2020天津高考数学冲刺最后一卷【含答案】
天津市武清区2025届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析
天津市武清区2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤ 2．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形3．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．424．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂=（ ） A ．()(),35,-∞+∞ B ．(](),35,-∞+∞ C ．(][),35,-∞+∞D ．()[),35,-∞+∞ 5．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 6．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c <<9．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元10．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是 A ．2- B ．72- C ．1 D ．412．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考理科数学考前最后一卷解析版 (9)
y
3x
4 3x
D． y lg x 4 lg x
8．已知 f x 是定义在 R 上不恒为 0 的函数，且对任意 a,b R ，有 f a b a f b b f a
成立， f 2 2 ，令 an f
2n
， bn
f 2n 2n
则有()
A．an 为等差数列
B．an 为等比数列
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
对于 A 和 D 选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于 B 选项不能保证基本不等式中
的“相等”要求，即可选出答案.
【详解】
对于 A，当 x 0 时，显然不满足题意，故 A 错误.
对于 B， sin x 0 ， 4 0 ， sin x 4 2 4 4 .
程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入 N 49 时,则输出结果是()
1
A．58
B．61
C．66
D．76
3．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起
讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他
们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说
2
2
{x} ，即{x}=m .设函数 f x x x，二次函数 g(x) ax2 bx ，若函数 y f (x) 与 y g(x)
的图象有且只有一个公共点，则 a,b 的取值不．可．能．是（） A． a 4,b 1 B． a 2,b 1 C． a 4,b3]，f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围； (3)当 a＞4 时，求函数 y＝f(f(x)＋a)零点的个数． （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
2020天津市高考压轴卷(数学)含答案
2020天津高考压轴卷数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ）A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则的值为（ ）A ．B ．1-C ．D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-< 5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ． C ．7-D ．3- 6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．3 CD ．7．已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．159．已知函数()()23201120x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．10．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．11．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）12．抛物线，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为______．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.14．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>，x ∈R .若函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点，则的取值范围为_________．15．已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =-+∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值； (3)若关于x 的不等式()3()mf x m f x +≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =．（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分． 已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数，使函数()f x 的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．2020天津高考压轴卷数学Word 版含解析参考答案1．【答案】B【解析】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B2．【答案】A【解析】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1= 故选A3．【答案】C【解析】()()()()2224220x mx m x m x m -+-=-+-->Q ，2x m ∴<-或2x m >+， 1x ≤Q 或2x ≥是不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件，2122m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：03m ≤≤，则实数的最大值为3. 故选：C .4．【答案】C【解析】()f x Q 为上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C .5．【答案】C【解析】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==，所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-.故选：C6．【答案】A【解析】 双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则tan 63π=，所以该条渐近线方程为3y x =；=，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3c e a ===． 故选：A ．7．【答案】C【解析】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π.又.又 ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π. 8．【答案】C选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.9．【答案】B【解析】解：由题意0x =满足方程()f x ax =，①当0x <时，只需1x a x =-有一个负根，即01a x a =-＜， 解得：01a <<；②当0x >时，只需()210x a x a -++=有两个正根即可， 方程可化为()()10x x a --=，故两根为：1x =或，由题意只需0a >且1a ≠，综合①②可知，当01a <<时，方程()f x ax =有4个不同的实数根． 所以实数的取值范围是（0，1）.故选：B ．10．【答案】-1【解析】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-11．【答案】-160【解析】由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r r r T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 12．【答案】【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，解得：，故直线AB 的方程为：，与抛物线方程联立可得：， 则， 故的面积.13．【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=， 111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅= 1111116ABCD D P D D A B BC V V --∴=即116V V = 故答案为：1614．【答案】7(6，17]12 【解析】 因为()sin 32sin()3f x x x x πωωω==+， 所以令2sin()03x πω+=，()3x k k Z πωπ+=∈，解得(31)()3k x k Z πω-=∈ 0>ω，则非负根中较小的有：258111417,,,,,,333333ππππππωωωωωωL 因为函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点， 所以1443ππω<且1743ππω≥，解得717612ω<≤. 故答案为：717(,]612 15．【答案】42【解析】已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数恒成立，再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a ++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32， 故22a b a b+-=，故答案为16．【答案】(1);(2)最大值为，最小值为;(3) 25m ≥. 【解析】2()2sin cos =-+f x x xx sin 22x x =2sin(2)3x π=- (1)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为. (2)当2[,]243x ππ∈时, 2[,]34x πππ-∈-, 当234x ππ-=-时,即24x π=时函数求得最小值()24f π=当232x ππ-=时,即512x π=时函数求得最大值5()212f π=; 所以()f x 在区间2,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为 (3)对x ∀∈R ，2()2f x -≤≤，所以不等式()3()mf x m f x +≥恒成立等价于，对x ∀∈R ，()()3f x m f x ≥+恒成立，即max()()3f x m f x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， 设()()()3f x g x f x =+，则()3()1()3()3f xg x f x f x ==-++，令()t f x =，且313y t=-+在[]22-,上为增函数， 所以，max 2()(2)5g x g ==， 所以，25m ≥. 17．【答案】（1）证明过程见详解；（2）459；（3）13.【解析】（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ，又AB Ì平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ， 所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =u u u u r ，(0,2,1)MN =-u u u u r ，(1,2,0)BM -=u u u u r，设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =u r；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =r，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-r，设二面角1B MN B --的大小为θ，则4141cos cos ,9414414m nm n m nθ⋅-++=<>===++⨯++u r r u r r u r r ，所以245sin 1cos θθ=-=； （3）因为是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t u u u u r=-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-r，又直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为 则有222222sin cos ,151(22)34853PM n t PM n PM n t t t α⋅-+-=<>====+-⨯-+⨯u u u u r r u u u u r r u u u ur r ， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.18．【答案】（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. 【解析】（1）因为抛物线2:C y =的焦点为)，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为()),，又抛物线C 的准线与交于，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2by a =±，则222b a=，即2b a =①，又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交于点M ，则M 与关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=.19．【答案】（Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122ii i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x+=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．20．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为(0,2)．【解析】（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=． ①当0a =时，1()0f x 'xx+=>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当0a ≠时，令'()0f x =，即210ax x x--=，即210ax x --=，14a ∆=+．当0∆≤，即14a -≤时，210ax x --≤， 故'()0f x ≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当>0∆，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为1x =2x =． 若104a -<<，则10x <，20x <， 此时'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若0a >，则10x <，20x >，此时当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,2a+上单调递增，在12),(a+∞+上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1(0,2a+单调递增，在12)(a+∞+上单调递减．（2）由（1）可得，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在1(0,)2a+上单调递增，在12)(a+∞+上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln ()2f x ax x x =-+，其中212x a=． 又2()0f 'x =，所以22210ax x --=，即2221ax x =+，所以2221l 2)n (x f x x -=+． 令1ln (2)x h x x =+-，则11(2)0h'x x =+>，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()0h x >，所以222()1ln 02x f x x =+>-等价于21>x ， 即当0a >1>21a >-，显然当0a >|21|a >-，所以214(21)a a +>-，即220a a -<，解得02a <<， 故存在满足条件的实数，使函数()f x 的极值大于，此时实数的取值范围为(0,2)．21. （Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n nn n x x x M x x x x n xn x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122nn i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。
2020年高考数学临考押题卷02(天津专版)(含解析)
2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A ．B ．C ．28D ．245．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2B ．83C ．3D ．47．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．已知tan α=，则sin 2α=__________．11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________；12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答） 13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________. 三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82817．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.一、单选题1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R【答案】D【解析】{|2},{|01},A x x B x x x A B =<=<>∴=R U 或． 2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】由(1)2z i i +=，得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-， ∴1z i =-，3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】对于A ，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2-⨯≈，A 错误；对于B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B 错误；对于C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C 错误；对于D ，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D 正确.4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A． B．C ．28 D ．24【答案】A【解析】a i =+r r Q ，2b i =r r，且i r ，j r 是互相垂直的单位向量3325a b i j i i ∴-=-⨯=-r r r r r ，0i j ⋅=r r3a b ∴-====r r5．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】B 【解析】sin sin sin cos cos B CA B C+=+Q ，∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，22222222a c b a b c a a b c ac ab +-+-∴⨯+⨯=+，22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+，()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+， 223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形.6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2 B ．83C ．3D ．4【答案】B【解析】如图,连接AF ,BF ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M ,N ,易知(0,2)F ,(0,2)H -,||4FH =.由角平分线定理可得||||2||||BF BA FH AH ==,则||||1||||3AH AM BH BN ==. ∵||||2||8BN BF FH ===,∴8||||3AM AF ==.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q ，()f x ∴为偶函数，①正确； 令()0f x =，则0x =或sin 0x =， 当sin 0x =时，0x =或x π=-或x π=，()f x ∴的零点为0x =或x π=-或x π=，共3个，②正确； ()sin cos f x x x x '=+Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，()0f x '∴>，()f x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，③正确.8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=，即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解，设()(2)ln g t t e t =-， 2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e 'Q 2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()g e (2)ln e e e e =-=-， 即()g t g …（e ）e =-， 当0t →时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞. 若1(2)ln t e t a -=-有解，则1e a--…，即1e a „，则0a <或1a e…，二、填空题10．已知tan α=，则sin 2α=__________．【答案】3【解析】2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan 3ααααααααα====++.11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________； 【答案】1【解析】由题得，ABC V 的面积为13sin 6022S AB AC =⨯=o ，解得1AC =. 12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121331234342555555555x y x yx y x y y x y xy x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.【答案】64π 【解析】取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 取CE 的三等分点为O ，使得2CO OE =， 则O 为等边BCD ∆的中心.由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE BD ⊥，CE ⊥平面ABD .而22248AB AD BD +==，所以ABD ∆为等腰直角三角形，且E 为ABD ∆的外心， 所以OA OB OD ==，又OB OC OD ==， 所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径243r ==. 故四面体ABCD 外接球的表面积为24464S ππ=⋅=.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =u u u r u u u u r ，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =三、解答题16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=（人）.补充完整的22⨯列联表如下：非网购达人 网购达人 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计752510022100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=， 将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为14. 由题意知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而X 的分布列为 X 0123P2764 2764 964 164由二项分布的数学期望与方差公式得13()344E X np ==⨯=， 139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=，17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r，则：()()133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r此时4cos ,5EF m EF m EF m⋅===⨯u u u r u ru u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r .18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．【解析】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ， 因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++， 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+， AB Q 中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-，∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k-=+， ()3121222124441313k ky y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k+∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k=时，AB =2FN =，FN AB∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，AB ==Q )22113k k +=+， ()2222113k FN AB k +∴==+； 综上所述：FN AB20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数. 【解析】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-+()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得0a <≤当04a <≤时，()f x≤2ln 0x-≥，令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()2ln g x gx =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-== 列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．。
2024届高考考前最后一卷(新课标II卷)数学答案
2024届高考考前最后一卷（新课标II 卷）数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解析】因为2{|5240}{0,1,2,3,4,8}A x x x N ,,{2,0,2,4},B 所以{0,2,4}A B ．故选B ． 2．C 【解析】令i(,)z a b a b R ，则i 2(i)3i 1a b a b ，所以23b b ，解得1b .故选C ．3．D 【解析】因为12AC CB ，所以1(),2OC OA OB OC 所以3115(1,2)(3,0)(,2)2222OC OA OB ,所以54(,33OC ，所以点C 的坐标为54(,33．故选D ． 4．A 【解析】用抽签的方式确定这四个节目的出场顺序有44A 种方法，小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的排列有2223A A 种方法，由古典概型，得小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的概率222344A A 1A 2P ．故选A ． 5．D【解析】由题意，知34a .由3a ，10，62a 成等差数列，得63202aa ，所以632a ，所以等比数列{}n a 的公比2q ，所以3121a a q ，438a a q ，47364a a q ，所以14773a a a .故选D ．6．C 【解析】设椭圆C 的半焦距为(0)c c ，因为点Q 在x 轴上，且1223PQ PF PF ，所以13，所以114 ．由13 ，得121233PQ PF PF ，所以1212()()33PQ PF PF PQ ，即121233F Q QF,所以122F Q QF ，即12||2||F Q QF .因为PQ 平分12F PF ，所以1122||||2||||1PF F Q PF QF . 又12||||2PF PF a ，所以14||3a PF，22||3a PF ． 在12PF F △中，由余弦定理的推论，得222222221212122124220()((2)4||||||1339cos 42162||||42339a a a c c PF PF F F F PF a a a PF PF，化简，得2223c a ，即椭圆C 的离心率e ．故选C ．7．B 【解析】二次函数2y x x 图象的对称轴是直线2x，当2x时，2y x x 单调递减，2e xxy 也单调递减，当2x时，2y x x 单调递增，2e xxy 也单调递增.因为2e nnn a 中的自变量n 为正整数，所以由*10,n n a a N ，得1921222，所以2119 ，所以“21 ”是“*10,n n a a N ”的必要不充分条件．故选B ． 8．A 【解析】1e 1ln(0)x x m m m等价于ln e 1ln(1)ln x m x m ， 令ln e x m t ，则1ln(1)(ln )t x t x ，即ln ln(1)1t t x x ． 而ln y x x 在(0,) 上单调递增，所以1t x ，即e 1x m x ，即1e xx m ． 令1()((1,))e x x f x x，则2()exxf x ，当(1,2)x 时，()0,()f x f x 单调递增， 当(2,)x 时，()0,()f x f x 单调递减，所以()f x 在2x 处取得极大值，即最大值为21(2)e f ，所以21e m．故选A ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
冲刺2020高考精品试卷解析：天津市南开中学2020届高三数学统练(附答案)
南开中学2020届高三数学统练一、选择题（共9小题；共45分）1. 已知集合 A ={2,3a }，b ={a,b }，若 A ∩B ={3}，则 A ∪B = ( ) A. {0,1,2}B. {0,1,3}C. {0,2,3}D. {1,2,3}2. 为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ỳ=b ̀x +à，已知 ∑x i 10i=1=225，∑y i 10i=1=1600，b ̀=4，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 ( )A. 160B. 163C. 166D. 1703. 若 a >b >0，且 ab =1，则下列不等式成立的是 ( )A. a +1b <b 2<log 2(a +b )B.b2<log 2(a +b )<a +1bC. a +1b <log 2(a +b )<b2aD. log 2(a +b )<a +1b <b2a4. 设双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一个焦点为 F (c,0)(c >0)，且离心率等于 √5．若该双曲线的一条渐近线被圆 x 2+y 2−2cx =0 截得的弦长为 2√5，则该双曲线的的标准方程为 ( ) A.x 220−y 25=1 B.x 225−y 2100=1C.x 25−y 220=1 D.x 25−y 225=15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD =π3，AB =2，AD =1，若 M ，N 分别是边 AD ，CD 上的点，且满足MD AD=NC DC=λ，其中 λ∈[0,1]，则 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A. [−3,−1]B. [−3,1]C. [−1,1]D. [1,3]6. 如图所示的几何体是由一个三棱锥 P −ABC 与三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 组合而成，现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面 A 1B 1C 1 不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有 ( )A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 36 种7. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ∈(0,+∞) 时，都有不等式 f(x)−xfʹ(x)<0 成立，若 a =f(1)，b =20.4f(2−0.4)，c =(log 412)f (log 4116)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A. a >c >bB. a >b >cC. b >c >aD. c >a >b8. 已知 F 为抛物线 C:y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点，则 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 ( ) A. 16B. 14C. 12D. 109. 汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 ( )A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（共6小题；共30分）10. 若复数 z 满足 (1−2i )z =−12(2+i )，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 ．11. 设 (x −a)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，若 a 5+a 8=−6，则实数 a 的值为 ．12. 定义 np1+p 2+⋯+p n为 n 个正数 p 1，p 2，⋯，p n 的“均倒数”，若已知数列 {a n } 的前 n 项的“均倒数”为 12n+1，又 b n =a n +14，则 1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b2017b 2018= ．13. 已知下列命题： ①命题：∀x ∈(0,2)，3x >x 3 的否定是：∃x 0∈(0,2)，30x ≤x 03；②若 f (x )=2x −2−x ，则 ∀x ∈R ，f (−x )=−f (x )；③若 f (x )=x +1x+1，则 ∃x 0∈(0,+∞)，f (x 0)=1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB．其中真命题是．（只填写序号）14. 已知函数f(x)在R上满足f(−x)=f(x)，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=13x3+23x2．函数g(x)=∣∣sin(3πx2)∣∣，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在R上的零点个数为．15. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题（共5小题；共65分）16. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（1）求角B的大小；（2）若√3sin(A2+π6)cos(A2+π6)−sin2(A2+π6)=1126，求cosC的值．17. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PB=PD=√5，PC=2，E是侧棱PC上的动点．（1）求证：不论点E在何位置，都有BD⊥AE；（2）若PA∥平面BDE，求直线AE与平面BDE所成角的正弦值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D−AE−B的大小．18. 等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．数列{b n}的前n项和S n=(n+1)b n2，n∈N∗，且b1=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b2n+5b2n+1b2n+3a n，n∈N∗，求证：∑c knk=1<13．19. 已知函数f(x)=x−ax−2lnx，a∈R．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求a的取值范围；（3）在（1）的条件下，证明：f(x2)<x2−1．20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，焦距为2．（1）求椭圆E的方程．（2）如图，该直线l:y=k1x−√32交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=√24，M是线段OC延长线上一点，且∣MC∣:∣AB∣=2:3，⊙M的半径为∣MC∣，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．答案第一部分 1. D 2. C3. B【解析】因为 a >b >0，且 ab =1，所以可取 a =2，b =12． 则 a +1b =52，b2a =1222=18，log 2(a +b )=log 2(2+12)=log 252∈(1,2)，所以 b 2a <log 2(a +b )<a +1b． 4. C 5. A 6. C 7. D8. A【解析】如图，l 1⊥l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点， 要使 ∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，则 A 与 D ，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l 2 过点 (1,0)，则直线 l 2 的方程为 y =x −1，联立方程组 {y 2=4x,y =x −1, 则 y 2−4y −4=0，所以 y 1+y 2=4，y 1y 2=−4所以 ∣DE ∣=√1+1k 2⋅∣y 1−y 2∣=√2×√32=8， 所以 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 2∣DE ∣=16．方法二：设直线 l 1 的倾斜角为 θ，则 l 2 的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得 ∣AB ∣=2psin 2θ=4sin 2θ，∣DE∣=2psin2(π2−θ)=2pcos2θ=4cos2θ．所以∣AB∣+DE∣=4sin2θ+4cos2θ=4sin2θcos2θ=16sin22θ．因为：0<sin22θ≤1，所以当θ=45∘时，∣AB∣+∣DE∣最小，最小值为16．9. D 【解析】乙车的燃油效率可以大于5，即消耗1升汽油可以行驶大于5千米的路程，故A错误；以相同的速度行驶相同的里程，甲车的燃油消耗率最高，因此以相同的的速度行驶相同的里程，甲车的消耗汽油最少，B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此在相同的条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，所以D正确．第二部分10. (0,12)11. 1212. 20172018【解析】由题意可得：na1+a2+⋯+a n =12n+1，所以a1+a2+⋯+a n=2n2+n，所以n≥2时，a1+a2+⋯+a n−1=2(n−1)2+n−1，两式相减，得a n=4n−1，n=1时，a1=3，上式也成立．所以a n=4n−1，所以b n=a n+14=n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则1 b1b2+1b2b3+⋯+1b2017b2018=1−12+12−13+⋯⋯+12017−12018=1−12018=20172018.13. ①②④⑤【解析】对于①，命题：∀x∈(0,2)，3x>x3的否定是：∃x0∈(0,2)，30x≤x03，正确；对于②，若f(x)=2x−2−x，则∀x∈R，f(−x)=−f(x)，正确；对于③，对于函数f(x)=x+1x+1，当且仅当x=0时，f(x)=1，故错；对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，72(a1+a7)=72×2a4=7a4=21，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A>B，则a>b⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB，故正确．14. 715. 4√15cm3【解析】由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得 OD ⊥BC ，OG =√36BC ， 即 OG 的长度与 BC 的长度成正比， 设 OG =x ，则 BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高 ℎ=√DG 2−OG 2=√25−10x +x 2−x 2=√25−10x ， S △ABC =12×√32×(2√3x)2=3√3x 2，则 V =13S △ABC ×ℎ=√3x 2×√25−10x =√3⋅√25x 4−10x 5， 令 f (x )=25x 4−10x 5，x ∈(0,52)，fʹ(x )=100x 3−50x 4， 令 fʹ(x )≥0，即 x 4−2x 3≤0，解得 x ≤2， 故 f (x ) 在 (0,2] 上单调递增，在 [2,52) 上单调递减， 则 f (x )≤f (2)=80，所以 V ≤√3×√80=4√15 cm 3， 所以体积最大值为 4√15 cm 3． 第三部分16. （1） 因为 2bcosC =2a +c ，所以由余弦定理，得 2b ⋅a 2+b 2−c 22ab=2a +c ， 整理得 b 2=a 2+c 2+ac ，所以 cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，所以 B =2π3．（2） 因为 √3sin (A2+π6)cos (A2+π6)−sin 2(A2+π6)=1126， 所以 √3sin (A +π3)+cos (A +π3)=2413，所以 sin (A +π3+π6)=1213，所以 cosA =1213，所以 sinA =√1−cos 2A =513．因为 B =2π3，所以 cosC =cos (π3−A)=cos π3cosA +sin π3sinA =12+5√326． 17. （1） 因为在 △PBC 中，PB =√5，PC =2，BC =1，所以 PC 2+BC 2=PB 2，从而 PC ⊥BC ， 同理可得 PC ⊥DC ， 因为 BC ∩DC =C ， 所以 PC ⊥底面ABCD ，如图，以点 C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则 A (1,1,0)，B (0,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,2)，从而 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设 E (0,0,a )，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,a )， 因为 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BD ⊥AE ． （2） BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,a )，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2)， 设平面 BDE 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由 {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {x 1−y 1=0,−y 1+az 1=0,取 y 1=1，则 x 1=1，z 1=1a ，从而 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1a )， 因为 PA ∥平面BDE ，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ ，即 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =2−2a =0，解得 a =1，所以 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，设直线 AE 与平面 BDE 所成角为 θ，则 sinθ=∣∣cos⟨AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3×√3=13，即直线 AE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 13．（3） DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，n 3⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3,z 3)， 由 {n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得 {y 2=0,−x 2+z 2=0, 取 n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 由 {n 3⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 3⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {x 3=0,−y 3+z 3=0, 取 n 3⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 设二面角 D −AE −B 的平面角为 φ，则 ∣cosφ∣=∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 3⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n3⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12， 由图形可知 φ 为钝角， 所以 φ=2π3，即二面角 D −AE −B 的大小为 2π3． 18. （1） 设等比数列 {a n } 的公比为 q ， 依题意，有 2a 4=2a 5+4a 6， 所以 a 4=a 4q +2a 4q 2， 因为 a n >0，所以 q >0，且 2q 2+q −1=0，解得 q =12或 q =−1（舍），因为 a 4=4a 32=4a 2a 4，所以 a 2=14， 所以 a 1=12，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =(12)n(n ∈N ∗)，当 n ≥2 时，b n =S n −S n−1=(n+1)b n2−nb n−12，所以 (n −1)b n =nb n−1，即 bnn =b n−1n−1(n ≥2)，所以数列 {b n n } 是首项为 b11=1 的常数列， 所以 bn n =1，即 b n =n (n ∈N ∗)，所以数列 {b n } 的通项公式为 b n =n (n ∈N ∗)． （2） 由（Ⅰ），得c n =b 2n+5b2n+1b 2n+3a n=2n+5(2n+1)(2n+3)⋅12n=1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n ,所以∑c k n k=1=(13⋅20−15⋅21)+(15⋅21−17⋅22)+⋯+(1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n )=13−1(2n+3)⋅2n <13.19. （1） 函数 f (x )=x −a x−2lnx 的定义域为 (0,+∞)．fʹ(x )=1+a x 2−2x =x 2−2x +ax 2.令 fʹ(x )=0，得 x 2−2x +a =0，其判别式 Δ=4−4a ． (1) 当 Δ≤0，即 a ≥1 时，x 2−2x +a ≥0,fʹ(x )≥0， 此时，f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增． (2) 当 Δ>0，即 a <1 时，方程 x 2−2x +a =0 的两根为 x 1=1−√1−a ，x 2=1+√1−a >1． 若 a ≤0，则 x 1≤0，则 x ∈(0,x 2) 时，fʹ(x )<0，x ∈(x 2,+∞) 时，fʹ(x )>0． 此时，f (x ) 在 (0,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增．若 a >0，则 x 1>0，则 x ∈(0,x 1) 时，fʹ(x )>0，x ∈(x 1,x 2) 时，fʹ(x )<0，x ∈(x 2,+∞) 时，fʹ(x )>0．此时，f (x )在(0,x 1) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增． 综上所述，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 在 (0,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增；当 0<a <1 时，函数 f (x )在(0,x 1) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增； 当 a ≥1 时，函数 f (x )在(0,+∞) 上单调递增．（2） 由（1）可知，函数 f (x ) 有两个极值点 x 1，x 2，等价于方程 x 2−2x +a =0 在 (0,+∞) 有两不等实根，故 0<a <1．（3） 证明：由（1），（2）得 0<a <1，x 2=1+√1−a ，且 1<x 2<2，a =−x 22+2x 2．f (x 2)−x 2+1=x 2−−x 22+2x 2x 2−2lnx 2−x 2+1=x 2−2lnx 2−1.令 g (t )=t −2lnt −1,1<t <2，则 gʹ(t )=1−2t=t−2t．由于 1<t <2，则 gʹ(t )<0，故 g (t ) 在 (1,2) 上单调递减． 故 g (t )<g (1)=1−2ln1−1=0． 所以 f (x 2)−x 2+1=g (x 2)<0 所以 f (x 2)<x 2−1．20. （1） 由题意知，{c a=√22,2c =2,a 2=b 2+c 2,解得 a =√2，b =1． 所以椭圆 E 的方程为x 22+y 2=1；（2） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立 {x 22+y 2=1,y =k 1x −√32,得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0． 由题意得 Δ=64k 12+8>0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1，x 1x 2=−12(2k 12+1)．所以 ∣AB ∣=√1+k 12∣x 1−x 2∣=√2⋅√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意可知圆 M 的半径 r 为 r =23∣AB ∣=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12． 由题意设知，k 1k 2=√24， 所以 k 2=√24k 1． 因此直线 OC 的方程为 y =√24k 1x ． 联立 {x 22+y 2=1,y =√24k 1x,得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k 12．因此，∣OC ∣=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12．由题意可知，sin∠SOT 2=r r+∣OC∣=11+∣OC∣r．而∣OC∣r =√1+8k121+4k122√23√1+k11+8k11+2k12=√2412√1+4k1√1+k1．令t=1+2k12，则t>1，1t∈(0,1)，因此，∣OC∣r =2√2t2+t−1 =2√2+t−t2 =2√−(1t−12)2+94≥1.当且仅当1t =12，即t=2时等式成立，此时k1=±√22．所以sin∠SOT2≤12，因此∠SOT2≤π6．所以∠SOT的最大值为π3．综上所述，∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．第11页（共11 页）。
2020年高考数学天津卷及答案(A4打印版)
第Ⅰ卷
注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.
参考公式：
·如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P A B P A P B . ·如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么 P AB P A P B .
（ii）求函数 g x f x f x 9 的单调区间和极值；
x
（ Ⅱ ） 当 k≥ 3 时 ， 求 证 ： 对 任 意 的 x1，x2 1， ， 且 x1＞x2 ， 有
f
x1
f
x2
＞
f
x1
f
x2
.
2
x1 x2
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学答案解析
x
3
，所以周期
T
2
2
，故①正确；
f
2
sin
2
3
sin
5 6
1 2
1 ，故②不正确；将函数
y
sin
x
的图象上所有点向左平移
3
个单位长度，得到
y
sin
x
3
的图象，故③正确.
故选：B.
【考点】正弦型函数的性质及图象的平移
9.【答案】D
【解析】由 g 0 0 ，结合已知，将问题转化为 y kx 2 与 h x f x 有 3 个不同交点，
求解二次不等式 a2＞a 可得： a＞1或 a＜0 ，据此可知： a＞1是 a2＞a 的充分不必要条件.
故选：A. 【考点】二次不等式的解法，充分性和必要性的判定
天津市南开区2019-2020学年高考数学最后模拟卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.2．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A．39-B．39C． D．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,5P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴51,1,2E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴51,1,BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,5PD =-u u u r ，∴1132cos ,133BE PD BE PD BE PD-⋅===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．6．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．max372a c+-=r r B ．max372a c-+=r r C ．min37a c+-=r r D ．min37a c-+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即224222x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()22314x y ⎛-+= ⎝⎭，则a c -=r r ，则a c -r r 转化为圆()22314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，maxa c ==∴-r r，min a c ==-r r ，a c +=r ra c +r r 转化为圆()223124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0-的距离，max22a c==∴+r r，m 22im a c ==+r r . 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 8．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π【答案】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．9．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,a cb bAc⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理计算可得离心率.【详解】解：以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得222a c bxcbyc⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,a cb bAc c⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理得()()22229550c a c a--=，则22519ca=<（舍去），225ca=，5cea∴==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．12．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。