
3.1 异方差性问题 3.2 序列相关问题 3.3 多重共线性问题 3.4 随机解释变量问题
§3.1 异方差性 Heteroskedasticity
一、异方差性的概念 二、异方差性的后果 三、异方差性的检验 四、异方差性的估计 五、案例和Eviews操作
一、异方差的概念
估计量，我们称之为“近似估计量”，用 ei 表示，
于是有：
e=i Yi − (Yˆi )OLS Va= r(µi ) E(µi2 ) ≈ ei2
ei2表示随机误差项的方差
看这个随机误差项的方差与解释变量之间的关 系。
2. 图示检验法
（1）用X- ei2的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线：
ei2
X
2 3
+ α7X1X2
+
α8 X1 X 3
+ α9 X 2 X 3+εi
(**)
H0: 不存在异方差
H1: 存在异方差
c) 计算（**）回归的F 统计量、n•R2统计量和LM统
计量。原假设下，n•R2和LM统计量都渐进服从 χk2分 布。其中，n-样本容量，k-自由度，(**)式中不包括
截距项的解释变量个数。
四、异方差性的估计—加权最小二乘法(WLS) Weighted Least Squares
1. 加权最小二乘法的基本思想
• 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个 新的不存在异方差的模型，然后采用普通最小二乘 法估计其参数。
• 例如，在递增异方差下，对来自较小Xi的子样本， 其真实的总体方差较小，Yi与回归线拟合值之间的 残差ei的信度较大，应予以重视；而对较大Xi的子样 本，由于真实总体的方差较大，残差反映的信息较 少，不应太重视。
)
+
2σ
2{
[ωi
(
X
i
− xi2
X
)
]
−
(
xi2 xi2 )
2
]}
∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ = σ 2
(ωi −
xi xi2
)2
+
Var
(b2
)
+
2σ
2[
ωi X i
xi2
−
X
ωi
xi2
−
1 xi2
]
∑ ∑ ∑ ∑ = σ 2
(ωi −
xi xi2
)2
+ Var (b2
)
+
2σ
2[
1 xi2
−0
−
三、异方差性的检验
1. 异方差性检验方法的共同思路
• 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值， 随机误差项具有不同的方差，那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与 解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差。
一般的处理方法：
• 首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的
这时，随机误差项的方差并不随某一解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，这种异方差性是 复杂型。
二、异方差的后果
1. 参数估计量非有效
• 普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但 是不再具有有效性，因为在有效性证明中利用了：
E( NN ′) = σ 2I
• 在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性， 但参数估计量仍然不具有渐进有效性。
（2）怀特(White)检验
n
• White检验步骤
∑(ek
a) 用OLS法估计模型，得到残差 ei i=1
Yi
=
β0
+
β1 X 1
+
+
βk
Xk
+ µi
(*)
b) 作辅助回归，并计算R2值
ei2
=α0
+ α1X1
+ α2X2
+ α3X3
+
α
4
X
2 1
+
α5
X
2 2
+
α6
例如: 以某一行业的企业作为样本，建立企业生
产函数模型:
Yi
=
A K L e β1 β2 β3 µi i ii
产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术
等投入要素作为解释变量,那么每个企业所处的外
部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。
由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响 程度不同，造成了随机误差项的异方差性。
H0: 不存在异方差 H1: 存在异方差 σ=i2 (σ 2 + X α)m
c) 计算(**)回归的F 统计量、n•R2统计量和LM统计量。
原假设下，n•R2和LM统计量都渐进服从 χk2分布。其 中，n-样本容量，k-自由度，(**)式中不包括截距项
的解释变量个数。
d) 给定显著性水平, 若F值、n•R2值和LM值大于临界 值,则拒绝原假设, 认为存在异方差, 否则不存在。
(ωi −
xi xi2
)2
+σ
2
(
xi2 xi2 )2
+ 2σ
2
[(ωi −
xi xi2
)(
xi xi2
)]
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = σ 2
(ωi −
xi xi2
)2
+
σ
2
1 xi2
+ 2σ 2
[ωi
xi xi2
−
(
xi2 xi2
)
2
]
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ = σ 2
(ωi −
xi xi2
)2
+
Var(b2
2. 异方差的类型
同方差假定的意义是指出每个μi 围绕其零均值的 变差，并不随解释变量X的变化而变化，不论解
释变量观测值是大还是小，每个μi的方差保持相 同，即：
σ
2 i
=
常数
在异方差的情况下，σi2已不是常数，它随X变化而
变化，即：
σ
2 i
=
f (Xi)
异方差一般可归结为三种类型：
（1）单调递增型，σ
在该模型中的同方差假定往往不符合实际情况。 对高收入家庭来说，储蓄的差异较大，低收入家 庭的储蓄则更有规律性，差异较小。
因此，μi的方差往往随着Xi的增加而增加，呈单 调递增型。
例如: 以绝对收入假设为理论假设，以截面数据 作为样本，建立居民消费函数:
Ci =β0+β1Yi +μi
将居民按照收入等距分成n组，取组平均数为 样本观测值。
以一元线性回归模型为例进行说明：
（1）仍存在无偏性，证明过程与方差无关
由于
Yi =β0 + β1X i + µi
参数 β1 的OLS估计量 βˆ1 为：
∑ ∑ ∑ βˆ1 = n
∑ (∑ ) n
Yi X i −
X
2 i
−
Yi X i
2
Xi
∑ ∑ ∑ n
∑ (∑ ) =
(β0 + β1X i + µi ) X i −
= β2
上述结果表明，如果是无偏的，应该有：
∑ωi = 0
∑ωi X i = 1
同样，可以将表示为随机扰动变量的线性函数
∧
∑ b2 = β2 + ωiui
∑ b2 = β2 + kiui
∧
∑ ∑ b2= ωiYi = ωi (β1 + β2 X i + ui ) ∑ ∑ ∑ ∑ = β1 ωi + β2 ωi X i + ωiui = β2 + ωiui
d) 给定显著性水平, 若F值、n•R2值和LM值大于临界 值,则拒绝原假设, 认为存在异方差, 否则不存在。
（3）戈里瑟(Gleiser)检验
• Gleiser 检验步骤
a) 用OLS法估计模型，得到残差 ei
Yi
=
β0
+
β1 X 1
+
+
βk
Xk
+ µi
(*)
b) 作辅助回归，并计算R2值
ei =α0 + α1 X1 + α2 X 2 ++αk X k +εi (**)
(**)
H0: 不存在异方差
H1: 存在异方差
c) 计算(**)回归的F 统计量、n•R2统计量和LM统计量。
原假设下，n•R2和LM统计量都渐进服从 χk2分布。其 中，n-样本容量，k-自由度，(**)式中不包括截距项
的解释变量个数。
d) 给定显著性水平, 若F值、n•R2值和LM值大于临界 值,则拒绝原假设, 认为存在异方差, 否则不存在。
• 加权最小二乘法是对加了权重的残差平方和实 施OLS法，
（1）对较小的残差平方和ei2赋予较大的权数； （2）对较大的残差平方和ei2赋予较小的权数；
∑ ∑ W= iei2
Wi [Yi
−
( βˆ0
+
βˆ1 X 1i
++
βˆk
X ki )]2
2. 一个例子
• 例如，如果在检验过程中已经知道：
Var(µ=i ) E(µi=)2 σ=i2 f ( X ji )σ 2
ji )
µi
(i = 1, ,n)
f
1 (X
ji )
Yi
=β 0
f
1 (X
ji
)
+
β1
f
1 (X
ji )
X 1i